Aplicaciones a Vigas de las Ecuaciones Diferenciales

1. ECUACIONES DIFERENCIALES
ORDINARIAS
SOLUCION A LOS PROBLEMAS DE MODELOS
LINEALES CON VALORES INCIALES DE DENNIS
G. ZILL
Integrantes: Escudero Castillo, Carlos
Merino Manchinelly, Cristian
Ortiz Garcia, Raul
Perleche Quesquen, Daniel
Ramos Nu~nez, Lucciana Vanessa
Chiclayo - Peru
Junio 2011

2. Solucion de los Problemas de Modelos Lineales
5.1.1 SISTEMAS RESORTE - MASA: Movimiento Libre No Amortiguado
1. Una masa que pesa 4 libras se une a un resorte cuya constante es 16 lb/pie. Cual es
el perodo del movimiento armonico simple?
F = ks ! 4 = 16s ! s =
1
4
x00 + w2x = 0 ! w2 = k
m = 16
1=2 = 32
x00 + 32x = 0
r2 + 32 = 0 ! r1 =
p
32i y r2 =
p
32i
p
2t , sin 4
CFS = fcos 4
p
2tg
p
2t + c2 sin 4
x(t) = c1 cos 4
p
2t
Entonces el periodo viene dado por : P =
2
w
=
2
4
p
2
=
p
2
8
2. Una masa de 20 kg se une a un resorte. Si la frecuencia del movimiento armonico
simple es 2/ ciclos/s, Cual es la constante del resorte k?Cual es la constante del
movimiento armonico simple si la masa original se reemplaza con una masa de 80 kg?
m = 20Kg
La frecuencia esta dada por:
f =
1
T
=
!
2
=
2
! = 4
!2 = 16
k
m
= 16;m = 20
La constante k sera:
k = 320N=m
m = 80Kg; !2 = k
m = 4
La frecuencia es:
f =
1
T
=
!
2
=
2
2
f =
1
1

3. 3. Una masa que pesa 24 libras, unida al extremo de un resorte, alarga a este 4 pulgadas.
Al inicio, la masa se libera desde el reposo en un punto 3 pulgadas arriba de la posicion
de equilibrio. encuentre la ecuacion de movimiento.
W = 24 lb ! m = 24
32 = 3
4
k = F
s = 24
1=3 = 72 lb=pie
La ecuacion diferencial es :
x00 + !2x =0
x00 +
k
m
x =0
x00 + 96x =0
La ecuacion caracterstica es:
m2 + 96 =0
m1 = 4
p
6i
p
6i
m2 = 4
p
6t + C2 sen 4
x(t) = C1 cos 4
p
6t
Con los valores iniciales:
x(0) = C1 =
1
4
x0(t) =
p
6 sen 4
p
6t + 4
p
6C2 cos 4
p
6t
x0(0) = 4
p
6 C2 = 0
C2 = 0
Luego la ecuacion del movimiento es:
x(t) =
1
4
p
6t
cos 4
4. Determine la ecuacion del movimiento si la masa del problema 3 al inicio se libera
desde la posicion de equilibrio con una velocidad descendente de 2 pies/s.
!2 = 96; x(0) = 0 x0(0) = 2
p
6t + C2 sen 4
x(t) = C1 cos 4
p
6t
x(0) = C1 = 0
x0(t) = 4
p
6C2 cos 4
p
6t
p
6 C2 = 2
x0(0) = 4
C2 =
p
6
12
La ecuacion del movimiento es:
x(t) =
p
6
12
p
6t
sen 4
2

4. 5. Una masa que pesa 20 libras alarga a un resorte 6 pulgadas. La masa se libera desde
el reposo de un punto 6 pulgadas abajo de la posicion de equilibrio.
W = 20 lb ! m = 20
32 = 5
8
s = 6 pulg = 1
2 pie
k = F
s = 20
1
2
= 40 lb
pie La ecuacion diferencial es:
x00 + 64x = 0
Su solucion sera:
x(t) = C1 cos 8t + C2 sen 8t
Con los valores iniciales.
x(0) = C1 =
1
2
x0(0) ! C2 = 0
Luego la ecuacion del movimiento es:
x(t) =
1
2
cos 8t
a) Encuentre la posicion de la masa en los tiempos t==12; =8; =6; =4 y 9=32s.
x(
12
) =
1
4
x(
8
) =
1
2
x(
6
) =
1
4
x(
4
) =
1
2
x(
9
32
) =
p
2
4
b) Cual es la velocidad de la masa cuando t=3=16s?En que direccion se dirige la
masa en este instante?
La velocidad en t = 3
16 s es x0(t) = 4 sen 8t
Y x( 3
16 ) = 4, desciende
c) En que tiempos la masa pasa por la posicion de equilibrio?
1
2
cos 8t = 0
cos 8t = 0
8t = (2n + 1)
2
t =
(2n + 1)
16
; nf0; 1; 2; : : : g
3

5. 6. Una fuerza de 400 N alarga un resorte 2 metros una masa de 50 kg se une al extremo
del resorte y se libera inicialmente desde la posicion de equilibrio con una velocidad
hacia arriba de 10 m/s. Encuentre la ecuacion de movimiento.
k = F
s = 400
2 = 200 m = 50 Kg
x00 +
k
m
x = 0
x00 + 4x = 0
Su solucion es:
x(t) = C1 cos 2t + C2 sen 2t
x(0) = C1 = 0
x0(t) = 2C2 cos 2t
x0(0) = 2C2 = 10
C2 = 5
La ecuacion del movimiento es:
x1(t) = 5 sen 2t
7. Otro resorte cuya constante es 20 N/m se suspende del mismo soporte, pero paralelo
al sistema resorte-masa del problema 6. Al segundo resorte se le coloca una masa de
20 kg., y ambas se liberan al inicio desde la posicion de equilibrio con una velocidad
ascendente de 10 m/s.
k = 20 N
m; m = 20 Kg; !2 = 1
x00 + x = 0
Su solucion es:
x(t) = C1 cos t + C2 sen t
x(0) = C1 = 0
x0(t) = C2 cos t
x0(0) = C2 = 10
La ecuacion del movimiento es:
x2(t) = 10 sen t
4

6. a) Cual masa exhibe mayor amplitud de movimiento?
A =
p
C1
2 + C2
2
A1 = 5 A2 = 10
A2 A1
b) Cual masa se mueve mas rapido en t = =4 s?En =2?
x1(
4
) = 5 x2(
4
p
2
) = 5
x1(
2
) = 0 x2(
2
) = 10
c) En que instantes las dos masas estan en la misma posicion?Donde estan las
masas en estos instantes?En que direcciones se estan moviendo las masas?
5 sen 2t = 10 sen t
5(2 sen t cos t) = 10 sen t
sen t(cos t 1) = 0
cos t = 1 _ sen t = 0
t = 2n _ t = n
t = n
Reemplazando en x1
x1(n) = 5 sen 2n
= 0; Pos. de equilibrio
x0
1(t) = 10 cos 2t
x0
1(n) = 10 cos 2n
= 10; hacia arriba
Reemplazando en x2
x2(n) = 10 sen n
= 0; Pos. de equilibrio
x0
2(t) = 10 cos t
x0
2(n) = 10 cos n
Si:n par : 10Cos(n) = 10 ! hacia arriba
n impar : 10Cos(n) = 10 ! hacia abajo
5

7. 8. Una masa que pesa 32 libras alarga un resorte 2 pies. Determine la amplitud y el
perodo de movimiento si la masa se libera inicialmente desde un punto situado 1 pie
arriba de la posicion de equilibrio con una velocidad ascendente de 2 pies/s.Cuantos
ciclos completos habra completado la masa al

8. nal de 4 segundos?
W = 32 ! m = 32
32 = 1, k = F
s ! k = 32
2 = 16
x00 + !2x = 0
x00 + 16x = 0
x(t) = C1 cos 4t + C2 sen 4t
x(0) = C1 = 1
x0(t) = 4 sen 4t + 4C2 cos 4t
x0(0) = 4C2 = 2 ! C2 =
1
2
La ecuacion del movimiento es:
x(t) = cos 4t
1
2
sen 4t
Su amplitud es:
A =
p
C1
2 + C2
2
A =
r
12 +
1
2
2
A =
p
5
2
El periodo es:
T =
2
omega
=
2
4
T =
2
Luego en 4 segundos la masa habra completado 4
2 = 8 ciclos
9. Una masa que pesa 8 libras se une a un resorte. Cuando se pone en movimiento, el
sistema resorte-masa exhibe movimiento armonico simple. Determine la ecuacion de
movimiento si la constante de resorte es 1 lb/pie y la masa se libera inicialmente desde
un punto 6 pulgadas abajo de la posicion de equilibrio, con una velocidad descendente
de 3
2 pie/s. Exprese la ecuacion de movimiento en la forma dada en (6).
W = 8 ! m = 8
32 = 1
4 , k = 1 lb
pie
x00 + !2x = 0
6

9. x00 + 4x = 0
x(t) = C1 cos 2t + C2 sen 2t
x(0) = C1 =
1
2
x0(t) =
1
2
sen 2t + 2C2 cos 2t
x0(0) = 2C2 =
3
2
! C2 =
3
4
La ecuacion del movimiento es:
x(t) =
1
2
cos 2t +
3
4
sen 2t
Su amplitud es:
A =
r
1
2
2
+
3
4
2
=
p
13
4
= arctan
C1
C2
= 0;588
Luego la ecuacion toma la siguiente forma:
x(t) = Asin (!t + )
x(t) =
p
13
4
sin (2t + 0;5888)
10. Una masa que pesa 10 libras alarga un resorte 1
4 de pie. Esta masa se retira y se
coloca una de 1.6 slugs, que se libera desde un punto situado a 1
3 de pie arriba de la
posicion de equilibrio, con una velocidad descendente de 5
4 pie/s. Exprese la ecuacion de
movimiento en la forma dada en (6). En que tiempos la masa logra un desplazamiento
debajo de la posicion de equilibrio numericamente igual a 1
2 de la amplitud?
s = 10
k = F
1
4
= 40, m = 1;6 slugs
x00 +
k
m
x = 0
x00 +
40
1;6
x = 0
x00 + 25x = 0
7

10. x(t) = C1 cos 5t + C2 sen 5t
x(0) = C1 =
1
3
x0(t) =
5
3
sen 2t + 5C2 cos 5t
x0(0) = 5C2 =
5
4
! C2 =
1
4
La ecuacion del movimiento es:
x(t) =
1
3
cos 5t +
1
4
sen 5t
Su amplitud es:
A =
r
1
3
2
+
1
4
2
=
5
12
= arctan
C1
C2
= 0;927
La ecuacion toma la forma:
x(t) =
5
12
sin (5t 0;927)
Cuando x = 1
2A = + 5
24
x(t) =
5
12
sin (5t 0;927) =
5
24
sin (5t 0;927) =
1
2
arcsin
1
2
= f5t 0;927 + 2njn 2 Zg [ f(5t 0;927) + (2n + 1)jn 2 Zg
t =
1
5
(0;927 +
6
2n)
n 2 Z
[
t =
1
5
(0;927 +
5
6
+ 2n)
n 2 Z
11. Una masa que pesa 64 libras alarga un resorte 0.32 pies. Al inicio la masa se libera desde
un punto que esta 8 pulgadas arriba de la posicion de equilibrio, con una velocidad
descendente de 5 pies/s.
w = 64lb , x(0) = 2
3pie , x0(0) = 5pie=s
a) Encuentre la ecuacion de movimiento.
x00 + w2x = 0 y ademas sabemos que w2 = k
m
8

11. Busqueda de k Busqueda de m
64 = k(0;32) W = mg
k = 200 64 = m(32) ) m = 2
Luego: w2 = k
m = 100
Ecuacion Caracteristica: r2 + 100 = 0
r1 = 10i , r2 = 10i
CFS = fcos 10t , sin 10tg
La solucion es x(t) = c1 cos 10t + c2 sin 10t
Condiciones iniciales : x(0) =
2
3
= c1
x0(t) = 10c1 sin 10t + 10c2 cos 10t
x0(0) = 5 = 10c2 cos 0 ) c2 = 1
2
) x(t) =
2
3
cos 10t +
1
2
sin 10t
b) Cuales son la amplitud y perodo del movimiento?
A =
q
c21
+ c22
=
r
(
2
3
)2 + (
1
2
)2 =
5
6
P = 2
w = 2
10 =
5
Escribamos la solucion en forma sinusoidal:
calculo de
Sabemos tan =
c1
c2
=
2=3
1=2
tan =
4
3
) = 0;927
) x(t) =
5
6
sin(10t 0;927)
c) Cuantos ciclos completos habra completado la masa al

12. nal de 3 segundos?
1oscilacion !
5
xoscilacion ! 3
x = 15 oscilaciones
d) En que momento la masa pasa por la posicion de equilibrio con direccion hacia
abajo por segunda vez?
sin(10t 0;927) = sin(n)
10t 0;927 = n
n + 0;927
)
10
= t
e) En que instantes la masa alcanza sus desplazamientos extremos en cualquier lado
de la posicion de equilibrio?
9

13. x0(t) =
25
3
cos (10t 0;927) = 0
10t 0;927 =
2
+ n
t =
(2n + 1)
20
+ 0;0927; n = f0; 1; 2; : : : g
f ) Cual es la posicion de la masa en t = 3?
x(3) = 0;597
g) Cual es la velocidad instantanea en t = 3?
x0(3) = 5;813
h) Cual es la aceleracion en t = 3?
x00(3) = 59;702
i ) Cual es la velocidad instantanea en los instantes cuando la masa pasa por la
posicion de equilibrio?
t =
2n + 0;927
10
Luego reemplazando en la ecuacion del movimiento:
x0(t) =
25
3
cos (10t 0;927)
x0(
2n + 0;927
10
) =
25
3
cos (2n)
x0(
2n + 0;927
10
) =
25
3
j ) En que instantes la masa esta 5 pulgadas abajo de la posicion de equilibrio?
x(t) =
5
6
sen (10t 0;927) =
5
12
sen (10t 0;927) =
1
2
arcsin
1
2
= f10t 0;927 + 2njn 2 Zg [ f(10t 0;927) + (2n + 1)jn 2 Zg
t =
1
10
(0;927 +
6
+ 2n); n 2 f0; 1; 2; : : : g
10

14. k) En que instantes la masa esta 5 pulgadas abajo de la posicion de equilibrio apun-tando
en direccion hacia arriba?
m = 1 slug, k = 9 lb/pie
12. Una masa de 1 slug se suspende de un resorte cuya constante es de 9lb/pie. Al inicio
la masa se libera desde un punto que esta 1 pie arriba de la posicion de equilibrio con
una velocidad ascendente de
p
3 pies/s. Determine los instantes en los que la masa se
dirige hacia abajo a una velocidad de 3 pies/s.
x00 + !2x = 0
x00 + 9x = 0
x(t) = C1 cos 3t + C2 sen 3t
x(0) = C1 = 1
x0(t) = 3 sen 3t + 3C2 cos 3t
p
3 ! C2 =
x0(0) = 3C2 =
p
3
3
La ecuacion del movimiento es:
x(t) = cos 3t
p
3
3
sen 3t
Luego la ecuacion toma la forma:
x(t) =
2
p
3
sin (3t + (
3
+ ))
x(t) =
2
p
3
sin (3t +
4
3
)
La velocidad es:
x0(t) = 2
p
3 cos (3t +
4
3
)
p
3 cos (3t +
2
4
3
) = 3
cos (3t +
4
3
) =
p
3
2
11

15. 13. En algunas circunstancuas cuando dos resortes paralelos, con constantes k1 y k2, so-portan
una sola masa, la constante de resorte efectiva del sistema se expresa
como k = 4k1k2=(k1 + k2). Una masa que pesa 20 lb. estira un resorte 6 pulgadas y
a otro resorte 2 pulgadas. Los resortes se unen a un soporte rgido comun y luego a
una placa metalica. Como se ilustra en la

16. gura, la masa se une al centro de la placa
en la con

17. guracion de resorte doble. Determine la constante de resorte efectiva de este
sistema. Encuentre la ecuacion de movimiento si la masa se libera inicialmente desde
la posicion de equilibrio con una velocidad descendente de 2 pies/s.
k =
4k1k2
k1 + k2
20 = k1(1=2) 20 = k2(1=6)
k1 = 40 k2 = 120
k =
4(40)(120)
40 + 120
= 120
m = 120
5=8 = 192
w2 = k
La ecuacion viene dada por: x00 + 192x = 0
p
3i , r2 = 8
r1 = 8
p
3i
p
3t , sin 8
CFS = fcos 8
p
3tg
p
3t + c2 sin 8
x(t) = c1 cos 8
p
3t
Calculamos las constantes:
c1 = 0 c2 =
p
3
12
) x(t) =
p
3
12
p
3t
sin 8
14. Una cierta masa alarga un resorte 1
3 de pie y otro resorte 1
2 de pie. Los dos resortes se
unen a un soporte rgido comun en la manera descrita en el Problema 13. Se quita la
primera masa y se coloca una que pesa 8 libras en la con

18. guracion de resorte doble,
y se pone en movimiento el sistema. Si el periodo de movimiento es =15 segundos,
determine cuanto pesa la primera masa.
12

19. 15. Un modelo de un sistema de resorte-masa es 4x00 + e0;1tx = 0. Por inspeccion de la
ecuacion diferencial solamente, describa el comportamiento del sistema durante un lar-go
periodo.
16. Un modelo de un sistema de resorte-masa es 4x00+tx = 0. Por inspeccion de la ecuacion
diferencial solamente, describa el comportamiento del sistema durante un largo periodo.
13

20. 5.1.2 SISTEMAS RESORTE - MASA: Movimiento Libre Amortiguado
En los Problemas 17 a 20, la

21. gura representa la gra

22. ca de una ecuacion de movimiento
para un sitema amortiguado resorte-masa. Use la gra

23. ca para determinar:
(a)si el desplazamiento inicial esta arriba o abajo de la posicion de equilibrio y
(b)si la masa se libera inicialmente desde el reposo, con direccion hacia abajo o hacia
arriba.
17.
a) El desplazamiento inicial esta arriba de
la pos. de equilibrio debido a que x en
0 es negativo
b) La masa se libera con direccion hacia
arriba debido a que la curva esta bajan-do
18.
a) El desplazamiento inicial esta abajo de
la pos. de equilibrio debido a que x en
0 es positivo
b) La masa se libera en el reposo porque la
derivada en t = 0 es 0
19.
a) El desplazamiento inicial esta abajo de
la pos. de equilibrio debido a que x en
0 es positivo
b) La masa se libera con direccion hacia
arriba debido a que la curva esta bajan-do
14

24. 20.
a) El desplazamiento inicial esta arriba de
la pos. de equilibrio debido a que x en
0 es negativo
b) La masa se libera con direccion hacia
abajo debido a que la curva esta subien-do
21. Una masa que pesa 4 libras se une a un resorte cuya constante es 2lb/pie. El me-dio
ofrece una fuerza de amortiguamiento que es numericamente igual a la velocidad
instantanea. La masa se libera desde un punto situado 1 pie arriba de la posicion de
equilibrio con una velocidad descendente de 8 pies/s. Determine el tiempo en el que la
masa pas por la posicion de equilibrio. Encuentre el tiempo en el que la masa alcanza
su desplazamiento extremo desde la posicion de equilibrio. Cual es la posicion de la
masa en este instante?
w = mg
4 = m(32)
1
= m
8
x(0) = 1pies
x0(t) = 8pies=s
x = 2libras=pie
entonces
dx
dt
=
dx
dt
m2 + 8m + 16 = 0
(m + 4)(m + 4) = 0
m1 = e4t
m2 = e4t
x(t) = C1e4t + C2te4t
15

25. C1 = 1
C2 = 4
entonces
x(t) = e4t + 4te4t
x0(t) = 8e4t 16te4t
si
x(t) = 0
entonces
t =
1
4
si
x0(t) = 0
entonces
t =
1
2
y el desplazamiento es
x = e2tpies
22. Un resorte de 4 pies mide 8 pies de largo despues de colgarle una masa que pesa 8
libras. El medio por el que se mueve la masa ofrece una fuerza de amortiguamiento
igual a
p
2 veces la velocidad instantanea. Encuentre la ecuacion de movimiento si
la masa se libera inicialmente desde la posicion de equilibrio con una velocidad des-cendente
de 5 pies/s. Calcule el tiempo en el que la masa alcanza su desplazamiento
extremo desde la posicion de equilibrio. Cual es la posicion de la masa en ese instante?
S0 = 4pies
w = mg
8 = m(32)
1
= m
4
8 = k(8 4)
k = 2libras=pies
16

26. d2x
dt2 +
p
2
1=4
dx
dt
+
2
1=4
x = 0
m2 + 4
p
2m + 8 = 0
(m + 2
p
2)(m + 2
p
2) = 0
p
2multiplicidad2
m1 = 2
p
2t + C2te2
x(t) = C1e2
p
2t
p
2C1e2
x0(t) = 2
p
2t + C2e2
p
2)tC2e2
p
2t + (2
p
2t
x(0) = 0
x0(0) = 5
C1 = 0
C2 = 5
p
2t
x(t) = 5te2
p
2t 10
x0(t) = 5e2
p
2te2
p
2t
reemplazando cuando
t = 0; x0(0) = 0
obtenemos
p
2
t = 2
reemplazando
p
2) = 10
x(2
p
2e2
p
2(2
p
2)
23. Una masa de 1kg. se

27. ja a un resorte cuya constante es 16N/m y luego el sistema
completo se sumerge en un lquido que imparte una fuerza amortiguadora igual a 10
veces la velocidad instantanea. Determine las ecuaciones de movimiento si:
(a)al inicio la masa se libera desde un punto situado 1 metro abajo de la posicion de
equilibrio, y luego
(a)la masa se libera inicialmente desde un punto 1 metro abajo de la posicion de equi-librio
con una velocidad ascendente de 12 m/s
m = 1kg
k = 16N=m
B = 10
17

28. d2x
dt2 +
m
dx
dt
+
k
m
x = 0
m2 + 10m + 16 = 0
(m + 8)(m + 2) = 0
m1 = e8t
m2 = e2t
x(t) = C1e8t + C2e2t
x0(t) = 8C1e8t 2C2e2t
a)
x(0) = 1
C1 =
1
3
C2 =
4
3
x(t) =
1
3
e8t +
4
3
e2t
b)
x(0) = 1
x0(0) = 12
C1 =
5
3
C2 =
2
3
x(t) =
5
3
e8t +
2
3
e2t
24. En los incisos (a) y (b) del Problema 23. determine si la masa pasa por la posicion de
equilibrio. En cada caso, calcule el tiempo en que la masa alcanza su desplazamiento
extremo desde la posicion de equilibrio. Cual es la posicion de la masa en este instan-te?
en a)
x(t) =
1
3
e8t +
4
3
e2t
nunca es cero, el desplazamiento
x(0) = 1metro
18

29. en b)
x(t) =
5
3
e8t +
2
3
e2t = 0
cuando
t = 0;153
si
x0(t) =
40
3
e8t +
4
3
e2t = 0
entonces
t = 0;384
y el desplazamiento
x = 0;232metros
25. Una fuerza de 2 libras alarga un resorte 1 pie. una masa que pesa 3.2 linras se une al
resorte, y luego se sumerge el sistema en un medio que ofrece una fuerza de amorti-guamiento
igual a 0.4 veces la velocidad instantanea.
32 = 0;1 slug, k = 2
1 = 2 lb/pie, 2 = 0;4
0;1x0 = 4x0
m = 3;2
x00 + 2x0 + !2x = 0
x00 + 4x0 + 20x = 0
Su solucion
m2 + 4m + 20 = 0
m =
4
p
42 4(1)(20)
2(1)
m1 = 2 + 4i
m2 = 2 4i
x(t) = C1e2t cos 4t + C2e2t sen 4t
Aplicando los valores iniciales:
x(0) = C1 = 1
x0(t) = (4C2 2C1)e2t cos 4t (4C1 + 2C2)e2t sen 4t
x0(0) = 4C2 2C1 = 0 ! C2 =
1
2
19

30. a) Encuentre la ecuacion de movimiento si inicialmente se libera la masa desde el
reposo en un punto situado a 1 pie por encima de la posicion de equilibrio.
La ecuacion del movimiento es:
x(t) = e2t cos 4t
1
2
e2t sen 4t
b) Exprese la ecuacion de movimiento en la forma provista en (23).
Con:
A =
r
(1)2 + (
1
2
)2 =
p
5
2
= arctan
C1
C2
= arctan 2 = 1;11 + = 4;25
La ecuacion toma la forma:
x(t) =
p
5
2
e2t sen (4t + 4;25)
c) Calcule la primera vez en la cual la masa pasa a traves de la posicion de equilibrio
en direccion hacia arriba.
En la posicion de equilibrio x = 0
0 =
p
5
2
e2t sen (4t + 4;25)
0 = sen (4t + 4;25)
n = 4t + 4;25
La primera vez que va hacia arriba con n = 3. Luego:
t = 1;294
26. Despues de que una masa de 10 libras se sujeta a un resorte de 5 pies, este llega a
medir 7 pies. Se retira la masa y se sustituye con una de 8 libras. Despues se coloca
al sistema en un medio que ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a la velocidad
instantanea.
m = 8
32 = 1
4 slug, k = 10
2 = 5 lb/pie, 2 = 1
1=4 = 4
x00 + 2x0 + !2x = 0
x00 + 4x0 + 20x = 0
m2 + 4m + 20 = 0
m =
4
p
42 4(1)(20)
2(1)
m1 = 2 + 4i
m2 = 2 4i
20

31. x(t) = C1e2t cos 4t + C2e2t sen 4t
Aplicando los valores iniciales:
x(0) = C1 = 1
x0(t) = (4C2 2C1)e2t cos 4t (4C1 + 2C2)e2t sen 4t
x0(0) = 4C2 2C1 = 0 ! C2 =
1
2
a) Encuentre la ecuacion de movimiento si la masa se libera inicialmente desde el
reposo de un punto situado 1 pie arriba de la posicion de equilibrio.
La ecuacion del movimiento es:
x(t) = e2t cos 4t
1
2
e2t sen 4t
b) Exprese la ecuacion de movimiento en la forma provista en (23).
Con:
A =
r
(1)2 + (
1
2
)2 =
p
5
2
= arctan
C1
C2
= arctan 2 = 1;11 + = 4;25
La ecuacion toma la forma:
x(t) =
p
5
2
e2t sen (4t + 4;25)
c) Calcule los tiempos en los que la masa pasa por la posicion de equilibrio en direc-ci
on hacia abajo.
0 =
p
5
2
e2t sen (4t + 4;25)
0 = sen (4t + 4;25)
n = 4t + 4;25
t =
n 4;25
4
; n = 2; 3; 4; : : :
Como el movimiento comienza arriba, entonces n = 2 esta en direccion hacia
abajo,luego se deduce que los tiempos en los que la masa va hacia abajo son:
t =
n 4;25
4
; n = 2; 4; 6; : : :
21

32. d) Gra

33. que la ecuacion de movimiento.
La gra

34. ca es:
27. Una masa que pesa 10 libras produce un alargamiento de 2 pies en un resorte. La masa
se une a un dispositivo amortiguador que ofrece una fuerza de amortiguamiento igual
a

35. (

36. 0) veces la velocidad instantanea. Determine los valores de la constante de
amortiguamiento

37. de modo que el movimiento posterior sea:
m = 10
32 = 5
16 slug, k = 10
2 = 5 lb/pie,

38. 0
mx00 +

39. x0 + kx = 0
10
32
x00 +

40. x0 + 5x = 0
El discriminante de la ecuacion es:
4 =

41. 2 4(
10
32
)(5)
4 =

42. 2 (
25
4
)
a) Es sobreamortiguado cuando:

43. 2 ( 25
4 ) 0 )

44. 5
2
b) Es critico amortiguado cuando:

45. 2 ( 25
4 ) = 0 )

46. = 5
2
c) Es subamortiguado cuando:

47. 2 ( 25
4 ) 0 )

48. 5
2
28. Una masa que pesa 24 libras alarga 4 pies un resorte. El movimiento posterior toma
lugar en un medio que ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a

49. (

50. 0) veces la
velocidad instantanea. Si al inicio la masa se libera desde la posicip
on de equilibrio con
una velocidad ascendente de 2 pies/s, muestre que cuando

51. 3
2 la ecuacion de mo-vimiento
es:
x(t) = p3

52. 218
e2

53. t=3 sinh 2
3
p

54. 2 18t
22

55. m = 24
32 = 3
4 slug, k = 24
4 = 6 lb/pie,

56. 0
mx00 +

57. x0 + kx = 0
3
x00 +

58. x0 + 6x = 0
4
x00 +
4
3

59. x0 + 8x = 0
m2 +
4
3

60. m + 8 = 0
m =
4
3

61. q
( 4
3

62. )2 4(1)(8)
2(1)
m =
2
3

63. 2
3
p

64. 2 18;

65. 3
p
2
x(t) = C1e(2
3

66. +2
3
p

67. 218)t + C2e(2
3

68. 2
3
p

69. 218)t
Aplicando los valores iniciales:
x(0) = C1 + C2 = 0
x0(t) = C1(
2
3

70. +
2
3
p

71. 2 18)e(2
3

72. +2
3
p

73. 218)t + C2(
2
3

74. 2
3
p

75. 2 18)e(2
3

76. 2
3
p

77. 218)
x0(0) = C1(
2
3

78. +
2
3
p

79. 2 18) C1(
2
3

80. 2
3
p

81. 2 18)
2 = C1
4
3
p

82. 2 18
C1 =
3
p

83. 2 18
2
C2 =
3
p

84. 2 18
2
La ecuacion del movimiento es:
x(t) =
3
p

85. 2 18
2
3

86. +2
3
e(2
p

87. 218)t +
3
p

88. 2 18
2
3

89. 2
3
e(2
p

90. 218)t
Pero:
senh a =
ea ea
2
Dando la forma a la ecuacion:
x(t) =
3 p

91. 2 18
e(2
3

92. )
e
2
3
p

93. 218 e2
3
p

94. 218
2
!
23

95. Quedara que la ecuacion del movimiento es:
x(t) =
3 p

96. 2 18
e(2
3

97. ) senh
2
3
p

98. 2 18
24

99. 5.1.3 SISTEMAS RESORTE - MASA: Movimiento Forzado
29. Una masa que pesa 16 libras alarga 8
3 pie un resorte. La masa se libera inicialmente
desde el reposo desde un punto 2 pies abajo de la posicion de equilibrio, y el movimien-to
posterior toma lugar en un medio que ofrece una fuerza de amortiguamiento igual
a 1
2 de la velocidad instantanea. Encuentra la ecuacion de movimiento si se aplica a la
masa una fuerza externa igual a f(t) = 10 cos 3t.
Primero hallamos los valores de m y k para eso sabemos que W = mg, entonces
16 = m(32); por lo tanto m = 1
2 . Ademas que W = ks, entonces 16 = k( 8
3 ) por lo
tanto k = 6; y como dato del problema tenemos

100. = 1
2 . Teniendo en cuenta esto plan-teamos
la ecuacion diferencial:
d2x
dt2 + 1=2
1=2
dx
dt + 6
1=2 x = 10 cos 3t (1)
Entonces hallamos primero la solucion complementaria:
xc(t) :
d2x
dt2 + 1=2
1=2
dx
dt + 6
1=2 x = 0
Ec. caracterstica: m2 + m + 12 = 0
Hallamos valor de m: m = 1
2
p
47
2 i
Por lo tanto: CFS = (et=2 cos
p
47
2 t ; et=2 sin
p
47
2 t)
As tenemos que: xc(t) = c1et=2 cos
p
47
2 t + c2et=2 sin
p
47
2 t
Ahora, teniendo f(t) = 10 cos 3t aplicamos el metodo del Operador Anulador, para
hallar la solucion particular xp(t) , entonces multiplicamos a f(t) por (D2 + 9)
Entonces tenemos nuevamente la ecuacion caracterstica: m2 + 9 = 0
Hallamos valor de m: m = 3i
Por lo tanto: CFS = (cos 3t ; sin 3t)
As tenemos que: xp(t) = c3 cos 3t + c4 sin 3t
Ahora sabemos que xp(t); es solucion de la ecuacion diferencial:
d2x
dt2 +
1=2
1=2
dx
dt
+
6
1=2
x = 10 cos 3t
Por tanto esta solucion debe cumplir con (1), y as obtenemos los valores de c3 y c4:
c3 = c4 =
5
3
25

101. Sabemos que x(t) = xc(t) + xp(t) por tanto:
x(t) = c1et=2 cos
p
47
2
t + c2et=2 sin
p
47
2
t +
5
3
cos 3t +
5
3
sin 3t
Luego para hallar los valores de c1 y c2 hacemos uso de los datos del problema, x(0) = 0
y x0(0) = 2; y obtenemos:
c1 =
1
3
c2 =
p
47
2
29
De modo que:
x(t) =
1
3
et=2 cos
p
47
2
t +
p
47
2
29
et=2 sin
p
47
2
t +
5
3
cos 3t +
5
3
sin 3t
30. Una masa de 1 slug se une a un resorte cuya constante es 5 lb/pie. Al inicio la masa
se libera 1 pie abajo de la posicion de equilibrio con una velocidad descendente de 5
pies/s, y el movimiento posterior toma lugar en un medio que ofrece una fuerza de
amortiguamiento igual a 2 veces la velocidad instantanea.
(a)Encuentre la ecuacion de movimiento si una fuerza externa igual a f(t) = 12 cos 2t+
3 sin 2t actua sobre la masa.
Primero expresamos la ecuacion diferencial ya que tenemos m = 1, k = 5 y

102. = 2
como datos del problema:
d2x
dt2 + 2
1
dx
dt + 5
1 x = 12 cos 2t + 3 sin 2t (1)
Entonces hallamos primero la solucion complementaria:
xc(t) :
d2x
dt2 + 2
1
dx
dt + 5
1 x = 0
Ec. caracterstica: m2 + 2m + 5 = 0
Hallamos valor de m: m = 1 2i
Por lo tanto: CFS = (et cos 2t ; et sin 2t)
As tenemos que: xc(t) = c1et cos 2t + c2et sin 2t
Ahora, teniendo f(t) = 12 cos 2t+3 sin 2t aplicamos el metodo del Operador Anulador,
26

103. para hallar la solucion particular xp(t) , entonces multiplicamos a f(t) por (D2 + 4)
Entonces tenemos nuevamente la ecuacion caracterstica: m2 + 4 = 0
Hallamos valor de m: m = 2i
Por lo tanto: CFS = (cos 2t ; sin 2t)
As tenemos que: xp(t) = c3 cos 2t + c4 sin 2t
Ahora sabemos que xp(t); es solucion de la ecuacion diferencial:
d2x
dt2 +
1=2
1=2
dx
dt
+
6
1=2
x = 12 cos 2t + 3 sin 2t
Por tanto esta solucion debe cumplir con (1), y as obtenemos los valores de c3 y c4:
c3 = 0;64
c4 = 0;02
Sabemos que x(t) = xc(t) + xp(t) por tanto:
x(t) = c1et cos 2t + c2et sin 2t 0;64 cos 2t 0;02 sin 2t
Luego para hallar los valores de c1 y c2 hacemos uso de los datos del problema, x(0) = 1
y x0(0) = 5; y obtenemos:
c1 = 1;64
c2 = 3;35
De modo que:
x(t) = 1;64et cos 2t + 3;35et sin 2t 0;64 cos 2t 0;02 sin 2t
(b)Gra

104. que las soluciones transitoria y de estado estable en los mismos ejes de las
coordenadas.
La solucion transitoria es xc(t), entonces:
xc(t) = 1;64et cos 2t + 3;35et sin 2t
La gra

105. ca sera:
27

106. La solucion de estado estable es xp(t), entonces:
xp(t) = 0;64 cos 2t 0;02 sin 2t
La gra

107. ca sera:
28

108. (c)Gra

109. que la ecuacion de movimiento.
La solucion corresponde a la siguiente expresion:
x(t) = 1;64et cos 2t + 3;35et sin 2t 0;64 cos 2t 0;02 sin 2t
La gra

110. ca sera:
31. Una masa de 1 slug, cuando se une a un resorte, causa en este un alargamiento de 2
pies y luego llega al punto de reposo en la posicion de equilibrio. Empezando en t = 0,
una fuerza externa igual a f(t) = 8 sin 4t se aplica al sistema. Encuentre la ecuacion
de movimiento si el medio circundante ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a 8
veces la velocidad instantanea.
Primero hallamos el valor de k, teniendo m como dato para eso sabemos que W = mg,
entonces W = (1)(32). Entonces si W = ks, tenemos 32 = k(2) por lo tanto k = 16;
y como dato del problema tenemos

111. = 8. Teniendo en cuenta esto planteamos la
ecuacion diferencial:
d2x
dt2 + 8
1
dx
dt + 16
1 x = 8 sin 4t (1)
Entonces hallamos primero la solucion complementaria:
xc(t) :
d2x
dt2 + 8
1
dx
dt + 16
1 x = 0
Ec. caracterstica: m2 + 8m + 16 = 0
Hallamos valor de m: m = 4 2 veces
Por lo tanto: CFS = (e4t ; te4t)
As tenemos que: xc(t) = c1e4t + c2te4t
29

112. Ahora, teniendo f(t) = 8 sin 4t aplicamos el metodo del Operador Anulador, para
hallar la solucion particular xp(t) , entonces multiplicamos a f(t) por (D2 + 16)
Entonces tenemos nuevamente la ecuacion caracterstica: m2 + 16 = 0
Hallamos valor de m: m = 4i
Por lo tanto: CFS = (cos 4t ; sin 4t)
As tenemos que: xp(t) = c3 cos 4t + c4 sin 4t
Ahora sabemos que xp(t); es solucion de la ecuacion diferencial:
d2x
dt2 +
8
1
dx
dt
+
16
1
x = 8 sin 4t
Por tanto esta solucion debe cumplir con (1), y as obtenemos los valores de c3 y c4:
c3 =
1
4
c4 = 0
Sabemos que x(t) = xc(t) + xp(t) por tanto:
x(t) = c1e4t + c2te4t
1
4
cos 4t
Luego para hallar los valores de c1 y c2 hacemos uso de los datos del problema, x(0) = 0
y x0(0) = 0; y obtenemos:
c1 =
1
4
c2 = 1
De modo que:
x(t) =
1
4
e4t + te4t
1
4
cos 4t
32. En el Problema 31 determine la ecuacion de movimiento si la fuerza externa es f(t) =
et sin 4t. Analice el desplazamiento para t ! .
Del problema 31 tenemos:
d2x
dt2 + 8
1
dx
dt + 16
1 x = et sin 4t (1)
30

113. Entonces hallamos primero la solucion complementaria:
xc(t) :
d2x
dt2 + 8
1
dx
dt + 16
1 x = 0
Ec. caracterstica: m2 + 8m + 16 = 0
Hallamos valor de m: m = 4 2 veces
Por lo tanto: CFS = (e4t ; te4t)
As tenemos que: xc(t) = c1e4t + c2te4t
Ahora, teniendo f(t) = et sin 4t aplicamos el metodo del Operador Anulador, para
hallar la solucion particular xp(t) , entonces multiplicamos a f(t) por (D2 + 2D + 17)
Entonces tenemos nuevamente la ecuacion caracterstica: m2 + 2m + 17 = 0
Hallamos valor de m: m = 1 4i
Por lo tanto: CFS = (cos 4t ; sin 4t)
As tenemos que: xp(t) = c3 cos 4t + c4 sin 4t
Ahora sabemos que xp(t); es solucion de la ecuacion diferencial:
d2x
dt2 +
8
1
dy
dx
+
16
1
y = 8 sin 4t
Por tanto esta solucion debe cumplir con (1), y as obtenemos los valores de c3 y c4:
c3 =
1
4
c4 = 0
Sabemos que x(t) = xc(t) + xp(t) por tanto:
x(t) = c1e4t + c2te4t
1
4
cos 4t
Luego para hallar los valores de c1 y c2 hacemos uso de los datos del problema, x(0) = 0
y x0(0) = 0; y obtenemos:
c1 =
1
4
c2 = 1
De modo que:
31

114. x(t) =
1
4
e4t + te4t
1
4
cos 4t
Por tanto si :t ! (valor muy grande), la expresion quedara reducida a:
x(t) =
1
4
cos 4t
33. Cuando una masa de 2 kg. se une a un resorte cuya constante es 32 N/m, este lle-ga
al reposo en la posicion de equilibrio. Comenzando en t = 0, una fuerza igual a
f(t) = 68e2t cos 4t se aplica al sistema. Determine la ecuacion de movimiento en au-sencia
de amortiguamiento.
Primero expresamos la ecuacion diferencial ya que tenemos m = 2, k = 32 y

115. = 0
como datos del problema:
d2x
dt2 + 32
2 x = 68e2t cos 4t (1)
Entonces hallamos primero la solucion complementaria:
xc(t) :
d2x
dt2 + 32
2 x = 0
Ec. caracterstica: m2 + 16 = 0
Hallamos valor de m: m = 4i
Por lo tanto: CFS = (cos 4t ; sin 4t)
As tenemos que: xc(t) = c1 cos 4t + c2 sin 4t
Ahora, teniendo f(t) = 68e2t cos 4t aplicamos el metodo del Operador Anulador, para
hallar la solucion particular xp(t) , entonces multiplicamos a f(t) por (D2 + 4D + 20)
Entonces tenemos nuevamente la ecuacion caracterstica: m2 + 4m + 20 = 0
Hallamos valor de m: m = 2 4i
Por lo tanto: CFS = (e2t cos 4t ; e2t sin 4t)
As tenemos que: xp(t) = c3e2t cos 4t + c4e2t sin 4t
Ahora sabemos que xp(t); es solucion de la ecuacion diferencial:
d2x
dt2 +
32
2
x = 68e2t cos 4t
32

116. Por tanto esta solucion debe cumplir con (1), y as obtenemos los valores de c3 y c4:
c3 = 1
c4 = 4
Sabemos que x(t) = xc(t) + xp(t) por tanto:
x(t) = c1 cos 4t + c2 sin 4t + e2t cos 4t 4e2t sin 4t
Luego para hallar los valores de c1 y c2 hacemos uso de los datos del problema, x(0) = 0
y x0(0) = 0; y obtenemos:
c1 = 1
c2 =
9
2
De modo que:
x(t) = 1 cos 4t +
9
2
sin 4t + e2t cos 4t 4e2t sin 4t
34. En el Problema 33, escriba la ecuacion de movimiento en la forma x(t) = Asin(!t +
) + Be2t sin(4t + ). Cual es la amplitud de las vibraciones pasado un tiempo muy
largo?
Para hallar A y B utilizamos las siguientes expresiones:
A =
p
c1
2 + c2
2
B =
p
c3
2 + c4
2
Entonces tenemos:
A =
q
(1)2 + (9=2)2 =
p
85
2
B =
q
12 + (4)2 =
p
17
Y luego para hallar y usamos:
= arctan
c1
c2
= arctan
c3
c4
As tenemos:
33

117. = 0;22rad
= 0;24rad
Finalmente la expresion quedara:
x(t) =
p
85
2
sin(4t + 0;22rad) +
p
17e2t sin(4t + 0;24rad)
Cuando t ! la amplitud sera:
A =
p
85
2
sin(0;22rad)
35. Una masa m se une al extremo de un resorte cuya constante es k. Despues que la masa
alcanza el equilibrio, su soporte empieza a oscilar verticalmente respecto a una recta
horizontal L segun la formula h(t). El valor de h representa la distancia en pies medida
desde L. Vease la

118. gura
(a)Determine la ecuacion diferencial de movimiento si el sistema entero se mueve en
un medio que ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a

119. ( dx
dt ).
De la Ley de Hooke tenemos:
m
d2x
dt2 = k(s + x) + mg
De la condicion de equilibrio tenemos que: mgks = 0, entonces la ecuacion quedara:
m
d2x
dt2 = kx
34

120. Luego incluyendo la fuerza amortiguadora:
m
d2x
dt2 = kx

121. dx
dt
Ahora como dato de problema tenemos que el soporte oscila verticalmente sobre la recta
L en funcion de h, entonces asumiremos que la oscilacion del soporte es la misma que
la del resorte, como consecuencia de esto comparten el mismo k, entonces la ecuacion
quedara:
m
d2x
dt2 = kx

122. dx
dt
+ kh(t)
Ahora expresandolo como ecuacion diferencial:
d2x
dt2 +

123. m
dx
dt
+
k
m
x =
k
m
h(t)
(b)Resuelva la ecuacion diferencial del inciso (a) si el resorte se alarga 4 pies con una
masa que pesa 16 libras y

124. = 2 , h(t) = 5 cos t , x(0) = x0(0) = 0.
Al tener los datos m = 1=2, k = 4 y

125. = 2 reemplazamos en la ecuacion obtenida en (a):
d2x
dt2 + 2
1=2
dx
dt + 4
1=2 x = 40 cos t (1)
Entonces hallamos primero la solucion complementaria:
xc(t) :
d2x
dt2 + 2
1=2
dx
dt + 4
1=2 x = 0
Ec. caracterstica: m2 + 4m + 8 = 0
Hallamos valor de m: m = 2 2i
Por lo tanto: CFS = (e2t cos 2t ; e2t sin 2t)
As tenemos que: xc(t) = c1e2t cos 2t + c2e2t sin 2t
Ahora, teniendo f(t) = 40 cos t aplicamos el metodo del Operador Anulador, para
hallar la solucion particular xp(t) , entonces multiplicamos a f(t) por (D2 + 1)
Entonces tenemos nuevamente la ecuacion caracterstica: m2 + 1 = 0
Hallamos valor de m: m = i
Por lo tanto: CFS = (cos t ; sin t)
As tenemos que: xp(t) = c3 cos t + c4 sin t
Ahora sabemos que xp(t); es solucion de la ecuacion diferencial:
d2x
dt2 +
2
1
2
dx
dt
+
4
1
2
x = 40 cos t
35

126. Por tanto esta solucion debe cumplir con (1), y as obtenemos los valores
de c3 y c4:
c3 =
56
13
c4 =
32
13
Sabemos que x(t) = xc(t) + xp(t) por tanto:
x(t) = c1e2t cos 2t + c2e2t sin 2t +
56
13
cos t +
32
13
sin t
Luego para hallar los valores de c1 y c2 hacemos uso de los datos del
problema, x(0) = 0 y x0(0) = 0; y obtenemos:
c1 =
56
13
c2 =
72
13
De modo que:
x(t) =
56
13
e2t cos 2t
72
13
e2t sin 2t +
56
13
cos t +
32
13
sin t
36. Una masa de 100 gramos se une a un resorte cuya constante es 1600
dinas/cm. Despues de que la masa alcanza el equilibrio, su apoyo oscila
segun la formula h(t) = sin 8t, donde h representa el desplazamiento
desde su posicion original.
(a)En ausencia de amortiguamiento, determine la ecuacion de movi-miento
si la masa parte del reposo desde la posicion de equilibrio.
Primero hacemos la transformacion respectiva 1600dinas=cm = 1;6N=my
luego expresamos la ecuacion diferencial ya que tenemos m = 0;1, k =
1;6 y

127. = 0 como datos del problema:
36

128. d2x
dt2 + 1;6
0;1 x = sin 8t (1)
Entonces hallamos primero la solucion complementaria:
xc(t) :
d2x
dt2 + 1;6
0;1 x = 0
Ec. caracterstica: m2 + 16 = 0
Hallamos valor de m: m = 4i
Por lo tanto: CFS = (cos 4t ; sin 4t)
As tenemos que: xc(t) = c1 cos 4t + c2 sin 4t
Ahora, teniendo f(t) = sin 8t aplicamos el metodo del Operador Anu-lador,
para hallar la solucion particular xp(t) , entonces multiplicamos a
f(t) por (D2 + 64)
Entonces tenemos nuevamente la ecuacion caracterstica: m2 + 64 = 0
Hallamos valor de m: m = 8i
Por lo tanto: CFS = (cos 8t ; sin 8t)
As tenemos que: xp(t) = c3 cos 8t + c4 sin 8t
Ahora sabemos que xp(t); es solucion de la ecuacion diferencial d2x
dt2 +
1;6
0;1y = sin 8t
Por tanto esta solucion debe cumplir con (1), y as los valores de c3 y c4:
c3 = 0
c4 =
1
3
Sabemos que x(t) = xc(t) + xp(t) por tanto:
x(t) = c1 cos 4t + c2 sin 4t
1
3
sin 8t
Luego para hallar los valores de c1 y c2 hacemos uso de los datos del
problema, x(0) = 0 y x0(0) = 0; y obtenemos:
37

129. c1 = 0
c2 =
2
3
De modo que:
x(t) =
2
3
sin 4t
1
3
sin 8t
(b)En que instantes la masa pasa por la posicion de equilibrio?
De la gra

130. ca tenemos que la masa pasa por la posicion de equilibrio en
los instantes t = n
4 para n = 0; 1; 2; 3; 4:::
38

131. (c)En que tiempos la masa alcanza sus desplazamientos extremos?
En la gra

132. ca observamos la expresion de la ecuacion de movimiento color
morado y su correspodiente derivada color negro, teniendo en cuenta de
que la derivada de una funcion en el punto cero es maxima o mnima,
entonces la gra

133. ca nos muestra los desplazamientos extremos ubicados
en los puntos: t = (1
6) para n 3 Ncon excepcion de los multiplos de 3.
(d)Cuales son los desplazamientos maximo y mnimo?
Usamos el valor anterior de t y reemplazamos en la ecuacion de movi-miento:
x(
6
) =
2
3
sin 4(
6
)
1
3
sin 8(
6
)
y obtenemos que
xmax = 0;866
(e)Gra

134. que la ecuacion de movimiento.
39

135. 37. Resuelva el problema de valores iniciales
d2x
dt2 + 4x = 5 sin 2t + 3 cos 2t, x(0) = 1, x0(0) = 1
Este tipo de problemas no tienen solucion usando el metodo de coe

136. -
cientes indeterminados; pero se pueden resolver mediante el metodo de
variacion de parametros.
De igual forma hallamos primero la solucion complementaria xc(t):
d2x
dt2 + 4x = 0
Ec. caracterstica: m2 + 4 = 0
Hallamos valor de m: m = 2i
Por lo tanto: CFS = (cos 2t ; sin 2t)
As tenemos que: xc(t) = u1(t) cos 2t + u2(t) sin 2t
De

137. nimos el wronskiano del CFS:
W =

141. cos 2t sin 2t
2 sin 2t 2 cos 2t

145. = 2 cos2 2t + 2 sin2 2t = 2(1) = 2
Ahora las expresiones u1(t) y u2(t) se obtienen de la siguiente forma:
u1(t) =
Z

149. 0 sin 2t
5 sin 2t + 3 cos 2t 2 cos 2t

153. W
dt
u2(t) =
Z

157. cos 2t 0
2 sin 2t 5 sin 2t + 3 cos 2t

161. W
dt
Entonces obtenemos los valores de u1(t) y u2(t):
u1(t) =
5
4
t +
5
16
sin 4t +
3
16
cos 4t
40

162. u2(t) =
3
4
t +
1
16
sin 4t +
5
16
cos 4t
Entonces la solucion de la ecuacion diferencial es:
x(t) = (
5
4
t +
5
16
sin 4t +
3
16
cos 4t) cos 2t+(
3
4
t+
1
16
sin 4t+
5
16
cos 4t) sin 2t
38. Resuelva el problema de valores iniciales
d2x
dt2 + 9x = 5 sin 3t, x(0) = 2, x0(0) = 0
Hallamos primero la solucion complementaria xc(t):
d2x
dt2 + 9x = 0
Ec. caracterstica: m2 + 9 = 0
Hallamos valor de m: m = 3i
Por lo tanto: CFS = (cos 3t ; sin 3t)
As tenemos que: xc(t) = u1(t) cos 3t + u2(t) sin 3t
De

163. nimos el wronskiano del CFS:
W =

167. cos 3t sin 3t
3 sin 2t 3 cos 3t

171. = 3 cos2 3t + 3 sin2 3t = 3(1) = 3
Ahora las expresiones u1(t) y u2(t) se obtienen de la siguiente forma:
u1(t) =
Z

175. 0 sin 3t
5 sin 3t 3 cos 3t

179. W
dt
u2(t) =
Z

183. cos 3t 0
3 sin 3t 5 sin 3t

187. W
dt
41

188. Entonces obtenemos los valores de u1(t) y u2(t):
u1(t) =
5
6
t +
5
36
sin 6t
u2(t) =
5
36
cos 6t
Entonces la solucion de la ecuacion diferencial es:
x(t) = (
5
6
t +
5
36
sin 6t) cos 3t + (
5
36
cos 6t) sin 3t
39. (a) Muestre que la solucion del problema de valores iniciales
d2x
dt2 + !2x = F0 cos
t, x(0) = 0, x0(0) = 0
es x(t) = F0
!2
2(cos
t cos !t)
Primero expresamos la ecuacion diferencial del problema:
d2x
dt2 + !2 x = F0 cos
t (1)
Entonces hallamos primero la solucion complementaria:
xc(t) :
d2x
dt2 + !2 x = 0
Ec. caracterstica: m2 + !2 = 0
Hallamos valor de m: m = !i
Por lo tanto: CFS = (cos !t ; sin !t)
As tenemos que: xc(t) = c1 cos !t + c2 sin !t
Ahora, teniendo f(t) = F0 cos
t aplicamos el metodo del Operador
Anulador, para hallar la solucion particular xp(t) , entonces multiplica-mos
a f(t) por (D2 +
2)
42

189. Entonces tenemos nuevamente la ecuacion caracterstica: m2 +
2 = 0
Hallamos valor de m: m =
i
Por lo tanto: CFS = (cos
t ; sin
t)
As tenemos que: xp(t) = c3 cos
t + c4 sin
t
Ahora sabemos que xp(t); es solucion de la ecuacion diferencial d2x
dt2 +
!2x = F0 cos
t
Por tanto esta solucion debe cumplir con (1), y as los valores de c3 y c4:
c3 =
F0
!2
2
c4 = 0
Sabemos que x(t) = xc(t) + xp(t) por tanto:
x(t) = c1 cos !t + c2 sin
F0
!2
2 cos
t
Luego para hallar los valores de c1 y c2 hacemos uso de los datos del
problema, x(0) = 0 y x0(0) = 0; y obtenemos:
c1 =
F0
!2
2
c2 = 0
De modo que:
x(t) =
F0
!2
2 (cos
t cos !t)
(b) Evalue lm
!!
F0
!2
2 (cos
t cos !t).
Al evaluar este lmite tenemos en cuenta lo siguiente:
La expresion
! ! nos indica que la variable del lmite es
y como
variables constantes quedaran t y !
Al considerar ! y t constantes la expresion cos !t tambien sera con-siderada
constante.
43

190. La derivada de !2
2 con las consideraciones anteriores quedara
como 2
Para resolver el lmite aplicamos la regla de l'H^opital.
lm
!!
F0
!2
2 (cos
t cos !t)
lm
!!
F0t sin
t
2
=
F0t sin !t
2!
40. Compare el resultado obtenido en el inciso (b) del Problema 39 con la
solucion obtenida por medio de la variacion de parametros cuando la
fuerza externa en F0 cos !t.
Hallamos primero la solucion complementaria xc(t):
d2x
dt2 + !2x = 0
Ec. caracterstica: m2 + !2 = 0
Hallamos valor de m: m = !i
Por lo tanto: CFS = (cos !t ; sin !t)
As tenemos que: xc(t) = u1(t) cos !t + u2(t) sin !t
De

191. nimos el wronskiano del CFS:
W =

195. cos !t sin !t
! sin !t ! cos !t

199. = ! cos2 !t + ! sin2 !t = !(1) = !
Ahora las expresiones u1(t) y u2(t) se obtienen de la siguiente forma:
u1(t) =
Z

203. 0 sin !t
F0 cos !t ! cos !t

207. W
dt u2(t) =
Z

211. cos !t 0
! sin !t F = 0 cos !t

215. W
dt
Entonces obtenemos los valores de u1(t) y u2(t):
u1(t) =
F0
4!2 cos 2!t
u2(t) =
F0
2!
t +
F0
4!2 sin 2!t
44

216. Entonces la solucion de la ecuacion diferencial es:
x(t) = (
F0
4!2 cos 2!t) cos !t + (
F0
2!
t +
F0
4!2 sin 2!t) sin !t
41. (a) Muestre que x(t) provista en el inciso (a) del Problema 39 se puede
escribir en la forma:
x(t) = 2F0
!2
2 sin 1
2(
!)t sin 1
2(
+ !)t.
Para el desarrollo de este ejercicio usaremos el siguiente arti

217. cio:
cos(A + B) = cosAcosB sinAsinB (1)
cos(A B) = cosAcosB + sinAsinB (2)
Luego haciendo:
A + B =
t
A B = !t
Tenemos:
A =
1
2
(
+ !)t
B =
1
2
(
!)t
Entonces restando las expresiones (1) - (2) y reemplazando los valores
de A y B, tenemos:
x(t) =
2F0
!2
2 sin
1
2
(
!)t sin
1
2
(
+ !)t
(b) Si se de

218. ne = 1
2(
!), muestre que cuando es peque~na una
solucion aproximada es:
x(t) =
F0
2
sin t sin
t
Al evaluar este lmite tenemos en cuenta lo siguiente:
45

219. Para que la expresion: = 1
2(
!) sea muy peque~na basta con decir
que
=
! esto quiere decir que la diferencia entre ambos tiende a
0.
La expresion !2
2 se puede igualar a : 42 4
La expresion 1
2(
+ !) se puede igualar a 2
o 2! sin embargo usa-remos
el primero (2
) para la resolucion del problema.
Al aplicar el lm
!0
2F0
!2
2 sin
1
2
(
!)t sin
1
2
(
+ !)t obtenemos la
solucion.
Reemplazamos valores:
lm
!0
2F0
42 4
sin t sin
t
Analizando la situacion tenemos que : 2 =
0 por tanto la expresion
quedara:
F0
2
sin t sin
t
46