Derivada de funciones logarítmicas y exponenciales, Derivación logarítmica.

1. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA
LOPEZ
05/06/2018
MATEMATICA I 1
RJAL
UNIDAD IV: CÁLCULO DIFERENCIAL DE
FUNCIONES DE UNA VARIABLE
05/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.1
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
INGENIERIA EN ECONOMIA Y NEGOCIOS
MATEMATICA I
MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ
RJAL
05/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.2
Si U es una función diferenciable de x entonces
aplicando la regla de la cadena tenemos:
 Teorema 1. 𝐷 𝑥 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑈 =
1
𝑈
𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑒 𝐷 𝑥 𝑈
 Teorema 2. 𝐷 𝑥 𝑙𝑛 𝑈 =
1
𝑈
𝐷 𝑥 𝑈
 Teorema 3. 𝐷 𝑥 𝑎 𝑈
= 𝑎 𝑢
ln 𝑎 𝐷 𝑥 𝑈
 Teorema 4. 𝐷 𝑥 𝑒 𝑈
= 𝑒 𝑢
𝐷 𝑥 𝑈
DERIVADA DE FUNCIONES LOGARITMICAS Y
EXPONENCIALES

2. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA
LOPEZ
05/06/2018
MATEMATICA I 2
RJAL
05/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.3
Ejemplos: Encuentre las derivadas de las siguientes funciones
logarítmicas y exponenciales
1. y = ln x3
2. y = ln (t2 (3t2 + 6))
3. f(x) = ln 4x / ln2x
4. f(x) = log (x/(x +1))
5. xy = ln (x2 + y2)
6. f(x) = log ((x2 + 1)/(x4 + 9))
7. 𝑦 = 5 𝑥2+ 1
8. 𝑦 = 𝑒4𝑥3 −3𝑥2
9. 𝑦 = 25𝑥
34𝑥2
10 . 𝑦 = 𝑡𝑎𝑛−1
𝑒 𝑥
+ ln
𝑒2𝑥
𝑒2𝑥+1
DERIVADA DE FUNCIONES LOGARITMICAS Y
EXPONENCIALES
RJAL
05/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.4
Ejemplos: Encuentre las derivadas de las siguientes funciones
logarítmicas y exponenciales
1. y = ln x3
y = 3 ln x
y’ = 3/x
2. y = ln (t2 (3t2 + 6))
y’ = 2t (3t2 + 6) + t2 (6t)
(t2 (3t2 + 6))
y’ = 12t3 + 12t . = 12t (t2 + 1) = 4(t2 + 1)
t2 (3t2 + 6) 3t2 (t2 + 2) t(t2 + 2)
3. 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑛4𝑥/𝑙𝑛2𝑥
𝑓 𝑥 =
4
4𝑥
.𝑙𝑛2𝑥 −
2
2𝑥
𝑙𝑛4𝑥
(𝑙𝑛2𝑥)2 =
1
𝑥
( 𝑙𝑛2𝑥 − 𝑙𝑛4𝑥)
(𝑙𝑛2𝑥)2 =
1
𝑥
( 𝑙𝑛
2𝑥
4𝑥
)
(𝑙𝑛2𝑥)2 =
1
𝑥
(ln
1
2
)
(𝑙𝑛2𝑥)2 =
− 𝑙𝑛2
𝑥(𝑙𝑛2𝑥)2
DERIVADA DE FUNCIONES LOGARITMICAS Y
EXPONENCIALES

3. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA
LOPEZ
05/06/2018
MATEMATICA I 3
RJAL
05/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.5
4. f(x) = log (x/(x +1))
f(x) = logx - log(x +1)
f’(x) = (1/x)log e – (1/(x+1))log e
f’(x) = [ 1/x – (1/(x+1))]. log e = x + 1 – x . log e = 1 . log e
x(x+1) x(x+1)
5. xy = ln (x2 + y2)
𝑦 + 𝑥𝑦′
= (
1
𝑥2+ 𝑦2)(2𝑥 + 2𝑦𝑦′
)
𝑥𝑦′
−
2𝑦𝑦′
𝑥2+ 𝑦2 =
2𝑥
𝑥2+ 𝑦2 − 𝑦
𝑦′
(
𝑥3
+ 𝑦2
− 2𝑦
𝑥2 + 𝑦2
) =
2𝑥 − 𝑥2
𝑦 − 𝑦3
𝑥2 + 𝑦2
𝑦′
=
2𝑥 − 𝑥2 𝑦 −𝑦3
𝑥3+𝑦2 −2𝑦
DERIVADA DE FUNCIONES LOGARITMICAS Y
EXPONENCIALES
RJAL
05/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.6
6. f(x) = log ((x2 + 1)/(x4 + 9))
f(x) = log (x2 + 1) - log(x4 + 9)
𝑓′ 𝑥 =
2𝑥
𝑥2+1
log e −
4𝑥3
𝑥4+9
log 𝑒 = (
2𝑥5+18𝑥 −4𝑥5 −4𝑥3
(𝑥4+9)(𝑥2+1)
) log 𝑒
𝑓′ 𝑥 = (
−2𝑥5 + 18𝑥 − 4𝑥3
(𝑥4+9)(𝑥2 + 1)
) log 𝑒
7. 𝑦 = 5 𝑥2+ 1
𝑦′ = 5 𝑥2+ 1. 𝑙𝑛5. (2𝑥) = 10𝑥. 5 𝑥2
. 𝑙𝑛5.
8. 𝑦 = 𝑒4𝑥3 −3𝑥2
𝑦 = 𝑒4𝑥3 −3𝑥2
. 12𝑥2 − 6𝑥 = 6𝑥 2𝑥 − 1 𝑒4𝑥3 −3𝑥2
9. 𝑦 = 25𝑥 34𝑥2
𝑦′ = 25𝑥 𝑙𝑛2 . 5 . 34𝑥2
+ 34𝑥2
(ln3)(8x)(25𝑥)
𝑦′ = 25𝑥. 34𝑥2
(5𝑙𝑛2 + 8xln3)
DERIVADA DE FUNCIONES LOGARITMICAS Y
EXPONENCIALES

4. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA
LOPEZ
05/06/2018
MATEMATICA I 4
RJAL
05/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.7
10. 𝑦 = 𝑡𝑎𝑛−1 𝑒 𝑥 + ln
𝑒2𝑥
𝑒2𝑥+1
aplicando propiedades de los logaritmos
𝑦 = 𝑡𝑎𝑛−1
𝑒 𝑥
+
1
2
ln 𝑒2𝑥
−
1
2
ln(𝑒2𝑥
+ 1)
𝑦 = 𝑡𝑎𝑛−1
𝑒 𝑥
+
1
2
(2𝑥)ln 𝑒 −
1
2
ln(𝑒2𝑥
+ 1)
𝑦 = 𝑡𝑎𝑛−1
𝑒 𝑥
+ x −
1
2
ln(𝑒2𝑥
+ 1)
𝑦′
=
𝑒 𝑥
1+ (𝑒 𝑥)2 + 1 −
1
2
𝑒2𝑥 2
(𝑒2𝑥+1)
=
𝑒 𝑥
1+ 𝑒2𝑥 + 1 −
𝑒2𝑥
2(𝑒2𝑥+1)
𝑦′
=
2𝑒 𝑥+2𝑒2𝑥+2 − 𝑒2𝑥
2 1+ 𝑒2𝑥 =
𝑒2𝑥+2𝑒 𝑥+2
2 1+ 𝑒2𝑥
DERIVADA DE FUNCIONES LOGARITMICAS Y
EXPONENCIALES
RJAL
05/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.8
Revisar en el libro de Cálculo
Trascendentes Tempranas de Dennis G.
Zill, resolver en
Ejercicio 3.8 los No. 9 al 24 y los No. 41 a
46 de la pág. 171.
Ejercicio 3.9 los No. 11 al 24 y los No. 45 a
48 de la págs. 177 y 178.
DERIVADA DE FUNCIONES LOGARITMICAS Y
EXPONENCIALES

5. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA
LOPEZ
05/06/2018
MATEMATICA I 5
RJAL
05/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.9
Sea y = f(x) una función positiva y diferenciable en
el punto x, entonces la función z = ln y también es
diferenciable en el mismo punto x y tiene lugar la
formula
z’ = (ln (f(x))’ = f’(x)/f(x)
Llamada derivada logarítmica de la función
y = f(x) en el punto x.
La derivada logarítmica proporciona un medio
para encontrar la derivada de una expresión de la
forma y = (variable)variable
DERIVACION LOGARITMICA
RJAL
05/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.10
Ejemplos:
a) Encuentre las derivadas de las siguientes funciones utilizando
derivación logarítmicas.
1. 𝑦 = 𝑥 𝑥
2. 𝑦 = (𝑠𝑒𝑛𝑥) 𝑥
3. 𝑦 = 𝑥(𝑠𝑒𝑛𝑥) 𝑥
b) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica:
1. y = x(ln x)x en x = e
DERIVADA DE FUNCIONES LOGARITMICAS Y
EXPONENCIALES

6. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA
LOPEZ
05/06/2018
MATEMATICA I 6
RJAL
05/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.11
a) Encuentre las derivadas de las siguientes funciones utilizando
derivación logarítmicas.
1. 𝑦 = 𝑥 𝑥
𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜 𝑎 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑦 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑢é𝑠
𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒
ln 𝑦 = ln 𝑥 𝑥
ln 𝑦 = 𝑥. ln 𝑥
𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑡𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒
𝑦′
𝑦
=
1
2 𝑥
ln 𝑥 +
1
𝑥
𝑥 =
𝑥 ln 𝑥+2 𝑥
2𝑥
𝑦′ = y
𝑥 ln 𝑥+2 𝑥
2𝑥
= 𝑥 𝑥 𝑥 ln 𝑥+2 𝑥
2𝑥
DERIVADA DE FUNCIONES LOGARITMICAS Y
EXPONENCIALES
RJAL
05/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.12
2. 𝑦 = (𝑠𝑒𝑛𝑥) 𝑥
𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜 𝑎 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑦 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑢é𝑠
𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒
ln 𝑦 = ln (𝑠𝑒𝑛𝑥) 𝑥
ln 𝑦 = 𝑥. ln 𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑡𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒
𝑦′
𝑦
=
1
2 𝑥
ln 𝑠𝑒𝑛𝑥 +
𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑥 =
ln 𝑠𝑒𝑛𝑥+2𝑥𝑐𝑜𝑡𝑥.
2 𝑥
𝑦′ = y
ln 𝑠𝑒𝑛𝑥+2𝑥𝑐𝑜𝑡𝑥
2 𝑥
= (𝑠𝑒𝑛𝑥) 𝑥 ln 𝑠𝑒𝑛𝑥+2𝑥𝑐𝑜𝑡𝑥
2 𝑥
DERIVADA DE FUNCIONES LOGARITMICAS Y
EXPONENCIALES

7. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA
LOPEZ
05/06/2018
MATEMATICA I 7
RJAL
05/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.13
3. 𝑦 = 𝑥(𝑠𝑒𝑛𝑥) 𝑥
𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜 𝑎 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑦 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑢é𝑠
𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒
ln 𝑦 = ln 𝑥(𝑠𝑒𝑛𝑥) 𝑥
ln 𝑦 = ln 𝑥 + 𝑥 ln 𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑡𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒
𝑦′
𝑦
=
1
𝑥
+ 1 ln 𝑠𝑒𝑛𝑥 + (
𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥
) . 𝑥
𝑦′ = y
1 + 𝑥𝑙𝑛𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑥2 𝑥𝑐𝑜𝑡𝑥
𝑥
=𝑥(𝑠𝑒𝑛𝑥) 𝑥 1 + 𝑥𝑙𝑛𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑥2 𝑥𝑐𝑜𝑡𝑥
𝑥
𝑦′ = (𝑠𝑒𝑛𝑥) 𝑥 1 + 𝑥𝑙𝑛𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑥2 𝑥𝑐𝑜𝑡𝑥
DERIVADA DE FUNCIONES LOGARITMICAS Y
EXPONENCIALES
RJAL
05/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.14
b) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la grafica:
1. y = x(ln x)x en x = e
𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜 𝑎 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑦 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑢é𝑠
𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒
ln 𝑦 = ln 𝑥(𝑙𝑛𝑥) 𝑥
ln 𝑦 = ln 𝑥 + 𝑥 ln(𝑙𝑛𝑥)
𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑡𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒
𝑦′
𝑦
=
1
𝑥
+ 1 ln(𝑙𝑛𝑥) + (
1
𝑥
𝑙𝑛𝑥
) . 𝑥
𝑦′ = y (
1
𝑥
+ ln 𝑙𝑛𝑥 +
1
𝑙𝑛𝑥
) = 𝑥(𝑙𝑛𝑥) 𝑥 (
1
𝑥
+ ln 𝑙𝑛𝑥 +
1
𝑙𝑛𝑥
)
𝑠𝑖 𝑥 = 𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑦 = e y y′ = (𝑙𝑛𝑒) 𝑒 (
1
𝑒
+ ln 𝑙𝑛𝑒 +
1
𝑙𝑛𝑒
= 1 + e
entonces ERT será igual a y – e = (1+e) (x – e)
(1 + e)x – y = e2
DERIVADA DE FUNCIONES LOGARITMICAS Y
EXPONENCIALES

8. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA
LOPEZ
05/06/2018
MATEMATICA I 8
RJAL
05/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.15
Revisar en el libro de Cálculo
Trascendentes Tempranas de Dennis G.
Zill, resolver en el Ejercicio 3.9 los No. 49 al
56 de la pág. 167.
DERIVADA DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
INVERSAS
RJAL
05/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.16
BIBLIOGRAFIA
Textos Autor
Año de
Edición
Título
Lugar de
Publicación
Editorial
Básicos Larson-
Hostetler
1989 Calculo con Geometría
Analítica
México Mc. Graw
Hill
Comple-
mentarios
Earl W.
Swokosky
1989 Calculo con Geometría
Analítica
México Ibero
Americana
Dennis G.
Zill
1985 Cálculo con Geometría
Analítica
México Ibero
Americana
Alpha Chiang /
.
1999 Métodos Fundamentales
de
Economía Matemática
España Mc. Graw
Hill
Carlos Walsh 2016 Matemática I Managua
Jagdish C.
Ayra
Robin. W.
Lardner
2009 Matemáticas Aplicadas a
la Administración y la
economía
México Pearson
Educación
Dennis G. Zill 2011 Cálculo Trascendentes
tempranas
México Mc. Graw
Hill

9. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA
LOPEZ
05/06/2018
MATEMATICA I 9
RJAL
05/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.17
MUCHAS GRACIAS
MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ