Formas indeterminadas. Regla de L'hopital

1. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA
LOPEZ
15/06/2018
MATEMATICA I 1
RJAL
UNIDAD V: APLICACIONES DE LA DERIVADA A
FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL
15/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.1
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
INGENIERIA EN ECONOMIA Y NEGOCIOS
MATEMATICA I
MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ
RJAL
15/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.2
Para resolver formas indeterminadas, hemos utilizado
factorización, racionalización de numerador o de
denominador, identidades trigonométricas, entre otros para
eliminar el factor que provoca la indeterminación y calcular
el limite buscado.
Sin embargo, habrán casos que necesitemos de otras
herramientas, por ejemplo para resolver
lim
𝑥→0
𝑒2𝑥
− 2𝑥 − 1
1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥
Por lo tanto, para encontrar su limite utilizaremos la regla
de L’Hopital.
FORMAS INDETERMINADAS. REGLA DE L’HOPITAL

2. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA
LOPEZ
15/06/2018
MATEMATICA I 2
RJAL
15/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.3
Regla de L’hopital. Sean f y g funciones derivables en
un intervalo (a,b) que contiene a “c”, excepto
posiblemente en el propio “c”. Supongamos que
g’(x) ≠ 0, para toda x en (a,b) excepto posiblemente en
el propio c, si el limite de f(x)/g(x) cuando x tiende a “c”
produce la forma indeterminada 0/0, entonces
lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥)
𝑔 𝑥
= lim
𝑥→𝑐
𝑓′(𝑥)
𝑔′ 𝑥
Supuesto que el limite existe o es infinito
FORMAS INDETERMINADAS. REGLA DE L’HOPITAL
RJAL
15/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.4
Otra formulación de regla de L’hopital establece
que si el limite de f(x)/g(x) cuando x tiende a ∞ (o
a - ∞) produce una forma indeterminada 0/0 o ∞/∞
entonces
lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥)
𝑔 𝑥
= lim
𝑥→∞
𝑓′(𝑥)
𝑔′ 𝑥
Supuesto que el limite existe.
FORMAS INDETERMINADAS. REGLA DE L’HOPITAL

3. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA
LOPEZ
15/06/2018
MATEMATICA I 3
RJAL
15/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.5
Resolver los siguientes limites utilizando la regla de L’Hopital
1. lim
𝑥→0
1 −𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑥2
Al evaluar el limite nos da la forma indeterminada 0/0, por tanto aplicaremos la
regla del L’hospital y derivamos numerador y denominador por separado
quedándonos de la forma siguiente
lim
𝑥→0
1 −𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑥2 = lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛𝑥
2𝑥
resultando otra forma indeterminada 0/0 por
tanto volvemos a derivar y nos queda
lim
𝑥→0
1 −𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑥2 = lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛𝑥
2𝑥
= lim
𝑥→0
𝑐𝑜𝑠𝑥
2
=
1
2
FORMAS INDETERMINADAS. REGLA DE L’HOPITAL
Se deriva la
anterior y resulta
RJAL
15/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.6
2. lim
𝑥→0
𝑥4
𝑥2+2𝑐𝑜𝑠𝑥 −2
Al evaluar el limite nos da la forma indeterminada 0/0, por tanto aplicaremos la
regla del L’hospital y derivamos numerador y denominador por separado
quedándonos de la forma siguiente
lim
𝑥→0
𝑥4
𝑥2+2𝑐𝑜𝑠𝑥 −2
= lim
𝑥→0
4𝑥3
2𝑥 −2𝑠𝑒𝑛𝑥
resultando otra forma indeterminada 0/0
por tanto volvemos a derivar las veces
que sea necesario y nos queda
lim
𝑥→0
𝑥4
𝑥2+2𝑐𝑜𝑠𝑥 −2
= lim
𝑥→0
4𝑥3
2𝑥 −2𝑠𝑒𝑛𝑥
= lim
𝑥→0
12𝑥2
2 − 2𝑐𝑜𝑠𝑥
= lim
𝑥→0
24𝑥
− 2𝑠𝑒𝑛𝑥
= lim
𝑥→0
24
2𝑐𝑜𝑠𝑥
= 12
FORMAS INDETERMINADAS. REGLA DE L’HOPITAL
Se deriva la
anterior y resulta

4. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA
LOPEZ
15/06/2018
MATEMATICA I 4
RJAL
15/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.7
3. lim
𝑥→0
2 𝑥 − 3 𝑥
𝑥
Al evaluar el limite nos da la forma indeterminada 0/0, por
tanto aplicaremos la regla del L’hospital y derivamos
numerador y denominador por separado quedándonos de
la forma siguiente
lim
𝑥→0
2 𝑥 − 3 𝑥
𝑥
= lim
𝑥→0
2 𝑥 𝑙𝑛2 − 3 𝑥 𝑙𝑛3
1
= 𝑙𝑛2 − 𝑙𝑛3 = ln
2
3
FORMAS INDETERMINADAS. REGLA DE L’HOPITAL
Se deriva la
anterior y resulta
RJAL
15/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.8
4. lim
𝑥→∞
ln 𝑥
𝑒 𝑥
Al evaluar el limite nos da la forma indeterminada ∞/∞, por
tanto aplicaremos la regla del L’hospital y derivamos
numerador y denominador por separado quedándonos de
la forma siguiente
lim
𝑥→∞
ln 𝑥
𝑒 𝑥 = lim
𝑥→∞
1
𝑥
𝑒 𝑥 = lim
𝑥→∞
1
𝑥𝑒 𝑥 = 0
FORMAS INDETERMINADAS. REGLA DE L’HOPITAL
Se deriva la
anterior y resulta

5. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA
LOPEZ
15/06/2018
MATEMATICA I 5
RJAL
15/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.9
5. lim
𝑥→∞
6𝑥2 − 5𝑥+7
4𝑥2−2𝑥
Al evaluar el limite nos da la forma indeterminada ∞/∞, por tanto aplicaremos la
regla del L’hospital y derivamos numerador y denominador por separado
quedándonos de la forma siguiente
lim
𝑥→∞
6𝑥2 − 5𝑥+7
4𝑥2−2𝑥
= lim
𝑥→∞
12𝑥 − 5
8𝑥 −2
resultando otra forma indeterminada ∞/∞
por tanto volvemos a derivar y nos queda
lim
𝑥→∞
6𝑥2 − 5𝑥+7
4𝑥2−2𝑥
= lim
𝑥→∞
12𝑥 − 5
8𝑥 −2
= lim
𝑥→∞
12
8
=
3
2
FORMAS INDETERMINADAS. REGLA DE L’HOPITAL
Se deriva la
anterior y resulta
RJAL
15/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.10
6. lim
𝑥→∞
𝑥4
𝑒2𝑥
Al evaluar el limite nos da la forma indeterminada 0/0, por tanto aplicaremos la
regla del L’hospital y derivamos numerador y denominador por separado
quedándonos de la forma siguiente
lim
𝑥→∞
𝑥4
𝑒2𝑥 = lim
𝑥→∞
4𝑥3
2𝑒2𝑥 = lim
𝑥→∞
2𝑥3
𝑒2𝑥 resultando otra forma indeterminada 0/0 por tanto
volvemos a derivar las veces que sea necesario
y nos queda
lim
𝑥→∞
𝑥4
𝑒2𝑥 = lim
𝑥→∞
4𝑥3
2𝑒2𝑥 = lim
𝑥→∞
2𝑥3
𝑒2𝑥 = lim
𝑥→∞
6𝑥2
2𝑒2𝑥 = lim
𝑥→∞
3𝑥2
𝑒2𝑥 = lim
𝑥→∞
6𝑥
2𝑒2𝑥 = lim
𝑥→∞
3𝑥
𝑒2𝑥 =
= lim
𝑥→∞
3
2𝑒2𝑥 = 0
FORMAS INDETERMINADAS. REGLA DE L’HOPITAL
Se deriva la
anterior y resulta

6. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA
LOPEZ
15/06/2018
MATEMATICA I 6
RJAL
15/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.11
La forma ∞ − ∞ a menudo se puede convertir a un limite
que sea una de estas formas 0/0 o ∞/∞ mediante una
combinación de algebra y un poco de ingenio
1. lim (
𝑥→0
1−3𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥
−
1
𝑥
)
Al evaluar el limite nos da la forma indeterminada ∞ -∞, por tanto primero lo
convertiremos a la forma 0/0 o ∞/∞ (resolviendo las fracciones), para luego
aplicar la regla del L’hospital con la cual derivamos numerador y denominador
por separado, las veces que sea necesario para eliminar la forma
indeterminada
lim (
𝑥→0
1−3𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥
−
1
𝑥
) = lim
𝑥→0
𝑥−3𝑥2 −𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥
= lim
𝑥→0
1−6𝑥 −𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥
= lim
𝑥→0
−6+𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥 +𝑐𝑜𝑠𝑥−𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥
=
=
−6
2
= −3
FORMAS INDETERMINADAS. REGLA DE L’HOPITAL
Se deriva la
anterior y resulta
RJAL
15/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.12
2. lim (
𝑥→0
1
𝑒 𝑥−1
−
1
𝑥
)
Al evaluar el limite nos da la forma indeterminada ∞ -∞, por tanto primero lo
convertiremos a la forma 0/0 o ∞/∞ (resolviendo las fracciones), para luego
aplicar la regla del L’hospital con la cual derivamos numerador y denominador
por separado, las veces que sea necesario para eliminar la forma
indeterminada
lim (
𝑥→0
1
𝑒 𝑥 − 1
−
1
𝑥
) = lim
𝑥→0
𝑥 − 𝑒 𝑥
+ 1
𝑥(𝑒 𝑥 − 1)
= lim
𝑥→0
1 − 𝑒 𝑥
(𝑒 𝑥−1) + 𝑥𝑒 𝑥
= lim
𝑥→0
− 𝑒 𝑥
𝑒 𝑥+ 𝑒 𝑥+ 𝑥𝑒 𝑥 = −
1
2
FORMAS INDETERMINADAS. REGLA DE L’HOPITAL
Se deriva la
anterior y resulta

7. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA
LOPEZ
15/06/2018
MATEMATICA I 7
RJAL
15/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.13
La forma 0. ∞ puede convertirse a un limite de la forma 0/0 o
∞/∞ mediante una manipulación adecuada con el algebra.
1. lim
𝑥→∞
𝑥 𝑠𝑒𝑛
1
𝑥
Al evaluar el limite nos da la forma indeterminada 0.∞, por tanto primero lo
convertiremos a la forma 0/0 o ∞/∞ (manipulando la fracción), para luego aplicar
la regla del L’hospital con la cual derivamos numerador y denominador por
separado, las veces que sea necesario para eliminar la forma indeterminada
lim
𝑥→∞
𝑥 𝑠𝑒𝑛
1
𝑥
= lim
𝑥→∞
𝑠𝑒𝑛
1
𝑥
1
𝑥
= lim
𝑥→∞
(𝑐𝑜𝑠
1
𝑥
)(
−1
𝑥2 )
−1
𝑥2
= lim
𝑥→∞
𝑐𝑜𝑠
1
𝑥
= 1
FORMAS INDETERMINADAS. REGLA DE L’HOPITAL
Se deriva la
anterior y resulta
RJAL
15/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.14
2. lim
𝑥→0
𝑥 𝑐𝑜𝑡2𝑥
Al evaluar el limite nos da la forma indeterminada 0.∞, por tanto primero lo
convertiremos a la forma 0/0 o ∞/∞ (manipulando la fracción), para luego aplicar
la regla del L’hospital con la cual derivamos numerador y denominador por
separado, las veces que sea necesario para eliminar la forma indeterminada
lim
𝑥→0
𝑥 𝑐𝑜𝑡2𝑥 = lim
𝑥→0
𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥
𝑠𝑒𝑛 2𝑥
= lim
𝑥→0
𝑐𝑜𝑠2𝑥 −𝑥𝑠𝑒𝑛2𝑥(2)
2𝑐𝑜𝑠 2𝑥
=
1
2
FORMAS INDETERMINADAS. REGLA DE L’HOPITAL
Se deriva la
anterior y resulta
Acá se convirtió a senos
y cosenos, y resulta

8. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA
LOPEZ
15/06/2018
MATEMATICA I 8
RJAL
15/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.15
La forma 00
. ∞0
𝑦 1∞
Supóngase que y = [f(x)]g(x) tiende a la forma 00
. ∞0
𝑦 1∞
cuando x tiende a “a” 0 x tiende a “∞“. Tomando logaritmo
natural de y
ln y = ln [f(x)]g(x)
ln y = g(x) ln [f(x)]
Se observa que lim
𝑥→𝑎
ln 𝑦 = lim
𝑥→𝑎
𝑔 𝑥 . ln(𝑓 𝑥 ) es de la forma
0. ∞.
Si se supone que lim
𝑥→𝑎
ln 𝑦 = ln lim
𝑥→𝑎
𝑦 = 𝐿
entonces lim
𝑥→𝑎
𝑦 = 𝑒 𝐿
o bien lim
𝑥→𝑎
[𝑓 𝑥 ] 𝑔(𝑥)
= 𝑒 𝐿
FORMAS INDETERMINADAS. REGLA DE L’HOPITAL
RJAL
15/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.16
1. lim
𝑥→0
(1 + 𝑥2
)
1
𝑒 𝑥 −𝑥 −1
Al evaluar el limite nos da la forma indeterminada 00, por tanto primero será aplicar ln ,
aplicaremos las propiedades de los logaritmos para convertirlo a la foma 0. ∞ , luego a la
forma 0/0 o ∞/∞ (manipulando la fracción), para posteriormente aplicar la regla del L’hospital
con la cual derivamos numerador y denominador por separado, las veces que sea necesario
para eliminar la forma indeterminada
y = (1 + 𝑥2)
1
𝑒 𝑥 −𝑥 −1
ln y = ln (1 + 𝑥2)
1
𝑒 𝑥 −𝑥 −1 =
1
𝑒 𝑥 −𝑥 −1
ln(1 + 𝑥2)
lim
𝑥→0
ln y = lim
𝑥→0
ln(1+ 𝑥2)
𝑒 𝑥 −𝑥 −1
= lim
𝑥→0
2𝑥
(1+ 𝑥2)
𝑒 𝑥 −1
= lim
𝑥→0
2𝑥
(1+ 𝑥2)(𝑒 𝑥 −1)
= lim
𝑥→0
2
1+ 𝑥2 𝑒 𝑥+2𝑥 (𝑒 𝑥 −1)
= 2
Por tanto lim
𝑥→0
y = lim
𝑥→0
(1 + 𝑥2)
1
𝑒 𝑥 −𝑥 −1 = 𝑒2
FORMAS INDETERMINADAS. REGLA DE L’HOPITAL
Se deriva la
anterior y resulta
Se aplica ln a “y” después las
propiedades de logaritmos

9. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA
LOPEZ
15/06/2018
MATEMATICA I 9
RJAL
15/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.17
2. lim
𝑥→0
𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥
Al evaluar el limite nos da la forma indeterminada 00, por tanto primero será
aplicar ln , aplicaremos las propiedades de los logaritmos para convertirlo a la
foma 0. ∞ , luego a la forma 0/0 o ∞/∞ (manipulando la fracción), para
posteriormente aplicar la regla del L’hospital con la cual derivamos numerador y
denominador por separado, las veces que sea necesario para eliminar la forma
indeterminada
𝑦 = 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑙𝑛 𝑦 = 𝑙𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑙𝑛𝑥 =
ln 𝑥
𝑐𝑠𝑐𝑥
lim
𝑥→0
𝑙𝑛 𝑦 = lim
𝑥→0
ln 𝑥
𝑐𝑠𝑐𝑥
= lim
𝑥→0
1
𝑥
−𝑐𝑜𝑡𝑥 𝑐𝑠𝑐𝑥
= lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛2 𝑥
−𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥
= lim
𝑥→0
2𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥
− 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥
= 0
Por tanto lim
𝑥→0
y = lim
𝑥→0
𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 𝑒0
= 1
FORMAS INDETERMINADAS. REGLA DE L’HOPITAL
Acá se convirtió a senos y cosenos, se
efectuó la división y nos resulto lo siguiente
Se deriva la
anterior y resulta
Se aplica ln a “y” después las
propiedades de logaritmos
RJAL
15/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.18
Revisar en el libro de Cálculo
Trascendentes Tempranas de Dennis G.
Zill, resolver
Ejercicio 4.5 del No. 13 al 29, del No. 47 al
64 de la págs. 222 y 223.
EXTREMOS DE FUNCIONES

10. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA
LOPEZ
15/06/2018
MATEMATICA I 10
RJAL
15/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.19
BIBLIOGRAFIA
Textos Autor
Año de
Edición
Título
Lugar de
Publicación
Editorial
Básicos Larson-
Hostetler
1989 Calculo con Geometría
Analítica
México Mc. Graw
Hill
Comple-
mentarios
Earl W.
Swokosky
1989 Calculo con Geometría
Analítica
México Ibero
Americana
Dennis G.
Zill
1985 Cálculo con Geometría
Analítica
México Ibero
Americana
Alpha Chiang /
.
1999 Métodos Fundamentales
de
Economía Matemática
España Mc. Graw
Hill
Carlos Walsh 2016 Matemática I Managua
Jagdish C.
Ayra
Robin. W.
Lardner
2009 Matemáticas Aplicadas a
la Administración y la
economía
México Pearson
Educación
Dennis G. Zill 2011 Cálculo Trascendentes
tempranas
México Mc. Graw
Hill
RJAL
15/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.20
MUCHAS GRACIAS
MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ