O documento descreve uma aula sobre equações reduzidas de hipérboles. Ele introduz o tópico, explica como obter a equação reduzida a partir da definição geométrica de hipérbole, e fornece exemplos para ilustrar como determinar os elementos da curva a partir da equação.

1. Disciplina : Matemática Zaire, aos / / 2014
Classe: 12ª Prof: Afonso Kalufuilawoko
Assunto: Equação reduzida de uma hipérbole
Aula nº2
Meio de Ensino: giz, apagador, régua, compasso
Métodos: Explicativo, interrogativo, demonstrativo, elaboração conjunta
Objectivo: No fina desta aula os alunos serão capazes de:
• Obter a equação reduzida de uma hipérbole centrada à origem partindo da sua
definição como lugar geométrica;
• Identificar os parâmetros a, b, c e também a excentricidade e , a partir da sua
equação reduzida elementos da hipérbole;
• Determinar as coordenadas dos focos
Referência Bibliográfica :
Lupsin G. ( +) et Graas R, Geometrie Analitique Plane, Societé Missionaire St Paul ,1983,
Pg230
Maria Bwanga Mukonkole F .JEAN , J´apprends les Maths, Editora Mediaspaul RDC,
2010 Pg 376.
I. Introdução
Revisão sobre os elementos de uma hipérbole
II. Desenvolvimento
A equação reduzida de uma hipérbole obtém-se aplicando a definição e o cálculo
distância entre dois pontos do mesmo como um lugar geométrico, tem-se:
H ≡ d( P, F1) + d( P, F2 ) = 2a
Desenvolvendo a expressão, obtém-se:
⇒ H ≡ 1
b
y
a
x
2
2
2
2
=− é chamada equação da hipérbole centrada à origem.

2. Com a relação :
, Podemos calcular os seus focos.
Como os focos da hipérbole estão localizados sobre o eixo x, suas coordenadas serão:
F2(c, 0) e F1(– c, 0). Nesse caso, a equação da hipérbole será do tipo:
Hipérbole com focos sobre o eixo y.
Como os focos da hipérbole estão sobre o eixo y, suas coordenadas serão: F2(0, c) e F1(0, –
c). Nesse caso, a equação da hipérbole será do tipo:
Elementos e propriedades da hipérbole:
2c → é a distância focal.
c2
= a2
+ b2
→ relação fundamental.
A1(– a, 0) e A2(a, 0) → são os vértices da hipérbole.
2a → é a medida do eixo real.
2b → é a medida do eixo imaginário.
c/a → é a excentricidade
Exemplo 1. Determine a equação da hipérbole com focos F1(– 10, 0) e F2(10, 0) e eixo real
medindo 16 unidades.
Solução: De acordo com as coordenadas dos focos percebemos que eles estão sobre o eixo
x, pois as coordenadas y são iguais a zero. Também podemos afirmar que c = 10.
Foi dado que o eixo real tem 16 unidades de comprimento. Logo, temos que:
2a = 16 → a = 8
Para determinar a equação da hipérbole precisamos conhecer os valores de a e b, portanto
devemos utilizar a relação fundamental para encontrarmos o valor de b. Segue que:
c2
= a2
+ b2

3. 102
= 82
+ b2
b2
= 100 – 64
b2
= 36
b = 6
Conhecidos os valores de a e b podemos escrever a equação da hipérbole com focos sobre
o eixo x:
III. Síntese
O papel do professor é de orientar os alunos a desenvolver as suas capacidades e
habilidades da matéria e deve pôr à disposição dos alunos pelo menos dois a três exercícios
indicando em rotativa os alunos ao quadro para que os possam resolver.
Exemplo 2. Determine as coordenadas dos focos da hipérbole de equação:
Solução: Observando a equação da hipérbole podemos constatar que seus focos estão sobre
o eixo y, logo terão coordenadas do tipo F1(0, – c) e F2(0, c).
Da equação da hipérbole obtemos que:
a2
= 16 → a = 4
b2
= 9 → b = 3
Utilizando a relação fundamental, teremos:
c2
= a2
+ b2
c2
= 16 + 9
c2
= 25
c = 5
Portanto, os focos da hipérbole são F1(0 , – 5) e F2(0, 5).
IV. Aplicação
O prof seleciona alguns exercícios a respeito do tema.
Obviamente , o professor espera um resultado satisfactório na parte dos alunos
resolvendo eles próprios os exercícios propostos pelo professor sem a sua prévia
intervenção.
Exemplo 3:Determinar na hipérbole:
1
64
x
100
y 22
=−

4. a) A medida dos semi-eixos
b) Os focos
c) A excentricidade
V. Trabalho de casa
O professor coloque à disposição dos alunos o trabalho para casa a fim de resolver em
casa aplicando os requisitos dados pelo professor.
Exemplo4: Encontre uma equação da hipérbole de focos F1(0,-5) e F2(0,5) e eixo real
de medida 6.
Disciplina : Matemática Zaire, aos / / 2014
Classe: 12ª Prof: Afonso Kalufuilawoko
Assunto: Introdução ao estudo da hipérbole
Aula nº1
Meio de Ensino: giz, apagador , régua, compasso
Métodos: Explicativo, interrogativo, demonstrativo, elaboração conjunta
Objectivo: No fina desta aula os alunos serão capazes de:
• Identificar e representar uma hipérbole a partir uma secção cónica
• Definir o conceito de hipérbole
• Identificar os elementos da hipérbole
Referência Bibliográfica :
Lupsin G. ( +) et Graas R, Geometrie Analitique Plane, Societé Missionaire St Paul ,1983,
Pg230

5. Maria Bwanga Mukonkole F .JEAN , J´apprends les Maths, Editora Mediaspaul RDC,
2010 Pg 376.
I. Introdução
Revisão sobre a equação geral da cónica :
f( x, y) Ay2
+ 2B xy + Cx2
+ 2D y + 2E x + F = 0 ( 1 ) ou
f( x, y) Ax2
+ 2B xy + Cy2
+ 2D x + 2F y + F = 0 ( 1´ ) .
Condição necessária para que uma cónica seja uma hipérbole:
Se ∆ = δ > 0 ⇔ B - AC > 0 a cónica é uma hipérbole
II. Desenvolvimento
Uma hipérbole é um lugar geométrico dos pontos P (x, y) de um plano tal que a diferença
(em módulo) de suas distâncias a dois pontos fixos F1 e F2 é constante (2a < 2c), com .
= 2c.
Eis os elementos da hipérbole:
• Focos: são os pontos F1 e F2,
• Distância Focal: é a distância 2c entre os focos,
• Centro: é o ponto médio C do segmento F1F2,
• Vértices: são os pontos A1 e A2,
• Eixo Real ou transverso: é o segmento A1A2 de comprimento 2a,
• Eixo imaginário ou conjugado: é o segmento B1B2 de comprimento 2b,
• Excentricidade: é o número e dado por e=c/a. Como c>a, temos e>1.
• Focos: são os pontos F1 e F2,
• Distância Focal: é a distância 2c entre os focos,
• Centro: é o ponto médio C do segmento F1F2,
• Vértices: são os pontos A1 e A2,
• Eixo Real ou transverso: é o segmento A1A2 de comprimento 2a,

6. • Eixo imaginário ou conjugado: é o segmento B1B2 de comprimento 2b,
• Excentricidade: é o número e dado por e=c/a. Como c>a, temos e>1.
III. Síntese
O papel do professor é de orientar os alunos a desenvolver as suas capacidades e
habilidade da matéria e deve pôr à disposição dos alunos pelo menos dois a três
exercícios indicando em rotativa os alunos ao quadro para que os possam resolver.
Exercício: Cite os elementos de uma hipérbole
IV. Aplicação
O prof seleciona alguns exercícios a respeito do tema.
Obviamente , o professor espera um resultado satisfactório na parte dos alunos
resolvendo eles próprios os exercícios propostos pelo professor sem a sua prévia
intervenção.
Exercício : Define :
a) a excentricidade
b) a distância focal
c) hipérbole
V. Trabalho de casa
O professor coloque à disposição dos alunos o trabalho para casa a fim de resolver em
casa aplicando os requisitos dados pelo professor.
Exercício : cite os parâmetros que compõem uma hipérbole

8. Disciplina : Matemática Zaire, aos / / 2014
Classe: 12ª Prof: Afonso Kalufuilawoko
Assunto: Introdução ao estudo da hipérbole
Aula nº3
Meio de Ensino: giz, apagador , régua, compasso
Métodos: Explicativo, interrogativo, expositivo dialogado, elaboração conjunta
Objectivo: No fina desta aula os alunos serão capazes de:
• Identificar e representar uma elipse a partir uma secção cónica
• Definir o conceito de elipse
• Identificar os elementos da elipse
Referência Bibliográfica :
Lupsin G. ( +) et Graas R, Geometrie Analitique Plane, Societé Missionaire St Paul ,1983,
Pg230
Maria Bwanga Mukonkole F .JEAN , J´apprends les Maths, Editora Mediaspaul RDC,
2010 Pg 376.
I. Introdução
Revisão sobre a equação geral da cónica :
f( x, y) Ay2
+ 2B xy + Cx2
+ 2D y + 2E x + F= 0 ( 1 ) ou
f( x, y) Ax2
+ 2B xy + Cy2
+ 2D x + 2F y + F = 0 ( 1´ ) .
Condição necessária para que uma cónica seja uma hipérbole:

9. Se ∆ = δ < 0 ⇔ B - AC < 0 a cónica é uma elipse
II. Desenvolvimento
• Considerando, num plano , dois pontos distintos, F1 e F2 , e sendo 2c um
número real maior que a distância entre F1 e F2, chamamos de elipse o conjunto
dos pontos do plano tais que a soma das distâncias desses pontos a F1 e F2
seja sempre igual a 2c.
• Dados dois pontos F1 e F2 chamamos elipse o conjunto dos pontos P do plano
tais que d(P,F1)+d(P,F2)=2a.
Eis os elementos principal da hipérbole:
• Focos: são os pontos F1 e F2,
• Distância Focal: é a distância 2c entre os focos,
• Centro: é o ponto médio C do segmento F1F2,
• Vértices: são os pontos A1, A2, B1 e B2,
• Eixo maior: é o segmento A1A2 de comprimento 2a ( o segmento A1A2 contém os
focos e os seus extremos pertencem a elipse),
• Eixo menor: é o segmento B1B2 de comprimento 2b (B1B2 Aḻ 1A2 no seu ponto
médio).
• Excentricidade: é o número e dado por e=c/a. Como c<a, temos 0<e<1.
III. Síntese

10. O papel do professor é de orientar os alunos a desenvolver as suas capacidades e
habilidade da matéria e deve pôr à disposição dos alunos pelo menos dois a três
exercícios indicando em rotativa os alunos ao quadro para que os possam resolver.
Exercício: Cite os elementos de uma elipse
IV. Aplicação
O prof seleciona alguns exercícios a respeito do tema.
Obviamente , o professor espera um resultado satisfactório na parte dos alunos
resolvendo eles próprios os exercícios propostos pelo professor sem a sua prévia
intervenção.
Exercício : Define :
a) a excentricidade
b) a distância focal
c) a elipse
V. Trabalho de casa
O professor coloque à disposição dos alunos o trabalho para casa a fim de resolver em
casa aplicando os requisitos dados pelo professor.
Exercício : cite os parâmetros que compõem uma elipse
Disciplina : Matemática Zaire, aos / / 2014
Classe: 12ª Prof: Afonso Kalufuilawoko
Assunto: Equação reduzida de uma elipse
Aula nº4
Meio de Ensino: giz, apagador, régua, compasso
Métodos: Explicativo, interrogativo, demonstrativo, elaboração conjunta
Objectivo: No fina desta aula os alunos serão capazes de:
• Obter a equação reduzida de uma elipse no sistema de coordenadas centrada à
origem ;

11. • Identificar os parâmetros a, b, c e também a excentricidade e , a partir da sua
equação reduzida elementos da elipse;
• Determinar as coordenadas dos focos e dos vértices ,a partir da equação reduzida.
Referência Bibliográfica :
Lupsin G. ( +) et Graas R, Geometrie Analitique Plane, Societé Missionaire St Paul ,1983,
Pg230
Maria Bwanga Mukonkole F .JEAN , J´apprends les Maths, Editora Mediaspaul RDC,
2010 Pg 376.
I. Introdução
Revisão sobre os elementos de uma elipse.
II. Desenvolvimento
A equação reduzida de uma elipse obtém-se aplicando a definição e o cálculo distância
entre dois pontos do mesmo como um lugar geométrico, tem-se:
E ≡ d( P, F1) + d( P, F2 ) = 2a
Desenvolvendo a expressão , obtém-se:
⇒ E ≡ 1
b
y
a
x
2
2
2
2
=+ é chamada equação da elipse centrada à origem.
Com a relação : a2
= b2
+ c2
, podemos calcular os seus focos.
Como os focos da elipse estão localizados sobre o eixo x, suas coordenadas serão: F2(c,
0) e F1(– c, 0). Nesse caso, a equação da hipérbole será do tipo:
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=+
Hipérbole com focos sobre o eixo y.

12. Como os focos da hipérbole estão sobre o eixo y, suas coordenadas serão: F2(0, c) e F1(0, –
c). Nesse caso, a equação da elipse será do tipo:
1
b
x
a
y
2
2
2
2
=+
Elementos e propriedades da elipse:
2c → é a distância focal.
c2
= a2
- b2
→ relação fundamental.
A1(– a, 0) e A2(a, 0) → são os vértices da elipse.
2a → é a medida do eixo real.
2b → é a medida do eixo imaginário.
c/a → é a excentricidade
Exemplo 1. Determine a equação da hipérbole com focos F1(– 10, 0) e F2(10, 0) e eixo real
medindo 16 unidades.
Solução: De acordo com as coordenadas dos focos percebemos que eles estão sobre o eixo
x, pois as coordenadas y são iguais a zero. Também podemos afirmar que c = 10.
Foi dado que o eixo real tem 16 unidades de comprimento. Logo, temos que:
2a = 16 → a = 8
Para determinar a equação da hipérbole precisamos conhecer os valores de a e b, portanto
devemos utilizar a relação fundamental para encontrarmos o valor de b. Segue que:
c2
= a2
+ b2
102
= 82
+ b2
b2
= 100 – 64
b2
= 36
b = 6
Conhecidos os valores de a e b podemos escrever a equação da hipérbole com focos sobre
o eixo x:
III. Síntese
O papel do professor é de orientar os alunos a desenvolver as suas capacidades e
habilidades da matéria e deve pôr à disposição dos alunos pelo menos dois a três exercícios
indicando em rotativa os alunos ao quadro para que os possam resolver.

13. Exemplo 2. Determine a equação reduzida da elipse com focos sobre o eixo x, com eixo
maior medindo 12 e eixo menor 8.
Solução:
Temos que
2a=12 →a = 6
2b = 8 → b = 4
Assim,
IV. Aplicação
O prof seleciona alguns exercícios a respeito do tema.
Obviamente , o professor espera um resultado satisfactório na parte dos alunos
resolvendo eles próprios os exercícios propostos pelo professor sem a sua prévia
intervenção.
Exemplo 3:Determinar na elipse:
1
64
x
100
y 22
=+
d) A medida dos semi-eixos
e) Os focos
f) A excentricidade
VI. Trabalho de casa
O professor coloque à disposição dos alunos o trabalho para casa a fim de resolver em
casa aplicando os requisitos dados pelo professor.
Exemplo4: Determinar a medida dos semi-eixos, os focos e a excentricidade das
seguintes elipses:
a) 225259 =+ 22
yx
b) 1
36
y
100
x 22
=+
Exemplo 5: A equação da elipse de focos F1 = (-2, 0), F2 = (2, 0) e eixo maior igual a 6 é
dada por:

14. a) 1
2010
22
=+
yx
b) 1
59
22
=+
yx
c) 1
159
22
=+
yx
d) 1
156
22
=+
yx
e) 1
254
22
=+
yx