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Fenomeno Transporte

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Addy Berrios
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Notas de Renato

Ingénierie
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DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA QUÍMICA Y TECNOLOGÍA DEL MEDIO AMBIENTE UNIVERSIDAD DE VALLADOLID fenómenos transporte fenómenos de ímico .RafaelMato) 1 IngenieroQuí GrupoB(Prof Curso2010/11
rte Ingeniero Químico Curso 2010/11 sdeTranspo Departamento de Ingeniería Química y Tecnología del Medio Ambiente Universidad de Valladolid Fenómenos Tema 0 — p. 1 Universidad de Valladolid Situación en el plan de estudios BASICAS FUNDAMENTOS I.Q. APLICADAS BALANCES DE MATERIA Y I.Q. OPERACIONES MATEMATICAS ENERGIA TERMODINAMICA OPERACIONES DE SEPARACION MATEMATICAS FISICA FLUJO DE FLUIDOS REACTORES QUIMICOS DISEÑO Y FISICA QUIMICA FENOMENOS DE TRANSPORTE TRANSMISION DE CALOR OPERACION DE PROCESOS rte QUIMICA CINETICA TRANSFERENCIA DE MATERIA PROYECTOS sdeTranspo OTRAS: INSTRUMENT. CONTROL ECONOMIA, .... Fenómenos Tema 0 — p. 2
OBJETIVO Relacionar la cinética del proceso de transporte con las variables del proceso y las dimensiones del sistema. PROCESO DE SITUACION DE NO EQUILIBRIO EQUILIBRIORESISTENCIA PROCESO DE TRANSPORTE rte NO-EQUILIBRIO EQUILIBRIORESISTENCIA sdeTranspoFenómenos Tema 0 — p. 3 DESCRIPTOR I t d ió l f ó fí i d ib lIntroducción a los fenómenos físicos que describen los procesos de transporte de cantidad de movimiento, calor y materia en los procesos reales, con especial i id i l i t tili d i i íincidencia en los sistemas utilizados en ingeniería química. Al final del curso los estudiantes deberán i) identificar y valorar la importancia de los diferentes procesos de transporte que intervienen en un procesoproceso, ii) describirlos en términos matemáticos, y iii) calcular y evaluar magnitudes relevantes para el rte iii) calcular y evaluar magnitudes relevantes para el diseño y operación de los citados sistemas. sdeTranspoFenómenos Tema 0 — p. 4
COMPETENCIAS ESPECÍFICAS Conocimientos y habilidades que el estudiante debe obtener en este curso: • Comprender los fundamentos físicos de los procesos de transporte (cantidad de movimiento calor y materia).( y ) • Familiarizarse con sus propiedades físicas asociadas (viscosidad, conductividad, difusividad). • Construir modelos ingenieriles de procesos reales e identificar las• Construir modelos ingenieriles de procesos reales e identificar las técnicas de diseño adecuadas. • Obtener resultados prácticos para el diseño de los procesos a partir de los modelos elaborados a fin de diseñar los equipos u operacioneslos modelos elaborados a fin de diseñar los equipos u operaciones necesarias para alcanzar las especificaciones requeridas, a partir de la información disponible. • Aplicar principios científicos e ingenieriles para realizar el análisis del• Aplicar principios científicos e ingenieriles para realizar el análisis del sistema. • Examinar la operación de equipos y entender sus principios de operación desde el punto de vista de los procesos de transporte rte operación desde el punto de vista de los procesos de transporte. • Integrar los fenómenos de transporte con los conocimientos adquiridos en otras asignaturas para entender y modelizar problemas complejos en términos de principios científicos. sdeTranspo en términos de principios científicos. Fenómenos Tema 0 — p. 5 Organización del temario C.D.M. ENERGIA MATERIA Leyes de transporte 1 Newton 3 Fourier 5 Fick Ecuaciones de variación 2 4 6Ecuaciones de variación 2 4 6 Flujo turbulento 7 EXAMEN 1,2 EXAMEN 3,4 EXAMEN 5,6 Transporte de interfase Balances macroscópicos 8 9 10 Balances macroscópicos EXAMEN 1 ► 10 rte RIGUROSO TEÓRICO APROXIMADO EMPÍRICO sdeTranspo COMPLEJO INFORMACIÓN COMPLETA "PREDICTIVO" SIMPLE INFORMACIÓN PARCIAL "CORRELACIÓN" Fenómenos Tema 0 — p. 6
Método y criterios de evaluación Durante el desarrollo del curso se realizarán en horario de clase tres controles, que supondrán 2 puntos adicionales, q p p en la nota final. El examen de junio se calificará sobre 10 puntos, a los que se sumarán los obtenidos en los controles. Para aprobar la asignatura deberá obtenerse una nota mínima de 5.0, después de haber sumado los controles a la nota del examen. En la convocatoria de septiembre se mantienen losEn la convocatoria de septiembre se mantienen los mismos criterios que en la de junio, conservándose la nota de los controles realizados durante el curso. rtesdeTranspoFenómenos Tema 0 — p. 7 Método de trabajo 1. Preparación de las clases • Notas de clase • Libro de texto • Actividades propuestas 2. Explicación de la teoría Actividades propuestas Tutorías 3. Ejercicios • Colección de problemas 4. Seminarios 5 Evaluación rte 5. Evaluación • Tres exámenes parciales (+2 Puntos) • Examen final sdeTranspoFenómenos Tema 0 — p. 8
Material Página Web: http://www.iq.uva.es/fentrans/ Comprimido: http://www.iq.uva.es/fentrans/Web_FenTrans.zip ( f )Notas de clase (Reprografía, Web) Colección de Problemas resueltos (Web) Bibliografía: Fenómenos de Transportep R.B. Bird, W.E. Stewart y E.N. Lightfoot Editorial Reverté The Properties of Gases and Liquids, 5ª Ed., B.E.Poling, J.M.Prausnitz and J.P. O’Connell, McGraw-Hill (2001). rte INGENIERIA QUIMICA. 2. Fenómenos de Transporte E. Costa Novella et al. Alhambra Universidad, (1984). sdeTranspo Perry´s Chemical Engineers’ Handbook, 7ª Ed. McGraw-Hill (1999). Fenómenos Tema 0 — p. 9
FenómenosdeTransporte Tema 1 — p. 1 TEMA 1 Viscosidad y mecanismo del transporte de cantidad de movimiento Ley de Newton de la viscosidad Fluidos no-newtonianos Viscosidad: Determinación experimental Viscosidad de gases Influencia de la presión y la temperatura Mezclas de gases Viscosidad de líquidos FenómenosdeTransporte Tema 1 — p. 2 t < 0 x y y = Y y = 0 t > 0 V ( , )xv t y V t → ∞ ( )xv y Ley de Newton de la viscosidad F V A Y = μ x yx dv dy τ = −μ EFECTO: TRANSPORTE DE C.D.M. FUERZA IMPULSORA (GRADIENTE DE VELOCIDAD) t = 0 V
FenómenosdeTransporte Tema 1 — p. 3 T(ºC) µ (cp) v (10 2 cm 2 s -1 ) µ (cp) v (10 2 cm 2 s -1 ) 0 1.787 1.787 0.01716 13.27 20 1.0019 1.0037 0.01813 15.05 40 0.6530 0.6581 0.01908 16.92 60 0.4665 0.4744 0.01999 18.86 80 0.3548 0.3651 0.02087 20.88 100 0.2821 0.2944 0.02173 22.98 VISCOSIDAD DEL AGUA Y EL AIRE A 1 ATM DE PRESION AGUA AIRE SUBSTANCIA T(ºC) µ (cp) (C2H5)2O 20 0.245 C6H6 20 0.647 Br2 26 0.946 C2H5OH 20 1.194 Hg 20 1.547 H2SO4 25 19.15 Glicerina 20 1069 VISCOSIDAD DE ALGUNOS LIQUIDOS A 1 ATM DE PRESION VISCOSIDAD CINEMATICA: μ ν = ρ FenómenosdeTransporte Tema 1 — p. 4 Fluidos no-newtonianos x yx dv dy τ = −η xyτ xdv dy − Newtoniano Bingham Shear-thinning (Pseudoplástico) Dilatante • Plásticos de Bingham • Plásticos de Ostwald • Pseudoplásticos • Dilatantes Fluidos no-newtonianos con viscosidad constante en el tiempo
FenómenosdeTransporte Tema 1 — p. 5 xyτ xdv dy − Bingham Pseudoplástico Prandtl-Eyring Newtoniano Dilatante Modelos de dos parámetros MODELO ECUACION PARAMETROS Bingham (Pastas y suspensiones finas) Ostwald-de Waele(Suspensiones de combustibles nucleares) Eyring 000 , τ>ττ±μ−=τ yx x yx dy dv (Yield-stress) 0 0 μ τ n x yx dy dv m ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −=τ nm, ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −=τ dy dv B arcsenhA x yx 1 BA, FenómenosdeTransporte Tema 1 — p. 6 xyτ xdv dy − Ellis (α>1) Newtoniano Reiner-Philippoff Ellis (α<1) Modelos de tres parámetros MODELO ECUACION PARAMETROS Ellis (CarboxiMetil- Celulosa en agua) yxyx x dy dv ττϕ+ϕ=− −α )( 1 10 αϕϕ ,, 10 Reiner-Philippoff (Azufre fundido, 30% de metanol en hexano,...) yx Syx x dy dv τ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ττ+ μ−μ +μ =− ∞ ∞ 2 0 )/(1 1 Sτμμ∞ ,, 0 n x xy o dv m dy ⎛ ⎞ τ = τ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Modelo de Herschel–Bulkley
FenómenosdeTransporte Tema 1 — p. 7 • Tixotrópicos • Reopécticos • Viscoelásticos Fluidos no-newtonianos con viscosidad no-constante en el tiempo xyτ xdv dy − Tixotrópicos xyτ xdv dy − Reopécticos FenómenosdeTransporte Tema 1 — p. 8 Medida experimental de la viscosidad Viscosímetro de Ostwald Hagen-Poiseuille: 2 32 Lu P D μ Δ = ~ / P gh K u t t Δ = ρ ⎫ μ ⇒ =⎬ ρ⎭1 Viscosímetro de Höppler ( ) ( ) i P R F B B B B F F F F v g v g r u = ⇒ = + ρ = ρ + π μ ∑ 0 6 ( )B K t μ = ρ − ρ FRFF FP 1 2
FenómenosdeTransporte Tema 1 — p. 9 Viscosímetros de Engler, Ford y Saybolt Viscosímetro de cilindros concéntricosViscosímetro de plato y cono FenómenosdeTransporte Tema 1 — p. 10 Viscosidad de los gases a x y a v + x y v x y a v − Modelización Separación entre capas: a = λ 2 3 Perfil de velocidad lineal: x x xy a y x x xy a y dv v v dy dv v v dy − + = − λ = + λ 2 3 2 3 Balance de CDM: yx x xy a y a Z mv Z mv− + τ = − 8KT u m = π Z nu= 1 4 d n λ = π 2 1 2 ● Gas Puro. ● Esferas (m, d) sin interacciones. ● n = moléculas / volumen pequeño. Teoría cinética de los gases y x λ
FenómenosdeTransporte Tema 1 — p. 11 Substituyendo en el balance de CDM ... τ = − λ x yx dv mnu dy 1 3 Comparando con la Ley de Newton ... x yx dv dy τ = −μ ⇒ mKT mnu d μ = λ = π3 2 2 1 2 3 3 Modificación de Chapman-Enskog d F dr ϕ = − Potencial de Lennard-Jones: ( )r r r ⎡ ⎤σ σ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ϕ = ε −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ 12 6 4 r -ε m r σ . / . , , Å MT g cm s T K − μ μ = σ Ω μ = = σ = 5 2 2 6693 10 FenómenosdeTransporte Tema 1 — p. 12 . , / . , , Å MT g cm s T K− μ μ = μ = = σ = σ Ω 5 2 2 6693 10
FenómenosdeTransporte Tema 1 — p. 13 FenómenosdeTransporte Tema 1 — p. 14
FenómenosdeTransporte Tema 1 — p. 15 Método de Chung et al. (1984, 1986) / / ( ) . , , / , , /c c c F MT P M g mol T K V cm mol V μ μ = μ = μ = = = Ω 1 2 3 2 3 40 785 * ** . . . * . . . . , / T T r r c T e e T T T T T μΩ = + + = = 0 14874 0 77320 2 43787 1 16145 0 52487 2 16178 1 2593 Integral de colisión: Factor Fc: . .c rF d= − ω + + Κ4 1 0 2756 0 059035 / . , , r c c c c d d V T d db V cm mol T K = = = = 1 2 3 131 3Momento dipolar adimensional: FACTOR DE ASOCIACION COMPUESTO K COMPUESTO K Metanol 0.215 n-Pentanol 0.122 Etanol 0.175 n-Hexanol 0.114 n-Propanol 0.143 n-Heptanol 0.109 i-Propanol 0.143 Acido acético 0.0916 n-Butanol 0.132 Agua 0.076 i-Butanol 0.132 FenómenosdeTransporte Tema 1 — p. 16 Influencia de la presión y la temperatura Childs & Hanley TEMPERATURA REDUCIDA 1 0.5 0 2 3 4 5 6 870 GAS DENSO GAS DILUIDO 1.0 ERROR < 1% ERROR > 1% Viscosidad crítica / / / .c c c c c c M P T P P atm T K − μ = μ = μ = = 1 2 2 3 1 6 7 70
FenómenosdeTransporte Tema 1 — p. 17 Mezclas de gases Ecuación de Wilke / / / n i i mezcla n i j ij j ji i ij j j i x x MM M M = = − μ μ = ϕ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞μ ⎢ ⎥ϕ = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟μ⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ∑ ∑1 1 21 2 1 2 1 4 1 1 1 8 Diagrama generalizado Constantes pseudocríticas: ' ' ' n c i ci i n c i ci i n c i ci i P x P T x T x = = = = = μ = μ ∑ ∑ ∑ 1 1 1 FenómenosdeTransporte Tema 1 — p. 18 Viscosidad de líquidos Modelo de Eyring . /bT TAN h e V μ = 3 8 Modelo de Orrik y Erbar KTcmgcP T B A M LL L L ==ρ=μ += ρ μ ,/, ln 3 GRUPO A B Doble enlace Anillo de cinco miembros Anillo de seis miembros Anillo aromático Substitución en orto Substitución en meta Substitución en para Cloro Bromo Iodo —OH —COO— —O— >C=O —COOH 0.24 0.10 -0.45 0 -0.12 0.05 -0.01 -0.61 -1.25 -1.75 -3.00 -1.00 -0.38 -0.50 -0.90 -90 32 250 20 100 -34 -5 220 365 400 1600 420 140 350 770 GRUPO A B Atomos de carbono1 - (6.95+0.21n) 275+99n -0.15 35 -1.20 400 1 n = atomos de carbono no considerados en otros grupos.
FenómenosdeTransporte Tema 1 — p. 19 Influencia de la temperatura en los líquidos ln µ . cT 1 0 7 cT 1 ln B A T μ = + Ecuación de Andrade
FenómenosdeTransporte Tema 2 — p. 1 TEMA 2 Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos Balances envolventes de cantidad de movimiento Película descendente Flujo por el interior de un tubo circular Flujo reptante alrededor de una esfera sólida Nomenclatura Ecuación de continuidad La ecuación de continuidad en los distintos sistemas coordenados Ecuación de movimiento La ecuación de movimiento en los distintos sistemas coordenados Software de modelado de procesos Condiciones límite Ecuación de energía mecánica Forma adimensional de las ecuaciones de variación Capa límite y flujo potencial Capa límite Flujo potencial FenómenosdeTransporte Tema 2 — p. 2 Balances envolventes de cantidad de movimiento: condiciones límite 1. Película descendente Balance de materia z zz z L xW v xW v= = Δ ρ = Δ ρ0 vz (x) L Δx z x x = 0 x = δ β z zz z L v v= = =0 zv z ∂ ⇒ = ∂ 0 • Régimen estacionario • Fluido incompresible
FenómenosdeTransporte Tema 2 — p. 3 Balance de c.d.m. ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎪ ⎪⎩ ⎭ velocidad neta de velocidad de velocidad neta de entrada de c.d.m. fuerza de acumulación = entrada de c.d.m. + + por transporte gravedad de c.d.m. por convección viscoso =0 Límite cuando Δx tiende a cero: cosxzd g dx τ = ρ β Integrando: cosxz xzx gx= → τ = ⇒ τ = ρ β0 0 Ley de Newton: z xz dv dx τ = −μ Integrando: cos z g x v ⎡ ⎤ρ δ β ⎛ ⎞ ⇒ = −⎢ ⎥⎜ ⎟ μ δ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ 22 1 2zx v= δ → = 0 ( )xz xzx x x LW + Δ τ − τ + cosLW x gΔ ρ β( )z z z zz z L xW v v v v= = Δ ρ − ρ +0 FenómenosdeTransporte Tema 2 — p. 4 Magnitudes derivadas Velocidad máxima: cos z máx g v ρ δ β = μ 2 2 Velocidad media: cos W zo z zW o v dx dyQ g v v dx A dx dy δ δ δ ρ δ β = = = = δ μ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 0 0 0 1 3 Flujo volumétrico: cosW z zo gW Q v dx dy W v δ ρ δ β = = δ = μ∫ ∫ 3 0 3 Fuerza sobre la superficie: cos L W z xzo F dy dz g LW= τ = ρ δ β∫ ∫0 cos z g x v ⎡ ⎤ρ δ β ⎛ ⎞ = −⎢ ⎥⎜ ⎟ μ δ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ 22 1 2
FenómenosdeTransporte Tema 2 — p. 5 2. Flujo por el interior de un tubo circular r z vz(r) z zz z L r r v r r v= = π Δ ρ = π Δ ρ0 2 2 zv z ∂ ⇒ = ∂ 0 Balance de materia Balance de c.d.m. ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ presión defuerza gravedad defuerza viscoso transportepor c.d.m.deentrada denetavelocidad convecciónpor c.d.m.deentrada denetavelocidad c.d.m.de nacumulació develocidad ( ) ( ) ( ) z z rz rzr r r r rz z L o L r r v v L r r r r L g r r P P = = + Δ= = = π Δ ρ − ρ + π τ − τ + π Δ ρ + π Δ − 2 2 0 0 2 2 2 2 ,Lrzdr r P gh dr L ℘ −℘τ ⎛ ⎞ = ℘ = + ρ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 0 Integrando: rzr = → τ = ⇒0 0 L rz r L ℘ −℘⎛ ⎞ τ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 0 2 0 z rz z dv dr r R v ⎫ τ = −μ ⎪ ⇒⎬ ⎪= → = ⎭ ( )L z R r v L R ⎡ ⎤℘ −℘ ⎛ ⎞ = −⎢ ⎥⎜ ⎟ μ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ 22 0 1 4 En el límite (Δr→0): P0 PL • Régimen estacionario • Fluido incompresible FenómenosdeTransporte Tema 2 — p. 6 Magnitudes derivadas ( )L z R r v L R ⎡ ⎤℘ −℘ ⎛ ⎞ = −⎢ ⎥⎜ ⎟ μ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ 22 0 1 4 Velocidad máxima: Velocidad media: Flujo volumétrico: Fuerza sobre la superficie: ( )L z máx R r v L ℘ −℘ = → = μ 2 0 0 4 ( ) R zo L z R o v r dr d RQ v A Lr dr d π π θ ℘ −℘ = = = μθ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 0 0 2 0 8 ( )R L zo R Q v r dr d L π π ℘ −℘ = θ = μ∫ ∫ 4 2 0 0 8 ( ) ( ) z rz Lr R L F RL R R P P R L g = = π τ = π ℘ −℘ = = π − + π ρ 2 0 2 2 0 2
FenómenosdeTransporte Tema 2 — p. 7 v∞ 3. Flujo reptante alrededor de una esfera sólida θ φ z x y (x,y,z) ( , , )r θ φ Flujo reptante Re .p Dv∞ρ = < μ 0 1 Solución analítica r v R sen R r ∞ θ μ ⎛ ⎞ τ = θ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 4 3 2 coso mv R p p gz R r ∞ ⎛ ⎞ = − ρ − θ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 3 2 cosr R R v v r r ∞ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − + θ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ 3 3 1 1 2 2 R R v v sen r r θ ∞ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − − + θ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ 3 3 1 1 4 4 Magnitudes derivadas Fuerza normal: ( )cos sennz r R F p R d d R g Rv π π ∞= = − θ θ θ φ = π ρ + πμ∫ ∫ 2 2 3 0 0 4 2 3 Fuerza tangencial: ( )sen sentz r r R F R d d Rv π π θ ∞= = − τ θ θ θ φ = πμ∫ ∫ 2 2 0 0 4 Fuerza total: (Ley de Stokes) 3 34 4 2 4 6 3 3 (flotacion) (resistencia de forma) (fricción) zF R g Rv Rv R g Rv∞ ∞ ∞= π ρ + πμ + πμ = π ρ + πμ Ft Fn F FenómenosdeTransporte Tema 2 — p. 8 Nomenclatura: Magnitudes Productos Producto diádico: x x x y x z y x y y y z z x z y z z u w u w u w uv u w u w u w u w u w u w ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Orden Magnitud Libro Notas de clase 0 1 2 escalar ( ) vector [ ] tensor { } p v τ p v τ Producto Orden uv u v× .u v :u v ou+ov ou+ov -1 ou+ov -2 ou+ov -4
FenómenosdeTransporte Tema 2 — p. 9 Rotacional de un campo vectorial: [ ] x y z x y z v x y z v v v δ δ δ ∂ ∂ ∂ ∇ × = ∂ ∂ ∂ Laplaciana de un campo escalar: 2 2 2 2 2 2 2 ( . ) s s s s s x y z ∂ ∂ ∂ ∇ = ∇ ∇ = + + ∂ ∂ ∂ Laplaciana de un campo vectorial: 2 2 2 2 x x y y z zv v v v∇ = δ ∇ + δ ∇ + δ ∇ Operadores diferenciales Operador nabla: x y z x y z ∂ ∂ ∂ ∇ = δ + δ + δ ∂ ∂ ∂ Gradiente de un campo escalar: x y z s s s s x y z ∂ ∂ ∂ ∇ = δ + δ + δ ∂ ∂ ∂ Divergencia de un campo vectorial: ( . ) yx z vv v v x y z ∂∂ ∂ ∇ = + + ∂ ∂ ∂ FenómenosdeTransporte Tema 2 — p. 10 Derivadas con respecto al tiempo Derivada parcial: c t ∂ ∂ Derivada total: dc c c dx c dy c dz dt t x dt y dt z dt ∂ ∂ ∂ ∂ = + + + ∂ ∂ ∂ ∂ Derivada substancial: x y z Dc c c c c v v v Dt t x y z ∂ ∂ ∂ ∂ = + + + ∂ ∂ ∂ ∂
FenómenosdeTransporte Tema 2 — p. 11 z xy x x v x x x v Δ+ z z v z z z v Δ+ y y v y y y v Δ+ Ecuación de continuidad velocidad de velocidad de velocidad de acumulación = entrada salida de materia de materia de materia ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ −⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ CARA ENTRADA SALIDA x x x v y zρ Δ Δ x x x v y z+Δ ρ Δ Δ y y y v x zρ Δ Δ y y y v x z +Δ ρ Δ Δ z z z v x yρ Δ Δ z z z v x y+Δ ρ Δ Δ ( ) ( ) ( ) x xx x x y yy y y z zz z z x y z y z v v t x z v v x y v v +Δ +Δ +Δ ∂ρ Δ Δ Δ = Δ Δ ρ − ρ ∂ +Δ Δ ρ − ρ +Δ Δ ρ − ρ yx z vv v t x y z ∂ρ⎛ ⎞∂ρ ∂ρ∂ρ = − + +⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ FenómenosdeTransporte Tema 2 — p. 12 Forma vectorial: ( ). v t ∂ρ = − ∇ ρ ∂ Transformación: ( ) ( ) ( ) . . . v v t D v Dt t ∂ρ ⎫ = −ρ ∇ − ∇ρ ⎪⎪∂ ⇒⎬ ρ ∂ρ ⎪= + ∇ρ ⎪∂ ⎭ ( ). D v Dt ρ = −ρ ∇ Fluidos incompresibles (ρ=constante): ( ). 0v∇ =
FenómenosdeTransporte Tema 2 — p. 13 ( ) ( ) ( ) 0x y zv v v t x y z ∂ρ ∂ ∂ ∂ + ρ + ρ + ρ = ∂ ∂ ∂ ∂ 1 1 ( ) ( ) ( ) 0r zrv v v t r r r z θ ∂ρ ∂ ∂ ∂ + ρ + ρ + ρ = ∂ ∂ ∂θ ∂ 2 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 0rr v v sen v t r r sen r senr θ φ ∂ρ ∂ ∂ ∂ + ρ + ρ θ + ρ = ∂ ∂ θ ∂θ θ ∂φ Coordenadas rectangulares (x, y, z): Coordenadas cilíndricas (r, θ, z): Coordenadas esféricas (r, θ, Φ): La ecuación de continuidad en los diferentes sistemas de coordenadas FenómenosdeTransporte Tema 2 — p. 14 z xy xx x τ xx x xΔ τ + zx z τ zx z zΔ τ + yx y τ yx y yΔ τ + Ecuación de movimiento Transporte convectivo: CARA ENTRADA SALIDA x x x x v v y zρ Δ Δ x x x x v v y z+Δ ρ Δ Δ y y x y v v x zρ Δ Δ y x y y v v x z +Δ ρ Δ Δ z z x z v v x yρ Δ Δ z x z z v v x y+Δ ρ Δ Δ velocidad de velocidad de velocidad de suma de acumulación = entrada + salida + fuerzas sobre de c.d.m. de c.d.m. de c.d.m. el sistema ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ Balance: Transporte viscoso: CARA ENTRADA SALIDA x xx x y zτ Δ Δ xx x x y z+Δ τ Δ Δ y yx y x zτ Δ Δ yx y y x z +Δ τ Δ Δ z zx z x yτ Δ Δ zx x z x y+Δ τ Δ Δ Balance a la componente x:
FenómenosdeTransporte Tema 2 — p. 15 Balance de fuerzas: ( ) xx x x y z p p g x y z+Δ Δ Δ − + ρ Δ Δ Δ Término de acumulación: xv x y z t ∂ρ Δ Δ Δ ∂ Substituyendo en el balance: y x yxx x x z x xx zx x v vv v v v v p g t x y z x y z x ∂ρ ∂τ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ρ ∂ρ ∂ρ ∂τ ∂τ ∂ = − + + − + + − + ρ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ . . v vv p g t ∂ρ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − ∇ ρ − ∇ τ − ∇ + ρ⎣ ⎦ ⎣ ⎦∂ . Dv p g Dt ⎡ ⎤ρ = − ∇ τ − ∇ + ρ⎣ ⎦ Haciendo uso de la ecuación de continuidad: FenómenosdeTransporte Tema 2 — p. 16 Ley de Newton ( ) ( ) ( ) 2 2 . 3 2 2 . 3 2 2 . 3 yx x xx yx xy y yz yy yz zy z z x zz xz zx vv v v x y x v vv v y y z v v v v z x z ∂⎛ ⎞∂ ∂ τ = − μ + μ ∇ τ = τ = −μ +⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ∂ ∂⎛ ⎞∂ τ = − μ + μ ∇ τ = τ = −μ +⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ τ = − μ + μ ∇ τ = τ = −μ +⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ( ) 2 2 . 3 yx x x z x x vDv v v v vp v g Dt x x x y y x z x z ⎡ ∂ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ ⎡ ∂ ∂ ⎤∂ ∂ ∂ ∂⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ρ = − + μ − μ ∇ + μ + + μ + + ρ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎝ ⎠⎣ ⎦ ( ) 2 2 . 3 yz z x z z z vDv v v v vp v g Dt z x x z y y z z z ⎡ ∂ ⎤⎛ ⎞⎡ ∂ ∂ ⎤ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ρ = − + μ + + μ + + μ − μ ∇ + ρ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ( ) 2 2 . 3 y y y yx z y Dv v v vv vp v g Dt y x x y y y z y z ⎡ ∂ ⎤ ∂ ⎡ ∂ ⎤⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ρ = − + μ + + μ − μ ∇ + μ + + ρ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦ La ecuación de movimiento, para un fluido newtoniano:
FenómenosdeTransporte Tema 2 — p. 17 Fluido de densidad y viscosidad constantes. (Ec. Navier-Stokes) ρ = μ∇ − ∇ + ρ2Dv v p g Dt Sistemas de flujo sin efectos viscosos. (Ec. Euler) Dv p g Dt ρ = −∇ + ρ Fluido en reposo. 0 p g= −∇ + ρ Formas simplificadas de la ecuación de movimiento . Dv p g Dt ⎡ ⎤ρ = − ∇ τ − ∇ + ρ⎣ ⎦ FenómenosdeTransporte Tema 2 — p. 18 La ecuación de movimiento en coordenadas rectangulares (en función de τ) yxx x x x xx zx x y z x v v v v p v v v g t x y z x x y z ∂τ⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂τ ∂τ∂ ρ + + + = − − + + + ρ⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ y y y y xy yy zy x y z y v v v v p v v v g t x y z y x y z ∂ ∂ ∂ ∂ ∂τ ∂τ ∂τ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ρ + + + = − − + + + ρ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ yzz z z z xz zz x y z z v v v v p v v v g t x y z z x y z ∂τ⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂τ ∂τ∂ ρ + + + = − − + + + ρ⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ componente x: componente y: componente z:
FenómenosdeTransporte Tema 2 — p. 19 La ecuación de movimiento en coordenadas rectangulares (para fluidos newtonianos de ρ y μ constantes) componente x: componente y: componente z: 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x y z x v v v v v v vp v v v g t x y z x x y z ⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ρ + + + = − + μ + + + ρ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 2 2 2 2 2 y y y y y y y x y z y v v v v v v vp v v v g t x y z y x y z ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ∂ ⎜ ⎟ρ + + + = − + μ + + + ρ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 2 2 2 2 2 z z z z z z z x y z z v v v v v v vp v v v g t x y z z x y z ⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ρ + + + = − + μ + + + ρ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ FenómenosdeTransporte Tema 2 — p. 20 La ecuación de movimiento en coordenadas cilíndricas (en función de τ) componente r: componente θ: componente z: 2 1 1 ( ) r r r r r z r rz rr r v vv v v v p v v t r r r z r r g r r r r z θ θ θ θθ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ρ + + − + = −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂θ ∂ ∂⎝ ⎠ ∂τ τ ∂τ∂⎛ ⎞ − τ + − + + ρ⎜ ⎟∂ ∂θ ∂⎝ ⎠ 2 2 1 1 1 ( ) r r z z r v v v v v v v p v v t r r r z r r g r r zr θ θ θ θ θ θ θθ θ θ θ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ρ + + + + = −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂θ ∂ ∂θ⎝ ⎠ ∂τ ∂τ∂⎛ ⎞ − τ + + + ρ⎜ ⎟∂ ∂θ ∂⎝ ⎠ 1 1 ( ) z z z z r z z zz rz z vv v v v p v v t r r z z r g r r r z θ θ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ρ + + + = −⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂θ ∂ ∂⎝ ⎠ ∂τ ∂τ∂⎛ ⎞ − τ + + + ρ⎜ ⎟∂ ∂θ ∂⎝ ⎠
FenómenosdeTransporte Tema 2 — p. 21 La ecuación de movimiento en coordenadas cilíndricas (para fluidos newtonianos de ρ y μ constantes) componente r: componente θ: componente z: ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 r r r r r z r r r r v vv v v v p v v t r r r z r vv v rv g r r r r r z θ θ θ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ρ + + − + = −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂θ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎡ ⎤∂∂ ∂∂ ∂⎛ ⎞ +μ + − + + ρ⎢ ⎥⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂θ∂θ ∂⎝ ⎠⎣ ⎦ ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 r r z r v v v v v v v p v v t r r r z r v vv rv g r r r r r z θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ρ + + + + = −⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂θ ∂ ∂θ⎝ ⎠ ⎡ ⎤∂ ∂∂∂ ∂⎛ ⎞ +μ + + + + ρ⎢ ⎥⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂θ∂θ ∂⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ 2 2 2 2 2 1 1 z z z z r z z z z z vv v v v p v v t r r z z v v v r g r r r r z θ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ρ + + + = −⎜ ⎟∂ ∂ ∂θ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂∂ ⎛ ⎞ +μ + + + ρ⎢ ⎥⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂θ ∂⎝ ⎠⎣ ⎦ FenómenosdeTransporte Tema 2 — p. 22 La ecuación de movimiento en coordenadas esféricas (en función de τ) componente r: componente θ: componente Φ: ( ) 2 2 2 2 sen 1 1 1 ( ) sen sen sen r r r r r r rr r r v v vvv v v v p v t r r r r r r g r r r rr φ θ φθ φ θθ φφ θ ⎛ ⎞+∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎜ ⎟ρ + + + − = − ⎜ ⎟∂ ∂ ∂θ θ ∂φ ∂⎝ ⎠ ∂τ τ + τ⎛ ⎞∂ ∂ − τ + τ θ + − + ρ⎜ ⎟ ∂ θ ∂θ θ ∂φ⎝ ⎠ ( ) 2 2 2 cot 1 sen 1 1 1 cot ( ) sen sen sen r r r r v vv v v v v v v p v t r r r r r r r g r r r r rr φ φθ θ θ θ θ θ θφ θ θ θθ φφ θ ⎛ ⎞θ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎜ ⎟ρ + + + + − = − ⎜ ⎟∂ ∂ ∂θ θ ∂φ ∂θ⎝ ⎠ ∂τ⎛ ⎞τ∂ ∂ θ − τ + τ θ + + − τ + ρ⎜ ⎟ ∂ θ ∂θ θ ∂φ⎝ ⎠ 2 2 1 cot sen sen 1 1 1 2cot ( ) sen r r r r v v v v v v v v vv p v t r r r r r r r g r r r r rr φ φ φ φ φ φ θ φθ θφ φφ φ φ θφ φ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ∂ ρ + + + + + θ = −⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂θ θ ∂φ θ ∂φ⎝ ⎠ ∂τ ∂τ τ⎛ ⎞∂ θ − τ + + + + τ + ρ⎜ ⎟ ∂ ∂θ θ ∂φ⎝ ⎠
FenómenosdeTransporte Tema 2 — p. 23 La ecuación de movimiento en coordenadas esféricas (para fluidos newtonianos de ρ y μ constantes) componente r: componente θ: componente Φ: 2 2 2 2 2 2 2 sen 2 2 2 2 cot sen r r r r r r r r v v vvv v v v p v t r r r r r vv v v v g r r r r φ θ φθ φθ θ ⎛ ⎞+∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎜ ⎟ρ + + + − = − ⎜ ⎟∂ ∂ ∂θ θ ∂φ ∂⎝ ⎠ ∂⎛ ⎞∂ +μ ∇ − − − θ − + ρ⎜ ⎟ ∂θ ∂φθ⎝ ⎠ 2 2 2 2 2 2 2 cot 1 sen 2 2cos sen sen r r r v vv v v v v v v p v t r r r r r r vvv v g r r r φ φθ θ θ θ θ θ φθ θ θ ⎛ ⎞θ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎜ ⎟ρ + + + + − = − ⎜ ⎟∂ ∂ ∂θ θ ∂φ ∂θ⎝ ⎠ ∂⎛ ⎞∂ θ +μ ∇ + − − + ρ⎜ ⎟ ∂θ ∂φθ θ⎝ ⎠ 2 2 2 2 2 2 cot sen 1 2 2cos sen sen sen sen r r r v v v v v v v v vv v t r r r r r v vvp v g r r r r φ φ φ φ φ φ θ φθ φ θ φ φ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ρ + + + + + θ =⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂θ θ ∂φ⎝ ⎠ ⎛ ⎞∂∂∂ θ − + μ ∇ − + + + ρ⎜ ⎟ θ ∂φ ∂φ ∂φθ θ θ⎝ ⎠ En estas ecuaciones: 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 sen sen sen r r rr r r ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∇ = + θ + ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂θ ∂θθ θ ∂φ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ FenómenosdeTransporte Tema 2 — p. 24 Componentes del tensor esfuerzo cortante en coordenadas rectangulares 2 2 ( . ) 3 2 2 ( . ) 3 2 2 ( . ) 3 x xx y yy z zz v v x v v y v v z ∂⎡ ⎤ τ = −μ − ∇⎢ ⎥∂⎣ ⎦ ∂⎡ ⎤ τ = −μ − ∇⎢ ⎥ ∂⎣ ⎦ ∂⎡ ⎤ τ = −μ − ∇⎢ ⎥∂⎣ ⎦ yx xy yx y z yz zy z x zx xz vv y x v v z y v v x z ∂⎡ ⎤∂ τ = τ = −μ +⎢ ⎥ ∂ ∂⎣ ⎦ ∂⎡ ⎤∂ τ = τ = −μ +⎢ ⎥ ∂ ∂⎣ ⎦ ∂ ∂⎡ ⎤ τ = τ = −μ +⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦ ( ). yx z vv v v x y z ∂∂ ∂ ∇ = + + ∂ ∂ ∂
FenómenosdeTransporte Tema 2 — p. 25 Componentes del tensor esfuerzo cortante en coordenadas cilíndricas 2 2 ( . ) 3 1 2 2 ( . ) 3 2 2 ( . ) 3 r rr r z zz v v r v v v r r v v z θ θθ ∂⎡ ⎤ τ = −μ − ∇⎢ ⎥∂⎣ ⎦ ⎡ ∂ ⎤⎛ ⎞ τ = −μ + − ∇⎜ ⎟⎢ ⎥∂θ⎝ ⎠⎣ ⎦ ∂⎡ ⎤ τ = −μ − ∇⎢ ⎥∂⎣ ⎦ 1 1 r r r z z z z r zr rz v v r r r r v v z r v v r z θ θ θ θ θ θ ⎡ ⎤∂∂ ⎛ ⎞ τ = τ = −μ +⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂θ⎝ ⎠⎣ ⎦ ∂ ∂⎡ ⎤ τ = τ = −μ +⎢ ⎥∂ ∂θ⎣ ⎦ ∂ ∂⎡ ⎤ τ = τ = −μ +⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦ ( ) ( ) 1 1 . z r v v v rv r r r z θ∂ ∂∂ ∇ = + + ∂ ∂θ ∂ FenómenosdeTransporte Tema 2 — p. 26 Componentes del tensor esfuerzo cortante en coordenadas esféricas 2 2 ( . ) 3 1 2 2 ( . ) 3 cot1 2 2 ( . ) sen 3 r rr r r v v r v v v r r v vv v r r r θ θθ φ θ φφ ∂⎡ ⎤ τ = −μ − ∇⎢ ⎥∂⎣ ⎦ ⎡ ∂ ⎤⎛ ⎞ τ = −μ + − ∇⎜ ⎟⎢ ⎥∂θ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎡ ∂ ⎤⎛ ⎞θ τ = −μ + + − ∇⎢ ⎥⎜ ⎟ θ ∂φ⎝ ⎠⎣ ⎦ 1 sen 1 sen sen 1 sen r r r r r r v v r r r r v v r r vv r r r r θ θ θ φ θ θφ φθ φ φ φ ⎡ ⎤∂∂ ⎛ ⎞ τ = τ = −μ +⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂θ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ∂θ ∂ τ = τ = −μ +⎢ ⎥⎜ ⎟ ∂θ θ θ ∂φ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ τ = τ = −μ +⎢ ⎥⎜ ⎟ θ ∂φ ∂ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ( ) ( ) ( )2 2 1 1 1 . sen sen sen r v v r v v r r rr φ θ ∂∂ ∂ ∇ = + θ + ∂ θ ∂θ θ ∂φ
FenómenosdeTransporte Tema 2 — p. 27 Software de modelado de procesos Profiled contours of axial velocity Pressure Driven Flow in a Jet Pump Pump Efficiency http://www.fluent.com FenómenosdeTransporte Tema 2 — p. 28 The transient behavior of the tracer dispersion through the multistage reactor is captured. Residence Time Distribution in CSTR’s Product plume forming as a result of reactant injection through the dip tube. Liquid-phase Reaction
FenómenosdeTransporte Tema 2 — p. 29 Blending Time Prediction Concentration of the tracer can be monitored at a number of locations in the vessel and plotted as uniformity of concentration, U, as a function of time. FenómenosdeTransporte Tema 2 — p. 30 Pressure contours on an aneurysm created from a Spiral CT scan Cerebral Aneurysm Risk Assessment Pathlines around the Opel Astra, Courtesy of Opel AG Automotive industry: Aerodynamics
FenómenosdeTransporte Tema 2 — p. 31 Condiciones límite (interfase) VELOCIDAD: int int I II v v= TRANSPORTE DE C.D.M.: FASE II FASE I SÓLIDO LÍQUIDO GAS int 0τ ≠ int 0τ = LIQUIDO int 0τ ≠ int int I II τ = τ FenómenosdeTransporte Tema 2 — p. 32 Ecuación de energía mecánica Ecuación de movimiento: . Dv p g Dt ⎡ ⎤ρ = −∇ − ∇ τ + ρ⎣ ⎦ ( ) ( ) ( ) ( )21 2 . . . . D v v p v v g Dt ⎡ ⎤ρ = − ∇ − ∇ τ + ρ⎣ ⎦ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21 1 2 2 . . . . . : .v v v pv p v v v v g t ∂ ρ = − ∇ ρ − ∇ − −∇ − ∇ τ − −τ ∇ + ρ⎡ ⎤⎣ ⎦∂ , multiplicándola escalarmente por :v
FenómenosdeTransporte Tema 2 — p. 33 SISTEMA Compresión/ Expansión ( ).p v− −∇ Disipación viscosa ( ): v− τ ∇ Energía Interna Uρ Energía Mecánica 21 2 vρ ALREDEDORES Trabajo Calor (conducción) ( ) ( ) ( ) . . . . v g pv v ρ − ∇ − ∇ τ⎡ ⎤⎣ ⎦( ).q− ∇ E. Interna ( ). vU− ∇ ρ E. Mecánica ( )( )21 2 . v v− ∇ ρ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21 1 2 2 . . . . . : .v v v pv p v v v v g t ∂ ρ = − ∇ ρ − ∇ − −∇ − ∇ τ − −τ ∇ + ρ⎡ ⎤⎣ ⎦∂ FenómenosdeTransporte Tema 2 — p. 34 Forma adimensional de las ecuaciones de variación Propiedades físicas constantes: ρ, μ Magnitudes características: L, V, p0 * * * * * *0 2 * * * * 2 2 2 *2 2 2 *2 *2 *2 * , , , , , x y z p pv tV x y z v p t x y z V L L L LV L x y z L x y z D L D V DtDt − = = = = = = ρ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∇ = ∇ = δ + δ + δ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∇ = ∇ = + +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Ecuación de continuidad: ( )* * . 0v∇ = Ecuación de movimiento: * * * *2 * * 2 Dv gL g p v LV gDt V ⎛ ⎞μ ⎛ ⎞ = −∇ + ∇ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ρ ⎝ ⎠⎝ ⎠ Grupos adimensionales característicos: Número de Reynolds: Re LVρ = μ Número de Froude: 2 V Fr gL =
FenómenosdeTransporte Tema 2 — p. 35 Capa límite y flujo potencial Flujo potencial Fluido ideal: constante0 ,μ = ρ = Velocidad originada por un campo potencial (Φ): x yv v x y ∂Φ ∂Φ = = ∂ ∂ Ecuación de continuidad (ρ = constante): 0 yx vv x y ∂∂ + = ⇒ ∂ ∂ Ec. Laplace 2 2 2 2 0 x y ∂ Φ ∂ Φ + = ∂ ∂ Carácter irrotacional: 2 2 0 x yx y v vy x y v y xv x x y ⎫∂ ∂ Φ = ⎪ ∂∂ ∂ ∂ ∂⎪ ⇒ − = ⇒⎬ ∂ ∂∂ ∂ Φ ⎪= ⎪∂ ∂ ∂ ⎭ 0v∇ × = FenómenosdeTransporte Tema 2 — p. 36 Función de corriente (Ψ): x y v y v x ∂Ψ = ∂ ∂Ψ = ∂ 2 2 0 0 2 2 v v p gz p gz ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ρ ρ ∇ + ∇ + ∇ρ = ⇒ ∇ + + ρ = ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ constante 2 2 v P z g g + + = ρ
FenómenosdeTransporte Tema 2 — p. 37 Capa límite FenómenosdeTransporte Tema 2 — p. 38 “Despegue” de la capa límite
FenómenosdeTransporte Tema 3 — p. 1 TEMA 3 Conductividad calorífica y mecanismo del transporte de energía Ley de Fourier Determinación experimental Conductividad de gases Conductividad de líquidos Conductividad de sólidos FenómenosdeTransporte Tema 3 — p. 2 Ley de Fourier t < 0 x y y = Y y = 0 T0 t = 0 T0 T1 t > 0 ( , )T t y T0 T1 t → ∞ ( )T y T0 T1 1 0yQ T T k A Y − = y dT q k dy = − Medio isótropo: x y z dT q k dx dT q k q k T dy dT q k dz ⎫ = − ⎪ ⎪ ⎪ = − ⇒ = − ∇⎬ ⎪ ⎪ = − ⎪ ⎭
FenómenosdeTransporte Tema 3 — p. 3 DIFUSIVIDAD TÉRMICA: p k C α = ρ k cal/cm.s.K H2(g) a 300 K y 1 atm H2(g) a 100 K y 1 atm Agua(g) a 25ºC y 1 atm Aire a 25ºC y 1 atm Agua(l) a 25ºC Agua(l) a 100ºC Benceno a 25ºC Al(l) a 700ºC Al(s) a 100ºC Vidrio a 200ºC 0.0004227 0.0001625 0.0000455 0.0000621 0.00145 0.00160 0.00342 0.247 0.2055 0.0017 FenómenosdeTransporte Tema 3 — p. 4 Determinación experimental 1 2 1 2 T Tq x VI k k A x T T A − Δ = ⇒ = Δ − Sólidos (régimen estacionario) 0 2 ( ) s s T Fo T T T T T t Fo R + + = Ψ − = − α = Sólidos (régimen no-estacionario)
FenómenosdeTransporte Tema 3 — p. 5 ( ) 0 0 0 0 0 ~ s G s G s G T Tq IV k k T T A I V k T T − − ⇒ = − Fluidos FenómenosdeTransporte Tema 3 — p. 6 Conductividad de gases a ay T + y T ay T − y x λ Energía cinética: Calor específico: Balance de energía: ( ) 2 21 1 2 2 3 2 y y a y a y a y a q Z mu Z mu KZ T T − + − + = − = − Perfil plano de T: 2 3 2 3 y a y y a y dT T T dy dT T T dy − + = − λ = + λ 2 31 2 2 mu KT= ( )2 31 2 2v A d C N mu R dT = =
FenómenosdeTransporte Tema 3 — p. 7 1 2 y dT q nKu dy = − λ 3 2 3 1 1 1 2 3 v K T k nKu C u d m = λ = ρ λ = π vk C= μ Modelo de Chapman-Enskog: Å 4 2 1.9891 10 , / . . k T M k k cal cm s K− = = σ Ω σ = 15 5 4 2 v R k C M = μ = μ Modelo de Euken (poliatómicas): 5 4 p R k C M ⎛ ⎞ = + μ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ FenómenosdeTransporte Tema 3 — p. 8 Diagrama generalizado:
FenómenosdeTransporte Tema 3 — p. 9 2 3.75 , / 8.314 v v v kM k W mK C C R M kg mol N s m C J mol K R J mol K Ψ = − = μ = μ = = = (experimental para polares) Recomendación: gases no-polares 2 2 0.215 0.28288 1.061 0.26665 1 0.6366 1.061 3 2 2.0 10.5 0.7862 0.7109 1.3168 v r Z Z C R Z T + α − β + Ψ = + α + β + αβ α = − = + β = − ω + ω Método de Chung et al. (1986) FenómenosdeTransporte Tema 3 — p. 10 Método de Roy & Thodos rλ λ = Γ 1/ 63 4 210 c c T M P ⎛ ⎞ Γ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) int 0.0464 0.2412 int 8.757 r r r tr T T tr r e e C f T − λ = λΓ + λΓ ⎡ ⎤λΓ = −⎣ ⎦ λΓ =
FenómenosdeTransporte Tema 3 — p. 11 Método de Wilke (mezclas gaseosas) 1 1 n i i mezcla n i j ij j x k k x= = = φ ∑ ∑ 1 1 1 2 2 4 2 1 1 1 8 ji i ij j j i MM M M − ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞μ⎢ ⎥φ = − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥μ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ FenómenosdeTransporte Tema 3 — p. 12 Conductividad de líquidos Modelo de Bridgman 2 3 2.80 A s N k Kv V ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Velocidad del sonido a baja frecuencia: p s v T C p v C ⎛ ⎞∂ = ⎜ ⎟ ∂ρ⎝ ⎠ Método de Latini et al. ( ) 1 6 0.38 1 r r A T k T − = * b v c A T A M T α β =
FenómenosdeTransporte Tema 3 — p. 13 Método del punto de ebullición ( ) 1 2 1.11 ,bk T k w mK M = = Ecuación de Riedel: ( ) 2 3 3 20 1 rk B T⎡ ⎤= + − ⎣ ⎦ ( ) ( ) 2 3 1 2 2 3 1.11 3 20 1 3 20 1 r br T Mk T ⎡ ⎤+ − ⎣ ⎦ = + −
FenómenosdeTransporte Tema 4 — p. 1 TEMA 4 Ecuaciones de variación para sistemas no isotérmicos Distribución de temperatura en sólidos y en flujo laminar. Conducción de calor con un manantial calorífico de origen eléctrico Convección Libre y Forzada Convección forzada: flujo en un tubo refrigerado por la pared Convección natural: paredes planas verticales Ecuación de energía La ecuación de energía en función de la temperatura Casos particulares La ecuación de energía en los distintos sistemas coordenados Ecuaciones adaptadas para procesos de convección natural Resumen de ecuaciones Flujo tangencial con generación de calor de origen viscoso Enfriamiento por transpiración Análisis dimensional Transmisión de calor por convección forzada en un tanque agitado Ecuaciones adimensionales: Convección libre o natural Temperatura de la superficie de una espiral de calentamiento eléctrico Interpretación de los números adimensionales FenómenosdeTransporte Tema 4 — p. 2 Ley de Newton Perfil de velocidad Integración Balance de C.D.M. Volumen de control Integración Densidad de flujo de C.D.M. Estudio del transporte de C.D.M. Ley de Fourier Perfil de temperatura Integración Balance de Energía Volumen de control Integración Densidad de flujo de Calor Estudio del transporte de Calor
FenómenosdeTransporte Tema 4 — p. 3 Balances de energía Restricciones: • Régimen estacionario. • No se considera energía cinética, potencial o trabajo. Mecanismos de transporte: • Conducción de calor (Ley de Fourier). • Transporte convectivo. Generación de calor: eléctrica, viscosa, nuclear, reacción, ... velocidad de velocidad de velocidad de entrada de energía - salida de energía + producción de energía =0 calorífica calorífica calorífica ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ Balance: Condiciones límite mas frecuentes: • Temperatura conocida en la superficie: T = To • Densidad de flujo de calor conocida en la superficie: q = qo • Condiciones de transporte en la interfase sólido-fluido ("Ley de enfriamiento de Newton"): ( )fluidoq h T T= − FenómenosdeTransporte Tema 4 — p. 4 r Distribución de temperatura en sólidos y en flujo laminar Conducción de calor con un manantial calorífico de origen eléctrico Balance de energía: Velocidad de entrada Velocidad de salida Generación de de calor por de calor por calor por = - conducción por la conducción por la disipación superficie interior superficie exterior elé ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ctrica ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ Evaluación de los términos: ( ) 2 2 2 2 ,r r e er r r e I rLq r r Lq r r LS S k+Δ π = π + Δ − π Δ = Integrando (r=0 → qr=0): 2 e r S r q = L R ( )r e d rq S r dr =Por unidad de volumen (volumen → 0):
FenómenosdeTransporte Tema 4 — p. 5 Ley de Fourier: 2 e r S rdT dT q k k dr dr = − → − = Condición límite: exr R T T= → = Integrando: 22 1 4 e ex S R r T T k R ⎡ ⎤⎛ ⎞ − = −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ Magnitudes derivadas (a) ΔT máximo: 2 4 e máx ex S R T T k − = (b) Flujo de calor en la superficie: 2 2 eR R Q RLq R LS= π = π FenómenosdeTransporte Tema 4 — p. 6 Convección Libre y Forzada
FenómenosdeTransporte Tema 4 — p. 7 Δz Δr Convección forzada: flujo en un tubo refrigerado por la pared •Régimen estacionario. •Propiedades físicas constantes. •Régimen laminar. •Densidad de flujo de calor en la pared (q1) constante. Perfil de velocidad: 2 , 1z z máx r v v R ⎡ ⎤⎛ ⎞ = −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ 2 0 , ( ) , 4 L z máx R v L ℘ −℘ = μ Balance de energía: Conducción en r: q1 z r T0 Conducción en z: Convección en z: ( ) Entrada: Salida: 2 2 r r r r r q r z q r r z+Δ π Δ π + Δ Δ Entrada: Salida: 2 2 z z z z z q r r q r r+Δ π Δ π Δ ( ) ( ) z z Entrada: Salida: 0 0 2 2 p z p z z v r r C T T v r r C T T +Δ ρ π Δ − ρ π Δ − FenómenosdeTransporte Tema 4 — p. 8 Dividiendo por 2πr Δr Δz y tomando el límite Δr → 0, Δz → 0: 1ˆ r z p z rq qT C v z r r z ∂ ∂∂ ρ = − − ∂ ∂ ∂ Con el perfil de velocidad y la ley de Fourier: 2 2 , 2 1ˆ 1p z máx r T T T C v k r R z r r r z ⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ρ − = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ Conducción axial despreciable: 2 , 1ˆ 1p z máx r T T C v k r R z r r r ⎡ ⎤ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ρ − =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ Condiciones límite: r = 0 → T es finito r = R → (constante)1 T k q r ∂ − = ∂ z = 0 → T = T0 Integrando numéricamente ⇒ T(z,r)
FenómenosdeTransporte Tema 4 — p. 9 Convección natural: paredes planas verticales •Régimen estacionario. •Propiedades físicas constantes. •Régimen laminar. •Temperatura de las paredes constante (T1 y T2). •Paredes muy largas (en z): T(y) Balance de energía: y yy y y q q +Δ = Integrando: 1 2 m y T T T b ⎛ ⎞ = − Δ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 1 1 2 2 m T T T T T T Δ = − + = vz(y) y z b Láminacaliente Láminafría T2 T1 T(y) 0 ydq dy ⇒ = 2 2 0 d T k dy ⇒ = FenómenosdeTransporte Tema 4 — p. 10 Balance de c.d.m.: 2 2 zd v dp g dzdy μ = + ρ Desarrollo en serie de Taylor (2 términos): ( ) ( )T T T T T T T ∂ρ ρ = ρ + − = ρ + ρβ − ∂ Admitiendo ( ) 2 2 zd vdp g g T T dz dy = −ρ ⇒ μ = −ρβ − Integrando: ( ) 2 3 , 12 z gb T y v b ρβ Δ = η − η η = μ En forma adimensional: ( )31 12 Grϕ = η − η velocidad adimensional distancia adimensional Número de Grashof 2 3 2 zbv y b gb T Gr ρ ϕ = = μ η = = ρ β Δ = = μ
FenómenosdeTransporte Tema 4 — p. 11 z xy x x v x x x v Δ+ z z v z z z v Δ+ y y v y y y v Δ+ Ecuación de energía Velocidad de Velocidad de Velocidad de acumulación entrada de energía salida de energía = - de energía cinética e interna cinética e interna cinética e interna por convección por convec ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ción Velocidad neta Velocidad neta de adición de de trabajo comunicado + - calor por por el sistema conducción a los alrededores ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭ Balance de energía: FenómenosdeTransporte Tema 4 — p. 12 Velocidad de acumulación de energía cinética e interna: 21ˆ 2 x y z U v t ∂ ⎛ ⎞ Δ Δ Δ ρ + ρ⎜ ⎟ ∂ ⎝ ⎠ Velocidad neta de entrada de energía cinética e interna por convección: 2 2 2 2 2 2 1 1ˆ ˆ 2 2 1 1ˆ ˆ 2 2 1 1ˆ ˆ 2 2 x x x x x y y y y y z z z z z y z v U v v U v x z v U v v U v x y v U v v U v +Δ +Δ +Δ ⎧ ⎫⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ Δ Δ ρ + ρ − ρ + ρ +⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎧ ⎫⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ Δ Δ ρ + ρ − ρ + ρ +⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎧ ⎫⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ Δ Δ ρ + ρ − ρ + ρ⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭ Velocidad neta de adición de calor por conducción: { } { } { }x x y y z zx x x z z zy y y y z q q y z q q x y q q+Δ +Δ+Δ Δ Δ − + Δ Δ − + Δ Δ −
FenómenosdeTransporte Tema 4 — p. 13 Velocidad neta de trabajo comunicado por el sistema a los alrededores: a. Fuerzas gravitacionales: b. Fuerzas de presión: c. Fuerzas viscosas: ( )x x y y z zx y z v g v g v g−ρΔ Δ Δ + + ( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( ){ } x xx x x y y y y y z zz z z y z pv pv x z pv pv x y pv pv +Δ +Δ +Δ Δ Δ − +Δ Δ − +Δ Δ − ( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( ){ } xx x xy y xz z xx x xy y xz z x x x yx x yy y yz z yx x yy y yz z y y y zx x zy y zz z zx x zy y zz z z z z y z v v v v v v x z v v v v v v x y v v v v v v +Δ +Δ +Δ Δ Δ τ + τ + τ − τ + τ + τ +Δ Δ τ + τ + τ − τ + τ + τ +Δ Δ τ + τ + τ − τ + τ + τ FenómenosdeTransporte Tema 4 — p. 14 SISTEMA Compresión/ Expansión ( ).p v− −∇ Disipación viscosa ( ): v− τ ∇ Energía Interna Uρ Energía Mecánica 21 2 vρ ALREDEDORES Trabajo Calor (conducción) ( ) ( ) ( ) . . . . v g pv v ρ − ∇ − ∇ τ⎡ ⎤⎣ ⎦( ).q− ∇ E. Interna ( ). vU− ∇ ρ E. Mecánica ( )( )21 2 . v v− ∇ ρ ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [1] [2] [3] [4] [5] [6] 2 21 1 2 2 ˆ ˆ. . . . . .U v v U v q v g pv v t ∂ ρ + = − ∇ ρ + − ∇ + ρ − ∇ − ∇ τ⎡ ⎤⎣ ⎦∂ 1. Velocidad de ganancia de energía por unidad de volumen, 2. entrada de energía por convección, 3. entrada de energía por conducción, 4. velocidad de trabajo comunicado al fluido por unidad de volumen debido a las fuerzas de gravitación, 5. fuerzas de presión, 6. fuerzas viscosas.
FenómenosdeTransporte Tema 4 — p. 15 Transformación a un sistema de coordenadas móvil: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )21 2 ˆ . . . . . D U v q v g pv v Dt ρ + = − ∇ + ρ − ∇ − ∇ τ⎡ ⎤⎣ ⎦ Restando la ecuación de energía mecánica se obtiene la Ecuación de energía calorífica: 1. Velocidad de ganancia de energía interna por unidad de volumen, 2. entrada de energía interna por conducción, 3. aumento reversible de energía interna debido a la compresión 4. aumento irreversible de energía interna debido a la disipación viscosa. ( ) ( ) ( ) [1] [2] [3] [4] ˆ . . : DU q p v v Dt ρ = − ∇ − ∇ − τ ∇ FenómenosdeTransporte Tema 4 — p. 16 Simplificando para el caso de fluido newtoniano y conductividad calorífica constante: ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ V VT V U U p dU dV dT p T dV C dT T TV ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂⎛ ⎞ = + = − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂∂ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ( ) ( ) ( )ˆ ˆ . . :V V DT p C q T v v Dt T ∂⎛ ⎞ ρ = − ∇ − ∇ − τ ∇⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠ ( )2ˆ .V v DT p C k T T v Dt T ρ ∂⎛ ⎞ ρ = ∇ − ∇ + μϕ⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠ La ecuación de energía en función de la temperatura Generación de energía ⎧ ⎫ + ⎨ ⎬ ⎩ ⎭
Casos particulares (a) Gas ideal. ( )2 ˆ ˆ .V V p p DT C k T p v T T Dt ∂⎛ ⎞ = ⇒ ρ = ∇ − ∇⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠ (b) Proceso a presión constante. 2ˆtan p DT p cons te C k T Dt = ⇒ ρ = ∇ Dt (c) Fluido incompresible. DT 2ˆtan . 0 p DT cons te v C k T Dt ρ = ⇒ ∇ = ⇒ ρ = ∇ (d) Sólido. rte ( ) 2ˆ0 . 0 p T v v C k T t ∂ = ⇒ ∇ = ⇒ ρ = ∇ ∂ sdeTranspoFenómenos Tema 4 — p. 17 La ecuación de energía en coordenadas rectangulares (en función de las densidades de flujo)(en función de las densidades de flujo) ˆ yx z v x y z qq qT T T T C v v v t x y z x y z ∂⎡ ⎤⎛ ⎞ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ρ + + + = − + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎣ ⎦ y yx z x z xx yy zz y y v vv v v vp T T x y z x y zρ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎧ ⎫∂ ∂ ∂ ∂∂⎛ ⎞ − + + − τ + τ + τ⎨ ⎬⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎩ ⎭ y yx x z z xy xz yz v vv v v v y x z x z y ⎧ ∂ ∂ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎪ ⎪⎛ ⎞ − τ + + τ + + τ +⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎪⎭ La ecuación de energía en coordenadas cilíndricas (en función de las densidades de flujo) 1 1ˆ ( ) z v r z r v q qT T T T C v v rq t r r z r r r z θ θ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ρ + + + = − + +⎜ ⎟ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂θ ∂ ∂ ∂θ ∂⎝ ⎠ ⎣ ⎦ rte 1 1 1 ( ) z r z r rr r zz v vv v vp T rv v T r r r z r r z θ θ θθ ρ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ∂ ⎧ ∂ ⎫∂ ∂ ∂∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ − + + − τ + τ + + τ⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂θ ∂ ∂ ∂θ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭ sdeTranspo 1 r z r r rz v v v v r r r r r θ θ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂∂ ⎛ ⎞ − τ + + τ +⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂θ ∂ ∂⎝ ⎠⎣ ⎦ 1 z z vv z r z θ θ ⎧ ⎫∂∂⎛ ⎞⎛ ⎞ + τ +⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂θ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭ Fenómenos Tema 4 — p. 18
FenómenosdeTransporte Tema 4 — p. 19 La ecuación de energía en coordenadas esféricas (en función de las densidades de flujo) ( ) ( ) 2 2 2 2 ˆ sen 1 1 1 ( ) sen sen sen 1 1 1 ( ) sen sen sen 1 1 sen v r r r r r r rr vvT T T T C v t r r r q r q q r r rr vp T r v v T r r rr vv vv v v r r r r r φθ φ θ φ θ ρ φθ θ θθ φφ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ρ + + + =⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂θ θ ∂φ⎝ ⎠ ∂⎡ ⎤∂ ∂ − + θ +⎢ ⎥ ∂ θ ∂θ θ ∂φ⎣ ⎦ ∂⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎛ ⎞ − + θ +⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂ ∂ θ ∂θ θ ∂φ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∂∂∂ ⎛ ⎞ − τ + τ + + τ + +⎜ ⎟ ∂ ∂θ θ ∂φ⎝ ⎠ cot 1 1 sen 1 1 cot sen r r r r r v vv vv v r r r r r r v v v r r r φ φθ θ θ φ φ θ θφ φ ⎧ ⎫⎛ ⎞θ⎪ ⎪ ⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭ ⎧ ∂⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎛ ⎞⎪ − τ + − + τ + −⎨ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂θ ∂ θ ∂φ⎝ ⎠⎪ ⎝ ⎠⎩ ∂ ⎫⎛ ⎞∂ θ ⎪ +τ + − ⎬⎜ ⎟ ∂θ θ ∂φ ⎪⎝ ⎠⎭ FenómenosdeTransporte Tema 4 — p. 20 La ecuación de energía en coordenadas rectangulares (en función de las propiedades de transporte, para ρ, μ y k constantes) La ecuación de energía en coordenadas cilíndricas (en función de las propiedades de transporte, para ρ, μ y k constantes) 2 2 2 2 2 2 2 22 2 22 ˆ 2 v x y z y yx z x yx z z T T T T T T T C v v v k t x y z x y z v vv v v x y z y x vv v v z x z y ⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ρ + + + = + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎧ ⎫ ⎧∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + μ + + + μ +⎨ ⎬ ⎨⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎫∂⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ⎪⎛ ⎞ + + + + ⎬⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎭ 2 2 2 2 2 2 22 2 2 1 1ˆ 1 1 2 1 v r z r z z r z r r vT T T T T T T C v v k r t r r z r r r r z v vv v v v r r z z r vv v v r r z r r θ θ θ θ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ρ + + + = + +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂θ ∂ ∂ ∂ ∂θ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎧⎧ ⎫⎡ ∂ ⎤ ∂∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + μ + + + + μ +⎨ ⎬ ⎨⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂θ ∂ ∂ ∂θ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ + + + +⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂θ ∂⎝ ⎠ 2 r ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎪ ⎬⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎪⎭
FenómenosdeTransporte Tema 4 — p. 21 La ecuación de energía en coordenadas esféricas (en función de las propiedades de transporte, para ρ, μ y k constantes) 2 2 22 2 2 2 2 22 1ˆ sen 1 1 sen 2 sen sen cot1 1 sen 1 v r r r r vvT T T T T C v k r t r r r r rr vT T rr r vv vv v r r r r r v r r r r φθ φθ θ θ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ⎡ ∂ ∂⎛ ⎞ ρ + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢∂ ∂ ∂θ θ ∂φ ∂ ∂⎝ ⎠⎣⎝ ⎠ ⎧⎤ ∂∂ ∂ ∂ ⎪⎛ ⎞⎛ ⎞ + θ + + μ ⎨⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂θ ∂θ ∂θ θ ∂φ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪⎦ ⎩ ⎫∂⎛ ⎞∂ θ⎛ ⎞ ⎪ + + + + + ⎬⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂θ θ ∂φ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎭ ∂ ⎛ ⎞ +μ +⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠ 22 2 1 sen sen 1 sen sen r r vv v r r r r v v r r φ φ θ ⎧ ⎡ ⎤⎛ ⎞⎡ ⎤∂ ∂ ∂⎪ + +⎨ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥∂θ θ ∂φ ∂⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎪⎩ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞ ∂θ ∂ ⎪ + + ⎬⎢ ⎥⎜ ⎟ ∂θ θ θ ∂φ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎪⎭ FenómenosdeTransporte Tema 4 — p. 22 1 r z T T T q k q k q k r r z θ ∂ ∂ ∂ = − = − = − ∂ ∂θ ∂ Componentes de la densidad de flujo de energía q (Ley de Fourier) Coordenadas rectangulares: Coordenadas cilíndricas: Coordenadas esféricas: x y z T T T q k q k q k x y z ∂ ∂ ∂ = − = − = − ∂ ∂ ∂ 1 1 sen r z T T T q k q k q k r r r θ ∂ ∂ ∂ = − = − = − ∂ ∂θ θ ∂φ
FenómenosdeTransporte Tema 4 — p. 23 Limitaciones a la transformación de la ecuación de movimiento: • Bajas velocidades de fluido • Pequeñas variaciones de temperatura. Ecuaciones adaptadas para procesos de convección natural Fluido en reposo (ley de la hidrostática): p ρg∇ = ( ) Desarrollo en serie de la densidad: g T Tρ = ρ − ρβ − Ec. de movimiento: . Dv p g Dt ⎡ ⎤ρ = − ∇ τ − ∇ + ρ⎣ ⎦ ( ). Dv g T T Dt ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎡ ⎤⇒ ρ = − − ∇ τ − ρβ −⎬ ⎣ ⎦ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭ FenómenosdeTransporte Tema 4 — p. 24
FenómenosdeTransporte Tema 4 — p. 25 FenómenosdeTransporte Tema 4 — p. 26
FenómenosdeTransporte Tema 4 — p. 27 κRR r ΩoEl perfil de velocidad se obtiene integrando la ecuación de movimiento: 1 0 o r z r R R r v R v v θ κ⎛ ⎞ −⎜ ⎟ κ⎝ ⎠= Ω ⎛ ⎞ − κ⎜ ⎟ κ⎝ ⎠ = = Ecuación de energía: 2 1 0 vd dT d r r r dr dr dr r θ⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ = κ + μ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ Substituyendo el perfil de velocidad... ( ) 2 4 4 2 42 41 1 0 1 o Rd dT r r dr dr r μΩ κ⎛ ⎞ = κ +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − κ Flujo tangencial en tubos concéntricos con generación de calor de origen viscoso T1 Tκ T(r) vθ(r) FenómenosdeTransporte Tema 4 — p. 28 En coordenadas adimensionales: 4 1 1 4 d d N d d ⎛ ⎞Θ ξ = −⎜ ⎟ ξ ξ ξ ξ⎝ ⎠ ( ) ( ) Brinkman 1 4 22 2 2 1 , 1 o T Tr R T T N Br R Br T T κ κ κ − ξ = Θ = − κ = − κ μΩ = = κ − Integrando: 1 22 1 lnN C CΘ = − + ξ + ξ Condiciones límite: 0 1 1 ξ = κ Θ = ξ = Θ = ( ) ( )2 2 ln 1 1 ln N N N N ⎛ ⎞ ξ⎛ ⎞ Θ = + − − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ κξ κ⎝ ⎠⎝ ⎠ 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 ξ Θ 1000 100 N N = = 3000 2000 N N = = κ 1 0.98κ =
FenómenosdeTransporte Tema 4 — p. 29 Enfriamiento por transpiración Ecuación de continuidad: ( )2 2 1 0r d r v drr ρ = Ecuación de energía: 2 2 1ˆ p r dT d dT C v k r dr dr drr ⎛ ⎞ ρ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Condiciones límite: 1 r R T T r R T T κ= κ = = = Tκ T1 T(r) CONDUCCION kR R CONVECCION / / 1 / / 1 ˆ , 4 o o o o R r R R r p oR R R R w CT T e e R T T ke e − − − κ − κ − − = = − π− Integrando: κR R constante2 4 r r w r v⇒ ρ = = π FenómenosdeTransporte Tema 4 — p. 30 Cálculo de la refrigeración mediante un balance macroscópico de energía: ( )1 ˆ r p refigerante conducción r R w C T T Q Qκ = − + =(a) A la corteza exterior: (b) A la corteza interior: ( ) ( )( ) 0 1 / 1 ˆ4 , 41o r p refigerante oR R w CkR T T Q R ke κ κ −κ π − = = π− 1 0 4 1 T T Q k R κ− = π κ − κ Para un flujo de aire igual a cero: ( ) 0 1 1 1 o o Q Q Q e R R φ − φ ε = = − − − κ φ = κ Eficacia de transpiración: 2 2 4refigerante conducción r R r R dT Q Q k R dr=κ =κ = = π κ
FenómenosdeTransporte Tema 4 — p. 31 Restricción: Propiedades físicas constantes (ρ, μ, k). Ecuaciones con dimensiones Ec. Continuidad: ( ). 0v∇ = Ec. Movimiento: ( )o (convección forzada) - g T-T (convección libre) 2 p gDv v Dt ⎧−∇ + ρ⎪ ρ = μ∇ + ⎨ ρβ⎪⎩ Ec. Energía: 2ˆ p DT C k T Dt νρ = ∇ + μφ Variables características: 1 0, , , ,oV D P T T * * * * * * * 2 1 , , , , , ,o o o p p T Tv tV x y z v p t T x y z V D T T D D DV − − = = = = = = = −ρ Ec. Continuidad: ( )* * . 0v∇ = Ec. Movimiento: * *2 * * * * 1 1Dv g v p Re Fr gDt = ∇ − ∇ + Ec. Energía: * *2 * * * 1 RePr RePr DT Br T Dt ν= ∇ + φ ( ) 2 2 1 ˆ Re , , Pr , p o CDV V V Fr Br gD k k T T μρ μ = = = = μ − Análisis dimensional de las ecuaciones de variación Ecuaciones adimensionales: Convección forzada FenómenosdeTransporte Tema 4 — p. 32 Cambio de escala: Influencia del tamaño (D) sobre el calor retirado por el refrigerante (Q) Calor retirado en el refrigerante: 0nA T Q k dA n = ∂ = − ∂∫ Variables adimensionales: * * * 2 1 , , o o T TA n A n T D T TD − = = = − Transmisión de calor por convección forzada en un tanque agitado Se mantiene: T1 (Disolución) T0 (Superficie refrigerante) Re Semejanza geométrica Q cteD ⎫ ⎪ ⎪ ⇒ =⎬ ⎪ ⎪⎭ ( ) ** * * 1 * 0 o nA T Q k T T D dA n = ∂ = − − ∂∫ * * * 0 (Re,Pr, ) n T f condiciones límite n = ∂ = ∂
FenómenosdeTransporte Tema 4 — p. 33 Ecuaciones adimensionales: Convección libre o natural Variables características: 1, , oD T T ** ** * 2 1 * * * , , , , o o T TvD t v t T T TD x y z x y z D D D −ρ μ = = = μ −ρ = = = Ec. Continuidad: ( )* ** . 0v∇ = Ec. Movimiento: ** *2 ** * ** Dv g v T Gr gDt = ∇ − Ec. Energía: * *2 * ** 1 Pr DT T Dt = ∇ ( ) Grashof 2 3 1 2 ˆ Pr , p oC g T T D Gr k μ ρ β − = = = μ FenómenosdeTransporte Tema 4 — p. 34 Calor cedido por la resistencia: r RA T Q k dA r = ∂ = − ∂∫ Variables adimensionales: * * * 2 1 , , o o T TA r A r T D T TD − = = = − ( ) * ** * * * 1 o r RA Q T dA k T T D r = ∂ = − − ∂∫ Multiplicando ambos miembros por: ( )2 3 1 2 oT T gD Gr ρ β − = μ 2 2 2 ( ) (Gr) Q gD Gr Gr k ρ β = Ψ = Φ ⇒ μ ( ) 2 2 2 1 1 2 3 2o Q gD T T gD k − ⎛ ⎞μ ρ β − = Φ ⎜ ⎟⎜ ⎟ρ β μ⎝ ⎠ La función Φ se obtiene experimentando con el modelo. Si además se utiliza el mismo fluido: ( ) ( )2 2 modelo prototipo QD QD= ⇒ ( ) ( )3 3 1 1 mod o o elo prototipo T T D T T D⎡ ⎤ ⎡ ⎤− = −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Temperatura de la superficie de una espiral de calentamiento eléctrico * * * * (Pr, , ) r R T f Gr condiciones límite r = ∂ = ∂ ( )1 ( ) o Q Gr k T T D ⎫ ⎪ ⎪ ⇒ = Ψ⎬ −⎪ ⎪⎭
FenómenosdeTransporte Tema 4 — p. 35 ( ) ( ) ( ) fuerzas de inercia fuerzas viscosas fuerzas de inercia fuerzas de gravedad fuerzas de flotación fuerzas de inercia transporte de calor 2 2 2 1 2 2 1 2 1 / Re / / Re / ˆ / PrRe / o p o o V D V D V D Fr g g T TGr V D C V T T D k T T D ρ = = μ ρ = = ρ ρβ − = = ρ ρ − = = − ( ) ( ) por convección transporte de calor por conducción producción de calor por disipación viscosa transporte de calor por conducción 2 2 1 / /o V D Br k T T D μ = = − Interpretación de los números adimensionales
FenómenosdeTransporte Tema 5 — p. 1 TEMA 5 Difusividad y mecanismos del transporte de materia Definiciones de concentraciones, velocidades y densidades de flujo de materia Ley de Fick de la difusión Determinación experimental de la difusividad Ecuaciones de predicción y correlación para los estados líquido y gaseoso Analogía entre los distintos transportes FenómenosdeTransporte Tema 5 — p. 2 Definiciones de concentraciones, velocidades y densidades de flujo de materia i masa componente i Concentración en masa: volumen de mezcla moles de i Concentración molar: volumen de mezcla masa de i Fracción másica: masa de mezcla moles de i Fracción molar: moles de i i i i i i i c M w c x c ρ = ρ = = ρ = = ρ = = mezcla Concentración Relaciones 2 1 / / / A B A A B B A A A A A B B A A A B A B A B x x x M x M M w M x w M w M dw dx w w M M M M + = + = = + = ⎛ ⎞ +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ( )2 1 / / 1/ A B A A B B A A A A A B B A B A A A A B B w w w M w M M x M w x M x M M M dx dw x M x M + = + = = + = + Masa Moles
FenómenosdeTransporte Tema 5 — p. 3 A A A C B B vB vA vA vA vC vB Velocidad media: N N i i i 1 i 1 N N i i i 1 i 1 Masa Moles * i iv cv v v c = = = = ρ = = ρ ∑ ∑ ∑ ∑ Velocidad de difusión: Masa: Moles: * i i v v v v − − Velocidad de mezclas en procesos de transferencia de materiaFenómenosdeTransporte Tema 5 — p. 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * * * * * 1 1 A A B B A A B B A A B B A A B B A A B B A A B B v v v w v w v v c v c v x v x v c v v w v v w v v v v x v v x v v = ρ + ρ = + ρ = + = + − = − + − − = − + − Relaciones entre velocidades Sistema de coordenadas Base Estacionario Masa Moles Masa i i in v= ρ ( )i i ij v v= ρ − ( )* * i i ij v v= ρ − Moles i i iN c v= ( )i i iJ c v v= − ( )* * i i iJ c v v= − ( ) ( ) * * * * * * * 0 0 A B A B A B A B A B A B n n v N N cv j j J J c v v j j v v J J + = ρ + = + = + = − + = ρ − + = Densidades de flujo
FenómenosdeTransporte Tema 5 — p. 5 * * A A A A A A A A A n M N n j v N J c v = = + ρ = + Sistema de coordenadas estacionario: ( ) * A A A A B B A A A A B A A A A B A A j n w n n M J N w N N M j J M M J J M = − + ⎛ ⎞ = − +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = = Sistema de coordenadas móvil (masa): ( ) * * * * * A A A A A B B A A A A B A A B A A A M j n x n n M J N x N N M j j M j J M ⎛ ⎞ = − +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = − + = = Sistema de coordenadas móvil (moles): Relaciones entre densidades de flujoFenómenosdeTransporte Tema 5 — p. 6 * A Ay AB dx J cD dy = − Forma vectorial: * A AB AJ cD x= − ∇ Ley de Fick de la difusión xA1 xA2 * AJ Sistema T (K) xA DAB (cm2 /s CO2 + N2O (g) Ar + O2 H2 + CH4 Etanol + Agua (l) Al + Cu (s) 273.2 293.2 298.2 298.2 293.2 0.05 0.50 0.95 0.096 0.20 0.726 1.13 10-5 0.90 10-5 2.20 10-5 1.3 10-30
FenómenosdeTransporte Tema 5 — p. 7 ( ) ( ) ( ) ( ) * * 2 2 * * A A A A B AB A A A A A B AB A A A AB A A A AB A A A A B AB A A A AB A A B AB A B A B A A B n n w n n D w N N x N N cD x j j D w J J cD x c j j M M D x J J D w cM M cD c v v c v v x x x = + − ρ ∇ = + − ∇ = −ρ ∇ = − ∇ = − ∇ ρ ρ = − ∇ − − = − ∇ Transporte Densidad Transporte = global de + de flujo difusional la fase ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎪ ⎪ ⎩ ⎭ Otras formas de la Ley de FickFenómenosdeTransporte Tema 5 — p. 8 Determinación experimental de la difusividad Difusividad de vapores en gases (celda de Stephan) ,0 ,A A ZA Az AB AB y ydc p N D D dz RT Z − = − = ,0 , 0 0 o A A A Z p z y p z Z y = ⇒ = = ⇒ = L Az A A z N A t M Δ ρ Δ = ⇒ L AB o A A RT z D Z tM p ρ Δ = Δ B A Z Difusividad en disoluciones líquidas 1 2A A A Az AB Ab dc c c N D D dz Z − = − = 2Az AN A t V cΔ = Δ ⇒ 2 1 2 1A AB A A cZV D A c c t Δ = − Δ cA1 cA2Z V
FenómenosdeTransporte Tema 5 — p. 9 Ecuaciones de predicción y correlación para los estados líquido y gaseoso Teoría cinética (simplificación adicional: autodifusión): Balance de materia: ( )* 1 1 1 1 4 4 Ay A A A Ay a y ay a y a J Z x Z x nx u nx u N N − +− + ⎛ ⎞ = − = −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Gradiente lineal de concentración: 2 3 2 3 A A Ay a y A A Ay a y dx x x dy dx x x dy − + = − λ = + λ Difusividad de gases (autodifusión) a y x λ y ax + yx y ax − ( )x y Operando: * 1 3 A Ay dx J cu dy = − λ Comparando con la ley de Fick: * 1/ 23 3 / 2 3 2 1 2 3 3AA A A K T D u m pd ⎛ ⎞ = λ = ⎜ ⎟⎜ ⎟π⎝ ⎠ * * A Ay AA dx J cD dy = − ⇒ FenómenosdeTransporte Tema 5 — p. 10 Difusividad de gases (sistemas binarios) 1/ 23 / 2 3 / 2 2 2 1 1 3 2 2 2 AB A B A B K T D m m d d p ⎛ ⎞⎛ ⎞ = +⎜ ⎟⎜ ⎟ π⎝ ⎠ +⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3 2 1 1 0.0018583 AB A B AB AB D T M M D p ⎛ ⎞ +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = σ Ω ( ) 1 2 AB A B AB A B σ = σ + σ ε = ε ε Estimación de parámetros: Teoría de Chapman-Enskog
FenómenosdeTransporte Tema 5 — p. 11 Ecuación predictiva Basada en la ley de los estados correspondientes: ( ) ( ) 1/ 2 1/ 3 5 /12 1 1 b AB cA cB cA cB cA cB A B pD T a T T p p T T M M ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎝ ⎠ +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ a b Mezclas binarias de gases no polares Mezclas H2O + gas no-polar 2,745 10-4 3,640 10-4 1,823 2,334 Difusividad de líquidos Ecuación de Wilke: ( )1/ 2 8 2 3 0.6 7.410 , / , , , /B B AB AB A A M T D D cm s T K cP V cm mol V − ψ = = = μ = = μ ψB = parámetro de asociación del disolvente (B). Valores recomendados: 2,6 para el agua, 1,9 para el metanol, 1,5 para el etanol y 1,0 para disolventes no asociados (benceno, éter, heptano,...). FenómenosdeTransporte Tema 5 — p. 12 Influencia de las variables de operación Presión Temperatura Concentración Gases ~ p-1 ~T1.5-2.0 — Líquidos — ~T1.0 ~ xA 1 Analogía entre los distintos transportes ( ) ( ) *px A yx y Ay AB d C Td u dc q J D dy dy dy ρρ τ = −ν = −α = − ( / )P d P V At dy = −ϕ P P/At P/V ϕ C.D.M. τyx ρux υ Calor qy ρCpT α Materia (mol) J*Ay cA DAB
FenómenosdeTransporte Tema 6 — p. 1 TEMA 6 Ecuaciones de variación para sistemas de varios componentes Balances de materia aplicados a una envoltura: condiciones límite: Difusión a través de una película gaseosa estancada Difusión con reacción química heterogénea Difusión con reacción química homogénea Transferencia de materia por convección forzada Ecuación de continuidad para una mezcla binaria: La ecuación de continuidad en diversos sistemas coordenados Ecuación de continuidad para sistemas de varios componentes en función de las densidades de flujo Ecuación de continuidad para sistemas de varios componentes en función de las propiedades de transporte Ejemplo: Transferencia simultánea de calor y materia FenómenosdeTransporte Tema 6 — p. 2 Ley de Newton Perfil de velocidad Integración Balance de C.D.M. Volumen de control Integración Densidad de flujo de C.D.M. Estudio del transporte de C.D.M. Ley de Fick Perfil de Concentración Integración Balance de Materia Volumen de control Integración Densidad de flujo de Materia Estudio de la transferencia de materia
FenómenosdeTransporte Tema 6 — p. 3 Balances de materia aplicados a una envoltura: condiciones límite velocidad de velocidad de velocidad de entrada de salida de producción de materia de A materia de A materia de A 0 ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ − + =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ Balance de materia en régimen estacionario ( )A Az AB A Az Bz x N cD x N N z ∂ = − + + ∂ Ley de Fick • Concentración conocida: xA= xAo • Densidad de flujo conocida: NA= NAo • Transporte de interfase sólido-fluido: NAz= kc(cA-cAo) Condiciones límite habituales FenómenosdeTransporte Tema 6 — p. 4 Difusión a través de una película gaseosa estancada Ley de Fick: 0 1 AB A Bz Az A cD x N N x z ∂ = ⇒ = − − ∂ Balance de materia: 0Az Azz z z SN SN +Δ − = ⇒ 0AzdN dz = Condiciones límite: 1 1 2 2 o A A A T A A P z z x x P z z x x = ⇒ = = = ⇒ = Perfil de concentración: 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 z z z z A A A A x x x x ⎛ ⎞− ⎜ ⎟ −⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Densidad de flujo: 2 2 1 1 lnAB B Az B cD x N z z x = −
FenómenosdeTransporte Tema 6 — p. 5 Difusión con reacción química heterogénea Reacción catalítica instantánea 22A A→ Ley de Fick: 2 2 1 2 1 2 AA A A z Az Az A cD dx N N N x dz = − ⇒ = − − Balance de materia: 0 0Az Az Azz z z dN SN SN dz+Δ − = ⇒ = FenómenosdeTransporte Tema 6 — p. 6 Condiciones límite: 0 0 A Ao A z x x z x = ⇒ = = δ ⇒ = Perfil de concentración: 1 1 1 2 2 z AoA xx − δ⎛ ⎞⎛ ⎞ − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Densidad de flujo: 2 2 1 ln 1 2 AA Az Ao cD N x = δ −
FenómenosdeTransporte Tema 6 — p. 7 Difusión con reacción química homogénea Reacción homogénea, con cinética de primer orden: 1, A AA B AB r k c+ → = − Balance de materia: 1 10 0Az Az Az A Az z z dN SN SN k c S z k c dz+Δ − − Δ = ⇒ + = Ley de Fick para componente A diluido (xA 0): A Az AB dc N D dz = − FenómenosdeTransporte Tema 6 — p. 8 Condiciones límite: 0 0 A Ao A z c c dc z L dz = ⇒ = = ⇒ = Perfil de concentración: 21 1 1 1 cosh 1 , cosh A Ao AB z b c k LL b c b D ⎡ ⎤ −⎢ ⎥⎣ ⎦= = Densidad de flujo en la superficie de nivel: 1 10 tanhAo AB Az z c D N b b L= =
FenómenosdeTransporte Tema 6 — p. 9 Transferencia de materia por convección forzada Integrando las ecuaciones de continuidad y movimiento: 2 ,( ) 1z z máx x v x v ⎡ ⎤⎛ ⎞ = −⎢ ⎥⎜ ⎟ δ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ Balance de materia: 0 Az Az Axz z z x Ax x x W x N W x N W z N W z N +Δ +Δ Δ − Δ + Δ − Δ = En el límite: 0Az AxN N z x ∂ ∂ + = ∂ ∂ FenómenosdeTransporte Tema 6 — p. 10 Ley de Fick: ( ) ( ) ( ) ( ) A Az AB A Az Bz A Az Bz A z A A Ax AB A Ax Bx AB dc N D x N N x N N c v x dz dc dc N D x N N D dx dx = − + + ≈ + ≈ = − + + ≈ − Substituyendo: 2 2 , 2 1 A A z máx AB c cx v D z x ⎡ ⎤ ∂ ∂⎛ ⎞ − =⎢ ⎥⎜ ⎟ δ ∂ ∂⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ Condiciones límite: 0 0 0 0 A A Ao A z c x c c c x x = ⇒ = = ⇒ = ∂ = δ ⇒ = ∂ La solución: , 4 A Ao AB z máx c x erfc c D z v =
FenómenosdeTransporte Tema 6 — p. 11 Ecuación de continuidad para una mezcla binaria z xy Ax x n Ax x x n + Δ Az z n Az z z n + Δ Ay y n Ay y y n + Δ velocidad de velocidad de velocidad de velocidad de acumulación de entrada de salida de producción de masa de A masa de A masa de A masa de A ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = − +⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ Ax x Ax x x x y z t n y z n y z+Δ ∂ρ Δ Δ Δ ∂ Δ Δ + Δ Δ Δ A Velocidad de acumulación: Velocidad de entrada (cara x): Velocidad de salida (cara x x): AyA Ax Az A nn n r t x y z ∂⎛ ⎞∂ρ ∂ ∂ + + + =⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ Notación vectorial: A A An r t ∂ρ + ∇ = ∂ FenómenosdeTransporte Tema 6 — p. 12 Análogamente para el componente B: B B Bn r t ∂ρ + ∇ = ∂ Sumando las dos ecuaciones: 0 A B A B A B n n n v r r ρ + ρ = ρ ⎫ ⎪ + = = ρ ⇒⎬ ⎪+ = ⎭ . 0v t ∂ρ + ∇ ρ = ∂ ... que es la ecuación de continuidad para un fluido puro. Si el fluido es incompresible: constante . 0vρ = ⇒ ∇ = Para la densidad de flujo molar (desarrollo análogo): .A A A c N R t ∂ + ∇ = ∂ Sumando las ecuaciones para los dos componentes: * A B A B c c c N N N cv + = ⎫⎪ ⇒⎬ + = = ⎪⎭ ( )* . A B c cv R R t ∂ + ∇ = + ∂ Para concentración global constante: constante * . A BR R c v c + = ⇒ ∇ =
FenómenosdeTransporte Tema 6 — p. 13 Para el cálculo de perfiles de concentración hay que introducir la ley de Fick: Simplificaciones habituales (a) Densidad y difusividad constantes (disoluciones diluidas,T constante). constante .v 0 2 .A A A AB A Av v D r t ∂ρ ⎫ + ρ ∇ + ∇ρ = ∇ ρ + ⎪ ∂ ⇒⎬ ⎪ρ = ⇒ ∇ = ⎭ * . . . . A A AB A A A A AB A A v D w r t c c v cD x R t ∂ρ + ∇ ρ = ∇ ρ ∇ + ∂ ∂ + ∇ = ∇ ∇ + ∂ 2 .A A AB A A c v c D c R t ∂ ⇒ + ∇ = ∇ + ∂ , dividiendo por la masa molecular de A ... FenómenosdeTransporte Tema 6 — p. 14 (c) ..si además la velocidad molar media es nula y no hay reacción, (sólidos o líquidos estacionarios, y gases con interdifusión equimolar) "Segunda ley de Fick"2A AB A c D c t ∂ = ∇ ∂ constante * * 2 * . . A A A AB A A A B c c v v c D c R t R R c v c ∂ ⎫ + ∇ + ∇ = ∇ + ⎪⎪∂ ⇒⎬ + ⎪= ⇒ ∇ = ⎪⎭ (b) Concentración total y difusividad constantes (gases a baja densidad, T y P ctes.) ( )* 2 .A A A AB A A A B c c v c D c R R R t c ∂ ⇒ + ∇ = ∇ + − + ∂
FenómenosdeTransporte Tema 6 — p. 15 Rectangulares: AyA Ax Az A Nc N N R t x y z ∂⎛ ⎞∂ ∂ ∂ + + + =⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ Cilíndricas: ( ) 1 1 AA Az Ar A Nc N rN R t r r r z θ∂∂ ∂∂⎛ ⎞ + + + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂θ ∂⎝ ⎠ Esféricas: ( ) ( )2 2 1 1 1 AA Ar A A Nc r N N sen R t r r sen r senr φ θ ∂⎛ ⎞∂ ∂ ∂ + + θ + =⎜ ⎟ ∂ ∂ θ ∂θ θ ∂φ⎝ ⎠ Rectangulares: 2 2 2 2 2 2 A A A A A A A x y z AB A c c c c c c c v v v D R t x y z x y z ⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + + = + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Cilíndricas: 1A A A A r z c c c c v v v t r r z θ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ + + + =⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂θ ∂⎝ ⎠ 2 2 2 2 2 1 1A A A AB A c c c D r R r r r r z ⎛ ⎞∂ ∂ ∂∂ ⎛ ⎞ = + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂θ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ Esféricas: 1 1A A A A r c c c c v v v t r r r sen θ φ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ + + + =⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂θ θ ∂φ⎝ ⎠ 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1A A A AB A c c c D r sen R r rr r sen r sen ⎛ ⎞∂ ∂ ∂∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + θ + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂θ ∂θθ θ ∂φ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ La ecuación de continuidad en diversos sistemas coordenados La ecuación de continuidad de A para ρ y DAB constantes FenómenosdeTransporte Tema 6 — p. 16 Ecuación de continuidad: ( ) ( ). . 1,2,...,i i i i D v j r i n Dt ρ = −ρ ∇ − ∇ + = Sumando para todos los componentes: ( ). 0v t ∂ρ + ∇ ρ = ∂ Ecuación de movimiento: Ecuación de energía: 1 . n i i i Dv g P Dt = ⎡ ⎤ρ = − ∇ π + ρ π = τ + δ⎣ ⎦ ∑ ( ) [ ]( ) ( )2 1 1ˆ . . . . 2 n i i i D U v q v n g Dt = ⎧ ⎫ ρ + = − ∇ − ∇ π +⎨ ⎬ ⎩ ⎭ ∑ Otras ecuaciones necesarias para describir el sistema: • Ecuación de estado: p = p(ρ,T,xi) • Ecuación térmica de estado: Û =Û(ρ,T,xi) • Expresiones para las densidades de flujo: ji, π, q • Propiedades de transporte: µ, k, DAB = f(P,T,xi) • Cinéticas de las reacciones: ri • Campos de fuerzas: gi Ecuación de continuidad para sistemas de varios componentes en función de las densidades de flujo
FenómenosdeTransporte Tema 6 — p. 17 Densidades de flujo en un sistema de coordenadas estacionario (Transporte convectivo + molecular) i c.d.m.: vv Energía: Materia: n 21ˆ . 2 1,2,...,i i e U v v q v w v j i n φ = ρ + π ⎧ ⎫ = ρ + + + π⎡ ⎤⎨ ⎬ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭ = ρ + = Las ecuaciones de variación correspondientes ... ( ) ( ) ( ) Movimiento: Energía: t Continuidad: 1 2 1 . 1ˆ . . 2 . 1,2,..., n i i i n i i i i i i v g t U v e n g n r i n t = = ∂ ⎡ ⎤ρ = − ∇ φ + ρ⎣ ⎦∂ ∂ ⎧ ⎫ ρ + = − ∇ +⎨ ⎬ ∂ ⎩ ⎭ ∂ ρ = − ∇ + = ∂ ∑ ∑ FenómenosdeTransporte Tema 6 — p. 18 ACOPLAMIENTO Diferencia de órdenes: 0,2 DENSIDAD DE FLUJO FUERZA IMPLUSORA i q j τ { } , ,i i v T x P g ∇ ⎡ ⎤∇⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤∇ ∇ ≠⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Ecuación de continuidad para sistemas de varios componentes en función de las propiedades de transporte
FenómenosdeTransporte Tema 6 — p. 19 Densidades de flujo c.d.m. (newtonianos): ( ) ( )( )2 3 . t v v v⎛ ⎞τ = −μ ∇ + ∇ + μ − κ ∇ δ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Energía: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 n c d x x i i i q q q q k T H J q = = + + = − ∇ + +∑ En un sistema de coordenadas estacionario: { }( ) ( ) ( ) 21 2 ˆ.c d x e q q q v U v v= + + + π + ρ +⎡ ⎤⎣ ⎦ { }Despreciando ( ) 21 2 , . :x q v v vτ + ρ⎡ ⎤⎣ ⎦ 1 n i i i e k T N H = = − ∇ + ∑ FenómenosdeTransporte Tema 6 — p. 20 Materia: ( )( ) ( ) ( ) 2 ( ) , ,1 1 , 2 ( ) 1 2 ( ) 1 1 s gx P T i i i i i n n jx i j ij j ki k T p xj k s j kk j n jP i j ij j ji jj n g k i j ij j j j ki k j j j j j Gc j M M D x x RT x Vc j M M D x M P RT M c j M M D x M g g RT = = ≠≠ = = = + + + ⎡ ⎤ ⎛ ⎞∂⎢ ⎥ = ∇⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ρ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤⎛ ⎞ = − ∇⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ρ ρ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎛ ρ = − −⎜ ρ ρ⎝ ∑ ∑ ∑ ∑1 ( ) ln n j T T iij D T = ⎡ ⎤⎞ ⎢ ⎥⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎠⎣ ⎦ = − ∇ ∑
FenómenosdeTransporte Tema 6 — p. 21 En un sistema binario ... 2 2 , A A B A B AB A A A A T P Gc j j M M D x x RT x M ⎡⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ⎢= − = − ∇ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ρ ∂⎢⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎣ ( ) 1 lnTB A A B A A V g g P D T M ⎤⎛ ⎞ρ − − + − ∇ − ∇⎥⎜ ⎟ ρ ρ⎝ ⎠ ⎦ ( ) 2, ln , T A A A TT P ABA B D dG RT d a k Dc M M ρ = = 2 , ln ln A A B A B AB A A T P ac j j M M D x x ⎡⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ⎢= − = − ∇ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ρ ∂⎢⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎣ ( ) 1 lnA B A A A A A B T A M x M x V g g P k T RT RT M ⎤⎛ ⎞ρ − − + − ∇ − ∇⎥⎜ ⎟ ρ ρ⎝ ⎠ ⎦ FenómenosdeTransporte Tema 6 — p. 22 Ejemplo: Transferencia simultánea de calor y materia Ecuación de continuidad: 0AzdN dz = Perfil de concentración (Ley de Fick): 1 AB A Az A cD dx N x dz = − ⇒ − Densidad de flujo: 1 ln 1 AAB Az Ao xcD N x δ⎛ ⎞− = ⎜ ⎟ δ −⎝ ⎠ / 11 1 1 z AA Ao Ao xx x x δ δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞−− ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ VAPOR A + INERTE SUPERFICIEFRIA CONDENSADO Tδ zT 0T Ax δ Azx 0Ax 0z = z = δ z
FenómenosdeTransporte Tema 6 — p. 23 Ecuación de energía: 0zde dz = Densidad de flujo de energía: ( ) ( )0z A Az B Bz Az pA dT dT e k H N H N k N C T T dz dz = − + + = − + − Integrando: 0 0 1 exp 1 exp Az pA Az pA N C z kT T T T N C k δ ⎡ ⎤ − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎣ ⎦= − ⎡ ⎤ − δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ El perfil de concentración en función de la densidad de flujo: 1 exp 1 exp Az ABA Ao A Ao Az AB N z cDx x x x N cD δ ⎡ ⎤ − ⎢ ⎥ − ⎣ ⎦= − ⎡ ⎤ − δ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
FenómenosdeTransporte Tema 7 — p. 1 TEMA 7 Transporte en flujo turbulento Flujo turbulento. Transporte turbulento de c.d.m. Ecuaciones de variación de tiempo ajustado. Distribución de velocidad en flujo turbulento. Transporte turbulento de energía. Transporte turbulento de materia. FenómenosdeTransporte Tema 7 — p. 2 Flujo turbulento Velocidad instantánea: ( ), , ,z zv v t x y z= Velocidad de tiempo ajustado: ( ) 0 1 , , , o z z t t z t v v dt v t x y z t + = =∫ Componente fluctuante: ' zz zv v v= − 0 ' ' 0 t t z z t v v dt + = =∫ VELOCIDAD t zv zv 'zv 'zv
FenómenosdeTransporte Tema 7 — p. 3 Intensidad de la turbulencia ( )2 2 21 3 ' ' 'x y zv v v I v + + = Turbulencia isotrópica: 2 2 2 2 ' ' ' ' x x y z v v v v I v = = ⇒ = ( ) ' ' 1 2 '2 '2 1 2 x x x x v v R y v v = R(y) 1 0 y Tamaño de los remolinos Escala de turbulencia: 0 ( )yL R y dy ∞ = ∫ FenómenosdeTransporte Tema 7 — p. 4 z y )(yvx xv yv' x A ( ) ' 'x y x y xt yx x x m v v Av A A v v v ρ ⎫ τ = = ⎪ ⇒⎬ ⎪= + ⎭ Ajustando en el tiempo: ( ) ( ) ' ' ' ' ' ' x x t yx y y x y y x v v v v v v v v ⎛ ⎞ τ = ρ +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = ρ + ( ) ' ' t yx y xv vτ = ρ Turbulencia isotrópica: ( ) 0 t yxτ = Transporte turbulento de c.d.m. ( )( ) ' ' 'x t yx y y xv v v v⇒ τ = ρ + Balance de c.d.m. en el plano A:
FenómenosdeTransporte Tema 7 — p. 5 Restringidas al flujo de fluidos incompresibles. Proceso de transformación a partir de las ecuaciones de variación: 2. Ajustar la ecuación en el tiempo. ' 'x x xv v v P P P= + = + Ecuación de continuidad: 0 yx z vv v x y z ∂∂ ∂ + + = ∂ ∂ ∂ Ecuación de movimiento: ' '' ' ' ' x yx x x x z y yx x z z yxxx zx x v vv v v v vP t x x y z v vv v v v x y z g x y z ⎛ ⎞∂ρ∂ρ ∂ρ ∂ρ∂ = − − + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎛ ⎞∂ρ∂ρ ∂ρ ⎜ ⎟− + + − ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ∂τ⎛ ⎞∂τ ∂τ − + + + ρ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ Ecuaciones de variación de tiempo ajustado 1.Sustituir valores instantáneos por promedio mas fluctuante: FenómenosdeTransporte Tema 7 — p. 6 ( ) Modelos bibliográficos para el cálculo de t yxτ Teoría de la difusividad turbulenta de Boussinesq: ( ) ( )t xt yx dv dy τ = −μ Teoría de la longitud de mezcla de Prandtl: ( ) 2 x x t yx dv dv l dy dy τ = −ρ Fórmula empírica de Deissler: 2 ( ) 2 1 exp x x x t yx n v y dv n v y dy ⎛ ⎞⎡ ⎤ρ τ = −ρ − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟μ⎣ ⎦⎝ ⎠
FenómenosdeTransporte Tema 7 — p. 7 Distribución de velocidad en flujo turbulento Lejos de la pared 0 0 1 rzL d L r dr τ℘ −℘ = − ( )0 0 0 1 2 rz rz r L o R r s L R R s R r = ⎫τ = ⎪ ℘ −℘⎪ ⎛ ⎞ ⇒ τ = = τ −⎬ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎪= − ⎪⎭ Integrando: rz oτ = τAproximación (?): ( ) ( )( ) rz t tl rz rzrzτ = τ + τ ≈ τLejos de la pared: ( ) 2 2 1 rzt rz dv K s ds ⎛ ⎞ τ = ρ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Modelo de Prandtl (l=K1s): * * 1 1 1 ,z odv v v ds K s τ = = ρ Reorganizando: Ecuación de movimiento: 1 * 1 1 1 1 ln ,z z s v v v s s K s − = ≥Integrando entre s1 y s: FenómenosdeTransporte Tema 7 — p. 8 * * / / z v v v s sv + + ⎫= ⎪ ⇒⎬ ⎪ = ρ μ⎭ En forma adimensional: 1 1 1 1 ln s v v K s + + + + = + Valores experimentales (Re>20.000): 1 3.8 ln 0.36 v s+ + = + Cerca de la pared Fórmula de Deissler: 2 ( ) 2 1 exp x x x t yx n v y dv n v y dy ⎛ ⎞⎡ ⎤ρ τ = −ρ − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟μ⎣ ⎦⎝ ⎠ Aproximación: 1 1 s s R R ⎛ ⎞ << ⇒ − ≈⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Perfil adimensional: { }( )2 20 , 0 26 1 1 exp s ds v s n v s n v s + + + + + + + = ≤ ≤ + − − ∫ Simplificación (s+ 0): , 0 5v s s+ + + = ≤ ≤
FenómenosdeTransporte Tema 7 — p. 9 LAMINAR TURBULENTO 2 , 1z z máx r v v R ⎛ ⎞⎛ ⎞ = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ 1/ 7 , 1z z máx r v v R ⎛ ⎞ = −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , 1 2 z z máxv v= , 4 5 z z máxv v= ( )0 ~L Q℘ −℘ ( ) 7 / 4 0 ~L Q℘ −℘ LAMINAR TURBULENTO FenómenosdeTransporte Tema 7 — p. 10 Transporte turbulento de energía Temperatura ajustada en el tiempo: ot t t o Tdt T t + = ∫ Componente fluctuante de la temperatura: TTT −=' Temperatura instantánea: T Definiciones ˆEcuación de energía ajustada en el tiempo( , , , constantes)pC kρ μ
FenómenosdeTransporte Tema 7 — p. 11 Forma vectorial: ( ) ( ) ( )( ) ( )ˆ . . t tl l vp v DT C q q Dt ⎛ ⎞ρ = − ∇ − ∇ + μΦ + μΦ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Nuevos términos: 1) Densidad de flujo turbulento de energía ( ) ( ) ( ) ˆ ' ' ˆ ' ' ˆ ' ' t p xx t p yx t p zx q C v T q C v T q C v T = ρ = ρ = ρ 2) Función de disipación turbulenta de energía 3 3 ( ) 1 1 '' ' 't ji i i v j j j ij j vv v v x x x x= = ⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂ ⎜ ⎟Φ = + ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ∑∑ FenómenosdeTransporte Tema 7 — p. 12 ( ) Modelos bibliográficos para el cálculo de t yq Conductividad calorífica de remolino: ( ) ( )t t y dT q k dy = − Teoría de la longitud de mezcla de Prandtl: ( ) 2ˆ x t py dv dT q C l dy dy = −ρ Fórmula empírica de Deissler: 2 ( ) 2ˆ 1 exp x x t py n v y dT q C n v y dy ⎛ ⎞⎡ ⎤ρ = −ρ − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟μ⎣ ⎦⎝ ⎠
FenómenosdeTransporte Tema 7 — p. 13 Transporte turbulento de materia Definiciones Concentración ajustada en el tiempo: o A t t A t o c dt c t + = ∫ Fluctuación de concentración : ' AA Ac c c= − Concentración instantánea: Ac Ecuación de continuidad para una reacción con cinética de orden n 2 2 2 2 2 2 A x A y A z A nA A A AB n A c c c c v c v c v c D k c t x y z x y z ∂ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ = − + + + + + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Ajustando en el tiempo: ' ' ' ' ' 'A x y zA A A x A y A z A c v c v c v c v c v c v c t x y z x y z ∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = − + + − − + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ( ) 2 2 2 1 22 2 2 2 2 ( 1) ' ( 2) A A A A AB A A k c n c c c D x y z k c c n ⎧ =⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ⎪ + + + −⎜ ⎟ ⎨⎜ ⎟∂ ∂ ∂ + =⎪⎝ ⎠ ⎩ FenómenosdeTransporte Tema 7 — p. 14 Nuevos términos: 1) Densidad de flujo turbulento de materia: ( ) ( ) ( ) ' ' ' ' ' ' t x x A t y y A t z z A J v c J v c J v c = = = 2) Término de reacción (n≠1) Forma vectorial: ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 ( 1) . . ' ( 2) A A A l t A A A k c nDc J J Dt k c c n ⎧ =⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪ − ∇ − ∇ − ⎨⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ + =⎪ ⎩
FenómenosdeTransporte Tema 7 — p. 15 ( ) Modelos bibliográficos para el cálculo de t AyJ Difusividad de remolino: ( ) ( ) A t t Ay AB dc J D dy = − Teoría de la longitud de mezcla de Prandtl y Taylor: ( ) 2 x A t Ay dcdv J l dy dy = − Fórmula empírica de Deissler (próximo a la pared): 2 ( ) 2 1 exp x A x t Ay dcn v y J n v y dy ⎛ ⎞⎡ ⎤ρ = − − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟μ⎣ ⎦⎝ ⎠
FenómenosdeTransporte Tema 8 — p. 1 TEMA 8 Factor de fricción y balance macroscópico de cantidad de movimiento Balance macroscópico de materia. Balance macroscópico de cantidad de movimiento. Transporte de c.d.m.: Factor de fricción. Transporte de c.d.m.: Flujo en conducciones. Transporte de c.d.m.: Flujo alrededor de cuerpos sumergidos. Balance macroscópico de energía mecánica: Ecuación de Bernouilli. FenómenosdeTransporte Tema 8 — p. 2 Balance macroscópico de materia Métodos de calculo alternativos para la obtención de los balances macroscópicos: • Integración de la ecuación de variación (balance microscópico). • Planteamiento en un volumen de control macroscópico. Balance de materia al sistema: 1 2 1 1 1 2 2 2 totdm w w v S v S dt = − = ρ − ρ En estado estacionario: 1 2w w=
FenómenosdeTransporte Tema 8 — p. 3 Balance macroscópico de cantidad de movimiento ( ) ( ) [1] [2] [3] [4] [5] 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 TOT tot dCDM v S v S P S P S F m g dt = ρ − ρ + − − + [1] La cdm total: V CDM vdV= ρ∫ [2] Flujo neto de entrada de cdm por los planos S1 y S2 (despreciando τ). [3] Fuerza de presión. [4] Fuerza ejercida por el fluido sobre las paredes del sistema (presión + fricción). [5] Fuerza de gravedad. 2 TOT tot vdCDM w PS F m g dt v ⎛ ⎞ ⎜ ⎟= −Δ + − + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ En función de los flujos másicos: Laminar: Turbulento: 2 2 4 3 v v v v v v = = El cálculo del factor <v2>/<v> se realiza a partir del perfil de velocidad: 2 tot v F w PS m g v ⎛ ⎞ ⎜ ⎟= −Δ + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ En régimen estacionario: FenómenosdeTransporte Tema 8 — p. 4 Ejemplo: Aumento de presión en un ensanchamiento brusco Problema: • Fluido incompresible • Flujo turbulento. • Régimen estacionario. 1 2 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 1 w w v S v S v S v S = ⇒ ρ = ρ ⇒ = = β Balance de materia: Balance de c.d.m.: 2 tot v F w PS m g v ⎛ ⎞ ⎜ ⎟= −Δ + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Fuerza ejercida por el fluido sobre las paredes: F = -P1(S2 – S1) • Despreciando la contribución de fricción superficial (sólo presión). • Presión en el ensanchamiento igual a la de entrada (vena contracta). Operando: 2 2 1 2 1 1P P v ⎛ ⎞ − = ρ −⎜ ⎟ β⎝ ⎠ 1 1 2 2 1 1 2 2F w v w v P S P S= − + −
FenómenosdeTransporte Tema 8 — p. 5 Transporte de c.d.m.: Factor de fricción Ecuaciones de variación: • Mucha información • Mucha complejidad Método Alternativo: Transporte De Interfase “En la mayor parte de los procesos de interés en ingeniería química la resistencia a los procesos de transporte se encuentra en una delgada capa junto a la interfase sólido— fluido” Problemas característicos en el flujo de fluidos: 1. Flujo en conducciones: PQ Δ~ 2. Flujo alrededor de cuerpos sumergidos: ∞uFR ~ Características: • Menos complejo • Menos información • Mas experimentación FenómenosdeTransporte Tema 8 — p. 6 Factor de fricción kF fAK= Fk: Fuerza de rozamiento f: factor de fricción, A: superficie, K: energía cinética / volumen. 1) Flujo en conducciones FK FPRESIONFPESO ( )( )21 2 2kF f RL v= π ρ Balance de fuerzas: ( ) ( ) ( )2 2 0 0k L o L LF P P g h h R R⎡ ⎤= − + ρ − π = ℘ −℘ π⎣ ⎦ Resolviendo...: 0 21 2 1 4 LD f L v ℘ −℘ = ρ “Factor de fricción de Fanning”
FenómenosdeTransporte Tema 8 — p. 7 FPESO FkFFLOTACION 2) Flujo alrededor de cuerpos sumergidos ( )( )2 21 2kF f R u∞= π ρ Balance de fuerzas: ( )34 3 k esfF R g= π ρ − ρ Resolviendo... 2 4 3 esfgD f u∞ ρ − ρ = ρ Coeficiente de resistencia (cD). Correlación de valores experimentales de coeficientes de fricción: Análisis dimensional FenómenosdeTransporte Tema 8 — p. 8 Transporte de c.d.m.: Flujo en conducciones ( )( ) 2 21 20 0 2 L k rz r R F Rd dz f RL v π = = τ θ = π ρ∫ ∫ ( )( ) 2 0 0 21 2 2 L z r R v Rd dz r f RL v π = ∂ −μ θ ∂ = π ρ ∫ ∫ Variables adimensionales: ( ) * * */ 22* * 0 *0 0 1/ 2 / 1 1 / Re Re / L D z r r r D vD P P P v f d dz L r D v π = ⎫= ⎪ ∂⎪ = − ρ ⇒ = − θ⎬ π ∂⎪ = ρ μ ⎪⎭ ∫ ∫ Problema • Tubería lisa horizontal • Flujo estacionario • Propiedades constantes (ρ, µ) Fuerza de rozamiento sobre la pared
FenómenosdeTransporte Tema 8 — p. 9 Resolución del gradiente de velocidad en la pared: ( )* * * * , ,Reconocidav v r z= • Ecuación adimensional de movimiento: ( ) * * * * * * * * 1/2 0 0 , 0 0 conocida r v z v v r z P = = = = θ = = • Condiciones límite: Substituyendo: ( )Re, /f f L D= ( )* * zv v L≠ ⇒En perfiles desarrollados: ( )Ref f= FenómenosdeTransporte Tema 8 — p. 10 Transporte de c.d.m.: Flujo alrededor de cuerpos sumergidos FLUJO θ Ftz Fnz tF nF sF Fsz ( )forma superficie, ,K K K nz sz tzF F F F F F= + = − + { } 2 2 0 0 cos sennz r R F P R d d π π = = − θ θ θ φ∫ ∫ ( ){ } 2 2 0 0 0 cos sensz r R F P gz R d d π π = = − − ρ θ θ θ φ∫ ∫ { } 2 2 0 0 sen sentz r r R F R d d π π θ = = − τ θ θ θ φ∫ ∫ 2 2 0 0 1 sen senr r R v v r R d d r r r π π θ = ⎧ ⎫⎡ ⎤∂∂ ⎛ ⎞⎪ ⎪ = −μ + θ θ θ φ⎨ ⎬⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂θ⎝ ⎠⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭ ∫ ∫ Fuerza de rozamiento sobre la superficie Componentes:
FenómenosdeTransporte Tema 8 — p. 11 Procedimiento: 1. Expresar en función de variables adimensionales: * ** *0 2 r r P P gz v v r v v r v v Rv θ θ ∞ ∞∞ − + ρ ℘ = = = = ρ 2. Ecuación adimensional de movimiento. 3. Condiciones límite: * * * * * * * 1 0 1 0 r z r v v r v r θ= = = = ∞ = = ∞ ℘ = Substituyendo: ( )Ref f= FenómenosdeTransporte Tema 8 — p. 12 Balance macroscópico de energía mecánica: Ecuación de Bernouilli ( ) [1] [2] [3] [4] 3 1 ˆˆ 2 tot tot tot v vd K A G w W E dt v ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎢ ⎥⎜ ⎟+ Φ + = −Δ + Φ + − − ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎣ ⎦ [1] Energía mecánica total (cinética + potencial + energía libre de Helmholtz). [2] Flujo neto de entrada de energía mecánica por los planos S1 y S2 (Gˆ : energía libre de Gibbs específica). [3] Velocidad de trabajo mecánico SISTEMA → ALREDEDORES. [4] Pérdida de energía por fricción. • Régimen estacionario. • Proceso isotérmico: 2 1 ˆ P P dP GΔ = ρ∫ 2 1 3 1 ˆ ˆˆ 0 2 P v P v dP W E v Δ + ΔΦ + + + = ρ∫ “Ecuación de Bernouilli” Simplificaciones
FenómenosdeTransporte Tema 8 — p. 13 • Factor alfa: Turbulento: 1 Laminar: 1/2 3 3 2 3 v v v v v α =⎧ = α ⇒ α = ⎨ α =⎩ • Gravedad constante: g hΔΦ = Δ • Fluidos incompresibles: 2 1 P P dP PΔ = ρ ρ∫ 21 ˆ ˆ 0 2 v P v gh W E ⎛ ⎞ Δ α + + − + =⎜ ⎟ ρ⎝ ⎠ Para gases ideales: dP Isotérmico: dP Adiabático: 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 ln 1 1 P P P P PRT M P P P P γ− γ = ρ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞γ ⎢ ⎥ = −⎜ ⎟⎢ ⎥ρ ρ γ − ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫ ∫ Modificaciones habituales FenómenosdeTransporte Tema 8 — p. 14 Balance de energía mecánica: ( ) ( )2 2 2 1 2 1 1 1 ˆ 0 2 vv v P P E− + − + = ρ 2 2 2 1 1ˆ 1 2 vE v ⎛ ⎞ = −⎜ ⎟ β⎝ ⎠ Operando: ˆTérmino problemático: Evaluación de vE Ejemplo: Perdidas por fricción en un ensanchamiento brusco
FenómenosdeTransporte Tema 8 — p. 15 ˆPérdidas de energía por fricción ( )vE 1. Sistemas sencillos. por integración de la ecuación de movimiento ( )ˆ :v V E v dV= − τ ∇∫ 2. Fricción de superficie • Transporte de interfase: coeficientes de rozamiento. • Tubos (vertical descendente): ( ) ( ) v v Balance de cdm: E Balance de energía: E 1 2 2 2 1 2 1 1ˆ2 2 2 ˆ F P P S SL g L f RL v v f R P P gL ⎫ ⎪= − + ρ ⎪ ⎪ = π ⇒ =⎬ ⎪ − ⎪ = + ⎪ρ ⎭ FenómenosdeTransporte Tema 8 — p. 16 3. Fricción de forma • Factor de pérdidas por fricción (análisis dimensional): 21ˆ 2 v vE v e= • Longitud equivalente.
FenómenosdeTransporte Tema 9 — p. 1 TEMA 9 Coeficiente de transmisión de calor y balance macroscópico de energía Balance macroscópico de energía. Transporte de energía: Coeficiente de transmisión de calor. Correlación de valores experimentales. Ordenes de magnitud. Ecuaciones de correlación. Coeficiente global de transmisión de calor. FenómenosdeTransporte Tema 9 — p. 2 Balance macroscópico de energía velocidad de velocidad neta de velocidad neta de acumulación de entrada de adición de calor al energía interna, energía interna, sistema d cinética y potencial cinética y potencial ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = +⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭ velocidad neta de trabajo producido por esde los el sistema sobre los alrededores alrededores ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ −⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 3 31 1 1 1 1 2 2 22 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ tot tot tot d U K v U S v U S dt v S v S v S v S Q W P v S P v S + + Φ = ρ − ρ + ρ − ρ +ρ Φ − ρ Φ + − + − De forma más compacta: ( )tot tot tot totE U K= + + Φ 3 1ˆ ˆ ˆ 2 tot vdE U PV w Q W dt v ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎢ ⎥⎜ ⎟= −Δ + + + Φ + − ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎣ ⎦
FenómenosdeTransporte Tema 9 — p. 3 En régimen estacionario (w1 = w2): 3 1 ˆˆ ˆ ˆˆ 2 v U PV Q W v ⎛ ⎞ ⎜ ⎟Δ + + + Φ = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Simplificaciones habituales en procesos con transmisión de calor/trabajo: • Efectos de energía cinética, potencial y trabajo despreciables. • VPUH ˆˆˆ += ˆˆH QΔ = Para evaluar el término de entalpía: ( ) Gases ideales: Fluidos incompresibles: 2 2 1 1 2 1 2 1 ˆˆ 1 1ˆˆ T T p T T T p T R ΔH C dT dT M ΔH C dT P P γ = = γ − = + − ρ ∫ ∫ ∫ FenómenosdeTransporte Tema 9 — p. 4 • Régimen turbulento. • Estado estacionario. Balance de materia: 3 1 2w w w= + Balance de cdm: 3 3 3 3 1 1 1 1 2 2 2 2w v P S w v P S w v P S+ = + + + Balance de energía: 3 1 ˆˆ ˆ ˆˆ 2 v U PV Q W v ⎛ ⎞ ⎜ ⎟Δ + + + Φ = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Ecuación de estado: 3 3 3P M RT= ρ Ejemplo: Mezcla de dos corrientes de gases ideales 2 TOT v F w PS m g v ⎛ ⎞ ⎜ ⎟= −Δ + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ( ) ( ) ( )2 2 21 1 1 3 3 3 1 1 1 2 2 22 2 2 ˆ ˆ ˆo o o p p pw C T T v w C T T v w C T T v⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + = − + + − + ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
FenómenosdeTransporte Tema 9 — p. 5 Transporte de energía: Coeficiente de transmisión de calor FLUJO To1 To2 Tb1 Tb2 Posibles definiciones del coeficiente: ( )( )1 1 1o bQ h DL T T= π − ( ) ( ) ( )1 1 2 2 2 o b o b a T T T T Q h DL ⎛ ⎞− + − = π ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ( ) ( ) ( )1 1 2 2 ln 1 1 2 2 ln o b o b o b o b T T T T Q h DL T T T T ⎛ ⎞ ⎜ ⎟− − − ⎜ ⎟= π −⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ( )( )loc o bdQ h Ddz T T= π − Q hA T= Δ Q = Flujo de calor en la interfase, h = coeficiente de transmisión de calor, A = superficie, ΔT = diferencia característica de temperatura. Definición 1) Flujo en conducciones FenómenosdeTransporte Tema 9 — p. 6 oT T∞ ( )( )2 4m oQ h R T T∞= π − ( )( )loc odQ h dA T T∞= − 2) Flujo alrededor de cuerpos sumergidos Correlación de valores experimentales de coeficientes de transmisión de calor: análisis dimensional. PROBLEMA: Convección forzada en tubos. • Flujo estacionario. • Perfil de velocidad a la entrada conocido: v1(r, θ). • Temperatura en la pared constante: To (> Tb1). • Propiedades físicas constantes: ρ , µ, Cp, k. Flujo de calor en la pared: ( )( ) 2 1 1 0 0 L o b r R T Q k Rd dz h DL T T r π = ∂ = θ = π − ∂∫ ∫ ( )( ) 2 1 0 01 1 L o b r R T h k Rd dz DL T T r π = ∂ ⇒ = θ π − ∂∫ ∫
FenómenosdeTransporte Tema 9 — p. 7 Variables adimensionales: ( ) ( ) * 1 2 * */ 2 * * 1 *0 0 * 1 / 1 / 2 / / L D r o b o r r D T z z D Nu d dz L D r T T T T T π = ⎫= ⎪ ∂⎪ = ⇒ = − θ⎬ π ∂⎪ = − − ⎪⎭ ∫ ∫ Número de Nusselt: 1h D Nu k = Cálculo del perfil de temperatura: • Ecs. adimensionales de continuidad, movimiento y energía: ( ) * * * *2 * * * * * *2 * * * 1 1 . 0 Re 1 Re Pr Re Pr v Dv g v v P Fr gDt DT Br T Dt ∇ = = ∇ − ∇ + = ∇ + Φ • Condiciones límite: * * * * * * 1 * * * * * * * 0 ( , ) , 0 1 1/2 0 , 1/2 0 0, 0 0 z v v r z T r v r T r z P = = θ = = = = = = = = = Resolviendo e integrando: ( )1 1 Re,Pr, /Nu Nu L D= Para perfiles de velocidad desarrollados: ( )1 1 Re,PrNu Nu= FenómenosdeTransporte Tema 9 — p. 8 h (kcal/m2 hºC) Convección Libre Gases Líquidos Ebullición de agua Convección forzada Gases Fluidos viscosos Agua Condensación de vapores 3 — 20 100 — 600 1000 — 20.000 10 — 100 20 — 500 500 — 10.000 1000 — 100.000 Ordenes de magnitud de los coeficientes de transmisión de calor
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Fenomeno Transporte

  • 1. DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA QUÍMICA Y TECNOLOGÍA DEL MEDIO AMBIENTE UNIVERSIDAD DE VALLADOLID fenómenos transporte fenómenos de ímico .RafaelMato) 1 IngenieroQuí GrupoB(Prof Curso2010/11
  • 2.
  • 3. rte Ingeniero Químico Curso 2010/11 sdeTranspo Departamento de Ingeniería Química y Tecnología del Medio Ambiente Universidad de Valladolid Fenómenos Tema 0 — p. 1 Universidad de Valladolid Situación en el plan de estudios BASICAS FUNDAMENTOS I.Q. APLICADAS BALANCES DE MATERIA Y I.Q. OPERACIONES MATEMATICAS ENERGIA TERMODINAMICA OPERACIONES DE SEPARACION MATEMATICAS FISICA FLUJO DE FLUIDOS REACTORES QUIMICOS DISEÑO Y FISICA QUIMICA FENOMENOS DE TRANSPORTE TRANSMISION DE CALOR OPERACION DE PROCESOS rte QUIMICA CINETICA TRANSFERENCIA DE MATERIA PROYECTOS sdeTranspo OTRAS: INSTRUMENT. CONTROL ECONOMIA, .... Fenómenos Tema 0 — p. 2
  • 4. OBJETIVO Relacionar la cinética del proceso de transporte con las variables del proceso y las dimensiones del sistema. PROCESO DE SITUACION DE NO EQUILIBRIO EQUILIBRIORESISTENCIA PROCESO DE TRANSPORTE rte NO-EQUILIBRIO EQUILIBRIORESISTENCIA sdeTranspoFenómenos Tema 0 — p. 3 DESCRIPTOR I t d ió l f ó fí i d ib lIntroducción a los fenómenos físicos que describen los procesos de transporte de cantidad de movimiento, calor y materia en los procesos reales, con especial i id i l i t tili d i i íincidencia en los sistemas utilizados en ingeniería química. Al final del curso los estudiantes deberán i) identificar y valorar la importancia de los diferentes procesos de transporte que intervienen en un procesoproceso, ii) describirlos en términos matemáticos, y iii) calcular y evaluar magnitudes relevantes para el rte iii) calcular y evaluar magnitudes relevantes para el diseño y operación de los citados sistemas. sdeTranspoFenómenos Tema 0 — p. 4
  • 5. COMPETENCIAS ESPECÍFICAS Conocimientos y habilidades que el estudiante debe obtener en este curso: • Comprender los fundamentos físicos de los procesos de transporte (cantidad de movimiento calor y materia).( y ) • Familiarizarse con sus propiedades físicas asociadas (viscosidad, conductividad, difusividad). • Construir modelos ingenieriles de procesos reales e identificar las• Construir modelos ingenieriles de procesos reales e identificar las técnicas de diseño adecuadas. • Obtener resultados prácticos para el diseño de los procesos a partir de los modelos elaborados a fin de diseñar los equipos u operacioneslos modelos elaborados a fin de diseñar los equipos u operaciones necesarias para alcanzar las especificaciones requeridas, a partir de la información disponible. • Aplicar principios científicos e ingenieriles para realizar el análisis del• Aplicar principios científicos e ingenieriles para realizar el análisis del sistema. • Examinar la operación de equipos y entender sus principios de operación desde el punto de vista de los procesos de transporte rte operación desde el punto de vista de los procesos de transporte. • Integrar los fenómenos de transporte con los conocimientos adquiridos en otras asignaturas para entender y modelizar problemas complejos en términos de principios científicos. sdeTranspo en términos de principios científicos. Fenómenos Tema 0 — p. 5 Organización del temario C.D.M. ENERGIA MATERIA Leyes de transporte 1 Newton 3 Fourier 5 Fick Ecuaciones de variación 2 4 6Ecuaciones de variación 2 4 6 Flujo turbulento 7 EXAMEN 1,2 EXAMEN 3,4 EXAMEN 5,6 Transporte de interfase Balances macroscópicos 8 9 10 Balances macroscópicos EXAMEN 1 ► 10 rte RIGUROSO TEÓRICO APROXIMADO EMPÍRICO sdeTranspo COMPLEJO INFORMACIÓN COMPLETA "PREDICTIVO" SIMPLE INFORMACIÓN PARCIAL "CORRELACIÓN" Fenómenos Tema 0 — p. 6
  • 6. Método y criterios de evaluación Durante el desarrollo del curso se realizarán en horario de clase tres controles, que supondrán 2 puntos adicionales, q p p en la nota final. El examen de junio se calificará sobre 10 puntos, a los que se sumarán los obtenidos en los controles. Para aprobar la asignatura deberá obtenerse una nota mínima de 5.0, después de haber sumado los controles a la nota del examen. En la convocatoria de septiembre se mantienen losEn la convocatoria de septiembre se mantienen los mismos criterios que en la de junio, conservándose la nota de los controles realizados durante el curso. rtesdeTranspoFenómenos Tema 0 — p. 7 Método de trabajo 1. Preparación de las clases • Notas de clase • Libro de texto • Actividades propuestas 2. Explicación de la teoría Actividades propuestas Tutorías 3. Ejercicios • Colección de problemas 4. Seminarios 5 Evaluación rte 5. Evaluación • Tres exámenes parciales (+2 Puntos) • Examen final sdeTranspoFenómenos Tema 0 — p. 8
  • 7. Material Página Web: http://www.iq.uva.es/fentrans/ Comprimido: http://www.iq.uva.es/fentrans/Web_FenTrans.zip ( f )Notas de clase (Reprografía, Web) Colección de Problemas resueltos (Web) Bibliografía: Fenómenos de Transportep R.B. Bird, W.E. Stewart y E.N. Lightfoot Editorial Reverté The Properties of Gases and Liquids, 5ª Ed., B.E.Poling, J.M.Prausnitz and J.P. O’Connell, McGraw-Hill (2001). rte INGENIERIA QUIMICA. 2. Fenómenos de Transporte E. Costa Novella et al. Alhambra Universidad, (1984). sdeTranspo Perry´s Chemical Engineers’ Handbook, 7ª Ed. McGraw-Hill (1999). Fenómenos Tema 0 — p. 9
  • 8. FenómenosdeTransporte Tema 1 — p. 1 TEMA 1 Viscosidad y mecanismo del transporte de cantidad de movimiento Ley de Newton de la viscosidad Fluidos no-newtonianos Viscosidad: Determinación experimental Viscosidad de gases Influencia de la presión y la temperatura Mezclas de gases Viscosidad de líquidos FenómenosdeTransporte Tema 1 — p. 2 t < 0 x y y = Y y = 0 t > 0 V ( , )xv t y V t → ∞ ( )xv y Ley de Newton de la viscosidad F V A Y = μ x yx dv dy τ = −μ EFECTO: TRANSPORTE DE C.D.M. FUERZA IMPULSORA (GRADIENTE DE VELOCIDAD) t = 0 V
  • 9. FenómenosdeTransporte Tema 1 — p. 3 T(ºC) µ (cp) v (10 2 cm 2 s -1 ) µ (cp) v (10 2 cm 2 s -1 ) 0 1.787 1.787 0.01716 13.27 20 1.0019 1.0037 0.01813 15.05 40 0.6530 0.6581 0.01908 16.92 60 0.4665 0.4744 0.01999 18.86 80 0.3548 0.3651 0.02087 20.88 100 0.2821 0.2944 0.02173 22.98 VISCOSIDAD DEL AGUA Y EL AIRE A 1 ATM DE PRESION AGUA AIRE SUBSTANCIA T(ºC) µ (cp) (C2H5)2O 20 0.245 C6H6 20 0.647 Br2 26 0.946 C2H5OH 20 1.194 Hg 20 1.547 H2SO4 25 19.15 Glicerina 20 1069 VISCOSIDAD DE ALGUNOS LIQUIDOS A 1 ATM DE PRESION VISCOSIDAD CINEMATICA: μ ν = ρ FenómenosdeTransporte Tema 1 — p. 4 Fluidos no-newtonianos x yx dv dy τ = −η xyτ xdv dy − Newtoniano Bingham Shear-thinning (Pseudoplástico) Dilatante • Plásticos de Bingham • Plásticos de Ostwald • Pseudoplásticos • Dilatantes Fluidos no-newtonianos con viscosidad constante en el tiempo
  • 10. FenómenosdeTransporte Tema 1 — p. 5 xyτ xdv dy − Bingham Pseudoplástico Prandtl-Eyring Newtoniano Dilatante Modelos de dos parámetros MODELO ECUACION PARAMETROS Bingham (Pastas y suspensiones finas) Ostwald-de Waele(Suspensiones de combustibles nucleares) Eyring 000 , τ>ττ±μ−=τ yx x yx dy dv (Yield-stress) 0 0 μ τ n x yx dy dv m ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −=τ nm, ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −=τ dy dv B arcsenhA x yx 1 BA, FenómenosdeTransporte Tema 1 — p. 6 xyτ xdv dy − Ellis (α>1) Newtoniano Reiner-Philippoff Ellis (α<1) Modelos de tres parámetros MODELO ECUACION PARAMETROS Ellis (CarboxiMetil- Celulosa en agua) yxyx x dy dv ττϕ+ϕ=− −α )( 1 10 αϕϕ ,, 10 Reiner-Philippoff (Azufre fundido, 30% de metanol en hexano,...) yx Syx x dy dv τ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ττ+ μ−μ +μ =− ∞ ∞ 2 0 )/(1 1 Sτμμ∞ ,, 0 n x xy o dv m dy ⎛ ⎞ τ = τ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Modelo de Herschel–Bulkley
  • 11. FenómenosdeTransporte Tema 1 — p. 7 • Tixotrópicos • Reopécticos • Viscoelásticos Fluidos no-newtonianos con viscosidad no-constante en el tiempo xyτ xdv dy − Tixotrópicos xyτ xdv dy − Reopécticos FenómenosdeTransporte Tema 1 — p. 8 Medida experimental de la viscosidad Viscosímetro de Ostwald Hagen-Poiseuille: 2 32 Lu P D μ Δ = ~ / P gh K u t t Δ = ρ ⎫ μ ⇒ =⎬ ρ⎭1 Viscosímetro de Höppler ( ) ( ) i P R F B B B B F F F F v g v g r u = ⇒ = + ρ = ρ + π μ ∑ 0 6 ( )B K t μ = ρ − ρ FRFF FP 1 2
  • 12. FenómenosdeTransporte Tema 1 — p. 9 Viscosímetros de Engler, Ford y Saybolt Viscosímetro de cilindros concéntricosViscosímetro de plato y cono FenómenosdeTransporte Tema 1 — p. 10 Viscosidad de los gases a x y a v + x y v x y a v − Modelización Separación entre capas: a = λ 2 3 Perfil de velocidad lineal: x x xy a y x x xy a y dv v v dy dv v v dy − + = − λ = + λ 2 3 2 3 Balance de CDM: yx x xy a y a Z mv Z mv− + τ = − 8KT u m = π Z nu= 1 4 d n λ = π 2 1 2 ● Gas Puro. ● Esferas (m, d) sin interacciones. ● n = moléculas / volumen pequeño. Teoría cinética de los gases y x λ
  • 13. FenómenosdeTransporte Tema 1 — p. 11 Substituyendo en el balance de CDM ... τ = − λ x yx dv mnu dy 1 3 Comparando con la Ley de Newton ... x yx dv dy τ = −μ ⇒ mKT mnu d μ = λ = π3 2 2 1 2 3 3 Modificación de Chapman-Enskog d F dr ϕ = − Potencial de Lennard-Jones: ( )r r r ⎡ ⎤σ σ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ϕ = ε −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ 12 6 4 r -ε m r σ . / . , , Å MT g cm s T K − μ μ = σ Ω μ = = σ = 5 2 2 6693 10 FenómenosdeTransporte Tema 1 — p. 12 . , / . , , Å MT g cm s T K− μ μ = μ = = σ = σ Ω 5 2 2 6693 10
  • 14. FenómenosdeTransporte Tema 1 — p. 13 FenómenosdeTransporte Tema 1 — p. 14
  • 15. FenómenosdeTransporte Tema 1 — p. 15 Método de Chung et al. (1984, 1986) / / ( ) . , , / , , /c c c F MT P M g mol T K V cm mol V μ μ = μ = μ = = = Ω 1 2 3 2 3 40 785 * ** . . . * . . . . , / T T r r c T e e T T T T T μΩ = + + = = 0 14874 0 77320 2 43787 1 16145 0 52487 2 16178 1 2593 Integral de colisión: Factor Fc: . .c rF d= − ω + + Κ4 1 0 2756 0 059035 / . , , r c c c c d d V T d db V cm mol T K = = = = 1 2 3 131 3Momento dipolar adimensional: FACTOR DE ASOCIACION COMPUESTO K COMPUESTO K Metanol 0.215 n-Pentanol 0.122 Etanol 0.175 n-Hexanol 0.114 n-Propanol 0.143 n-Heptanol 0.109 i-Propanol 0.143 Acido acético 0.0916 n-Butanol 0.132 Agua 0.076 i-Butanol 0.132 FenómenosdeTransporte Tema 1 — p. 16 Influencia de la presión y la temperatura Childs & Hanley TEMPERATURA REDUCIDA 1 0.5 0 2 3 4 5 6 870 GAS DENSO GAS DILUIDO 1.0 ERROR < 1% ERROR > 1% Viscosidad crítica / / / .c c c c c c M P T P P atm T K − μ = μ = μ = = 1 2 2 3 1 6 7 70
  • 16. FenómenosdeTransporte Tema 1 — p. 17 Mezclas de gases Ecuación de Wilke / / / n i i mezcla n i j ij j ji i ij j j i x x MM M M = = − μ μ = ϕ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞μ ⎢ ⎥ϕ = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟μ⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ∑ ∑1 1 21 2 1 2 1 4 1 1 1 8 Diagrama generalizado Constantes pseudocríticas: ' ' ' n c i ci i n c i ci i n c i ci i P x P T x T x = = = = = μ = μ ∑ ∑ ∑ 1 1 1 FenómenosdeTransporte Tema 1 — p. 18 Viscosidad de líquidos Modelo de Eyring . /bT TAN h e V μ = 3 8 Modelo de Orrik y Erbar KTcmgcP T B A M LL L L ==ρ=μ += ρ μ ,/, ln 3 GRUPO A B Doble enlace Anillo de cinco miembros Anillo de seis miembros Anillo aromático Substitución en orto Substitución en meta Substitución en para Cloro Bromo Iodo —OH —COO— —O— >C=O —COOH 0.24 0.10 -0.45 0 -0.12 0.05 -0.01 -0.61 -1.25 -1.75 -3.00 -1.00 -0.38 -0.50 -0.90 -90 32 250 20 100 -34 -5 220 365 400 1600 420 140 350 770 GRUPO A B Atomos de carbono1 - (6.95+0.21n) 275+99n -0.15 35 -1.20 400 1 n = atomos de carbono no considerados en otros grupos.
  • 17. FenómenosdeTransporte Tema 1 — p. 19 Influencia de la temperatura en los líquidos ln µ . cT 1 0 7 cT 1 ln B A T μ = + Ecuación de Andrade
  • 18. FenómenosdeTransporte Tema 2 — p. 1 TEMA 2 Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos Balances envolventes de cantidad de movimiento Película descendente Flujo por el interior de un tubo circular Flujo reptante alrededor de una esfera sólida Nomenclatura Ecuación de continuidad La ecuación de continuidad en los distintos sistemas coordenados Ecuación de movimiento La ecuación de movimiento en los distintos sistemas coordenados Software de modelado de procesos Condiciones límite Ecuación de energía mecánica Forma adimensional de las ecuaciones de variación Capa límite y flujo potencial Capa límite Flujo potencial FenómenosdeTransporte Tema 2 — p. 2 Balances envolventes de cantidad de movimiento: condiciones límite 1. Película descendente Balance de materia z zz z L xW v xW v= = Δ ρ = Δ ρ0 vz (x) L Δx z x x = 0 x = δ β z zz z L v v= = =0 zv z ∂ ⇒ = ∂ 0 • Régimen estacionario • Fluido incompresible
  • 19. FenómenosdeTransporte Tema 2 — p. 3 Balance de c.d.m. ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎪ ⎪⎩ ⎭ velocidad neta de velocidad de velocidad neta de entrada de c.d.m. fuerza de acumulación = entrada de c.d.m. + + por transporte gravedad de c.d.m. por convección viscoso =0 Límite cuando Δx tiende a cero: cosxzd g dx τ = ρ β Integrando: cosxz xzx gx= → τ = ⇒ τ = ρ β0 0 Ley de Newton: z xz dv dx τ = −μ Integrando: cos z g x v ⎡ ⎤ρ δ β ⎛ ⎞ ⇒ = −⎢ ⎥⎜ ⎟ μ δ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ 22 1 2zx v= δ → = 0 ( )xz xzx x x LW + Δ τ − τ + cosLW x gΔ ρ β( )z z z zz z L xW v v v v= = Δ ρ − ρ +0 FenómenosdeTransporte Tema 2 — p. 4 Magnitudes derivadas Velocidad máxima: cos z máx g v ρ δ β = μ 2 2 Velocidad media: cos W zo z zW o v dx dyQ g v v dx A dx dy δ δ δ ρ δ β = = = = δ μ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 0 0 0 1 3 Flujo volumétrico: cosW z zo gW Q v dx dy W v δ ρ δ β = = δ = μ∫ ∫ 3 0 3 Fuerza sobre la superficie: cos L W z xzo F dy dz g LW= τ = ρ δ β∫ ∫0 cos z g x v ⎡ ⎤ρ δ β ⎛ ⎞ = −⎢ ⎥⎜ ⎟ μ δ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ 22 1 2
  • 20. FenómenosdeTransporte Tema 2 — p. 5 2. Flujo por el interior de un tubo circular r z vz(r) z zz z L r r v r r v= = π Δ ρ = π Δ ρ0 2 2 zv z ∂ ⇒ = ∂ 0 Balance de materia Balance de c.d.m. ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ presión defuerza gravedad defuerza viscoso transportepor c.d.m.deentrada denetavelocidad convecciónpor c.d.m.deentrada denetavelocidad c.d.m.de nacumulació develocidad ( ) ( ) ( ) z z rz rzr r r r rz z L o L r r v v L r r r r L g r r P P = = + Δ= = = π Δ ρ − ρ + π τ − τ + π Δ ρ + π Δ − 2 2 0 0 2 2 2 2 ,Lrzdr r P gh dr L ℘ −℘τ ⎛ ⎞ = ℘ = + ρ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 0 Integrando: rzr = → τ = ⇒0 0 L rz r L ℘ −℘⎛ ⎞ τ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 0 2 0 z rz z dv dr r R v ⎫ τ = −μ ⎪ ⇒⎬ ⎪= → = ⎭ ( )L z R r v L R ⎡ ⎤℘ −℘ ⎛ ⎞ = −⎢ ⎥⎜ ⎟ μ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ 22 0 1 4 En el límite (Δr→0): P0 PL • Régimen estacionario • Fluido incompresible FenómenosdeTransporte Tema 2 — p. 6 Magnitudes derivadas ( )L z R r v L R ⎡ ⎤℘ −℘ ⎛ ⎞ = −⎢ ⎥⎜ ⎟ μ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ 22 0 1 4 Velocidad máxima: Velocidad media: Flujo volumétrico: Fuerza sobre la superficie: ( )L z máx R r v L ℘ −℘ = → = μ 2 0 0 4 ( ) R zo L z R o v r dr d RQ v A Lr dr d π π θ ℘ −℘ = = = μθ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 0 0 2 0 8 ( )R L zo R Q v r dr d L π π ℘ −℘ = θ = μ∫ ∫ 4 2 0 0 8 ( ) ( ) z rz Lr R L F RL R R P P R L g = = π τ = π ℘ −℘ = = π − + π ρ 2 0 2 2 0 2
  • 21. FenómenosdeTransporte Tema 2 — p. 7 v∞ 3. Flujo reptante alrededor de una esfera sólida θ φ z x y (x,y,z) ( , , )r θ φ Flujo reptante Re .p Dv∞ρ = < μ 0 1 Solución analítica r v R sen R r ∞ θ μ ⎛ ⎞ τ = θ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 4 3 2 coso mv R p p gz R r ∞ ⎛ ⎞ = − ρ − θ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 3 2 cosr R R v v r r ∞ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − + θ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ 3 3 1 1 2 2 R R v v sen r r θ ∞ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − − + θ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ 3 3 1 1 4 4 Magnitudes derivadas Fuerza normal: ( )cos sennz r R F p R d d R g Rv π π ∞= = − θ θ θ φ = π ρ + πμ∫ ∫ 2 2 3 0 0 4 2 3 Fuerza tangencial: ( )sen sentz r r R F R d d Rv π π θ ∞= = − τ θ θ θ φ = πμ∫ ∫ 2 2 0 0 4 Fuerza total: (Ley de Stokes) 3 34 4 2 4 6 3 3 (flotacion) (resistencia de forma) (fricción) zF R g Rv Rv R g Rv∞ ∞ ∞= π ρ + πμ + πμ = π ρ + πμ Ft Fn F FenómenosdeTransporte Tema 2 — p. 8 Nomenclatura: Magnitudes Productos Producto diádico: x x x y x z y x y y y z z x z y z z u w u w u w uv u w u w u w u w u w u w ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Orden Magnitud Libro Notas de clase 0 1 2 escalar ( ) vector [ ] tensor { } p v τ p v τ Producto Orden uv u v× .u v :u v ou+ov ou+ov -1 ou+ov -2 ou+ov -4
  • 22. FenómenosdeTransporte Tema 2 — p. 9 Rotacional de un campo vectorial: [ ] x y z x y z v x y z v v v δ δ δ ∂ ∂ ∂ ∇ × = ∂ ∂ ∂ Laplaciana de un campo escalar: 2 2 2 2 2 2 2 ( . ) s s s s s x y z ∂ ∂ ∂ ∇ = ∇ ∇ = + + ∂ ∂ ∂ Laplaciana de un campo vectorial: 2 2 2 2 x x y y z zv v v v∇ = δ ∇ + δ ∇ + δ ∇ Operadores diferenciales Operador nabla: x y z x y z ∂ ∂ ∂ ∇ = δ + δ + δ ∂ ∂ ∂ Gradiente de un campo escalar: x y z s s s s x y z ∂ ∂ ∂ ∇ = δ + δ + δ ∂ ∂ ∂ Divergencia de un campo vectorial: ( . ) yx z vv v v x y z ∂∂ ∂ ∇ = + + ∂ ∂ ∂ FenómenosdeTransporte Tema 2 — p. 10 Derivadas con respecto al tiempo Derivada parcial: c t ∂ ∂ Derivada total: dc c c dx c dy c dz dt t x dt y dt z dt ∂ ∂ ∂ ∂ = + + + ∂ ∂ ∂ ∂ Derivada substancial: x y z Dc c c c c v v v Dt t x y z ∂ ∂ ∂ ∂ = + + + ∂ ∂ ∂ ∂
  • 23. FenómenosdeTransporte Tema 2 — p. 11 z xy x x v x x x v Δ+ z z v z z z v Δ+ y y v y y y v Δ+ Ecuación de continuidad velocidad de velocidad de velocidad de acumulación = entrada salida de materia de materia de materia ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ −⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ CARA ENTRADA SALIDA x x x v y zρ Δ Δ x x x v y z+Δ ρ Δ Δ y y y v x zρ Δ Δ y y y v x z +Δ ρ Δ Δ z z z v x yρ Δ Δ z z z v x y+Δ ρ Δ Δ ( ) ( ) ( ) x xx x x y yy y y z zz z z x y z y z v v t x z v v x y v v +Δ +Δ +Δ ∂ρ Δ Δ Δ = Δ Δ ρ − ρ ∂ +Δ Δ ρ − ρ +Δ Δ ρ − ρ yx z vv v t x y z ∂ρ⎛ ⎞∂ρ ∂ρ∂ρ = − + +⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ FenómenosdeTransporte Tema 2 — p. 12 Forma vectorial: ( ). v t ∂ρ = − ∇ ρ ∂ Transformación: ( ) ( ) ( ) . . . v v t D v Dt t ∂ρ ⎫ = −ρ ∇ − ∇ρ ⎪⎪∂ ⇒⎬ ρ ∂ρ ⎪= + ∇ρ ⎪∂ ⎭ ( ). D v Dt ρ = −ρ ∇ Fluidos incompresibles (ρ=constante): ( ). 0v∇ =
  • 24. FenómenosdeTransporte Tema 2 — p. 13 ( ) ( ) ( ) 0x y zv v v t x y z ∂ρ ∂ ∂ ∂ + ρ + ρ + ρ = ∂ ∂ ∂ ∂ 1 1 ( ) ( ) ( ) 0r zrv v v t r r r z θ ∂ρ ∂ ∂ ∂ + ρ + ρ + ρ = ∂ ∂ ∂θ ∂ 2 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 0rr v v sen v t r r sen r senr θ φ ∂ρ ∂ ∂ ∂ + ρ + ρ θ + ρ = ∂ ∂ θ ∂θ θ ∂φ Coordenadas rectangulares (x, y, z): Coordenadas cilíndricas (r, θ, z): Coordenadas esféricas (r, θ, Φ): La ecuación de continuidad en los diferentes sistemas de coordenadas FenómenosdeTransporte Tema 2 — p. 14 z xy xx x τ xx x xΔ τ + zx z τ zx z zΔ τ + yx y τ yx y yΔ τ + Ecuación de movimiento Transporte convectivo: CARA ENTRADA SALIDA x x x x v v y zρ Δ Δ x x x x v v y z+Δ ρ Δ Δ y y x y v v x zρ Δ Δ y x y y v v x z +Δ ρ Δ Δ z z x z v v x yρ Δ Δ z x z z v v x y+Δ ρ Δ Δ velocidad de velocidad de velocidad de suma de acumulación = entrada + salida + fuerzas sobre de c.d.m. de c.d.m. de c.d.m. el sistema ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ Balance: Transporte viscoso: CARA ENTRADA SALIDA x xx x y zτ Δ Δ xx x x y z+Δ τ Δ Δ y yx y x zτ Δ Δ yx y y x z +Δ τ Δ Δ z zx z x yτ Δ Δ zx x z x y+Δ τ Δ Δ Balance a la componente x:
  • 25. FenómenosdeTransporte Tema 2 — p. 15 Balance de fuerzas: ( ) xx x x y z p p g x y z+Δ Δ Δ − + ρ Δ Δ Δ Término de acumulación: xv x y z t ∂ρ Δ Δ Δ ∂ Substituyendo en el balance: y x yxx x x z x xx zx x v vv v v v v p g t x y z x y z x ∂ρ ∂τ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ρ ∂ρ ∂ρ ∂τ ∂τ ∂ = − + + − + + − + ρ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ . . v vv p g t ∂ρ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − ∇ ρ − ∇ τ − ∇ + ρ⎣ ⎦ ⎣ ⎦∂ . Dv p g Dt ⎡ ⎤ρ = − ∇ τ − ∇ + ρ⎣ ⎦ Haciendo uso de la ecuación de continuidad: FenómenosdeTransporte Tema 2 — p. 16 Ley de Newton ( ) ( ) ( ) 2 2 . 3 2 2 . 3 2 2 . 3 yx x xx yx xy y yz yy yz zy z z x zz xz zx vv v v x y x v vv v y y z v v v v z x z ∂⎛ ⎞∂ ∂ τ = − μ + μ ∇ τ = τ = −μ +⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ∂ ∂⎛ ⎞∂ τ = − μ + μ ∇ τ = τ = −μ +⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ τ = − μ + μ ∇ τ = τ = −μ +⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ( ) 2 2 . 3 yx x x z x x vDv v v v vp v g Dt x x x y y x z x z ⎡ ∂ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ ⎡ ∂ ∂ ⎤∂ ∂ ∂ ∂⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ρ = − + μ − μ ∇ + μ + + μ + + ρ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎝ ⎠⎣ ⎦ ( ) 2 2 . 3 yz z x z z z vDv v v v vp v g Dt z x x z y y z z z ⎡ ∂ ⎤⎛ ⎞⎡ ∂ ∂ ⎤ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ρ = − + μ + + μ + + μ − μ ∇ + ρ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ( ) 2 2 . 3 y y y yx z y Dv v v vv vp v g Dt y x x y y y z y z ⎡ ∂ ⎤ ∂ ⎡ ∂ ⎤⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ρ = − + μ + + μ − μ ∇ + μ + + ρ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦ La ecuación de movimiento, para un fluido newtoniano:
  • 26. FenómenosdeTransporte Tema 2 — p. 17 Fluido de densidad y viscosidad constantes. (Ec. Navier-Stokes) ρ = μ∇ − ∇ + ρ2Dv v p g Dt Sistemas de flujo sin efectos viscosos. (Ec. Euler) Dv p g Dt ρ = −∇ + ρ Fluido en reposo. 0 p g= −∇ + ρ Formas simplificadas de la ecuación de movimiento . Dv p g Dt ⎡ ⎤ρ = − ∇ τ − ∇ + ρ⎣ ⎦ FenómenosdeTransporte Tema 2 — p. 18 La ecuación de movimiento en coordenadas rectangulares (en función de τ) yxx x x x xx zx x y z x v v v v p v v v g t x y z x x y z ∂τ⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂τ ∂τ∂ ρ + + + = − − + + + ρ⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ y y y y xy yy zy x y z y v v v v p v v v g t x y z y x y z ∂ ∂ ∂ ∂ ∂τ ∂τ ∂τ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ρ + + + = − − + + + ρ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ yzz z z z xz zz x y z z v v v v p v v v g t x y z z x y z ∂τ⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂τ ∂τ∂ ρ + + + = − − + + + ρ⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ componente x: componente y: componente z:
  • 27. FenómenosdeTransporte Tema 2 — p. 19 La ecuación de movimiento en coordenadas rectangulares (para fluidos newtonianos de ρ y μ constantes) componente x: componente y: componente z: 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x y z x v v v v v v vp v v v g t x y z x x y z ⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ρ + + + = − + μ + + + ρ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 2 2 2 2 2 y y y y y y y x y z y v v v v v v vp v v v g t x y z y x y z ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ∂ ⎜ ⎟ρ + + + = − + μ + + + ρ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 2 2 2 2 2 z z z z z z z x y z z v v v v v v vp v v v g t x y z z x y z ⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ρ + + + = − + μ + + + ρ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ FenómenosdeTransporte Tema 2 — p. 20 La ecuación de movimiento en coordenadas cilíndricas (en función de τ) componente r: componente θ: componente z: 2 1 1 ( ) r r r r r z r rz rr r v vv v v v p v v t r r r z r r g r r r r z θ θ θ θθ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ρ + + − + = −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂θ ∂ ∂⎝ ⎠ ∂τ τ ∂τ∂⎛ ⎞ − τ + − + + ρ⎜ ⎟∂ ∂θ ∂⎝ ⎠ 2 2 1 1 1 ( ) r r z z r v v v v v v v p v v t r r r z r r g r r zr θ θ θ θ θ θ θθ θ θ θ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ρ + + + + = −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂θ ∂ ∂θ⎝ ⎠ ∂τ ∂τ∂⎛ ⎞ − τ + + + ρ⎜ ⎟∂ ∂θ ∂⎝ ⎠ 1 1 ( ) z z z z r z z zz rz z vv v v v p v v t r r z z r g r r r z θ θ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ρ + + + = −⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂θ ∂ ∂⎝ ⎠ ∂τ ∂τ∂⎛ ⎞ − τ + + + ρ⎜ ⎟∂ ∂θ ∂⎝ ⎠
  • 28. FenómenosdeTransporte Tema 2 — p. 21 La ecuación de movimiento en coordenadas cilíndricas (para fluidos newtonianos de ρ y μ constantes) componente r: componente θ: componente z: ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 r r r r r z r r r r v vv v v v p v v t r r r z r vv v rv g r r r r r z θ θ θ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ρ + + − + = −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂θ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎡ ⎤∂∂ ∂∂ ∂⎛ ⎞ +μ + − + + ρ⎢ ⎥⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂θ∂θ ∂⎝ ⎠⎣ ⎦ ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 r r z r v v v v v v v p v v t r r r z r v vv rv g r r r r r z θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ρ + + + + = −⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂θ ∂ ∂θ⎝ ⎠ ⎡ ⎤∂ ∂∂∂ ∂⎛ ⎞ +μ + + + + ρ⎢ ⎥⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂θ∂θ ∂⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ 2 2 2 2 2 1 1 z z z z r z z z z z vv v v v p v v t r r z z v v v r g r r r r z θ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ρ + + + = −⎜ ⎟∂ ∂ ∂θ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂∂ ⎛ ⎞ +μ + + + ρ⎢ ⎥⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂θ ∂⎝ ⎠⎣ ⎦ FenómenosdeTransporte Tema 2 — p. 22 La ecuación de movimiento en coordenadas esféricas (en función de τ) componente r: componente θ: componente Φ: ( ) 2 2 2 2 sen 1 1 1 ( ) sen sen sen r r r r r r rr r r v v vvv v v v p v t r r r r r r g r r r rr φ θ φθ φ θθ φφ θ ⎛ ⎞+∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎜ ⎟ρ + + + − = − ⎜ ⎟∂ ∂ ∂θ θ ∂φ ∂⎝ ⎠ ∂τ τ + τ⎛ ⎞∂ ∂ − τ + τ θ + − + ρ⎜ ⎟ ∂ θ ∂θ θ ∂φ⎝ ⎠ ( ) 2 2 2 cot 1 sen 1 1 1 cot ( ) sen sen sen r r r r v vv v v v v v v p v t r r r r r r r g r r r r rr φ φθ θ θ θ θ θ θφ θ θ θθ φφ θ ⎛ ⎞θ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎜ ⎟ρ + + + + − = − ⎜ ⎟∂ ∂ ∂θ θ ∂φ ∂θ⎝ ⎠ ∂τ⎛ ⎞τ∂ ∂ θ − τ + τ θ + + − τ + ρ⎜ ⎟ ∂ θ ∂θ θ ∂φ⎝ ⎠ 2 2 1 cot sen sen 1 1 1 2cot ( ) sen r r r r v v v v v v v v vv p v t r r r r r r r g r r r r rr φ φ φ φ φ φ θ φθ θφ φφ φ φ θφ φ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ∂ ρ + + + + + θ = −⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂θ θ ∂φ θ ∂φ⎝ ⎠ ∂τ ∂τ τ⎛ ⎞∂ θ − τ + + + + τ + ρ⎜ ⎟ ∂ ∂θ θ ∂φ⎝ ⎠
  • 29. FenómenosdeTransporte Tema 2 — p. 23 La ecuación de movimiento en coordenadas esféricas (para fluidos newtonianos de ρ y μ constantes) componente r: componente θ: componente Φ: 2 2 2 2 2 2 2 sen 2 2 2 2 cot sen r r r r r r r r v v vvv v v v p v t r r r r r vv v v v g r r r r φ θ φθ φθ θ ⎛ ⎞+∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎜ ⎟ρ + + + − = − ⎜ ⎟∂ ∂ ∂θ θ ∂φ ∂⎝ ⎠ ∂⎛ ⎞∂ +μ ∇ − − − θ − + ρ⎜ ⎟ ∂θ ∂φθ⎝ ⎠ 2 2 2 2 2 2 2 cot 1 sen 2 2cos sen sen r r r v vv v v v v v v p v t r r r r r r vvv v g r r r φ φθ θ θ θ θ θ φθ θ θ ⎛ ⎞θ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎜ ⎟ρ + + + + − = − ⎜ ⎟∂ ∂ ∂θ θ ∂φ ∂θ⎝ ⎠ ∂⎛ ⎞∂ θ +μ ∇ + − − + ρ⎜ ⎟ ∂θ ∂φθ θ⎝ ⎠ 2 2 2 2 2 2 cot sen 1 2 2cos sen sen sen sen r r r v v v v v v v v vv v t r r r r r v vvp v g r r r r φ φ φ φ φ φ θ φθ φ θ φ φ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ρ + + + + + θ =⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂θ θ ∂φ⎝ ⎠ ⎛ ⎞∂∂∂ θ − + μ ∇ − + + + ρ⎜ ⎟ θ ∂φ ∂φ ∂φθ θ θ⎝ ⎠ En estas ecuaciones: 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 sen sen sen r r rr r r ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∇ = + θ + ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂θ ∂θθ θ ∂φ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ FenómenosdeTransporte Tema 2 — p. 24 Componentes del tensor esfuerzo cortante en coordenadas rectangulares 2 2 ( . ) 3 2 2 ( . ) 3 2 2 ( . ) 3 x xx y yy z zz v v x v v y v v z ∂⎡ ⎤ τ = −μ − ∇⎢ ⎥∂⎣ ⎦ ∂⎡ ⎤ τ = −μ − ∇⎢ ⎥ ∂⎣ ⎦ ∂⎡ ⎤ τ = −μ − ∇⎢ ⎥∂⎣ ⎦ yx xy yx y z yz zy z x zx xz vv y x v v z y v v x z ∂⎡ ⎤∂ τ = τ = −μ +⎢ ⎥ ∂ ∂⎣ ⎦ ∂⎡ ⎤∂ τ = τ = −μ +⎢ ⎥ ∂ ∂⎣ ⎦ ∂ ∂⎡ ⎤ τ = τ = −μ +⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦ ( ). yx z vv v v x y z ∂∂ ∂ ∇ = + + ∂ ∂ ∂
  • 30. FenómenosdeTransporte Tema 2 — p. 25 Componentes del tensor esfuerzo cortante en coordenadas cilíndricas 2 2 ( . ) 3 1 2 2 ( . ) 3 2 2 ( . ) 3 r rr r z zz v v r v v v r r v v z θ θθ ∂⎡ ⎤ τ = −μ − ∇⎢ ⎥∂⎣ ⎦ ⎡ ∂ ⎤⎛ ⎞ τ = −μ + − ∇⎜ ⎟⎢ ⎥∂θ⎝ ⎠⎣ ⎦ ∂⎡ ⎤ τ = −μ − ∇⎢ ⎥∂⎣ ⎦ 1 1 r r r z z z z r zr rz v v r r r r v v z r v v r z θ θ θ θ θ θ ⎡ ⎤∂∂ ⎛ ⎞ τ = τ = −μ +⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂θ⎝ ⎠⎣ ⎦ ∂ ∂⎡ ⎤ τ = τ = −μ +⎢ ⎥∂ ∂θ⎣ ⎦ ∂ ∂⎡ ⎤ τ = τ = −μ +⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦ ( ) ( ) 1 1 . z r v v v rv r r r z θ∂ ∂∂ ∇ = + + ∂ ∂θ ∂ FenómenosdeTransporte Tema 2 — p. 26 Componentes del tensor esfuerzo cortante en coordenadas esféricas 2 2 ( . ) 3 1 2 2 ( . ) 3 cot1 2 2 ( . ) sen 3 r rr r r v v r v v v r r v vv v r r r θ θθ φ θ φφ ∂⎡ ⎤ τ = −μ − ∇⎢ ⎥∂⎣ ⎦ ⎡ ∂ ⎤⎛ ⎞ τ = −μ + − ∇⎜ ⎟⎢ ⎥∂θ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎡ ∂ ⎤⎛ ⎞θ τ = −μ + + − ∇⎢ ⎥⎜ ⎟ θ ∂φ⎝ ⎠⎣ ⎦ 1 sen 1 sen sen 1 sen r r r r r r v v r r r r v v r r vv r r r r θ θ θ φ θ θφ φθ φ φ φ ⎡ ⎤∂∂ ⎛ ⎞ τ = τ = −μ +⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂θ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ∂θ ∂ τ = τ = −μ +⎢ ⎥⎜ ⎟ ∂θ θ θ ∂φ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ τ = τ = −μ +⎢ ⎥⎜ ⎟ θ ∂φ ∂ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ( ) ( ) ( )2 2 1 1 1 . sen sen sen r v v r v v r r rr φ θ ∂∂ ∂ ∇ = + θ + ∂ θ ∂θ θ ∂φ
  • 31. FenómenosdeTransporte Tema 2 — p. 27 Software de modelado de procesos Profiled contours of axial velocity Pressure Driven Flow in a Jet Pump Pump Efficiency http://www.fluent.com FenómenosdeTransporte Tema 2 — p. 28 The transient behavior of the tracer dispersion through the multistage reactor is captured. Residence Time Distribution in CSTR’s Product plume forming as a result of reactant injection through the dip tube. Liquid-phase Reaction
  • 32. FenómenosdeTransporte Tema 2 — p. 29 Blending Time Prediction Concentration of the tracer can be monitored at a number of locations in the vessel and plotted as uniformity of concentration, U, as a function of time. FenómenosdeTransporte Tema 2 — p. 30 Pressure contours on an aneurysm created from a Spiral CT scan Cerebral Aneurysm Risk Assessment Pathlines around the Opel Astra, Courtesy of Opel AG Automotive industry: Aerodynamics
  • 33. FenómenosdeTransporte Tema 2 — p. 31 Condiciones límite (interfase) VELOCIDAD: int int I II v v= TRANSPORTE DE C.D.M.: FASE II FASE I SÓLIDO LÍQUIDO GAS int 0τ ≠ int 0τ = LIQUIDO int 0τ ≠ int int I II τ = τ FenómenosdeTransporte Tema 2 — p. 32 Ecuación de energía mecánica Ecuación de movimiento: . Dv p g Dt ⎡ ⎤ρ = −∇ − ∇ τ + ρ⎣ ⎦ ( ) ( ) ( ) ( )21 2 . . . . D v v p v v g Dt ⎡ ⎤ρ = − ∇ − ∇ τ + ρ⎣ ⎦ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21 1 2 2 . . . . . : .v v v pv p v v v v g t ∂ ρ = − ∇ ρ − ∇ − −∇ − ∇ τ − −τ ∇ + ρ⎡ ⎤⎣ ⎦∂ , multiplicándola escalarmente por :v
  • 34. FenómenosdeTransporte Tema 2 — p. 33 SISTEMA Compresión/ Expansión ( ).p v− −∇ Disipación viscosa ( ): v− τ ∇ Energía Interna Uρ Energía Mecánica 21 2 vρ ALREDEDORES Trabajo Calor (conducción) ( ) ( ) ( ) . . . . v g pv v ρ − ∇ − ∇ τ⎡ ⎤⎣ ⎦( ).q− ∇ E. Interna ( ). vU− ∇ ρ E. Mecánica ( )( )21 2 . v v− ∇ ρ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21 1 2 2 . . . . . : .v v v pv p v v v v g t ∂ ρ = − ∇ ρ − ∇ − −∇ − ∇ τ − −τ ∇ + ρ⎡ ⎤⎣ ⎦∂ FenómenosdeTransporte Tema 2 — p. 34 Forma adimensional de las ecuaciones de variación Propiedades físicas constantes: ρ, μ Magnitudes características: L, V, p0 * * * * * *0 2 * * * * 2 2 2 *2 2 2 *2 *2 *2 * , , , , , x y z p pv tV x y z v p t x y z V L L L LV L x y z L x y z D L D V DtDt − = = = = = = ρ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∇ = ∇ = δ + δ + δ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∇ = ∇ = + +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Ecuación de continuidad: ( )* * . 0v∇ = Ecuación de movimiento: * * * *2 * * 2 Dv gL g p v LV gDt V ⎛ ⎞μ ⎛ ⎞ = −∇ + ∇ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ρ ⎝ ⎠⎝ ⎠ Grupos adimensionales característicos: Número de Reynolds: Re LVρ = μ Número de Froude: 2 V Fr gL =
  • 35. FenómenosdeTransporte Tema 2 — p. 35 Capa límite y flujo potencial Flujo potencial Fluido ideal: constante0 ,μ = ρ = Velocidad originada por un campo potencial (Φ): x yv v x y ∂Φ ∂Φ = = ∂ ∂ Ecuación de continuidad (ρ = constante): 0 yx vv x y ∂∂ + = ⇒ ∂ ∂ Ec. Laplace 2 2 2 2 0 x y ∂ Φ ∂ Φ + = ∂ ∂ Carácter irrotacional: 2 2 0 x yx y v vy x y v y xv x x y ⎫∂ ∂ Φ = ⎪ ∂∂ ∂ ∂ ∂⎪ ⇒ − = ⇒⎬ ∂ ∂∂ ∂ Φ ⎪= ⎪∂ ∂ ∂ ⎭ 0v∇ × = FenómenosdeTransporte Tema 2 — p. 36 Función de corriente (Ψ): x y v y v x ∂Ψ = ∂ ∂Ψ = ∂ 2 2 0 0 2 2 v v p gz p gz ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ρ ρ ∇ + ∇ + ∇ρ = ⇒ ∇ + + ρ = ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ constante 2 2 v P z g g + + = ρ
  • 36. FenómenosdeTransporte Tema 2 — p. 37 Capa límite FenómenosdeTransporte Tema 2 — p. 38 “Despegue” de la capa límite
  • 37. FenómenosdeTransporte Tema 3 — p. 1 TEMA 3 Conductividad calorífica y mecanismo del transporte de energía Ley de Fourier Determinación experimental Conductividad de gases Conductividad de líquidos Conductividad de sólidos FenómenosdeTransporte Tema 3 — p. 2 Ley de Fourier t < 0 x y y = Y y = 0 T0 t = 0 T0 T1 t > 0 ( , )T t y T0 T1 t → ∞ ( )T y T0 T1 1 0yQ T T k A Y − = y dT q k dy = − Medio isótropo: x y z dT q k dx dT q k q k T dy dT q k dz ⎫ = − ⎪ ⎪ ⎪ = − ⇒ = − ∇⎬ ⎪ ⎪ = − ⎪ ⎭
  • 38. FenómenosdeTransporte Tema 3 — p. 3 DIFUSIVIDAD TÉRMICA: p k C α = ρ k cal/cm.s.K H2(g) a 300 K y 1 atm H2(g) a 100 K y 1 atm Agua(g) a 25ºC y 1 atm Aire a 25ºC y 1 atm Agua(l) a 25ºC Agua(l) a 100ºC Benceno a 25ºC Al(l) a 700ºC Al(s) a 100ºC Vidrio a 200ºC 0.0004227 0.0001625 0.0000455 0.0000621 0.00145 0.00160 0.00342 0.247 0.2055 0.0017 FenómenosdeTransporte Tema 3 — p. 4 Determinación experimental 1 2 1 2 T Tq x VI k k A x T T A − Δ = ⇒ = Δ − Sólidos (régimen estacionario) 0 2 ( ) s s T Fo T T T T T t Fo R + + = Ψ − = − α = Sólidos (régimen no-estacionario)
  • 39. FenómenosdeTransporte Tema 3 — p. 5 ( ) 0 0 0 0 0 ~ s G s G s G T Tq IV k k T T A I V k T T − − ⇒ = − Fluidos FenómenosdeTransporte Tema 3 — p. 6 Conductividad de gases a ay T + y T ay T − y x λ Energía cinética: Calor específico: Balance de energía: ( ) 2 21 1 2 2 3 2 y y a y a y a y a q Z mu Z mu KZ T T − + − + = − = − Perfil plano de T: 2 3 2 3 y a y y a y dT T T dy dT T T dy − + = − λ = + λ 2 31 2 2 mu KT= ( )2 31 2 2v A d C N mu R dT = =
  • 40. FenómenosdeTransporte Tema 3 — p. 7 1 2 y dT q nKu dy = − λ 3 2 3 1 1 1 2 3 v K T k nKu C u d m = λ = ρ λ = π vk C= μ Modelo de Chapman-Enskog: Å 4 2 1.9891 10 , / . . k T M k k cal cm s K− = = σ Ω σ = 15 5 4 2 v R k C M = μ = μ Modelo de Euken (poliatómicas): 5 4 p R k C M ⎛ ⎞ = + μ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ FenómenosdeTransporte Tema 3 — p. 8 Diagrama generalizado:
  • 41. FenómenosdeTransporte Tema 3 — p. 9 2 3.75 , / 8.314 v v v kM k W mK C C R M kg mol N s m C J mol K R J mol K Ψ = − = μ = μ = = = (experimental para polares) Recomendación: gases no-polares 2 2 0.215 0.28288 1.061 0.26665 1 0.6366 1.061 3 2 2.0 10.5 0.7862 0.7109 1.3168 v r Z Z C R Z T + α − β + Ψ = + α + β + αβ α = − = + β = − ω + ω Método de Chung et al. (1986) FenómenosdeTransporte Tema 3 — p. 10 Método de Roy & Thodos rλ λ = Γ 1/ 63 4 210 c c T M P ⎛ ⎞ Γ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) int 0.0464 0.2412 int 8.757 r r r tr T T tr r e e C f T − λ = λΓ + λΓ ⎡ ⎤λΓ = −⎣ ⎦ λΓ =
  • 42. FenómenosdeTransporte Tema 3 — p. 11 Método de Wilke (mezclas gaseosas) 1 1 n i i mezcla n i j ij j x k k x= = = φ ∑ ∑ 1 1 1 2 2 4 2 1 1 1 8 ji i ij j j i MM M M − ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞μ⎢ ⎥φ = − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥μ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ FenómenosdeTransporte Tema 3 — p. 12 Conductividad de líquidos Modelo de Bridgman 2 3 2.80 A s N k Kv V ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Velocidad del sonido a baja frecuencia: p s v T C p v C ⎛ ⎞∂ = ⎜ ⎟ ∂ρ⎝ ⎠ Método de Latini et al. ( ) 1 6 0.38 1 r r A T k T − = * b v c A T A M T α β =
  • 43. FenómenosdeTransporte Tema 3 — p. 13 Método del punto de ebullición ( ) 1 2 1.11 ,bk T k w mK M = = Ecuación de Riedel: ( ) 2 3 3 20 1 rk B T⎡ ⎤= + − ⎣ ⎦ ( ) ( ) 2 3 1 2 2 3 1.11 3 20 1 3 20 1 r br T Mk T ⎡ ⎤+ − ⎣ ⎦ = + −
  • 44. FenómenosdeTransporte Tema 4 — p. 1 TEMA 4 Ecuaciones de variación para sistemas no isotérmicos Distribución de temperatura en sólidos y en flujo laminar. Conducción de calor con un manantial calorífico de origen eléctrico Convección Libre y Forzada Convección forzada: flujo en un tubo refrigerado por la pared Convección natural: paredes planas verticales Ecuación de energía La ecuación de energía en función de la temperatura Casos particulares La ecuación de energía en los distintos sistemas coordenados Ecuaciones adaptadas para procesos de convección natural Resumen de ecuaciones Flujo tangencial con generación de calor de origen viscoso Enfriamiento por transpiración Análisis dimensional Transmisión de calor por convección forzada en un tanque agitado Ecuaciones adimensionales: Convección libre o natural Temperatura de la superficie de una espiral de calentamiento eléctrico Interpretación de los números adimensionales FenómenosdeTransporte Tema 4 — p. 2 Ley de Newton Perfil de velocidad Integración Balance de C.D.M. Volumen de control Integración Densidad de flujo de C.D.M. Estudio del transporte de C.D.M. Ley de Fourier Perfil de temperatura Integración Balance de Energía Volumen de control Integración Densidad de flujo de Calor Estudio del transporte de Calor
  • 45. FenómenosdeTransporte Tema 4 — p. 3 Balances de energía Restricciones: • Régimen estacionario. • No se considera energía cinética, potencial o trabajo. Mecanismos de transporte: • Conducción de calor (Ley de Fourier). • Transporte convectivo. Generación de calor: eléctrica, viscosa, nuclear, reacción, ... velocidad de velocidad de velocidad de entrada de energía - salida de energía + producción de energía =0 calorífica calorífica calorífica ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ Balance: Condiciones límite mas frecuentes: • Temperatura conocida en la superficie: T = To • Densidad de flujo de calor conocida en la superficie: q = qo • Condiciones de transporte en la interfase sólido-fluido ("Ley de enfriamiento de Newton"): ( )fluidoq h T T= − FenómenosdeTransporte Tema 4 — p. 4 r Distribución de temperatura en sólidos y en flujo laminar Conducción de calor con un manantial calorífico de origen eléctrico Balance de energía: Velocidad de entrada Velocidad de salida Generación de de calor por de calor por calor por = - conducción por la conducción por la disipación superficie interior superficie exterior elé ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ctrica ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ Evaluación de los términos: ( ) 2 2 2 2 ,r r e er r r e I rLq r r Lq r r LS S k+Δ π = π + Δ − π Δ = Integrando (r=0 → qr=0): 2 e r S r q = L R ( )r e d rq S r dr =Por unidad de volumen (volumen → 0):
  • 46. FenómenosdeTransporte Tema 4 — p. 5 Ley de Fourier: 2 e r S rdT dT q k k dr dr = − → − = Condición límite: exr R T T= → = Integrando: 22 1 4 e ex S R r T T k R ⎡ ⎤⎛ ⎞ − = −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ Magnitudes derivadas (a) ΔT máximo: 2 4 e máx ex S R T T k − = (b) Flujo de calor en la superficie: 2 2 eR R Q RLq R LS= π = π FenómenosdeTransporte Tema 4 — p. 6 Convección Libre y Forzada
  • 47. FenómenosdeTransporte Tema 4 — p. 7 Δz Δr Convección forzada: flujo en un tubo refrigerado por la pared •Régimen estacionario. •Propiedades físicas constantes. •Régimen laminar. •Densidad de flujo de calor en la pared (q1) constante. Perfil de velocidad: 2 , 1z z máx r v v R ⎡ ⎤⎛ ⎞ = −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ 2 0 , ( ) , 4 L z máx R v L ℘ −℘ = μ Balance de energía: Conducción en r: q1 z r T0 Conducción en z: Convección en z: ( ) Entrada: Salida: 2 2 r r r r r q r z q r r z+Δ π Δ π + Δ Δ Entrada: Salida: 2 2 z z z z z q r r q r r+Δ π Δ π Δ ( ) ( ) z z Entrada: Salida: 0 0 2 2 p z p z z v r r C T T v r r C T T +Δ ρ π Δ − ρ π Δ − FenómenosdeTransporte Tema 4 — p. 8 Dividiendo por 2πr Δr Δz y tomando el límite Δr → 0, Δz → 0: 1ˆ r z p z rq qT C v z r r z ∂ ∂∂ ρ = − − ∂ ∂ ∂ Con el perfil de velocidad y la ley de Fourier: 2 2 , 2 1ˆ 1p z máx r T T T C v k r R z r r r z ⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ρ − = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ Conducción axial despreciable: 2 , 1ˆ 1p z máx r T T C v k r R z r r r ⎡ ⎤ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ρ − =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ Condiciones límite: r = 0 → T es finito r = R → (constante)1 T k q r ∂ − = ∂ z = 0 → T = T0 Integrando numéricamente ⇒ T(z,r)
  • 48. FenómenosdeTransporte Tema 4 — p. 9 Convección natural: paredes planas verticales •Régimen estacionario. •Propiedades físicas constantes. •Régimen laminar. •Temperatura de las paredes constante (T1 y T2). •Paredes muy largas (en z): T(y) Balance de energía: y yy y y q q +Δ = Integrando: 1 2 m y T T T b ⎛ ⎞ = − Δ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 1 1 2 2 m T T T T T T Δ = − + = vz(y) y z b Láminacaliente Láminafría T2 T1 T(y) 0 ydq dy ⇒ = 2 2 0 d T k dy ⇒ = FenómenosdeTransporte Tema 4 — p. 10 Balance de c.d.m.: 2 2 zd v dp g dzdy μ = + ρ Desarrollo en serie de Taylor (2 términos): ( ) ( )T T T T T T T ∂ρ ρ = ρ + − = ρ + ρβ − ∂ Admitiendo ( ) 2 2 zd vdp g g T T dz dy = −ρ ⇒ μ = −ρβ − Integrando: ( ) 2 3 , 12 z gb T y v b ρβ Δ = η − η η = μ En forma adimensional: ( )31 12 Grϕ = η − η velocidad adimensional distancia adimensional Número de Grashof 2 3 2 zbv y b gb T Gr ρ ϕ = = μ η = = ρ β Δ = = μ
  • 49. FenómenosdeTransporte Tema 4 — p. 11 z xy x x v x x x v Δ+ z z v z z z v Δ+ y y v y y y v Δ+ Ecuación de energía Velocidad de Velocidad de Velocidad de acumulación entrada de energía salida de energía = - de energía cinética e interna cinética e interna cinética e interna por convección por convec ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ción Velocidad neta Velocidad neta de adición de de trabajo comunicado + - calor por por el sistema conducción a los alrededores ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭ Balance de energía: FenómenosdeTransporte Tema 4 — p. 12 Velocidad de acumulación de energía cinética e interna: 21ˆ 2 x y z U v t ∂ ⎛ ⎞ Δ Δ Δ ρ + ρ⎜ ⎟ ∂ ⎝ ⎠ Velocidad neta de entrada de energía cinética e interna por convección: 2 2 2 2 2 2 1 1ˆ ˆ 2 2 1 1ˆ ˆ 2 2 1 1ˆ ˆ 2 2 x x x x x y y y y y z z z z z y z v U v v U v x z v U v v U v x y v U v v U v +Δ +Δ +Δ ⎧ ⎫⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ Δ Δ ρ + ρ − ρ + ρ +⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎧ ⎫⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ Δ Δ ρ + ρ − ρ + ρ +⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎧ ⎫⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ Δ Δ ρ + ρ − ρ + ρ⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭ Velocidad neta de adición de calor por conducción: { } { } { }x x y y z zx x x z z zy y y y z q q y z q q x y q q+Δ +Δ+Δ Δ Δ − + Δ Δ − + Δ Δ −
  • 50. FenómenosdeTransporte Tema 4 — p. 13 Velocidad neta de trabajo comunicado por el sistema a los alrededores: a. Fuerzas gravitacionales: b. Fuerzas de presión: c. Fuerzas viscosas: ( )x x y y z zx y z v g v g v g−ρΔ Δ Δ + + ( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( ){ } x xx x x y y y y y z zz z z y z pv pv x z pv pv x y pv pv +Δ +Δ +Δ Δ Δ − +Δ Δ − +Δ Δ − ( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( ){ } xx x xy y xz z xx x xy y xz z x x x yx x yy y yz z yx x yy y yz z y y y zx x zy y zz z zx x zy y zz z z z z y z v v v v v v x z v v v v v v x y v v v v v v +Δ +Δ +Δ Δ Δ τ + τ + τ − τ + τ + τ +Δ Δ τ + τ + τ − τ + τ + τ +Δ Δ τ + τ + τ − τ + τ + τ FenómenosdeTransporte Tema 4 — p. 14 SISTEMA Compresión/ Expansión ( ).p v− −∇ Disipación viscosa ( ): v− τ ∇ Energía Interna Uρ Energía Mecánica 21 2 vρ ALREDEDORES Trabajo Calor (conducción) ( ) ( ) ( ) . . . . v g pv v ρ − ∇ − ∇ τ⎡ ⎤⎣ ⎦( ).q− ∇ E. Interna ( ). vU− ∇ ρ E. Mecánica ( )( )21 2 . v v− ∇ ρ ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [1] [2] [3] [4] [5] [6] 2 21 1 2 2 ˆ ˆ. . . . . .U v v U v q v g pv v t ∂ ρ + = − ∇ ρ + − ∇ + ρ − ∇ − ∇ τ⎡ ⎤⎣ ⎦∂ 1. Velocidad de ganancia de energía por unidad de volumen, 2. entrada de energía por convección, 3. entrada de energía por conducción, 4. velocidad de trabajo comunicado al fluido por unidad de volumen debido a las fuerzas de gravitación, 5. fuerzas de presión, 6. fuerzas viscosas.
  • 51. FenómenosdeTransporte Tema 4 — p. 15 Transformación a un sistema de coordenadas móvil: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )21 2 ˆ . . . . . D U v q v g pv v Dt ρ + = − ∇ + ρ − ∇ − ∇ τ⎡ ⎤⎣ ⎦ Restando la ecuación de energía mecánica se obtiene la Ecuación de energía calorífica: 1. Velocidad de ganancia de energía interna por unidad de volumen, 2. entrada de energía interna por conducción, 3. aumento reversible de energía interna debido a la compresión 4. aumento irreversible de energía interna debido a la disipación viscosa. ( ) ( ) ( ) [1] [2] [3] [4] ˆ . . : DU q p v v Dt ρ = − ∇ − ∇ − τ ∇ FenómenosdeTransporte Tema 4 — p. 16 Simplificando para el caso de fluido newtoniano y conductividad calorífica constante: ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ V VT V U U p dU dV dT p T dV C dT T TV ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂⎛ ⎞ = + = − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂∂ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ( ) ( ) ( )ˆ ˆ . . :V V DT p C q T v v Dt T ∂⎛ ⎞ ρ = − ∇ − ∇ − τ ∇⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠ ( )2ˆ .V v DT p C k T T v Dt T ρ ∂⎛ ⎞ ρ = ∇ − ∇ + μϕ⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠ La ecuación de energía en función de la temperatura Generación de energía ⎧ ⎫ + ⎨ ⎬ ⎩ ⎭
  • 52. Casos particulares (a) Gas ideal. ( )2 ˆ ˆ .V V p p DT C k T p v T T Dt ∂⎛ ⎞ = ⇒ ρ = ∇ − ∇⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠ (b) Proceso a presión constante. 2ˆtan p DT p cons te C k T Dt = ⇒ ρ = ∇ Dt (c) Fluido incompresible. DT 2ˆtan . 0 p DT cons te v C k T Dt ρ = ⇒ ∇ = ⇒ ρ = ∇ (d) Sólido. rte ( ) 2ˆ0 . 0 p T v v C k T t ∂ = ⇒ ∇ = ⇒ ρ = ∇ ∂ sdeTranspoFenómenos Tema 4 — p. 17 La ecuación de energía en coordenadas rectangulares (en función de las densidades de flujo)(en función de las densidades de flujo) ˆ yx z v x y z qq qT T T T C v v v t x y z x y z ∂⎡ ⎤⎛ ⎞ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ρ + + + = − + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎣ ⎦ y yx z x z xx yy zz y y v vv v v vp T T x y z x y zρ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎧ ⎫∂ ∂ ∂ ∂∂⎛ ⎞ − + + − τ + τ + τ⎨ ⎬⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎩ ⎭ y yx x z z xy xz yz v vv v v v y x z x z y ⎧ ∂ ∂ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎪ ⎪⎛ ⎞ − τ + + τ + + τ +⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎪⎭ La ecuación de energía en coordenadas cilíndricas (en función de las densidades de flujo) 1 1ˆ ( ) z v r z r v q qT T T T C v v rq t r r z r r r z θ θ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ρ + + + = − + +⎜ ⎟ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂θ ∂ ∂ ∂θ ∂⎝ ⎠ ⎣ ⎦ rte 1 1 1 ( ) z r z r rr r zz v vv v vp T rv v T r r r z r r z θ θ θθ ρ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ∂ ⎧ ∂ ⎫∂ ∂ ∂∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ − + + − τ + τ + + τ⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂θ ∂ ∂ ∂θ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭ sdeTranspo 1 r z r r rz v v v v r r r r r θ θ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂∂ ⎛ ⎞ − τ + + τ +⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂θ ∂ ∂⎝ ⎠⎣ ⎦ 1 z z vv z r z θ θ ⎧ ⎫∂∂⎛ ⎞⎛ ⎞ + τ +⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂θ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭ Fenómenos Tema 4 — p. 18
  • 53. FenómenosdeTransporte Tema 4 — p. 19 La ecuación de energía en coordenadas esféricas (en función de las densidades de flujo) ( ) ( ) 2 2 2 2 ˆ sen 1 1 1 ( ) sen sen sen 1 1 1 ( ) sen sen sen 1 1 sen v r r r r r r rr vvT T T T C v t r r r q r q q r r rr vp T r v v T r r rr vv vv v v r r r r r φθ φ θ φ θ ρ φθ θ θθ φφ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ρ + + + =⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂θ θ ∂φ⎝ ⎠ ∂⎡ ⎤∂ ∂ − + θ +⎢ ⎥ ∂ θ ∂θ θ ∂φ⎣ ⎦ ∂⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎛ ⎞ − + θ +⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂ ∂ θ ∂θ θ ∂φ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∂∂∂ ⎛ ⎞ − τ + τ + + τ + +⎜ ⎟ ∂ ∂θ θ ∂φ⎝ ⎠ cot 1 1 sen 1 1 cot sen r r r r r v vv vv v r r r r r r v v v r r r φ φθ θ θ φ φ θ θφ φ ⎧ ⎫⎛ ⎞θ⎪ ⎪ ⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭ ⎧ ∂⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎛ ⎞⎪ − τ + − + τ + −⎨ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂θ ∂ θ ∂φ⎝ ⎠⎪ ⎝ ⎠⎩ ∂ ⎫⎛ ⎞∂ θ ⎪ +τ + − ⎬⎜ ⎟ ∂θ θ ∂φ ⎪⎝ ⎠⎭ FenómenosdeTransporte Tema 4 — p. 20 La ecuación de energía en coordenadas rectangulares (en función de las propiedades de transporte, para ρ, μ y k constantes) La ecuación de energía en coordenadas cilíndricas (en función de las propiedades de transporte, para ρ, μ y k constantes) 2 2 2 2 2 2 2 22 2 22 ˆ 2 v x y z y yx z x yx z z T T T T T T T C v v v k t x y z x y z v vv v v x y z y x vv v v z x z y ⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ρ + + + = + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎧ ⎫ ⎧∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + μ + + + μ +⎨ ⎬ ⎨⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎫∂⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ⎪⎛ ⎞ + + + + ⎬⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎭ 2 2 2 2 2 2 22 2 2 1 1ˆ 1 1 2 1 v r z r z z r z r r vT T T T T T T C v v k r t r r z r r r r z v vv v v v r r z z r vv v v r r z r r θ θ θ θ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ρ + + + = + +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂θ ∂ ∂ ∂ ∂θ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎧⎧ ⎫⎡ ∂ ⎤ ∂∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + μ + + + + μ +⎨ ⎬ ⎨⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂θ ∂ ∂ ∂θ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ + + + +⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂θ ∂⎝ ⎠ 2 r ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎪ ⎬⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎪⎭
  • 54. FenómenosdeTransporte Tema 4 — p. 21 La ecuación de energía en coordenadas esféricas (en función de las propiedades de transporte, para ρ, μ y k constantes) 2 2 22 2 2 2 2 22 1ˆ sen 1 1 sen 2 sen sen cot1 1 sen 1 v r r r r vvT T T T T C v k r t r r r r rr vT T rr r vv vv v r r r r r v r r r r φθ φθ θ θ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ⎡ ∂ ∂⎛ ⎞ ρ + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢∂ ∂ ∂θ θ ∂φ ∂ ∂⎝ ⎠⎣⎝ ⎠ ⎧⎤ ∂∂ ∂ ∂ ⎪⎛ ⎞⎛ ⎞ + θ + + μ ⎨⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂θ ∂θ ∂θ θ ∂φ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪⎦ ⎩ ⎫∂⎛ ⎞∂ θ⎛ ⎞ ⎪ + + + + + ⎬⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂θ θ ∂φ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎭ ∂ ⎛ ⎞ +μ +⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠ 22 2 1 sen sen 1 sen sen r r vv v r r r r v v r r φ φ θ ⎧ ⎡ ⎤⎛ ⎞⎡ ⎤∂ ∂ ∂⎪ + +⎨ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥∂θ θ ∂φ ∂⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎪⎩ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞ ∂θ ∂ ⎪ + + ⎬⎢ ⎥⎜ ⎟ ∂θ θ θ ∂φ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎪⎭ FenómenosdeTransporte Tema 4 — p. 22 1 r z T T T q k q k q k r r z θ ∂ ∂ ∂ = − = − = − ∂ ∂θ ∂ Componentes de la densidad de flujo de energía q (Ley de Fourier) Coordenadas rectangulares: Coordenadas cilíndricas: Coordenadas esféricas: x y z T T T q k q k q k x y z ∂ ∂ ∂ = − = − = − ∂ ∂ ∂ 1 1 sen r z T T T q k q k q k r r r θ ∂ ∂ ∂ = − = − = − ∂ ∂θ θ ∂φ
  • 55. FenómenosdeTransporte Tema 4 — p. 23 Limitaciones a la transformación de la ecuación de movimiento: • Bajas velocidades de fluido • Pequeñas variaciones de temperatura. Ecuaciones adaptadas para procesos de convección natural Fluido en reposo (ley de la hidrostática): p ρg∇ = ( ) Desarrollo en serie de la densidad: g T Tρ = ρ − ρβ − Ec. de movimiento: . Dv p g Dt ⎡ ⎤ρ = − ∇ τ − ∇ + ρ⎣ ⎦ ( ). Dv g T T Dt ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎡ ⎤⇒ ρ = − − ∇ τ − ρβ −⎬ ⎣ ⎦ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭ FenómenosdeTransporte Tema 4 — p. 24
  • 56. FenómenosdeTransporte Tema 4 — p. 25 FenómenosdeTransporte Tema 4 — p. 26
  • 57. FenómenosdeTransporte Tema 4 — p. 27 κRR r ΩoEl perfil de velocidad se obtiene integrando la ecuación de movimiento: 1 0 o r z r R R r v R v v θ κ⎛ ⎞ −⎜ ⎟ κ⎝ ⎠= Ω ⎛ ⎞ − κ⎜ ⎟ κ⎝ ⎠ = = Ecuación de energía: 2 1 0 vd dT d r r r dr dr dr r θ⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ = κ + μ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ Substituyendo el perfil de velocidad... ( ) 2 4 4 2 42 41 1 0 1 o Rd dT r r dr dr r μΩ κ⎛ ⎞ = κ +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − κ Flujo tangencial en tubos concéntricos con generación de calor de origen viscoso T1 Tκ T(r) vθ(r) FenómenosdeTransporte Tema 4 — p. 28 En coordenadas adimensionales: 4 1 1 4 d d N d d ⎛ ⎞Θ ξ = −⎜ ⎟ ξ ξ ξ ξ⎝ ⎠ ( ) ( ) Brinkman 1 4 22 2 2 1 , 1 o T Tr R T T N Br R Br T T κ κ κ − ξ = Θ = − κ = − κ μΩ = = κ − Integrando: 1 22 1 lnN C CΘ = − + ξ + ξ Condiciones límite: 0 1 1 ξ = κ Θ = ξ = Θ = ( ) ( )2 2 ln 1 1 ln N N N N ⎛ ⎞ ξ⎛ ⎞ Θ = + − − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ κξ κ⎝ ⎠⎝ ⎠ 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 ξ Θ 1000 100 N N = = 3000 2000 N N = = κ 1 0.98κ =
  • 58. FenómenosdeTransporte Tema 4 — p. 29 Enfriamiento por transpiración Ecuación de continuidad: ( )2 2 1 0r d r v drr ρ = Ecuación de energía: 2 2 1ˆ p r dT d dT C v k r dr dr drr ⎛ ⎞ ρ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Condiciones límite: 1 r R T T r R T T κ= κ = = = Tκ T1 T(r) CONDUCCION kR R CONVECCION / / 1 / / 1 ˆ , 4 o o o o R r R R r p oR R R R w CT T e e R T T ke e − − − κ − κ − − = = − π− Integrando: κR R constante2 4 r r w r v⇒ ρ = = π FenómenosdeTransporte Tema 4 — p. 30 Cálculo de la refrigeración mediante un balance macroscópico de energía: ( )1 ˆ r p refigerante conducción r R w C T T Q Qκ = − + =(a) A la corteza exterior: (b) A la corteza interior: ( ) ( )( ) 0 1 / 1 ˆ4 , 41o r p refigerante oR R w CkR T T Q R ke κ κ −κ π − = = π− 1 0 4 1 T T Q k R κ− = π κ − κ Para un flujo de aire igual a cero: ( ) 0 1 1 1 o o Q Q Q e R R φ − φ ε = = − − − κ φ = κ Eficacia de transpiración: 2 2 4refigerante conducción r R r R dT Q Q k R dr=κ =κ = = π κ
  • 59. FenómenosdeTransporte Tema 4 — p. 31 Restricción: Propiedades físicas constantes (ρ, μ, k). Ecuaciones con dimensiones Ec. Continuidad: ( ). 0v∇ = Ec. Movimiento: ( )o (convección forzada) - g T-T (convección libre) 2 p gDv v Dt ⎧−∇ + ρ⎪ ρ = μ∇ + ⎨ ρβ⎪⎩ Ec. Energía: 2ˆ p DT C k T Dt νρ = ∇ + μφ Variables características: 1 0, , , ,oV D P T T * * * * * * * 2 1 , , , , , ,o o o p p T Tv tV x y z v p t T x y z V D T T D D DV − − = = = = = = = −ρ Ec. Continuidad: ( )* * . 0v∇ = Ec. Movimiento: * *2 * * * * 1 1Dv g v p Re Fr gDt = ∇ − ∇ + Ec. Energía: * *2 * * * 1 RePr RePr DT Br T Dt ν= ∇ + φ ( ) 2 2 1 ˆ Re , , Pr , p o CDV V V Fr Br gD k k T T μρ μ = = = = μ − Análisis dimensional de las ecuaciones de variación Ecuaciones adimensionales: Convección forzada FenómenosdeTransporte Tema 4 — p. 32 Cambio de escala: Influencia del tamaño (D) sobre el calor retirado por el refrigerante (Q) Calor retirado en el refrigerante: 0nA T Q k dA n = ∂ = − ∂∫ Variables adimensionales: * * * 2 1 , , o o T TA n A n T D T TD − = = = − Transmisión de calor por convección forzada en un tanque agitado Se mantiene: T1 (Disolución) T0 (Superficie refrigerante) Re Semejanza geométrica Q cteD ⎫ ⎪ ⎪ ⇒ =⎬ ⎪ ⎪⎭ ( ) ** * * 1 * 0 o nA T Q k T T D dA n = ∂ = − − ∂∫ * * * 0 (Re,Pr, ) n T f condiciones límite n = ∂ = ∂
  • 60. FenómenosdeTransporte Tema 4 — p. 33 Ecuaciones adimensionales: Convección libre o natural Variables características: 1, , oD T T ** ** * 2 1 * * * , , , , o o T TvD t v t T T TD x y z x y z D D D −ρ μ = = = μ −ρ = = = Ec. Continuidad: ( )* ** . 0v∇ = Ec. Movimiento: ** *2 ** * ** Dv g v T Gr gDt = ∇ − Ec. Energía: * *2 * ** 1 Pr DT T Dt = ∇ ( ) Grashof 2 3 1 2 ˆ Pr , p oC g T T D Gr k μ ρ β − = = = μ FenómenosdeTransporte Tema 4 — p. 34 Calor cedido por la resistencia: r RA T Q k dA r = ∂ = − ∂∫ Variables adimensionales: * * * 2 1 , , o o T TA r A r T D T TD − = = = − ( ) * ** * * * 1 o r RA Q T dA k T T D r = ∂ = − − ∂∫ Multiplicando ambos miembros por: ( )2 3 1 2 oT T gD Gr ρ β − = μ 2 2 2 ( ) (Gr) Q gD Gr Gr k ρ β = Ψ = Φ ⇒ μ ( ) 2 2 2 1 1 2 3 2o Q gD T T gD k − ⎛ ⎞μ ρ β − = Φ ⎜ ⎟⎜ ⎟ρ β μ⎝ ⎠ La función Φ se obtiene experimentando con el modelo. Si además se utiliza el mismo fluido: ( ) ( )2 2 modelo prototipo QD QD= ⇒ ( ) ( )3 3 1 1 mod o o elo prototipo T T D T T D⎡ ⎤ ⎡ ⎤− = −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Temperatura de la superficie de una espiral de calentamiento eléctrico * * * * (Pr, , ) r R T f Gr condiciones límite r = ∂ = ∂ ( )1 ( ) o Q Gr k T T D ⎫ ⎪ ⎪ ⇒ = Ψ⎬ −⎪ ⎪⎭
  • 61. FenómenosdeTransporte Tema 4 — p. 35 ( ) ( ) ( ) fuerzas de inercia fuerzas viscosas fuerzas de inercia fuerzas de gravedad fuerzas de flotación fuerzas de inercia transporte de calor 2 2 2 1 2 2 1 2 1 / Re / / Re / ˆ / PrRe / o p o o V D V D V D Fr g g T TGr V D C V T T D k T T D ρ = = μ ρ = = ρ ρβ − = = ρ ρ − = = − ( ) ( ) por convección transporte de calor por conducción producción de calor por disipación viscosa transporte de calor por conducción 2 2 1 / /o V D Br k T T D μ = = − Interpretación de los números adimensionales
  • 62. FenómenosdeTransporte Tema 5 — p. 1 TEMA 5 Difusividad y mecanismos del transporte de materia Definiciones de concentraciones, velocidades y densidades de flujo de materia Ley de Fick de la difusión Determinación experimental de la difusividad Ecuaciones de predicción y correlación para los estados líquido y gaseoso Analogía entre los distintos transportes FenómenosdeTransporte Tema 5 — p. 2 Definiciones de concentraciones, velocidades y densidades de flujo de materia i masa componente i Concentración en masa: volumen de mezcla moles de i Concentración molar: volumen de mezcla masa de i Fracción másica: masa de mezcla moles de i Fracción molar: moles de i i i i i i i c M w c x c ρ = ρ = = ρ = = ρ = = mezcla Concentración Relaciones 2 1 / / / A B A A B B A A A A A B B A A A B A B A B x x x M x M M w M x w M w M dw dx w w M M M M + = + = = + = ⎛ ⎞ +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ( )2 1 / / 1/ A B A A B B A A A A A B B A B A A A A B B w w w M w M M x M w x M x M M M dx dw x M x M + = + = = + = + Masa Moles
  • 63. FenómenosdeTransporte Tema 5 — p. 3 A A A C B B vB vA vA vA vC vB Velocidad media: N N i i i 1 i 1 N N i i i 1 i 1 Masa Moles * i iv cv v v c = = = = ρ = = ρ ∑ ∑ ∑ ∑ Velocidad de difusión: Masa: Moles: * i i v v v v − − Velocidad de mezclas en procesos de transferencia de materiaFenómenosdeTransporte Tema 5 — p. 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * * * * * 1 1 A A B B A A B B A A B B A A B B A A B B A A B B v v v w v w v v c v c v x v x v c v v w v v w v v v v x v v x v v = ρ + ρ = + ρ = + = + − = − + − − = − + − Relaciones entre velocidades Sistema de coordenadas Base Estacionario Masa Moles Masa i i in v= ρ ( )i i ij v v= ρ − ( )* * i i ij v v= ρ − Moles i i iN c v= ( )i i iJ c v v= − ( )* * i i iJ c v v= − ( ) ( ) * * * * * * * 0 0 A B A B A B A B A B A B n n v N N cv j j J J c v v j j v v J J + = ρ + = + = + = − + = ρ − + = Densidades de flujo
  • 64. FenómenosdeTransporte Tema 5 — p. 5 * * A A A A A A A A A n M N n j v N J c v = = + ρ = + Sistema de coordenadas estacionario: ( ) * A A A A B B A A A A B A A A A B A A j n w n n M J N w N N M j J M M J J M = − + ⎛ ⎞ = − +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = = Sistema de coordenadas móvil (masa): ( ) * * * * * A A A A A B B A A A A B A A B A A A M j n x n n M J N x N N M j j M j J M ⎛ ⎞ = − +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = − + = = Sistema de coordenadas móvil (moles): Relaciones entre densidades de flujoFenómenosdeTransporte Tema 5 — p. 6 * A Ay AB dx J cD dy = − Forma vectorial: * A AB AJ cD x= − ∇ Ley de Fick de la difusión xA1 xA2 * AJ Sistema T (K) xA DAB (cm2 /s CO2 + N2O (g) Ar + O2 H2 + CH4 Etanol + Agua (l) Al + Cu (s) 273.2 293.2 298.2 298.2 293.2 0.05 0.50 0.95 0.096 0.20 0.726 1.13 10-5 0.90 10-5 2.20 10-5 1.3 10-30
  • 65. FenómenosdeTransporte Tema 5 — p. 7 ( ) ( ) ( ) ( ) * * 2 2 * * A A A A B AB A A A A A B AB A A A AB A A A AB A A A A B AB A A A AB A A B AB A B A B A A B n n w n n D w N N x N N cD x j j D w J J cD x c j j M M D x J J D w cM M cD c v v c v v x x x = + − ρ ∇ = + − ∇ = −ρ ∇ = − ∇ = − ∇ ρ ρ = − ∇ − − = − ∇ Transporte Densidad Transporte = global de + de flujo difusional la fase ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎪ ⎪ ⎩ ⎭ Otras formas de la Ley de FickFenómenosdeTransporte Tema 5 — p. 8 Determinación experimental de la difusividad Difusividad de vapores en gases (celda de Stephan) ,0 ,A A ZA Az AB AB y ydc p N D D dz RT Z − = − = ,0 , 0 0 o A A A Z p z y p z Z y = ⇒ = = ⇒ = L Az A A z N A t M Δ ρ Δ = ⇒ L AB o A A RT z D Z tM p ρ Δ = Δ B A Z Difusividad en disoluciones líquidas 1 2A A A Az AB Ab dc c c N D D dz Z − = − = 2Az AN A t V cΔ = Δ ⇒ 2 1 2 1A AB A A cZV D A c c t Δ = − Δ cA1 cA2Z V
  • 66. FenómenosdeTransporte Tema 5 — p. 9 Ecuaciones de predicción y correlación para los estados líquido y gaseoso Teoría cinética (simplificación adicional: autodifusión): Balance de materia: ( )* 1 1 1 1 4 4 Ay A A A Ay a y ay a y a J Z x Z x nx u nx u N N − +− + ⎛ ⎞ = − = −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Gradiente lineal de concentración: 2 3 2 3 A A Ay a y A A Ay a y dx x x dy dx x x dy − + = − λ = + λ Difusividad de gases (autodifusión) a y x λ y ax + yx y ax − ( )x y Operando: * 1 3 A Ay dx J cu dy = − λ Comparando con la ley de Fick: * 1/ 23 3 / 2 3 2 1 2 3 3AA A A K T D u m pd ⎛ ⎞ = λ = ⎜ ⎟⎜ ⎟π⎝ ⎠ * * A Ay AA dx J cD dy = − ⇒ FenómenosdeTransporte Tema 5 — p. 10 Difusividad de gases (sistemas binarios) 1/ 23 / 2 3 / 2 2 2 1 1 3 2 2 2 AB A B A B K T D m m d d p ⎛ ⎞⎛ ⎞ = +⎜ ⎟⎜ ⎟ π⎝ ⎠ +⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3 2 1 1 0.0018583 AB A B AB AB D T M M D p ⎛ ⎞ +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = σ Ω ( ) 1 2 AB A B AB A B σ = σ + σ ε = ε ε Estimación de parámetros: Teoría de Chapman-Enskog
  • 67. FenómenosdeTransporte Tema 5 — p. 11 Ecuación predictiva Basada en la ley de los estados correspondientes: ( ) ( ) 1/ 2 1/ 3 5 /12 1 1 b AB cA cB cA cB cA cB A B pD T a T T p p T T M M ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎝ ⎠ +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ a b Mezclas binarias de gases no polares Mezclas H2O + gas no-polar 2,745 10-4 3,640 10-4 1,823 2,334 Difusividad de líquidos Ecuación de Wilke: ( )1/ 2 8 2 3 0.6 7.410 , / , , , /B B AB AB A A M T D D cm s T K cP V cm mol V − ψ = = = μ = = μ ψB = parámetro de asociación del disolvente (B). Valores recomendados: 2,6 para el agua, 1,9 para el metanol, 1,5 para el etanol y 1,0 para disolventes no asociados (benceno, éter, heptano,...). FenómenosdeTransporte Tema 5 — p. 12 Influencia de las variables de operación Presión Temperatura Concentración Gases ~ p-1 ~T1.5-2.0 — Líquidos — ~T1.0 ~ xA 1 Analogía entre los distintos transportes ( ) ( ) *px A yx y Ay AB d C Td u dc q J D dy dy dy ρρ τ = −ν = −α = − ( / )P d P V At dy = −ϕ P P/At P/V ϕ C.D.M. τyx ρux υ Calor qy ρCpT α Materia (mol) J*Ay cA DAB
  • 68. FenómenosdeTransporte Tema 6 — p. 1 TEMA 6 Ecuaciones de variación para sistemas de varios componentes Balances de materia aplicados a una envoltura: condiciones límite: Difusión a través de una película gaseosa estancada Difusión con reacción química heterogénea Difusión con reacción química homogénea Transferencia de materia por convección forzada Ecuación de continuidad para una mezcla binaria: La ecuación de continuidad en diversos sistemas coordenados Ecuación de continuidad para sistemas de varios componentes en función de las densidades de flujo Ecuación de continuidad para sistemas de varios componentes en función de las propiedades de transporte Ejemplo: Transferencia simultánea de calor y materia FenómenosdeTransporte Tema 6 — p. 2 Ley de Newton Perfil de velocidad Integración Balance de C.D.M. Volumen de control Integración Densidad de flujo de C.D.M. Estudio del transporte de C.D.M. Ley de Fick Perfil de Concentración Integración Balance de Materia Volumen de control Integración Densidad de flujo de Materia Estudio de la transferencia de materia
  • 69. FenómenosdeTransporte Tema 6 — p. 3 Balances de materia aplicados a una envoltura: condiciones límite velocidad de velocidad de velocidad de entrada de salida de producción de materia de A materia de A materia de A 0 ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ − + =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ Balance de materia en régimen estacionario ( )A Az AB A Az Bz x N cD x N N z ∂ = − + + ∂ Ley de Fick • Concentración conocida: xA= xAo • Densidad de flujo conocida: NA= NAo • Transporte de interfase sólido-fluido: NAz= kc(cA-cAo) Condiciones límite habituales FenómenosdeTransporte Tema 6 — p. 4 Difusión a través de una película gaseosa estancada Ley de Fick: 0 1 AB A Bz Az A cD x N N x z ∂ = ⇒ = − − ∂ Balance de materia: 0Az Azz z z SN SN +Δ − = ⇒ 0AzdN dz = Condiciones límite: 1 1 2 2 o A A A T A A P z z x x P z z x x = ⇒ = = = ⇒ = Perfil de concentración: 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 z z z z A A A A x x x x ⎛ ⎞− ⎜ ⎟ −⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Densidad de flujo: 2 2 1 1 lnAB B Az B cD x N z z x = −
  • 70. FenómenosdeTransporte Tema 6 — p. 5 Difusión con reacción química heterogénea Reacción catalítica instantánea 22A A→ Ley de Fick: 2 2 1 2 1 2 AA A A z Az Az A cD dx N N N x dz = − ⇒ = − − Balance de materia: 0 0Az Az Azz z z dN SN SN dz+Δ − = ⇒ = FenómenosdeTransporte Tema 6 — p. 6 Condiciones límite: 0 0 A Ao A z x x z x = ⇒ = = δ ⇒ = Perfil de concentración: 1 1 1 2 2 z AoA xx − δ⎛ ⎞⎛ ⎞ − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Densidad de flujo: 2 2 1 ln 1 2 AA Az Ao cD N x = δ −
  • 71. FenómenosdeTransporte Tema 6 — p. 7 Difusión con reacción química homogénea Reacción homogénea, con cinética de primer orden: 1, A AA B AB r k c+ → = − Balance de materia: 1 10 0Az Az Az A Az z z dN SN SN k c S z k c dz+Δ − − Δ = ⇒ + = Ley de Fick para componente A diluido (xA 0): A Az AB dc N D dz = − FenómenosdeTransporte Tema 6 — p. 8 Condiciones límite: 0 0 A Ao A z c c dc z L dz = ⇒ = = ⇒ = Perfil de concentración: 21 1 1 1 cosh 1 , cosh A Ao AB z b c k LL b c b D ⎡ ⎤ −⎢ ⎥⎣ ⎦= = Densidad de flujo en la superficie de nivel: 1 10 tanhAo AB Az z c D N b b L= =
  • 72. FenómenosdeTransporte Tema 6 — p. 9 Transferencia de materia por convección forzada Integrando las ecuaciones de continuidad y movimiento: 2 ,( ) 1z z máx x v x v ⎡ ⎤⎛ ⎞ = −⎢ ⎥⎜ ⎟ δ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ Balance de materia: 0 Az Az Axz z z x Ax x x W x N W x N W z N W z N +Δ +Δ Δ − Δ + Δ − Δ = En el límite: 0Az AxN N z x ∂ ∂ + = ∂ ∂ FenómenosdeTransporte Tema 6 — p. 10 Ley de Fick: ( ) ( ) ( ) ( ) A Az AB A Az Bz A Az Bz A z A A Ax AB A Ax Bx AB dc N D x N N x N N c v x dz dc dc N D x N N D dx dx = − + + ≈ + ≈ = − + + ≈ − Substituyendo: 2 2 , 2 1 A A z máx AB c cx v D z x ⎡ ⎤ ∂ ∂⎛ ⎞ − =⎢ ⎥⎜ ⎟ δ ∂ ∂⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ Condiciones límite: 0 0 0 0 A A Ao A z c x c c c x x = ⇒ = = ⇒ = ∂ = δ ⇒ = ∂ La solución: , 4 A Ao AB z máx c x erfc c D z v =
  • 73. FenómenosdeTransporte Tema 6 — p. 11 Ecuación de continuidad para una mezcla binaria z xy Ax x n Ax x x n + Δ Az z n Az z z n + Δ Ay y n Ay y y n + Δ velocidad de velocidad de velocidad de velocidad de acumulación de entrada de salida de producción de masa de A masa de A masa de A masa de A ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = − +⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ Ax x Ax x x x y z t n y z n y z+Δ ∂ρ Δ Δ Δ ∂ Δ Δ + Δ Δ Δ A Velocidad de acumulación: Velocidad de entrada (cara x): Velocidad de salida (cara x x): AyA Ax Az A nn n r t x y z ∂⎛ ⎞∂ρ ∂ ∂ + + + =⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ Notación vectorial: A A An r t ∂ρ + ∇ = ∂ FenómenosdeTransporte Tema 6 — p. 12 Análogamente para el componente B: B B Bn r t ∂ρ + ∇ = ∂ Sumando las dos ecuaciones: 0 A B A B A B n n n v r r ρ + ρ = ρ ⎫ ⎪ + = = ρ ⇒⎬ ⎪+ = ⎭ . 0v t ∂ρ + ∇ ρ = ∂ ... que es la ecuación de continuidad para un fluido puro. Si el fluido es incompresible: constante . 0vρ = ⇒ ∇ = Para la densidad de flujo molar (desarrollo análogo): .A A A c N R t ∂ + ∇ = ∂ Sumando las ecuaciones para los dos componentes: * A B A B c c c N N N cv + = ⎫⎪ ⇒⎬ + = = ⎪⎭ ( )* . A B c cv R R t ∂ + ∇ = + ∂ Para concentración global constante: constante * . A BR R c v c + = ⇒ ∇ =
  • 74. FenómenosdeTransporte Tema 6 — p. 13 Para el cálculo de perfiles de concentración hay que introducir la ley de Fick: Simplificaciones habituales (a) Densidad y difusividad constantes (disoluciones diluidas,T constante). constante .v 0 2 .A A A AB A Av v D r t ∂ρ ⎫ + ρ ∇ + ∇ρ = ∇ ρ + ⎪ ∂ ⇒⎬ ⎪ρ = ⇒ ∇ = ⎭ * . . . . A A AB A A A A AB A A v D w r t c c v cD x R t ∂ρ + ∇ ρ = ∇ ρ ∇ + ∂ ∂ + ∇ = ∇ ∇ + ∂ 2 .A A AB A A c v c D c R t ∂ ⇒ + ∇ = ∇ + ∂ , dividiendo por la masa molecular de A ... FenómenosdeTransporte Tema 6 — p. 14 (c) ..si además la velocidad molar media es nula y no hay reacción, (sólidos o líquidos estacionarios, y gases con interdifusión equimolar) "Segunda ley de Fick"2A AB A c D c t ∂ = ∇ ∂ constante * * 2 * . . A A A AB A A A B c c v v c D c R t R R c v c ∂ ⎫ + ∇ + ∇ = ∇ + ⎪⎪∂ ⇒⎬ + ⎪= ⇒ ∇ = ⎪⎭ (b) Concentración total y difusividad constantes (gases a baja densidad, T y P ctes.) ( )* 2 .A A A AB A A A B c c v c D c R R R t c ∂ ⇒ + ∇ = ∇ + − + ∂
  • 75. FenómenosdeTransporte Tema 6 — p. 15 Rectangulares: AyA Ax Az A Nc N N R t x y z ∂⎛ ⎞∂ ∂ ∂ + + + =⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ Cilíndricas: ( ) 1 1 AA Az Ar A Nc N rN R t r r r z θ∂∂ ∂∂⎛ ⎞ + + + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂θ ∂⎝ ⎠ Esféricas: ( ) ( )2 2 1 1 1 AA Ar A A Nc r N N sen R t r r sen r senr φ θ ∂⎛ ⎞∂ ∂ ∂ + + θ + =⎜ ⎟ ∂ ∂ θ ∂θ θ ∂φ⎝ ⎠ Rectangulares: 2 2 2 2 2 2 A A A A A A A x y z AB A c c c c c c c v v v D R t x y z x y z ⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + + = + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Cilíndricas: 1A A A A r z c c c c v v v t r r z θ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ + + + =⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂θ ∂⎝ ⎠ 2 2 2 2 2 1 1A A A AB A c c c D r R r r r r z ⎛ ⎞∂ ∂ ∂∂ ⎛ ⎞ = + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂θ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ Esféricas: 1 1A A A A r c c c c v v v t r r r sen θ φ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ + + + =⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂θ θ ∂φ⎝ ⎠ 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1A A A AB A c c c D r sen R r rr r sen r sen ⎛ ⎞∂ ∂ ∂∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + θ + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂θ ∂θθ θ ∂φ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ La ecuación de continuidad en diversos sistemas coordenados La ecuación de continuidad de A para ρ y DAB constantes FenómenosdeTransporte Tema 6 — p. 16 Ecuación de continuidad: ( ) ( ). . 1,2,...,i i i i D v j r i n Dt ρ = −ρ ∇ − ∇ + = Sumando para todos los componentes: ( ). 0v t ∂ρ + ∇ ρ = ∂ Ecuación de movimiento: Ecuación de energía: 1 . n i i i Dv g P Dt = ⎡ ⎤ρ = − ∇ π + ρ π = τ + δ⎣ ⎦ ∑ ( ) [ ]( ) ( )2 1 1ˆ . . . . 2 n i i i D U v q v n g Dt = ⎧ ⎫ ρ + = − ∇ − ∇ π +⎨ ⎬ ⎩ ⎭ ∑ Otras ecuaciones necesarias para describir el sistema: • Ecuación de estado: p = p(ρ,T,xi) • Ecuación térmica de estado: Û =Û(ρ,T,xi) • Expresiones para las densidades de flujo: ji, π, q • Propiedades de transporte: µ, k, DAB = f(P,T,xi) • Cinéticas de las reacciones: ri • Campos de fuerzas: gi Ecuación de continuidad para sistemas de varios componentes en función de las densidades de flujo
  • 76. FenómenosdeTransporte Tema 6 — p. 17 Densidades de flujo en un sistema de coordenadas estacionario (Transporte convectivo + molecular) i c.d.m.: vv Energía: Materia: n 21ˆ . 2 1,2,...,i i e U v v q v w v j i n φ = ρ + π ⎧ ⎫ = ρ + + + π⎡ ⎤⎨ ⎬ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭ = ρ + = Las ecuaciones de variación correspondientes ... ( ) ( ) ( ) Movimiento: Energía: t Continuidad: 1 2 1 . 1ˆ . . 2 . 1,2,..., n i i i n i i i i i i v g t U v e n g n r i n t = = ∂ ⎡ ⎤ρ = − ∇ φ + ρ⎣ ⎦∂ ∂ ⎧ ⎫ ρ + = − ∇ +⎨ ⎬ ∂ ⎩ ⎭ ∂ ρ = − ∇ + = ∂ ∑ ∑ FenómenosdeTransporte Tema 6 — p. 18 ACOPLAMIENTO Diferencia de órdenes: 0,2 DENSIDAD DE FLUJO FUERZA IMPLUSORA i q j τ { } , ,i i v T x P g ∇ ⎡ ⎤∇⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤∇ ∇ ≠⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Ecuación de continuidad para sistemas de varios componentes en función de las propiedades de transporte
  • 77. FenómenosdeTransporte Tema 6 — p. 19 Densidades de flujo c.d.m. (newtonianos): ( ) ( )( )2 3 . t v v v⎛ ⎞τ = −μ ∇ + ∇ + μ − κ ∇ δ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Energía: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 n c d x x i i i q q q q k T H J q = = + + = − ∇ + +∑ En un sistema de coordenadas estacionario: { }( ) ( ) ( ) 21 2 ˆ.c d x e q q q v U v v= + + + π + ρ +⎡ ⎤⎣ ⎦ { }Despreciando ( ) 21 2 , . :x q v v vτ + ρ⎡ ⎤⎣ ⎦ 1 n i i i e k T N H = = − ∇ + ∑ FenómenosdeTransporte Tema 6 — p. 20 Materia: ( )( ) ( ) ( ) 2 ( ) , ,1 1 , 2 ( ) 1 2 ( ) 1 1 s gx P T i i i i i n n jx i j ij j ki k T p xj k s j kk j n jP i j ij j ji jj n g k i j ij j j j ki k j j j j j Gc j M M D x x RT x Vc j M M D x M P RT M c j M M D x M g g RT = = ≠≠ = = = + + + ⎡ ⎤ ⎛ ⎞∂⎢ ⎥ = ∇⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ρ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤⎛ ⎞ = − ∇⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ρ ρ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎛ ρ = − −⎜ ρ ρ⎝ ∑ ∑ ∑ ∑1 ( ) ln n j T T iij D T = ⎡ ⎤⎞ ⎢ ⎥⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎠⎣ ⎦ = − ∇ ∑
  • 78. FenómenosdeTransporte Tema 6 — p. 21 En un sistema binario ... 2 2 , A A B A B AB A A A A T P Gc j j M M D x x RT x M ⎡⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ⎢= − = − ∇ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ρ ∂⎢⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎣ ( ) 1 lnTB A A B A A V g g P D T M ⎤⎛ ⎞ρ − − + − ∇ − ∇⎥⎜ ⎟ ρ ρ⎝ ⎠ ⎦ ( ) 2, ln , T A A A TT P ABA B D dG RT d a k Dc M M ρ = = 2 , ln ln A A B A B AB A A T P ac j j M M D x x ⎡⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ⎢= − = − ∇ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ρ ∂⎢⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎣ ( ) 1 lnA B A A A A A B T A M x M x V g g P k T RT RT M ⎤⎛ ⎞ρ − − + − ∇ − ∇⎥⎜ ⎟ ρ ρ⎝ ⎠ ⎦ FenómenosdeTransporte Tema 6 — p. 22 Ejemplo: Transferencia simultánea de calor y materia Ecuación de continuidad: 0AzdN dz = Perfil de concentración (Ley de Fick): 1 AB A Az A cD dx N x dz = − ⇒ − Densidad de flujo: 1 ln 1 AAB Az Ao xcD N x δ⎛ ⎞− = ⎜ ⎟ δ −⎝ ⎠ / 11 1 1 z AA Ao Ao xx x x δ δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞−− ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ VAPOR A + INERTE SUPERFICIEFRIA CONDENSADO Tδ zT 0T Ax δ Azx 0Ax 0z = z = δ z
  • 79. FenómenosdeTransporte Tema 6 — p. 23 Ecuación de energía: 0zde dz = Densidad de flujo de energía: ( ) ( )0z A Az B Bz Az pA dT dT e k H N H N k N C T T dz dz = − + + = − + − Integrando: 0 0 1 exp 1 exp Az pA Az pA N C z kT T T T N C k δ ⎡ ⎤ − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎣ ⎦= − ⎡ ⎤ − δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ El perfil de concentración en función de la densidad de flujo: 1 exp 1 exp Az ABA Ao A Ao Az AB N z cDx x x x N cD δ ⎡ ⎤ − ⎢ ⎥ − ⎣ ⎦= − ⎡ ⎤ − δ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
  • 80. FenómenosdeTransporte Tema 7 — p. 1 TEMA 7 Transporte en flujo turbulento Flujo turbulento. Transporte turbulento de c.d.m. Ecuaciones de variación de tiempo ajustado. Distribución de velocidad en flujo turbulento. Transporte turbulento de energía. Transporte turbulento de materia. FenómenosdeTransporte Tema 7 — p. 2 Flujo turbulento Velocidad instantánea: ( ), , ,z zv v t x y z= Velocidad de tiempo ajustado: ( ) 0 1 , , , o z z t t z t v v dt v t x y z t + = =∫ Componente fluctuante: ' zz zv v v= − 0 ' ' 0 t t z z t v v dt + = =∫ VELOCIDAD t zv zv 'zv 'zv
  • 81. FenómenosdeTransporte Tema 7 — p. 3 Intensidad de la turbulencia ( )2 2 21 3 ' ' 'x y zv v v I v + + = Turbulencia isotrópica: 2 2 2 2 ' ' ' ' x x y z v v v v I v = = ⇒ = ( ) ' ' 1 2 '2 '2 1 2 x x x x v v R y v v = R(y) 1 0 y Tamaño de los remolinos Escala de turbulencia: 0 ( )yL R y dy ∞ = ∫ FenómenosdeTransporte Tema 7 — p. 4 z y )(yvx xv yv' x A ( ) ' 'x y x y xt yx x x m v v Av A A v v v ρ ⎫ τ = = ⎪ ⇒⎬ ⎪= + ⎭ Ajustando en el tiempo: ( ) ( ) ' ' ' ' ' ' x x t yx y y x y y x v v v v v v v v ⎛ ⎞ τ = ρ +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = ρ + ( ) ' ' t yx y xv vτ = ρ Turbulencia isotrópica: ( ) 0 t yxτ = Transporte turbulento de c.d.m. ( )( ) ' ' 'x t yx y y xv v v v⇒ τ = ρ + Balance de c.d.m. en el plano A:
  • 82. FenómenosdeTransporte Tema 7 — p. 5 Restringidas al flujo de fluidos incompresibles. Proceso de transformación a partir de las ecuaciones de variación: 2. Ajustar la ecuación en el tiempo. ' 'x x xv v v P P P= + = + Ecuación de continuidad: 0 yx z vv v x y z ∂∂ ∂ + + = ∂ ∂ ∂ Ecuación de movimiento: ' '' ' ' ' x yx x x x z y yx x z z yxxx zx x v vv v v v vP t x x y z v vv v v v x y z g x y z ⎛ ⎞∂ρ∂ρ ∂ρ ∂ρ∂ = − − + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎛ ⎞∂ρ∂ρ ∂ρ ⎜ ⎟− + + − ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ∂τ⎛ ⎞∂τ ∂τ − + + + ρ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ Ecuaciones de variación de tiempo ajustado 1.Sustituir valores instantáneos por promedio mas fluctuante: FenómenosdeTransporte Tema 7 — p. 6 ( ) Modelos bibliográficos para el cálculo de t yxτ Teoría de la difusividad turbulenta de Boussinesq: ( ) ( )t xt yx dv dy τ = −μ Teoría de la longitud de mezcla de Prandtl: ( ) 2 x x t yx dv dv l dy dy τ = −ρ Fórmula empírica de Deissler: 2 ( ) 2 1 exp x x x t yx n v y dv n v y dy ⎛ ⎞⎡ ⎤ρ τ = −ρ − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟μ⎣ ⎦⎝ ⎠
  • 83. FenómenosdeTransporte Tema 7 — p. 7 Distribución de velocidad en flujo turbulento Lejos de la pared 0 0 1 rzL d L r dr τ℘ −℘ = − ( )0 0 0 1 2 rz rz r L o R r s L R R s R r = ⎫τ = ⎪ ℘ −℘⎪ ⎛ ⎞ ⇒ τ = = τ −⎬ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎪= − ⎪⎭ Integrando: rz oτ = τAproximación (?): ( ) ( )( ) rz t tl rz rzrzτ = τ + τ ≈ τLejos de la pared: ( ) 2 2 1 rzt rz dv K s ds ⎛ ⎞ τ = ρ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Modelo de Prandtl (l=K1s): * * 1 1 1 ,z odv v v ds K s τ = = ρ Reorganizando: Ecuación de movimiento: 1 * 1 1 1 1 ln ,z z s v v v s s K s − = ≥Integrando entre s1 y s: FenómenosdeTransporte Tema 7 — p. 8 * * / / z v v v s sv + + ⎫= ⎪ ⇒⎬ ⎪ = ρ μ⎭ En forma adimensional: 1 1 1 1 ln s v v K s + + + + = + Valores experimentales (Re>20.000): 1 3.8 ln 0.36 v s+ + = + Cerca de la pared Fórmula de Deissler: 2 ( ) 2 1 exp x x x t yx n v y dv n v y dy ⎛ ⎞⎡ ⎤ρ τ = −ρ − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟μ⎣ ⎦⎝ ⎠ Aproximación: 1 1 s s R R ⎛ ⎞ << ⇒ − ≈⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Perfil adimensional: { }( )2 20 , 0 26 1 1 exp s ds v s n v s n v s + + + + + + + = ≤ ≤ + − − ∫ Simplificación (s+ 0): , 0 5v s s+ + + = ≤ ≤
  • 84. FenómenosdeTransporte Tema 7 — p. 9 LAMINAR TURBULENTO 2 , 1z z máx r v v R ⎛ ⎞⎛ ⎞ = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ 1/ 7 , 1z z máx r v v R ⎛ ⎞ = −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , 1 2 z z máxv v= , 4 5 z z máxv v= ( )0 ~L Q℘ −℘ ( ) 7 / 4 0 ~L Q℘ −℘ LAMINAR TURBULENTO FenómenosdeTransporte Tema 7 — p. 10 Transporte turbulento de energía Temperatura ajustada en el tiempo: ot t t o Tdt T t + = ∫ Componente fluctuante de la temperatura: TTT −=' Temperatura instantánea: T Definiciones ˆEcuación de energía ajustada en el tiempo( , , , constantes)pC kρ μ
  • 85. FenómenosdeTransporte Tema 7 — p. 11 Forma vectorial: ( ) ( ) ( )( ) ( )ˆ . . t tl l vp v DT C q q Dt ⎛ ⎞ρ = − ∇ − ∇ + μΦ + μΦ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Nuevos términos: 1) Densidad de flujo turbulento de energía ( ) ( ) ( ) ˆ ' ' ˆ ' ' ˆ ' ' t p xx t p yx t p zx q C v T q C v T q C v T = ρ = ρ = ρ 2) Función de disipación turbulenta de energía 3 3 ( ) 1 1 '' ' 't ji i i v j j j ij j vv v v x x x x= = ⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂ ⎜ ⎟Φ = + ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ∑∑ FenómenosdeTransporte Tema 7 — p. 12 ( ) Modelos bibliográficos para el cálculo de t yq Conductividad calorífica de remolino: ( ) ( )t t y dT q k dy = − Teoría de la longitud de mezcla de Prandtl: ( ) 2ˆ x t py dv dT q C l dy dy = −ρ Fórmula empírica de Deissler: 2 ( ) 2ˆ 1 exp x x t py n v y dT q C n v y dy ⎛ ⎞⎡ ⎤ρ = −ρ − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟μ⎣ ⎦⎝ ⎠
  • 86. FenómenosdeTransporte Tema 7 — p. 13 Transporte turbulento de materia Definiciones Concentración ajustada en el tiempo: o A t t A t o c dt c t + = ∫ Fluctuación de concentración : ' AA Ac c c= − Concentración instantánea: Ac Ecuación de continuidad para una reacción con cinética de orden n 2 2 2 2 2 2 A x A y A z A nA A A AB n A c c c c v c v c v c D k c t x y z x y z ∂ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ = − + + + + + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Ajustando en el tiempo: ' ' ' ' ' 'A x y zA A A x A y A z A c v c v c v c v c v c v c t x y z x y z ∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = − + + − − + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ( ) 2 2 2 1 22 2 2 2 2 ( 1) ' ( 2) A A A A AB A A k c n c c c D x y z k c c n ⎧ =⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ⎪ + + + −⎜ ⎟ ⎨⎜ ⎟∂ ∂ ∂ + =⎪⎝ ⎠ ⎩ FenómenosdeTransporte Tema 7 — p. 14 Nuevos términos: 1) Densidad de flujo turbulento de materia: ( ) ( ) ( ) ' ' ' ' ' ' t x x A t y y A t z z A J v c J v c J v c = = = 2) Término de reacción (n≠1) Forma vectorial: ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 ( 1) . . ' ( 2) A A A l t A A A k c nDc J J Dt k c c n ⎧ =⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪ − ∇ − ∇ − ⎨⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ + =⎪ ⎩
  • 87. FenómenosdeTransporte Tema 7 — p. 15 ( ) Modelos bibliográficos para el cálculo de t AyJ Difusividad de remolino: ( ) ( ) A t t Ay AB dc J D dy = − Teoría de la longitud de mezcla de Prandtl y Taylor: ( ) 2 x A t Ay dcdv J l dy dy = − Fórmula empírica de Deissler (próximo a la pared): 2 ( ) 2 1 exp x A x t Ay dcn v y J n v y dy ⎛ ⎞⎡ ⎤ρ = − − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟μ⎣ ⎦⎝ ⎠
  • 88. FenómenosdeTransporte Tema 8 — p. 1 TEMA 8 Factor de fricción y balance macroscópico de cantidad de movimiento Balance macroscópico de materia. Balance macroscópico de cantidad de movimiento. Transporte de c.d.m.: Factor de fricción. Transporte de c.d.m.: Flujo en conducciones. Transporte de c.d.m.: Flujo alrededor de cuerpos sumergidos. Balance macroscópico de energía mecánica: Ecuación de Bernouilli. FenómenosdeTransporte Tema 8 — p. 2 Balance macroscópico de materia Métodos de calculo alternativos para la obtención de los balances macroscópicos: • Integración de la ecuación de variación (balance microscópico). • Planteamiento en un volumen de control macroscópico. Balance de materia al sistema: 1 2 1 1 1 2 2 2 totdm w w v S v S dt = − = ρ − ρ En estado estacionario: 1 2w w=
  • 89. FenómenosdeTransporte Tema 8 — p. 3 Balance macroscópico de cantidad de movimiento ( ) ( ) [1] [2] [3] [4] [5] 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 TOT tot dCDM v S v S P S P S F m g dt = ρ − ρ + − − + [1] La cdm total: V CDM vdV= ρ∫ [2] Flujo neto de entrada de cdm por los planos S1 y S2 (despreciando τ). [3] Fuerza de presión. [4] Fuerza ejercida por el fluido sobre las paredes del sistema (presión + fricción). [5] Fuerza de gravedad. 2 TOT tot vdCDM w PS F m g dt v ⎛ ⎞ ⎜ ⎟= −Δ + − + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ En función de los flujos másicos: Laminar: Turbulento: 2 2 4 3 v v v v v v = = El cálculo del factor <v2>/<v> se realiza a partir del perfil de velocidad: 2 tot v F w PS m g v ⎛ ⎞ ⎜ ⎟= −Δ + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ En régimen estacionario: FenómenosdeTransporte Tema 8 — p. 4 Ejemplo: Aumento de presión en un ensanchamiento brusco Problema: • Fluido incompresible • Flujo turbulento. • Régimen estacionario. 1 2 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 1 w w v S v S v S v S = ⇒ ρ = ρ ⇒ = = β Balance de materia: Balance de c.d.m.: 2 tot v F w PS m g v ⎛ ⎞ ⎜ ⎟= −Δ + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Fuerza ejercida por el fluido sobre las paredes: F = -P1(S2 – S1) • Despreciando la contribución de fricción superficial (sólo presión). • Presión en el ensanchamiento igual a la de entrada (vena contracta). Operando: 2 2 1 2 1 1P P v ⎛ ⎞ − = ρ −⎜ ⎟ β⎝ ⎠ 1 1 2 2 1 1 2 2F w v w v P S P S= − + −
  • 90. FenómenosdeTransporte Tema 8 — p. 5 Transporte de c.d.m.: Factor de fricción Ecuaciones de variación: • Mucha información • Mucha complejidad Método Alternativo: Transporte De Interfase “En la mayor parte de los procesos de interés en ingeniería química la resistencia a los procesos de transporte se encuentra en una delgada capa junto a la interfase sólido— fluido” Problemas característicos en el flujo de fluidos: 1. Flujo en conducciones: PQ Δ~ 2. Flujo alrededor de cuerpos sumergidos: ∞uFR ~ Características: • Menos complejo • Menos información • Mas experimentación FenómenosdeTransporte Tema 8 — p. 6 Factor de fricción kF fAK= Fk: Fuerza de rozamiento f: factor de fricción, A: superficie, K: energía cinética / volumen. 1) Flujo en conducciones FK FPRESIONFPESO ( )( )21 2 2kF f RL v= π ρ Balance de fuerzas: ( ) ( ) ( )2 2 0 0k L o L LF P P g h h R R⎡ ⎤= − + ρ − π = ℘ −℘ π⎣ ⎦ Resolviendo...: 0 21 2 1 4 LD f L v ℘ −℘ = ρ “Factor de fricción de Fanning”
  • 91. FenómenosdeTransporte Tema 8 — p. 7 FPESO FkFFLOTACION 2) Flujo alrededor de cuerpos sumergidos ( )( )2 21 2kF f R u∞= π ρ Balance de fuerzas: ( )34 3 k esfF R g= π ρ − ρ Resolviendo... 2 4 3 esfgD f u∞ ρ − ρ = ρ Coeficiente de resistencia (cD). Correlación de valores experimentales de coeficientes de fricción: Análisis dimensional FenómenosdeTransporte Tema 8 — p. 8 Transporte de c.d.m.: Flujo en conducciones ( )( ) 2 21 20 0 2 L k rz r R F Rd dz f RL v π = = τ θ = π ρ∫ ∫ ( )( ) 2 0 0 21 2 2 L z r R v Rd dz r f RL v π = ∂ −μ θ ∂ = π ρ ∫ ∫ Variables adimensionales: ( ) * * */ 22* * 0 *0 0 1/ 2 / 1 1 / Re Re / L D z r r r D vD P P P v f d dz L r D v π = ⎫= ⎪ ∂⎪ = − ρ ⇒ = − θ⎬ π ∂⎪ = ρ μ ⎪⎭ ∫ ∫ Problema • Tubería lisa horizontal • Flujo estacionario • Propiedades constantes (ρ, µ) Fuerza de rozamiento sobre la pared
  • 92. FenómenosdeTransporte Tema 8 — p. 9 Resolución del gradiente de velocidad en la pared: ( )* * * * , ,Reconocidav v r z= • Ecuación adimensional de movimiento: ( ) * * * * * * * * 1/2 0 0 , 0 0 conocida r v z v v r z P = = = = θ = = • Condiciones límite: Substituyendo: ( )Re, /f f L D= ( )* * zv v L≠ ⇒En perfiles desarrollados: ( )Ref f= FenómenosdeTransporte Tema 8 — p. 10 Transporte de c.d.m.: Flujo alrededor de cuerpos sumergidos FLUJO θ Ftz Fnz tF nF sF Fsz ( )forma superficie, ,K K K nz sz tzF F F F F F= + = − + { } 2 2 0 0 cos sennz r R F P R d d π π = = − θ θ θ φ∫ ∫ ( ){ } 2 2 0 0 0 cos sensz r R F P gz R d d π π = = − − ρ θ θ θ φ∫ ∫ { } 2 2 0 0 sen sentz r r R F R d d π π θ = = − τ θ θ θ φ∫ ∫ 2 2 0 0 1 sen senr r R v v r R d d r r r π π θ = ⎧ ⎫⎡ ⎤∂∂ ⎛ ⎞⎪ ⎪ = −μ + θ θ θ φ⎨ ⎬⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂θ⎝ ⎠⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭ ∫ ∫ Fuerza de rozamiento sobre la superficie Componentes:
  • 93. FenómenosdeTransporte Tema 8 — p. 11 Procedimiento: 1. Expresar en función de variables adimensionales: * ** *0 2 r r P P gz v v r v v r v v Rv θ θ ∞ ∞∞ − + ρ ℘ = = = = ρ 2. Ecuación adimensional de movimiento. 3. Condiciones límite: * * * * * * * 1 0 1 0 r z r v v r v r θ= = = = ∞ = = ∞ ℘ = Substituyendo: ( )Ref f= FenómenosdeTransporte Tema 8 — p. 12 Balance macroscópico de energía mecánica: Ecuación de Bernouilli ( ) [1] [2] [3] [4] 3 1 ˆˆ 2 tot tot tot v vd K A G w W E dt v ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎢ ⎥⎜ ⎟+ Φ + = −Δ + Φ + − − ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎣ ⎦ [1] Energía mecánica total (cinética + potencial + energía libre de Helmholtz). [2] Flujo neto de entrada de energía mecánica por los planos S1 y S2 (Gˆ : energía libre de Gibbs específica). [3] Velocidad de trabajo mecánico SISTEMA → ALREDEDORES. [4] Pérdida de energía por fricción. • Régimen estacionario. • Proceso isotérmico: 2 1 ˆ P P dP GΔ = ρ∫ 2 1 3 1 ˆ ˆˆ 0 2 P v P v dP W E v Δ + ΔΦ + + + = ρ∫ “Ecuación de Bernouilli” Simplificaciones
  • 94. FenómenosdeTransporte Tema 8 — p. 13 • Factor alfa: Turbulento: 1 Laminar: 1/2 3 3 2 3 v v v v v α =⎧ = α ⇒ α = ⎨ α =⎩ • Gravedad constante: g hΔΦ = Δ • Fluidos incompresibles: 2 1 P P dP PΔ = ρ ρ∫ 21 ˆ ˆ 0 2 v P v gh W E ⎛ ⎞ Δ α + + − + =⎜ ⎟ ρ⎝ ⎠ Para gases ideales: dP Isotérmico: dP Adiabático: 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 ln 1 1 P P P P PRT M P P P P γ− γ = ρ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞γ ⎢ ⎥ = −⎜ ⎟⎢ ⎥ρ ρ γ − ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫ ∫ Modificaciones habituales FenómenosdeTransporte Tema 8 — p. 14 Balance de energía mecánica: ( ) ( )2 2 2 1 2 1 1 1 ˆ 0 2 vv v P P E− + − + = ρ 2 2 2 1 1ˆ 1 2 vE v ⎛ ⎞ = −⎜ ⎟ β⎝ ⎠ Operando: ˆTérmino problemático: Evaluación de vE Ejemplo: Perdidas por fricción en un ensanchamiento brusco
  • 95. FenómenosdeTransporte Tema 8 — p. 15 ˆPérdidas de energía por fricción ( )vE 1. Sistemas sencillos. por integración de la ecuación de movimiento ( )ˆ :v V E v dV= − τ ∇∫ 2. Fricción de superficie • Transporte de interfase: coeficientes de rozamiento. • Tubos (vertical descendente): ( ) ( ) v v Balance de cdm: E Balance de energía: E 1 2 2 2 1 2 1 1ˆ2 2 2 ˆ F P P S SL g L f RL v v f R P P gL ⎫ ⎪= − + ρ ⎪ ⎪ = π ⇒ =⎬ ⎪ − ⎪ = + ⎪ρ ⎭ FenómenosdeTransporte Tema 8 — p. 16 3. Fricción de forma • Factor de pérdidas por fricción (análisis dimensional): 21ˆ 2 v vE v e= • Longitud equivalente.
  • 96. FenómenosdeTransporte Tema 9 — p. 1 TEMA 9 Coeficiente de transmisión de calor y balance macroscópico de energía Balance macroscópico de energía. Transporte de energía: Coeficiente de transmisión de calor. Correlación de valores experimentales. Ordenes de magnitud. Ecuaciones de correlación. Coeficiente global de transmisión de calor. FenómenosdeTransporte Tema 9 — p. 2 Balance macroscópico de energía velocidad de velocidad neta de velocidad neta de acumulación de entrada de adición de calor al energía interna, energía interna, sistema d cinética y potencial cinética y potencial ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = +⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭ velocidad neta de trabajo producido por esde los el sistema sobre los alrededores alrededores ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ −⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 3 31 1 1 1 1 2 2 22 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ tot tot tot d U K v U S v U S dt v S v S v S v S Q W P v S P v S + + Φ = ρ − ρ + ρ − ρ +ρ Φ − ρ Φ + − + − De forma más compacta: ( )tot tot tot totE U K= + + Φ 3 1ˆ ˆ ˆ 2 tot vdE U PV w Q W dt v ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎢ ⎥⎜ ⎟= −Δ + + + Φ + − ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎣ ⎦
  • 97. FenómenosdeTransporte Tema 9 — p. 3 En régimen estacionario (w1 = w2): 3 1 ˆˆ ˆ ˆˆ 2 v U PV Q W v ⎛ ⎞ ⎜ ⎟Δ + + + Φ = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Simplificaciones habituales en procesos con transmisión de calor/trabajo: • Efectos de energía cinética, potencial y trabajo despreciables. • VPUH ˆˆˆ += ˆˆH QΔ = Para evaluar el término de entalpía: ( ) Gases ideales: Fluidos incompresibles: 2 2 1 1 2 1 2 1 ˆˆ 1 1ˆˆ T T p T T T p T R ΔH C dT dT M ΔH C dT P P γ = = γ − = + − ρ ∫ ∫ ∫ FenómenosdeTransporte Tema 9 — p. 4 • Régimen turbulento. • Estado estacionario. Balance de materia: 3 1 2w w w= + Balance de cdm: 3 3 3 3 1 1 1 1 2 2 2 2w v P S w v P S w v P S+ = + + + Balance de energía: 3 1 ˆˆ ˆ ˆˆ 2 v U PV Q W v ⎛ ⎞ ⎜ ⎟Δ + + + Φ = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Ecuación de estado: 3 3 3P M RT= ρ Ejemplo: Mezcla de dos corrientes de gases ideales 2 TOT v F w PS m g v ⎛ ⎞ ⎜ ⎟= −Δ + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ( ) ( ) ( )2 2 21 1 1 3 3 3 1 1 1 2 2 22 2 2 ˆ ˆ ˆo o o p p pw C T T v w C T T v w C T T v⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + = − + + − + ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
  • 98. FenómenosdeTransporte Tema 9 — p. 5 Transporte de energía: Coeficiente de transmisión de calor FLUJO To1 To2 Tb1 Tb2 Posibles definiciones del coeficiente: ( )( )1 1 1o bQ h DL T T= π − ( ) ( ) ( )1 1 2 2 2 o b o b a T T T T Q h DL ⎛ ⎞− + − = π ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ( ) ( ) ( )1 1 2 2 ln 1 1 2 2 ln o b o b o b o b T T T T Q h DL T T T T ⎛ ⎞ ⎜ ⎟− − − ⎜ ⎟= π −⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ( )( )loc o bdQ h Ddz T T= π − Q hA T= Δ Q = Flujo de calor en la interfase, h = coeficiente de transmisión de calor, A = superficie, ΔT = diferencia característica de temperatura. Definición 1) Flujo en conducciones FenómenosdeTransporte Tema 9 — p. 6 oT T∞ ( )( )2 4m oQ h R T T∞= π − ( )( )loc odQ h dA T T∞= − 2) Flujo alrededor de cuerpos sumergidos Correlación de valores experimentales de coeficientes de transmisión de calor: análisis dimensional. PROBLEMA: Convección forzada en tubos. • Flujo estacionario. • Perfil de velocidad a la entrada conocido: v1(r, θ). • Temperatura en la pared constante: To (> Tb1). • Propiedades físicas constantes: ρ , µ, Cp, k. Flujo de calor en la pared: ( )( ) 2 1 1 0 0 L o b r R T Q k Rd dz h DL T T r π = ∂ = θ = π − ∂∫ ∫ ( )( ) 2 1 0 01 1 L o b r R T h k Rd dz DL T T r π = ∂ ⇒ = θ π − ∂∫ ∫
  • 99. FenómenosdeTransporte Tema 9 — p. 7 Variables adimensionales: ( ) ( ) * 1 2 * */ 2 * * 1 *0 0 * 1 / 1 / 2 / / L D r o b o r r D T z z D Nu d dz L D r T T T T T π = ⎫= ⎪ ∂⎪ = ⇒ = − θ⎬ π ∂⎪ = − − ⎪⎭ ∫ ∫ Número de Nusselt: 1h D Nu k = Cálculo del perfil de temperatura: • Ecs. adimensionales de continuidad, movimiento y energía: ( ) * * * *2 * * * * * *2 * * * 1 1 . 0 Re 1 Re Pr Re Pr v Dv g v v P Fr gDt DT Br T Dt ∇ = = ∇ − ∇ + = ∇ + Φ • Condiciones límite: * * * * * * 1 * * * * * * * 0 ( , ) , 0 1 1/2 0 , 1/2 0 0, 0 0 z v v r z T r v r T r z P = = θ = = = = = = = = = Resolviendo e integrando: ( )1 1 Re,Pr, /Nu Nu L D= Para perfiles de velocidad desarrollados: ( )1 1 Re,PrNu Nu= FenómenosdeTransporte Tema 9 — p. 8 h (kcal/m2 hºC) Convección Libre Gases Líquidos Ebullición de agua Convección forzada Gases Fluidos viscosos Agua Condensación de vapores 3 — 20 100 — 600 1000 — 20.000 10 — 100 20 — 500 500 — 10.000 1000 — 100.000 Ordenes de magnitud de los coeficientes de transmisión de calor