1. Adolf Žižek
Kompleksni model napovedi stohastičnega dogodka
Abstrakt
V članku se lotevamo napovedi nastopa stohastičnega dogodka, na primer potresa, izbruha
vulkana, kar je mogoče ugotoviti z verjetnostjo s podanim modelom in tako imenovano Z-
verjetnostjo. Iščemo le časovno obdobje, kdaj bo dogodek nastopil, ne pa tudi njegovih vzrokov in
se ne ukvarjamo z reševanjem njegovih posledic, saj je to področje drugih ved, ne pa teorije o
kompleksnih sistemih.
Ta članek je praktična nadgradnja avtorjeve trilogije Kompleksni sistemi (glej reference) z
množico originalnih novosti, ki so povzete po modelih v trilogiji. Te novosti so: teorija o potenčnih
množicah, eno in mnogo-mestne relacije, eno in mnogo-mestne mreže relacij stohastičnega procesa,
obtežena z večmestnimi normami relacij iz Banachovih prostorov, Z-verjetnost prehoda
raziskovanega stohastičnega procesa skozi nedopustno področje Δ, kar povzroči pričakovani
raziskovani dogodek.
Podali bomo le splošni model. Za posamezne dogodke (potres, izbruh vulkana, gospodarska
kriza, …) je treba model dopolniti še s poskusi, meritvami, izračuni.
1 Iz teorije o potenčnih množicah
Trilogija o potenčnih množicah, ki je bila prvič objavljena leta 2006 v znanstveni monografiji A.
Žižek: Kompleksni sistemi 1 (Samozaložba, Ptuj, Slovenija, 2006, ISBN 961-245-168-0), na
straneh, 37 do 91, v poglavju 2 “Teorija o potenčnih množicah”. Je izvirna teorija, ki temelji na t.i.
“aksiomu o potenčni množici”, ki trdi po definiciji: Potenčna množica P X množice X je družina
vseh podmnožic množice X.
Aksiom 1.1: Vsaki množici X iz univerzalne množice U ; [ X ⊆U] pripada natanko ena družina vseh
njenih podmnožic.
Potenčni množici P X pripada formalna definicija
P X = {Z : [ Z⊆X ]}, (1.1)Δ
kjer velja za vsak Z, da [Z⊆U] .
Izberimo zdaj števno neprazno univerzalno množico U s števnim kardinalnim številom
elementov, [#(U)≤ℵ0] in njeno poljubno podmnožico A⊆U , za katero velja ekvivalenca (2.2.6) iz
Kompleksni sistemi 1
A⊆X ⇔ A∈ P X . (1.2)
Izberimo za univerzalno množico U=ℕ in poljubno njeno podmnožico
A⊆ℕ ⇔ A∈ P ℕ (1.3)
1

2. in tvorimo zaporedja notranjih kartezičnih produktov prvega, drugega reda, tretjega, …, ν-tega
reda
A⏟
1
, A×A⏟
2
, A×A×A⏟
3
, …, A×A×…×A⏟ν
, … (1.4)
Izraz “ A×A×…×A⏟ν
” imenujemo jedro relacije in ga označimo z “ J n
ν
”, pri čemer pomeni “n”
končno število elementov v A, “ν” pa število mest
v relaciji R
(ν )
. Tako imamo po vrsti:
J n
1
= A jedro enomestne relacije ,
J n
2
= A×A jedro dvomestne relacije ,
J n
3
= A×A×A jedro trimestne relacije ,
⋮ ⋮
J n
ν
= A×A×…×A⏟ν
jedroν -mestne relacije ,
⋮ ⋮
(1.5)Δ
Zapišimo definicijo ν-mestne relacije R
(ν )
, ki je vsaka podmnožica jedra J n
ν
, razen prazne
množice,
[R
(ν )
⊆Jn
ν
] ⇔ [ R
(ν )
∈ P J n
ν
]. (1.6)Δ
Podajmo še
Teorem 1.2: Bodi podana končna množica A z n elementi kot podmnožica univerzalne množice U.
Tedaj vsebuje jedro ν-mestne relacije natanko število komponent
#(J n
ν
) = n
ν
, (1.7)
tipa {…, ( x1 , x2 , …, xν ) , …} .
Dokaz. Je elementaren. Po vrsti velja
#(J n
1
) = n
1
,
#(J n
2
) = n
2
,
#(J n
3
) = n
3
,
⋮
#(J n
ν
) = n
ν
,
⋮
(1.8)
□
2 Kardinalna števila potenčnih množic
Opišimo kardinalna števila potenčnih množic.
 [ν ∈ℕ] .
 [ν ≤n] .
2

3. Bodi A poljubna družina množic in K množica kardinalnih števil. Tedaj eksistira preslikava
[#: A →K ] ⇔ ( X ∈ A )(E! k∈K)[k=#( X )] . S teorijo o kardinalnih številih se ne bomo
ukvarjali podrobneje
, omenimo le, da obstaja v množici K kardinalna aritmetika. Vsem števno
neskončnim množicam pripada kardinalno število ℵ0 , kjer velja [#(ℤ)=#(ℕ)=ℵ0] . Množici
realnih števil ℝ pripada kardinalno število c, ki pripada tudi intervalu [0,1] ⊆ ℝ ; velja torej
[#(ℝ)=#([0,1])=c] . Med številoma ℵ0 in c ni nobenega kardinalnega števila. V primeru, da je
množica X končna, ji pripada kardinalno število n, ki predstavlja število vseh njenih elementov,
torej zapis [#( X )<ℵ0] pomeni, da je množica X ∈ A končna, zapis [#( X )≥c] pa, da je množica X
neštevno neskončna.
Kardinalno število kartezičnega produkta množic
je enako produktu kardinalnih števil vseh
faktorjev. Za poljubno družino množic {Ai: i∈I } tedaj velja
#(∏
i∈I
Ai) = ∏
i∈I
#(Ai). (2.1)
Lema 2.1: Vsaki potenčni množici P X ; [ X ∈ P U] pripada kardinalno število
#( P X ) = 2
#( X )
= 2↑#(X ). (2.2)
Da bi poenostavili zapisovanje, bomo vpeljali poenostavljen izraz
(2↑)
n
= 2↑2↑…↑2↑⏟
n
; (∀n∈ℕ). (2.3)Δ
Za S-eksponent m=0 naj velja
(2↑)
0
∈∅, (2.4)
kar pomeni, da izraz “ (2↑)
0
” opustimo, saj kot element prazne množice ne obstaja.
Teorem 2.2: Bodi X ∈ P U poljubna množica in m∈ℤS poljuben S-eksponent. Tedaj ima potenčna
množica P
m
X naslednje kardinalno število elementov:
#( Pm
X ) =
{(2↑)
m
#( X ), če m∈ℤS+
(2↑)
#(X )
#(U ∖ X ), če m∈ℤS− .
(2.5)
Dokaz. Izhaja neposredno iz lem 2.4.3 in 2.4.4, podanih v Kompleksni sistemi 1.
S pomočjo (2.5) izračunajmo število elementov #( P
ν
∅) prazne množice X =∅ . Iz (2.5)
dobimo
#( P
ν
∅) = (2↑)
ν
↑#(∅) . (2.6)
Velja #(∅)=0 in 2
0
=1 , zato dobimo
#( P
ν
∅) = 2↑2↑…↑2⏟ν
↑0 . (2.7)
□
 Glej na primer:
J. F. Dominiques: Labirinth of Thought: A History of Set Theory and its Role in Modern Mathematics, Birkhauser,
Basel, p.p. 171-214, ISBN: 081 765 7495.
3

4. Zgled 2.1: Podajmo potenčne množice praznih množic P
1
∅ , P
2
∅ , P
3
∅ ,…
P
1
∅ = P ∅ = {∅,∅} = {∅} ,
P
2
∅ = P ( P
1
∅) = {∅ ,{∅}} ,
P
3
∅ = P( P
2
∅) = {∅ ,{∅},{{∅}},{∅,{∅}}},
⋮
(2.8)
3 ν – mestne relacije
V števni neprazni univerzalni množici U, [#(U)≤ℵ0] , bodi podana njena podmnožica
A⊆U. (3.1)
Zgled 3.1: Kot zgled vzemimo U=ℕ in A={1 , 2, 3} . Izračunajmo izvirno enomestno relacijo ali
relacijo prvega reda, R
(1)
. V ta namen tvorimo najprej jedro J 3
1
, ki je pri enomestni relaciji
,
[ν =1] , enako
J 3
1
= A⏟
1
, (3.2)
oziroma v splošnem
J n
1
= {(x): x∈ A}, (3.3)
kjer je n število elementov množice A.
V našem primeru je jedro enako
J 3
1
= {(1) , (2) , (3)}. (3.4)
Vsaka podmnožica jedra J 3
1
, na primer {(1)} ali {(2) , (3)} je relacija prvega reda, razen prazne
množice {∅} . Družina vseh podmnožic jedra J 3
1
, torej R3
(1)
tvori potenčno množico P J3
1
, v kateri
pa ∅ ni relacija, zato jo izpustimo. Ker velja P
1
X = {∅} , dobimo družino vseh enomestnih
relacij v množici s tremi elementi iz (3.4) kot
R3
(1)
= P J3
1
∖ P
1
∅ =
= {{(1)},{(2)},{(3)},{(1),(2)},{(1,3)},{(2),(3)},{(1) ,(2),(3)}}.
(3.5)
Bodi “ R
(1)
” enomestna spremenljivka z zalogo vrednosti R3
(1)
. Uporabimo lahko aksiom o
spremenljivki
[R
(1)
∈ R3
(1)
] ⇔ [[ R
(1)
={(1)}] ∨ [ R
(1)
={(2)}] ∨ [ R
(1)
={(3)}] ∨ [R
(1)
={(1),(2)}] ∨
∨ [R
(1)
={(1),(3)}] ∨ [ R
(1)
={(2) ,(3)}] ∨ [ R
(1)
={(1),(2),(3)}]].
(3.6)
 [ν ∈ℕ] je število mest relacije. Če je n=#( A) , mora veljati ν ≤n .
 Glej Kompleksni sistemi 1, str. 131.
4

5. Ugotovimo še število relacij v R3
(1)
, ki ga označimo kot
κ3
(1)
= #( R3
(1)
) = #( P J 3
1
)−#( P
1
∅) = 2
(3
1
)
−2↑0 = 8−1 = 7. (3.7)
Vidimo, da se število relacij 7, ujema s (3.5).
Podajmo zgornji zgled še nekoliko drugače:
Zgled 3.2: Bodi podana množica A={1, 2, 3} . Poiščemo v njej družino vseh enomestnih relacij.
Velja n=3 ; ν =1 :
R3
(1)
= P J3
1
∖ P
1
∅ , (3.8)
J 3
1
= {(1) , (2) , (3)} , (3.9)
P J3
1
= {∅, {(1)}, {(2)}, {(3)}, {(1) ,(2)}, {(1) ,(3)}, {(2),(3)}, {(1),(2),(3)}} , (3.10)
P
ν
∅ = P
1
∅ = {∅} , (3.11)
κn
(ν )
= #( R3
(1)
) = 2
(3
1
)
−2
0
= 2
(3
1
)
−1 = 8−1 = 7 . (3.12)
Družina relacij prvega reda torej ne vsebuje prazne množice ∅, sicer pa se ujema s (3.10), to je s
P J3
1
:
R3
(1)
= {{(1)}, {(2)}, {(3)}, {(1),(2)}, {(1,3)}, {(2),(3)}, {(1),(2),(3)}}. (3.13)
Podajmo nekaj relacij prvega reda iz družine (3.13):
(3.14)
Slika 3.1: Nekaj relacij prvega reda, ki so podmnožice potenčne množice P A .
Zgled 3.3: Podajmo še en zgled enomestne relacije, ν =1 , v množici A z n=5 elementi,
A={1, 2, 3, 4, 5} . Jedro J 5
1
vsebuje 9 komponent
#(J n
ν
) = #( J3
1
) = n
ν
= 3
2
= 9 . (3.15)
Družina relacij prvega reda, R5
(1)
je v skladu s (3.8) enaka
R5
(1)
= P(J 5
1
)∖ P
1
∅ , (3.16)
κ5
(1)
= #( Rn
(ν )
) = 2
(n
ν
)
−(2
0
) = 2
(5
1
)
−1 = 512−1 = 511 . (3.17)
5
R3
(1)
={(1) ,(2) ,(3)}, …R2
(1)
={(1) ,(3)},R3
(1)
={(2)},
1
(2) 3
(1)
(2) (3)
(1)
(2) (3)

6. R1
(2)
= {(1,2), (2,1), (4,2)} R2
(2)
= {(3,1), (1,4), (2,1), (4,4)}
Zgledi relacij prvega reda so:
R1
(1)
= {(2),(3)} , R2
(1)
= {(1) ,(2) ,(3)} , R3
(1)
= {(4)} ,…
Zgled 3.4: Poglejmo družino vseh binarnih relacij v množici A={1, 2, 3, 4} . Določimo najprej
jedro relacije
J 4
2
= {1, 2, 3, 4} × {1, 2, 3, 4}⏟
ν =2
= {(1, 1), (1, 2) , (1, 3), (1, 4), (2, 1) , (2, 2) , (2, 3) ,
, (2, 4) , (3, 1) , (3, 2) , (3, 3), (3, 4) , (4, 1), (4, 2) , (4, 3), (4, 4), } .
V jedru je 16 dvomestnih elementov:
#(J n
ν
) = n
ν
= 4
2
= 16.
Družina vseh relacij drugega reda, R4
(2)
v množici A je enaka
R4
(2)
= P( J4
2
) ∖ P
2
∅ ; P
2
∅ = {∅,{∅}}
κ4
(2)
= #( Rn
(ν )
) = 2
(n
ν
)
−2↑2↑0⏟
1
= 2
(4
2
)
−2
1
= 65536−2 = 65534
Nekaj binarnih relacij izmed vseh 65534:
Slika 3.2: Grafa binarnih relacij v množici A s štirimi elementi.
Zgled 3.5: V štirištevilčni množici A={1, 2, 3, 4} poiščimo vse možne trimestne relacije
R4
(3)
= P(J 4
3
) ∖ P
3
∅ ; P
3
∅ = {∅, {∅}, {{∅}}, {∅, {∅}}} ,
katerih število je
κ4
(3)
= #( R4
(3)
) = 2
(4
3
)
−2↑2↑2⏟
3
↑0 = 2
64
−2
2
= 1,84⋅10
19
−4
Zapišimo jedro
J 4
3
= {1, 2, 3, 4} × {1, 2, 3, 4} × {1, 2, 3, 4}⏟
ν =3
= {(1, 1, 1) , (1, 1, 2), (1, 2, 1) , (1, 2, 2) ,…}.
Dve trinarni relaciji
6
3 2
14
3 2
14

7. R1
(3)
= {(1,1,2), (2,3,4), (2,1,3)}, R2
(3)
= {(2,4,1), (1,2,3)}.
Slika 3.3: Trinarni relaciji iz družine R4
(3)
.
4 Mreže ν – tega reda
Bodi podana števna univerzalna množica U ; [#(U≤ℵ0)] . Izberimo v njej končno podmnožico
A⊆U ; [#( A)=n] . Izberimo še število mest ν relacije R
(ν )
in jedro
J n
ν
= A×A×…×A⏟ν
. (4.1)Δ
Zdaj definiramo ν – mestno relacijo R
(ν )
kot
R
(ν )
⊆J n
ν
, (4.2)Δ
pri čemer smo dokazali, da je število elementov jedra enako
#(J n
ν
) = nν
. (4.3)
Ker velja (gl. (2.2.6) v Kompleksni sistemi 1)
[R(ν )
⊆ Jn
ν
] ⇔ [ R(ν )
∈ P(J n
ν
)] (4.4)
in upoštevamo, da – za poljuben ν ∈ℕ – prazne množice niso elementi relacij, dobimo za družino
vseh relacij reda ν definicijo
Rn
(ν )
= P(J n
ν
)∖ P
ν
∅ (4.5)Δ
Bodi “ R
(ν )
” naključna spremenljivka, ki ima družino vseh relacij Rn
(ν )
za zalogo vrednosti.
Zapišimo aksiom o spremenljivki
[R
(ν )
∈ Rn
(ν )
] ⇔ [[R
(ν )
= {(x1,1 , x1,2 ,…, x1,ν )}] ∨ [ R
(ν )
= {(x2,1 , x2,2 ,… ,x2,ν )}] ∨…
…∨ [ R
(ν )
= {(xr ,1 , xr ,2 ,…, xr ,ν )}] ∨ [ R
(ν )
= {(x1,1 ,x1,2 ,…, x1,ν ) ,(x2,1 , x2,2 ,…, x2,ν )}] ∨…
…∨ [ R(ν )
= {(x1,1 , x1,2 ,…, x1,ν ), ( xr,1 , xr,2 ,…, xr ,ν )}] ∨…
…∨ [R
(ν )
= {(x1,1 , x1,2 ,…, x1,ν ) , ( x2,1 , x2,2 ,…, x2,ν ),…, ( xr,1 , xr,2 ,…, xr ,ν )}]] .
(4.6)
Pri tem je
7
3 2
14
3 2
14

8. r = #( P Jn
ν
)−#( P
ν
∅) = 2
(n
ν
)
−2↑2↑…↑2⏟ν
↑0 (4.7)
Število mogočih relacij je lahko ogromno. Tako je v množici A s 17 elementi mogočih vseh 10
mestnih relacij
κ17
(10)
= #( R17
(10)
)−#( P
10
∅) ≫ 1.10
100
.
Vsaki relaciji pripada množica analognih grafov. Tako pripada relaciji R
(ν )
∈ Rn
(ν )
za [n=4] in
[ν =2]
R4
(2)
= {(1,2), (4,1), (2,3)}
analogen par binarnih grafov (glej spodnjo sliko):
Slika 4.1: Analogen par grafov podane relacije R4
(2)
.
Izberimo poljubno relacijo R
(ν )
iz družine vseh možnih relacij Rn
(ν )
in pripišimo vsaki povezavi
(xk ,1 , xk ,2 ,…, xk ,ν ) natanko eno obtežitev w iz množice vseh obtežitev W. Torej naj velja
(∃ R
(ν )
∈ Rn
(ν )
)(∀( xk ,1 , xk ,2 ,…, xk ,ν )∈R
(ν )
)(E!w∈W )[w = τ ( xk ,1 , xk ,2 ,…, xk ,ν )] ⇔
⇔ [τ : R
(ν )
→W ] .
(4.8)
Relacijo R
(ν )
, ki ji pripada obtežena preslikava [τ : R
(ν )
→W ] , imenujemo mreža ν-tega reda in
jo označimo kot
M
(ν )
= (R
(ν )
; τ ) . (4.9)Δ
Tako poznamo mrežo prvega reda
M(1)
= (R(1)
; τ ) ,
kjer vsakemu vozlišču grafa pripada ena obtežitev, npr. iz ℤ+ .
Najbolj pogosto se ukvarjamo z mrežami drugega reda
M
(2)
= (R
(2)
; τ ); W =ℝ+ ,
to so na primer modeli cestne in železniške mreže, družbenih omrežij, …
Zgled 4.1: Če je A množica dogodkov, tvorimo v njej relacijo drugega reda R
(2)
in v njej
pripadajočo mrežo M
(2)
=(R
(2)
; p) , kjer je p verjetnostna preslikava
8
1 3
24
1
2 3 4
~

9. p: M
(2)
→ [0,1]
in predstavlja p(a ,b)∈[0,1] verjetnost prehoda iz dogodka a (vzrok) v dogodek b (posledica).
Zgled 4.2: Bodi podana v univerzalni množici U=ℕ končna množica A={1, 2, 3, 4} ⊆ ℕ in bodi
v njej podana k-ta relacija tretjega reda
R
(3)
= {(1, 3, 4), (3, 1, 2) , (2, 1, 4) , (1, 2, 3)} .
Število vseh mogočih relacij tretjega reda je
κ4
(3)
= #( R4
(3)
) = 2
(n
ν
)
−2↑2↑2⏟
3
↑0 = 2
64
−4 = 1,84.10
19
−4 .
Bodi podana še množica obtežitev
W = {−1 , 0, 1}⊆ℤ ,
z obtežitveno preslikavo τ : ℝ
(3)
→W kot
τ (1, 3, 4) = 1
τ (3, 1, 2) = 0
τ (2, 1, 4) = −1
τ (1, 2, 3) = 0 .
Pripadajoča mreža tretjega reda M
(3)
=( R
(3)
; τ ) je določena z zgornjimi podatki.
5 Mreža realizacij stohastičnih procesov
Prej predstavljeno znanje bomo uporabili pri stohastičnih procesih, ki jih bomo najprej na kratko
predstavili.
Naj bodo podani časovni parameter T, končna vzorčna množica [Ω ⊆U] ⇔ [Ω ∈ P U] , pri
čemer naj velja [#(U)≤ℵ0] . Če je [P : PΩ →[0,1]] verjetnostna preslikava (mera), je urejena
trojica (Ω , PΩ , P) verjetnostni prostor. Imejmo še merljivi prostor ( X , S ) , kjer je S σ-algebra
nad X, ki je poljubna množica v univerzalni množici V. Tedaj imenujemo zvezno preslikavo
ξ : T ×Ω → X . (5.1)Δ
stohastični proces, preslikavo
ξ t: Ω →X (5.2)Δ
naključna spremenljivka, preslikavo
ξω : T → X (5.3)Δ
pa realizacija stohastičnega procesa.
9

10. Podrobnosti o stohastičnih procesih so opisane v 14. poglavju, STOHASTIKA, v avtorjevi knjigi
Kompleksni sistemi 3, kjer najdemo tudi teorem 14.4.2, ki se tu glasi:
Teorem 5.1: Stohastični proces [ξ : T ×Ω → X ] je lahko enakovredno podan z množico vseh
naključnih spremenljivk
[ξ : T ×Ω → X ] ⇔ (∀t∈T )[ξ t : Ω → X ] , (5.4)
ali z množico vseh realizacij
[ξ : T ×Ω → X ] ⇔ (∀ω ∈Ω )[ξω : T → X ] . (5.5)
V nadaljevanju se bomo ukvarjali s (5.5), torej z množico vseh realizacij, ki določajo stohastični
proces ξ.
Bodi podana vzorčna množica Ω stohastičnega procesa ξ iz verjetnostnega prostora
(Ω , PΩ , P) . V množici Ω izberimo ν-mestno relacijo R
(ν )
; [ν ∈ℕ] in pripadajočo ν-mestno
mrežo (M (ν )
;τ ) . Bodi #(Ω )=n∈ℕ . Tvorimo najprej jedro
J n
ν
= Ω ×Ω ×…×Ω⏟ν
, (5.6)
#(J n
ν
) = n
ν
. (5.7)
Definicija ν-mestne relacije R
(ν )
v Ω je
[R
(ν )
⊆Jn
ν
] ⇔ [ R
(ν )
∈ P J n
ν
] . (5.8)Δ
Družina vseh možnih ν-mestnih relacij v Ω (brez praznih množic) je
Rn
(ν )
= P(J n
ν
)∖ P
ν
∅ , (5.9)
njeno kardinalno število pa je
κn
(ν )
= #( Rn
(ν )
) = 2
(n
ν
)
−2↑2↑…↑2⏟ν
↑0 . (5.10)
Vsaki relaciji R
(ν )
∈ Rn
(ν )
pripada razred analognih mrež
M(ν )
= (R(ν )
; τ ), (5.11)
kjer imamo pri podani množici uteži W podano preslikavo obtežitev
[τ : R
(ν )
→W ] ⇔ [τ ∈(W ↑R
(ν )
)] . (5.12)
Zgled 5.1: Bodi Ω ={1, 2, 3} in poiščimo v Ω vse dvomestne relacije, ν =2 , torej iščemo
R
(2)
∈ R3
(2)
. Število vseh relacij R
(2)
dobimo iz (5.10)
κ3
(2)
= #( R3
(2)
) = 2
(3
2
)
−2↑2⏟
2
↑0 = 512−2 = 510 . (5.13)
10

11. {(1)} {(2)} {(1),(2)}
Dobimo torej lahko 510 relacij R
(2)
in prav tako 510 razredov analognih omrežij M(2)
=(R(2)
; τ ) ,
kjer je [τ : R
(2)
→W ] . Število vseh mogočih preslikav τ je torej
#(W ↑R
(2)
) = #(W )↑#(R
(2)
) . (5.14)
Število možnih mrež je torej ogromno.
Zgled 5.2: Bodi podana vzorčna množica Ω ={1, 2} , ki ji poiščemo vse enomestne relacije
R
(1)
∈ R2
(1)
, le tem pa vse pripadajoče mreže M
(1)
=(R
(1)
; τ ) . Iz (5.10) dobimo
κ2
(1)
= #( R2
(1)
) = 2
2
1
−2
0
= 4−1 = 3 . (5.15)
Družina vseh enomestnih relacij vsebuje tri relacije
R2
(1)
= {{(1)}, {(2)}, {(1),(2)}} . (5.16)
Imamo tedaj relacije
R1
(1)
= {(1)} ,
R2
(1)
= {(2)} ,
R3
(1)
= {(1) ,(2)} .
(5.17)
Narišimo vse tri enomestne relacije v množici Ω
Slika 5.1: Družina enomestnih relacij R2
(1)
.
Podajmo še enomestno mrežo M
(1)
=(R
(1)
; τ ) za vse tri relacije
11
2
(1)
Ω
(2)
1
Ω
(2)
(1)
Ω

12. W =ℤ
Slika 5.2: Mreža enomestne relacije, obtežena z 0 in 1.
6 Prehod stohastičnega procesa skozi nedopustno področje
Imamo stohastični proces
[ξ : T ×Ω → X ] ⇔ (∀ω ∈Ω )[ξω : T×X ]
podan z množico relacij Ω ={ξ 1 , ξ 2 ,…,ξ n} , ki jim pripada ν-mestna relacija
R
(ν )
, le tej pa ν-
mestna mreža [M
(ν )
=(R
(ν )
; τ )] , kjer velja [τ : R
(ν )
→ℝ+] . Po vnaprej izbranem kriteriju bomo
določili obtežitveno preslikavo [τ : R
(ν )
→ℝ+] .
Bodi torej podan stohastični proces [ξ : ℝ×Ω →ℝ] s končno množico relalizacij
Ω ={ξ ω 1
,ξ ω2
,…, ξω n
} , pri čemer je vsaka realizacija
(∀ k∈[1,n])[[ξωk
: (a ,b)→ℝ] ⇒ [ξωk
: R→ℝ]]
integrabilna funkcija v Lebesguevem smislu in velja zanjo za poljuben ν ∈[1,∞)
∫
a
b
∣ξωk
(t)∣
ν
d t < ∞ . (6.1)
Tedaj za vsak R
(ν )
; ν ∈[1,n] lahko definiramo razred stohastičnih mrež
M(ν )
= (R(ν )
; τ ) , (6.2)
čigar obtežitev bodi podana z definicijo
τ (ξω 1
,ξω2
,…,ξων
) = (∫
a
b
(∣ξ ω1
(t )∣⋅∣ξ ω2
(t)∣⋯∣ξων
(t)∣)dt )
1
ν
, (6.3)
kar je ekvivalentno
 [ν ≥1]
 Glej Teorem 5.1! (Gl. Kompleksni sistemi 3, teorem 14.4.2)
12
2
(1)
Ω
(2)
1
Ω
(2)
(1)
Ω
-1 0 1 2
τ τ τ
τ ((1))=0 ,
τ ((1))=0 ,
τ (((1),(1)))=1.
Obtežena preslikava je τ : M
(1)
→{0,1}

13. τ (ξω1
,ξω2
,…,ξων
) =
ν
√[∫
a
b
(∏k=1
ν
∣ξωk
(t)∣)dt ] . (6.4)
Uporabimo še pojem norme ∣∣⋅∣∣p , ki je za v Lebesguevem smislu integrabilne funkcije
[ f : (a ,b)→ℂ] , definirana kot
∣∣f (t)∣∣p = [∫
a
b
(∣f (t )∣
p
)dt ]
1
p
∈ ℝ+ . (6.5)Δ
Ker uporabljamo Banachov prostor L
p
(a ,b) , ga definiramo kot družino vseh v Lebesguevem
smislu integrabilnih funkcij f : (a ,b)→ℂ , za katere velja za poljuben p∈[1,∞) relacija (6.5)Δ.
Definicija je torej
L
p
(a ,b) = { f ∈ℂ
(a ,b)
: ∫
a
b
∣f (t)∣
p
<∞} . (6.6)
Na temeljih stohastičnega procesa definirajmo še deterministični proces, za katerega velja
definicija: Deterministični proces je vsak stohastični proces, [ξ : T ×Ω → X ] , za katerega velja
(E!ω0∈Ω )(∀ω∈Ω )[ξ : T ×Ω → X ] (6.7)
ali krajše
(∀ω ∈Ω )(E!ω0∈Ω )[ξω=ξ ω0
] . (6.8)
Zapišimo še
Teorem 6.1: Deterministični proces ξω0
je stohastični proces [ξ : T ×Ω → X ] , ki ima vse
realizacije enake ξω0
in katerega obtežitev τ (ξω0
,ξω0
,…,ξω 0⏟ν
) je enaka normi determinističnega
procesa ∣∣ξ ω0
∣∣ν
.
Dokaz. Uporabimo (6.4), kamor vstavimo
(∀ k∈[1,ν ])[ξωk
=ξ ω0
] (6.9)
in dobimo
τ (ξω0
,ξω0
,…,ξω0
) = (∫
a
b
(∣ξω 0
(t)∣
ν
)dt )
1
ν = ∣∣ξω0
∣∣ν
, (6.10)
v primeru, da velja ξω0
(t)≠0 a.s.
□
13

14. 0
X =ℝ
a b
T=ℝ
Δ
ξω1
ξω 2
ξω3
7 Prehod stohastičnega procesa skozi nedopustno področje
Raziskali bomo verjetnost prehoda stohastičnega procesa ξ :(a ,b)×Ω →ℝ skozi nedopustno
področje [Δ⊆((a ,b)×ℝ)] . Stohastični proces naj bo podan z množico realizacij
Ω = {ξ 1 ,ξ 2 ,…ξ n} . (Glej spodnjo sliko)
Slika 7.1: Prehod stohastičnega procesa z vzorčno množico Ω = {ξω1
,ξ ω2
,ξω3
} skozi nedopustno področje
Δ.
S slike vidimo, da imamo dvomestno relacijo R
(2)
, [ν =2] v tromestni množici Ω, n=3 , ki
prehaja skozi Δ. Pripadajoča mreža M
(2)
=(R
(2)
; τ ); [τ : R
(2)
→ℝ+ ] . Na prvi pogled na sliko je
verjetnost prehoda skozi Δ v intervalu (a ,b) enaka 2/3 . Poglejmo zdaj bolj podrobno.
Od vseh n relacij jih gre r≤n skozi področje Δ. Vzorčna verjetnost prehoda bodi torej,
Z = lim
n→∞
r
n
; [0≤ Z≤1] ⇔ [ Z∈[0,1]] , (7.1)Δ
če večamo število realizacij prek vseh meja.
Poiščimo natančnejšo verjetnost Z z uporabo obteženih mrež.
Če velja [r=0] in [n≥1] , je [ Z=0]
Če velja [r=n] in [n≥1], je [ Z=1]
Če velja [0≤r≤1] in [n≥1] , je [0≤ Z≤1]
(7.2)
Zdaj bomo izračunali verjetnost s pomočjo kvocienta nedopustnih obtežitev proti vsem
obtežitvam mreže. Če je n število vseh realizacij stohastičnega procesa, je pripadajoča obtežitev,
(glej 5.11),
τ n(ξω1
,…,ξωn
) = (∫
a
b
(∣ξω1
(t)∣⋅∣ξ ω2
(t)∣⋯∣ξωn
(t)∣)d t)
1
n
= (7.3)
=
n
√[∫
a
b
(∏k=1
n
∣ξ ωk
(t)∣)dt ] ∈ ℝ+ . (7.4)
14

15. Definirali bomo t.i. verjetnost-Z kot količnik med obtežitvami realizacij, ki gredo na intervalu
(a ,b) skozi področje Δ, to je τ r (ξ ω1
,…,ξ ωr
); [0≤r≤n] in obtežitvami vseh realizacij
stohastičnega procesa
[ξ : (a ,b)×Ω →ℝ] ,
to je τ n(ξω1
,…,ξωn
); n≥1 .
Velja
τ r (ξ ω1
,…,ξ ωr
) =
r
√[∫
a
b
(∏j=1
r
∣ξω j
(t )∣)d t] (7.5)
Če je število realizacij r=0 , je realizacija prazna množica, [ξω0
=∅] in velja
τ 0(∅)=0 . (7.6)
Definirajmo zdaj v skladu s (7.1)Δ verjetnost-Z, to je verjetnost, da bo potekal stohastični proces
[ξ : ((a ,b)×Ω )→ℝ] na intervalu (a ,b) skozi nedopustno področje Δ.
Velja torej
Z = lim
n→∞
τ r(ξ ́ω1
,… ,ξ ́ωr
)
τ n(ξ ω1
,…,ξ ωn
)
. (7.7)
Vstavimo v (7.1)Δ izraza (7.5) in (6.4) za [ν =n] , da dobimo izraz za verjetnost-Z kot
Z = lim
n→∞
r
√[∫
a
b
(∏j=1
r
∣ξ ωj
(t)∣)dt ]
n
√[∫
a
b
(∏k=1
n
∣ξ ωk
(t)∣)dt ]
. (7.8)
Sledi podrobna analiza za vrednost Z, analogna naslednjemu zgledu 7.1. Odgovora na
postavljeno vprašanje je: verjetnost-Z dogodka na intervalu (a ,b)∈ℝ je v vrednostih med 0 in 1,
oziroma v odstotkih med 0% in 100%.
Zgled 7.1: Imamo stanje mreže M
(2)
=(R
(2)
; ν ) , kot jo kaže slika 6.1. Nedopustno področje Δ je
šrafirano – skozenj potekata realizaciji ξω 2
in ξω3
. Realizacija ξω1
ne poteka skozi Δ. Vidimo, da
tedaj velja [r=2] in [r=3] .
Vzemimo zdaj stohastični proces [ξ : ((a ,b)×Ω )→ℝ] , podan s spodnjimi slikami realizacij
ξ1 ,ξ 2 ,ξ3 :
15

16. [ X=ℝ] [ X=ℝ] [ X=ℝ]
[T=ℝ] [T=ℝ] [T=ℝ]
Slika 7.2: Stohastični proces je podan s tremi realizacijami ξ 1 ,ξ 2 ,ξ 3 . Vrisano je tudi nedopustno področje
Δ.
Uporabimo (7.8), za obravnavani proces ξ1 in dobimo
Z =
2
√[∫
a
b
(∣ξω2
(t)∣⋅∣ξ ω3
(t)∣)d t ]
3
√[∫
a
b
(∣ξω1
(t)∣⋅∣ξω 2
(t)∣⋅∣ξω3
(t)∣)dt ]
. (7.9)
8 Sklep
V članku smo obdelali kompleksni model verjetnosti nastanka stohastičnega dogodka
(gospodarske krize, potresa, izbruha vulkana). To ponavadi poskušajo razložiti z enojnim potekom
neke količine, ki pred nastankom dogodka hitro naraste ali hitro pade in nato z ekstrapolacijskimi
modeli napovedati to katastrofalno spremembo poteka te količine.
Avtor je v članku razvil izviren model, ki povezuje avtorjevo teorijo o potenčnih množicah
,
avtorjevo obravnavo
stohastičnih procesov, avtorjevo definicijo kompleksni mrež z obtežitvami v
Banachovih prostorih ter tako imenovano verjetnost-Z, ki predstavlja verjetnost, da poteka
obravnavan stohastični proces delno ali v celoti skozi vnaprej določeno nedopustno področje Δ, kar
je – v odvisnosti od izbire področja – za nastanek stohastičnega dogodka neugodno.
Po avtorjevih ugotovitvah je mogoče stohastični proces enakovredno podati z množico vseh
njegovih realizacij ali z množico vseh njegovih naključnih spremenljivk. Uporabili smo prvo
metodo. Števni stohastični proces je dokaj dobro podan tudi z manjšim vzorcem njegovih realizacij.
Najpomembnejše je torej zbrati potrebni začetni vzorec realizacij, čigar število bi bilo treba
teoretično večati proti neskončnosti, da dobimo pripadajočo verjetnost-Z, to je, da bo potekal
stohastični proces skozi v naprej določeno nedopustno področje Δ, kar povzroči krizni stohastični
dogodek.
Dr. Adolf Žižek
Ljutomer, septembra 2012
 Teorija o potenčnih množicah je podana v drugem poglavju avtorjeve trilogije Kompleksni sistemi (glej reference).
 V poglavju Stohastika, v 3. delu omenjene trilogije, je podan avtorjev pogled na teorijo o stohastičnih procesih.
16
Δ Δ Δ
ξω1
ξω 2
ξω3
ba a ab b

17. Literatura
/1/ Aldo Belleni-Morante:
Applied Semigroups and Evolution Equations,
Clarendon Press-Oxford, 1979, ISBN: 0-19-853529-5
/2/ A. Dold and B. Eckmann:
Representation Theory I,
Springer, 1980, ISBN: 3-540-10253-9
/3/ J.F. Dominiques:
Labirint of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics,
Birkhausen, Basel, 1999, p.p. 171-214, ISBN: 0817657495
/4/ London Mathematical Society:
Kolmogorov in Perspective,
American Mathematical Society, 2000, ISBN: 0821808729.
/5/ W. V. Quine:
Selected Logic Papers,
Harvard University Press, 1995.
/6/ A. Žižek:
Statistični model zanesljivosti verjetnostnega sistema,
disertacija, Fakulteta za elektrotehniko, Univerza v Ljubljani, 1980.
/7/ A. Žižek, O. Težak, Š. Čelan:
Failure prediction model,
Inf. MIDEM, 32(2002)1, pp. 22-32.
/8/ A. Žižek:
Zanesljivost in vzdrževanje sistemov,
monografija, Znanstvenoraziskovalno središče Bistra Ptuj, 2003, ISBN: 961-6253-13-1.
/9/ A. Žižek:
Kompleksni sistemi 1; novi formalni modeli,
Ptuj, samozal., 2006, ISBN: 961-245-168-0.
/10/ A. Žižek:
Kompleksni sistemi 2; Gy-strukture,
Ptuj, samozal., 2009, ISBN: 978-961-245-749-5.
/11/ A. Žižek:
Kompleksni sistemi 3; Sistemski modeli,
Ptuj, samozal., 2010, ISBN: 978-961-245-902-4
/12/ A. Žižek:
Mapping in the System Model,
Wienna, 2012, III. Conference of World Complexity Science Academy.
17