O documento descreve o sistema de coordenadas cartesianas e polares para descrever a posição, velocidade e aceleração de uma partícula. Explica como as coordenadas x, y, z e as funções x(t), y(t), z(t) descrevem a trajetória de uma partícula no espaço tridimensional usando coordenadas cartesianas. Também explica como converter entre sistemas de coordenadas cartesianas e polares.

1. Notas de Aula: Mecânica Clássica
Prof. Esp. Antonio Eduardo Alexandria de Barros
Sistema de Coordenadas Cartesianas e Polares
A posição de uma partícula pode ser descrita localizando-se um ponto no espaço
tridimensional. Isto pode ser feito fixando-se três eixos mutuamente ortogonais a partir de uma
origem O no espaço e especificando-se suas coordenadas retangulares x, y e z com relação a
estes eixos, como ilustrado na Fig. 1.2. Um sistema como estes três eixos é denominado
sistema de coordenadas cartesianas ortogonais.
Dadas as coordenadas em relação a um sistema que localiza a posição de uma
partícula, o que se deseja em seguida é descrever a trajetória percorrida por esta partícula em
movimento.
Uma representação paramétrica, onde o tempo é o parâmetro, é uma das maneiras de
especificar esta trajetória. Assim, para descrever a trajetória do movimento de uma partícula,
as coordenadas cartesianas em função do tempo,
x(t), y(t) e z(t) (1.1)
devem ser especificadas. As funções x(t), y(t) e z(t) representam as coordenadas da posição
da partícula nos eixos cartesianos x, y e z em cada instante t do tempo. Escolhe-se um
instante t0 para o início da medida do tempo, geralmente adotado como zero. A posição de
um ponto material no espaço x, y e z (sistema de coordenadas cartesiano) em um dado
instante de tempo t é descrita pelas coordenadas x(t), y(t) e z(t) do ponto material, ou pelo raio
vetor,
r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k (1.2)
A linha espacial descrita pelas coordenadas do ponto material, ou seja, dada na forma
paramétrica x(t); y(t); z(t), chama-se trajetória do ponto. O elemento de comprimento da
trajetória é:
ds = √ (1.3)
De agora em diante usaremos a seguinte notação para derivadas temporais: a derivada
em relação ao tempo será representada por um
Figura 1.2: Coordenadas cartesianas ortogonais, especificando a posição de uma partícula P em relação à
origem O do sistema.
ponto sobre a letra, assim a derivada de x em relação ao tempo pode ser escrita como

2. Supondo-se que o significado de x(t), y(t) e z(t) estão claros, pode-se então definir as
componentes cartesianas vx, vy e vz da velocidade num instante t são
(1.4)
que representam as taxas de variação de cada uma das coordenadas de posição em função
do tempo. O módulo da velocidade é dado por
(1.5)
Dá mesma maneira, pode-se definir as componentes cartesianas da aceleração ax, ay e az
num instante t são
(1.6)
que representam as taxas de variação de cada uma das componentes da velocidade em
função do tempo. Dependendo do problema em questão, outros tipos de sistemas de
coordenadas tais como as coordenadas polares, cilíndricas e as esféricas são mais
convenientes do que as cartesianas. Para movimentos em duas e três dimensões torna-se
conveniente trabalhar com os vetores para representar posições, velocidades e acelerações.
Neste caso, o movimento é descrito por um vetor de posição r, onde a cauda (extremidade) é
fixa na origem do sistema de referência adotado e a ponta (a outra extremidade) deste vetor
localiza a posição da partícula (Fig. 1.2). Se o sistema de coordenadas cartesianas for
adotado, suas componentes são x, y e z. Assim, as funções (1.1) são resumidas numa única
função vetorial r(t) dada por (1.2). A velocidade vetorial é definida como
(1.7)
e a aceleração vetorial como
(1.8)

3. Figura 1.3: Velocidade vetorial
Utilizando-se a definição da derivada de uma função vetorial dada por
pode-se ver que v(t) é tangente à trajetória da partícula, como ilustrado na figura 1.3. Uma vez
que os vetores são independentes do tipo de sistema de coordenadas adotado para
descrevê-lo, é importante ressaltar também que a velocidade e a aceleração expressas como
vetores, como em (1.7) e (1.8), respectivamente, são independentes do tipo de sistema de
coordenadas e a descrição do movimento pode ser expressa de uma maneira compacta. No
momento de descrever as componentes em algum tipo específico de sistemas de
coordenadas, deve-se lembrar de que as componentes terão expressões apropriadas para
cada tipo de sistema de coordenadas. Num sistema cartesiano as componentes de (1.7) e de
(1.8) serão dadas pelas expressões (1.4) e (1.6), respectivamente.
Coordenadas polares
Considere uma partícula movendo-se em um plano. Usando as coordenadas polares
escreva os vetores posição, velocidade e aceleração da partícula neste sistema de
coordenadas.
Solução:
Em coordenadas polares para, localizarmos uma partícula em um plano, devemos fornecer o
módulo r do vetor que vai da origem até a partícula, e o ângulo θ que este vetor forma com o
eixo x, conforme a mostramos na figura 1.4 abaixo.

4. Figura 1.4: Vetor posição de uma partícula no plano. Aqui mostramos as coordenadas
polares.
O vetor posição em coordenadas cartesianas é
(1.9)
Os vetores unitários em coordenadas polares ˆr e ˆθ (ou er , eθ) estão relacionados com os
vetores unitários ˆi e ˆj em coordenadas cartesianas por
(1.10)
as quais satisfazem as seguintes relações
(1.11)
O vetor posição em coordenadas polares é
(1.12)
Observe que os vetores unitários ˆr e ˆθ variam com o tempo, portanto a velocidade da
partícula é
(1.13)
Uma outra forma de obtermos a velocidade é usarmos o deslocamento infinitesimal ds, o qual
é composto pelos deslocamentos infinitesimais dr ao longo da direção ˆr e r.dθ ao longo
da direção ˆθ, ou seja,
(1.14)
logo, a velocidade é dada por
(1.15)
A aceleração em coordenadas polares é dada por

5. ou seja,
(1.16)
Observe que o termo rθ˙2 é denominado aceleração centrípeta.