Este documento presenta una lección sobre límites trigonométricos y límites al infinito. Introduce conceptos como el límite de una función cuando la variable independiente se acerca o se aleja sin límite, y provee ejemplos y ejercicios para practicar el cálculo de límites.

1. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA
LOPEZ
17/05/2018
MATEMATICA I 1
RJAL
UNIDAD III: NOCIONES DE LIMITE Y CONTINUIDAD DE
FUNCIONES DE UNA VARIABLE
17/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.1
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
INGENIERIA EN ECONOMIA Y NEGOCIOS
MATEMATICA I
MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ
RJAL
17/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.2
i. Lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 0
ii. Lim
𝑥→0
𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 1
iii. Lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥
= 1
LIMITES TRIGONOMETRICOS

2. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA
LOPEZ
17/05/2018
MATEMATICA I 2
RJAL
17/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.3
Revisar en el libro de Cálculo
Trascendentes Tempranas de
Dennis G. Zill, las páginas 90 a 93.,
sobre límite fundamental
trigonométrico y ejemplos del mismo.
a
LIMITES TRIGONOMETRICOS
RJAL
17/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.4
EJERCICIOS SOBRE LIMITES
Resuelva los siguientes límites:
1. lim
𝑥→0
𝑡𝑎𝑛𝑥
𝑥
2. lim
𝑥→0
1 −𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑥
3. lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛𝑘𝑥
𝑥
4. lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛 𝛽𝑥
𝑠𝑒𝑛𝛼𝑥
5. lim
𝑥→0
𝑥𝑐𝑜𝑡𝑥 6. lim
𝑥→0
𝑥
1 −cos 𝑥
7. lim
𝑥→0
(
1
𝑠𝑒𝑛𝑥
−
1
𝑡𝑎𝑛𝑥
) 8. lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛2(
𝑥
3
)
𝑥2
9. lim
𝑥→0
𝑡𝑎𝑛𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑥3 10. lim
𝑥→2
𝑠𝑒𝑛(𝑥 −2)
𝑥2+2𝑥 − 8

3. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA
LOPEZ
17/05/2018
MATEMATICA I 3
RJAL
17/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.5
EJERCICIOS SOBRE LIMITES
RJAL
17/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.6
EJERCICIOS SOBRE LIMITES

4. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA
LOPEZ
17/05/2018
MATEMATICA I 4
RJAL
17/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.7
Revisar en el libro de Cálculo
Trascendentes Tempranas de
Dennis G. Zill, resolver en el Ejercicio
2.4 del 1 al 21 de la pág. 93 y 94.
a
LIMITES TRIGONOMETRICOS
RJAL
17/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.8
Considerando una función f definida por f(x) = 2x2 .
x2 + 1
hagamos que x tome valores grandes.
En la tabla anterior podemos observar que a medida que x
crece a través de valores positivos (o sea 𝑥 → +∞) los
valores de la función f(x) se acercan cada vez más a 2 (es
decir 𝑓 𝑥 → 2).
LIMITES AL INFINITO
x 0 1 2 5 10 100 1000 10000
y 0 1 1.600000 1.923077 1.980198 1.999800 1.999998 1.99999998

5. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA
LOPEZ
17/05/2018
MATEMATICA I 5
RJAL
17/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.9
Cuando la variable independiente x crece sin límite a través
de valores positivos se escribe cuando 𝑥 → +∞ podemos
decir que
lim
𝑥→+∞
2𝑥2
𝑥2 + 1
= 2
LIMITES AL INFINITO
RJAL
17/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.10
Definición: Sea f una función de variable real que está
definida en todos los números de un intervalo abierto
(a, +∞). El límite de f(x) cuando x crece sin límite es L y se
denota por
lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = 𝐿
Si para cualquier ε > 0 por pequeño que este sea, Ǝ un
número N > 0, tal que |f(x) – L| < ε siempre que x > N.
LIMITES AL INFINITO

6. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA
LOPEZ
17/05/2018
MATEMATICA I 6
RJAL
17/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.11
Considerando una función f definida por f(x) = 2x2 .
x2 + 1
hagamos que x tome valores pequeños.
De la misma manera podemos observar en la tabla
siguiente que a medida que x decrece a través de valores
negativos (o sea 𝑥 → −∞) los valores de la función f(x) se
acercan cada vez más a 2 (es decir 𝑓 𝑥 → 2).
LIMITES AL INFINITO
x 0 -1 -2 -5 -10 -100 -1000 -10000
y 0 1 1.600000 1.923077 1.980198 1.999800 1.999998 1.99999998
RJAL
17/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.12
Cuando la variable independiente x decrece sin límite a
través de valores negativos se escribe cuando 𝑥 → −∞
podemos decir que
lim
𝑥→ −∞
2𝑥2
𝑥2 + 1
= 2
LIMITES AL INFINITO

7. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA
LOPEZ
17/05/2018
MATEMATICA I 7
RJAL
17/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.13
Definición: Sea f una función de variable real que está
definida en todos los números de un intervalo abierto (-∞, 𝑎).
El límite de f(x) cuando x decrece sin límite es L y se denota
por
lim
𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = 𝐿
Si para cualquier ε > 0 por pequeño que este sea, Ǝ un
número N < 0, tal que |f(x) – L| < ε siempre que x < N.
LIMITES AL INFINITO
RJAL
17/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.14
Teorema: Si r es cualquier entero positivo,
entonces
𝑖) lim
𝑥→+∞
1
𝑥 𝑟
= 0
𝑖𝑖) lim
𝑥→−∞
1
𝑥 𝑟
= 0
LIMITES AL INFINITO

8. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA
LOPEZ
17/05/2018
MATEMATICA I 8
RJAL
17/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.15
EJERCICIOS SOBRE LIMITES
Resuelva los siguientes límites:
1. lim
𝑥→∞
(8 +
3
𝑥3) 2. lim
𝑥→∞
4𝑥 −3
2𝑥+5
3. lim
𝑥→∞
2𝑥3
𝑥2+1
4. lim
𝑥→∞
3𝑥+4
2𝑥2 −5
5. lim
𝑥→∞
3𝑥+2
6𝑥 −8
6. lim
𝑥→∞
𝑥2 −3𝑥
4𝑥2+ 5
7. lim
𝑥→∞
ln
𝑥
𝑥+8
8. lim
𝑥→−∞
3 2𝑥 −1
7 −16𝑥
RJAL
17/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.16
EJERCICIOS SOBRE LIMITES

9. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA
LOPEZ
17/05/2018
MATEMATICA I 9
RJAL
17/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.17
EJERCICIOS SOBRE LIMITES
RJAL
17/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.18
LIMITES FUNDAMENTAL ALGEBRAICO
lim
𝑥→∞
1 +
1
𝑥
𝑥
= 𝑒
lim
𝑥→0
1 + 𝑥
1
𝑥 = 𝑒

10. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA
LOPEZ
17/05/2018
MATEMATICA I 10
RJAL
17/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.19
EJERCICIOS SOBRE LIMITES
Resuelva los siguientes límites:
1. lim
𝑥→∞
(1 +
1
𝑥
)3𝑥 2. lim
𝑥→∞
(1 +
2
𝑥
) 𝑥
3. lim
𝑥→∞
(1 +
1
𝑥
) 𝑥+5 4. lim
𝑥→∞
(1 −
1
𝑥
) 𝑥
5. lim
𝑥→∞
[𝑥𝑙𝑛 𝑥 + 1 − 𝑙𝑛𝑥] 6. lim
𝑥→0
(1 + 3𝑡𝑎𝑛2 𝑥) 𝑐𝑜𝑡2 𝑥
7. lim
𝑥→∞
(1 +
1
𝑥
)
𝑥+1
𝑥 8. lim
𝑥→∞
(1 +
1
𝑥2) 𝑥
9. lim
𝑥→0
(1 + 𝑠𝑒𝑛𝑥) 𝑥 10. lim
𝑥→∞
(
3𝑥+5
3𝑥 −4
)
𝑥
4
RJAL
17/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.20
EJERCICIOS SOBRE LIMITES

11. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA
LOPEZ
17/05/2018
MATEMATICA I 11
RJAL
17/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.21
EJERCICIOS SOBRE LIMITES
RJAL
17/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.22
BIBLIOGRAFIA
Textos Autor
Año de
Edición
Título
Lugar de
Publicación
Editorial
Básicos Larson-
Hostetler
1989 Calculo con Geometría
Analítica
México Mc. Graw
Hill
Comple-
mentarios
Earl W.
Swokosky
1989 Calculo con Geometría
Analítica
México Ibero
Americana
Dennis G.
Zill
1985 Cálculo con Geometría
Analítica
México Ibero
Americana
Alpha Chiang /
.
1999 Métodos Fundamentales
de
Economía Matemática
España Mc. Graw
Hill
Carlos Walsh 2016 Matemática I Managua
Jagdish C.
Ayra
Robin. W.
Lardner
2009 Matemáticas Aplicadas a
la Administración y la
economía
México Pearson
Educación
Dennis G. Zill 2011 Cálculo Trascendentes
tempranas
México Mc. Graw
Hill

12. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA
LOPEZ
17/05/2018
MATEMATICA I 12
RJAL
17/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.23
MUCHAS GRACIAS
MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ