El documento habla sobre logaritmos. Define un logaritmo como el exponente al que se debe elevar una base para obtener un número dado. Explica propiedades como que el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores y que el logaritmo de una potencia es el producto del exponente por el logaritmo de la base. También cubre logaritmos decimales, neperianos y cómo resolver ecuaciones logarítmicas.

1. Logaritmos
Definición
El logaritmo de un número, en una base dada, es el exponente al cual se debe
elevar la base para obtener el número.
Siendo a la base, x el número e y el logaritmo.
Ejemplos
1
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6
7
8

2. De la definición de logaritmo podemos deducir:
No existe el logaritmo de un número con base negativa.
No existe el logaritmo de un número negativo.
No existe el logaritmo de cero.
El logaritmo de 1 es cero.
El logaritmo en base a de a es uno.
El logaritmo en base a de una potencia en base a es igual al exponente.
Propiedades de los logaritmos
Propiedades
1 El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores:

3. Ejemplo
2 El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el
logaritmo del divisor:
Ejemplo
3 El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo
de la base:
Ejemplo
4 El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el
índice de la raíz:

4. Ejemplo
5 Cambio de base:
Ejemplo
Logaritmos decimales y neperianos
Logaritmos decimales
Los logarítmos decimales tienen base 10. Se representan por log (x).
Logaritmos neperianos
Los logarítmos neperianos tienen base e. Se representan por ln (x) o L(x).

5. Re so lver las e c uac iones lo g arítmic as
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

6. E je r cicio 1 r e su e lto
E je r cicio 2 r e su e lto

7. LOGARITMO
Logaritmo
Gráfica de Logaritmo
Definición
Tipo Función real
Descubridor(es) John Napier (1614)

8. Dominio
Codominio
Imagen
Propiedades Biyectiva
Cóncava
Estrictamente creciente
Trascendente
Cálculo infinitesimal
Derivada
Función
inversa

9. Límites
Funciones
relacionadas
Función exponencial
El rojo representa el logaritmo en base e.
El verde corresponde a la base 10.
El púrpura al de la base 1,7.
En análisis matemático, usualmente, el logaritmo de un número real positivo —en
una base de logaritmo determinada— es el exponente al cual hay que elevar la base
para obtener dicho número. Por ejemplo, el logaritmo de 1000 en base 10 es 3,
porque 1000 es igual a 10 a la potencia 3: 1000 = 103 = 10×10×10.
De la misma manera que la operación opuesta de la suma es la resta y la de
la multiplicación la división, el cálculo de logaritmos es la operación inversa a
la exponenciación de la base del logaritmo.

10. Para representar la operación de logaritmo en una determinada base se escribe la
abreviatura log y como subíndice la base y después el número resultante del que
deseamos hallar el logaritmo. Por ejemplo, 35=243 luego log3243=5. Cuando se
sobreentiende la base, se puede omitir.
Los logaritmos fueron introducidos por John Napier a principios del siglo
XVII como un medio de simplificación de los cálculos. Estos fueron prontamente
adoptados por científicos, ingenieros, banqueros y otros para realizar operaciones
fácil y rápidamente, usando reglas de cálculo y tablas de logaritmos. Estos
dispositivos se basan en el hecho más importante por identidades logarítmicas —
que el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores:
La noción actual de los logaritmos viene de Leonhard Euler, quien conectó estos
con la función exponencial en el siglo XVIII.
Definiciones
Dado un número real (argumento x), la función logaritmo le asigna el
exponente n (o potencia) a la que un número fijo b (base) se ha de elevar para
obtener dicho argumento. Es la función inversa de b a la potencia n. Esta función se
escribe como: n = logb x, lo que permite obtener n.
(esto se lee como: logaritmo en base b de x es igual a n; si y sólo si b elevado a
la n da por resultado a x)
Para que la definición sea válida, no todas las bases y números son posibles. La
base b tiene que ser positiva y distinta de 1, luego b> 0 y b ≠ 1, x tiene que ser un
número positivo x > 0 y n puede ser cualquier número real (n ∈ R).

11. Así, en la expresión 102 = 100, el logaritmo de 100 en base 10 es 2, y se escribe
como log10 100 = 2.
Propiedades generales
Los logaritmos, independientemente de la base elegida, cumplen una serie de
propiedades comunes que los caracterizan. Así, logaritmo de su base es siempre 1;
logb b = 1 ya que b1 = b. El logaritmo de 1 es cero (independientemente de la base);
logb 1=0 ya que b0 = 1.
Si el número real a se encuentra dentro del intervalo 0 < a < 1 entonces logb a da un
valor negativo o se dice que es un logaritmo negativo. Es evidente, ya que si
logaritmo de 1 es cero, entonces valores reales menores que uno serán negativos por
ser la función logarítmica estrictamente creciente y cuyo recorrido es (-∞, +∞).
También usando la identidad logarítmica logb(x/y)=logb x - logb y; puesto
que a pertenece al intervalo 0 < a < 1, su inverso a-1 será mayor que uno, con lo que
logb(a)=logb(1/a-1) = logb 1 - logb(a-1)= -logb(a-1).
Los números negativos no tienen logaritmo en el cuerpo de los reales R, ya que
cualquiera que sea el exponente n, se tendrá siempre que bn será mayor que
cero, bn > 0; en consecuencia, no hay ningún valor real de n que pueda
satisfacer bn = x cuando x sea menor que 0. Sin embargo, este obstáculo se puede
salvar, ampliando el dominio de definición al cuerpo de los números complejos C,
pudiendo calcular logaritmos de números negativos usando el logaritmo complejo o
recurriendo a la fórmula de Euler.
Las potencias consecutivas de una base forman una progresión geométrica y la de
los exponentes una progresión aritmética. Por ejemplo, las potencias de 2 son
1,2,4,8,16,32,64,..., etc. y sus exponentes serán 0, 1, 2, 3, 4,..., etc. ya que 20 = 1,
21 = 2, 22 = 4, 23 = 8, y 24 = 16, etc. luego log2 1 = 0, log2 2 = 1, log2 4 = 2, log2 8 =
3 y log2 16 = 4, etc.
Propiedades algebraicas

12. En esta parte se destaca la capacidad operativa del uso de logaritmos en el sentido
de operaciones coligadas; mediante logaritmos, una operación se convierte en otra
operación de menor nivel. Por ejemplo, un producto de n factores se reduce a una
adición de n sumandos.Etc.
Ciertamente, las siguientes proposiciones funcionan como identidades para los
valores de su dominio de definición. Sin embargo, el éxito de la invención y uso de
los logaritmos, justamente, radicó en poder convertir productos en sumas; cocientes
en restas; potencia en producto y raíz de grado n en un cociente. Este hecho permite
decir que, en su momento, el uso de logaritmos produjo un cambio revolucionario
en los cálculos, empleados en la astronomía, navegación y matemática financiera
aplicada a la banca y los negocios colaterales. 3 Los logaritmos mantienen ciertas
identidades aritméticas muy útiles a la hora de realizar cálculos:
 El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.
 El logaritmo de un inverso multiplicativo es el inverso aditivo del logaritmo:
 El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el
logaritmo del denominador.

13.  El logaritmo de una potencia es igual al producto entre el exponente y el
logaritmo de la base de la potencia.
 El logaritmo de una raíz es igual al producto entre la inversa del índice y el
logaritmo del radicando.
En realidad la cuarta y quinta identidad son equivalentes, sin más que hacer:
Selección y cambio de base
Entre los logaritmos más utilizados se encuentra el logaritmo natural, cuya base
es e, base 10 (logaritmo común), base 2 (logaritmo binario), o en base indefinida
(logaritmo indefinido). La elección de un determinado número como base de los
logaritmos no es crucial, ya que todos son proporcionales entre sí. Es útil la
siguiente fórmula que define allogaritmo de x en base b (suponiendo que b, x,
y k son números reales positivos y que tanto b como k son diferentes de 1):
en la que k es cualquier base válida. Si hacemos k=x, obtendremos:

14. Propiedades analíticas
Un estudio más profundo de los logaritmos requiere el concepto de función. Un
ejemplo es la función que produce la x-ésima potencia de b para cualquier número
real x, donde la base (o raíz) b es un número fijo. Esta función se escribe como
Función logarítmica
Para garantizar la definición de logaritmos, es necesario demostrar que para
la ecuación exponencial
existe una única solución x , asumiendo que y que b no es solución de la
ecuación . Una demostración de este hecho requiere del teorema del
valor intermedio del cálculo elemental.4 Este teorema establece que una función
continua que produce dos valores m y n también produce cualquier valor que se
encuentre entre m yn. Una función es continua si esta no «salta», esto es, si su
gráfico puede ser escrito sin levantar el lápiz del papel.
Esta propiedad se puede demostrar que se cumple para la función f(x) = bx. Puesto
que f toma arbitrariamente valores grandes positivos y valores pequeños positivos,
cualquier número y > 0 que se encuentra entre f(x0) y f(x1) para un adecuado x0 y x1.
Por lo tanto, el teorema del valor intermedio asegura que la ecuación f(x) = y tiene
una solución. Más aún, hay únicamente una solución para esta ecuación, puesto que
la función f es estrictamente creciente (para b > 1), o estrictamente decreciente
(para 0 < b < 1).5
La única solución x es el logaritmo de y en la base b, logb(y). La función que asigna
a cada y su logaritmo se llama función logaritmo o función
logarítmica (o logaritmo a secas).

15. Función inversa
Gráfico de la función logarítmica logb(x) (azul) se obtiene mediante reflexión del
gráfico de la función bx(roja) sobre la línea diagonal (x = y).
La fórmula para el logaritmo de una potencia dice en particular que para cualquier
número x,
En lenguaje llano, tomando la x-ésima potencia de b y luego el base-b logaritmo se
vuelve a obtener x. De modo contrario, dado un número positivo y, la fórmula
dice que tomando primero el logaritmo y después exponenciando se vuelve a
obtener y. Así, las dos maneras posibles de combinar (o componer) logaritmos y
exponenciales vuelve a dar el número original. Por lo tanto, el logaritmo en
base b es la función inversa def(x) = bx.6

16. Las funciones inversas están íntimamente relacionadas con las funciones originales.
Sus gráficos se corresponden el uno con el otro mediante el intercambio de las
coordenadas x e y (o por reflexión sobre la línea diagonal x = y), como se muestra en
la figura de la derecha: un punto (t, u = bt) sobre el gráfico de f proporciona un
punto (u, t = logbu) sobre el gráfico del logaritmo y viceversa.
Crecimiento o decrecimiento de la función
Como consecuencia, logb(x) tiende a + infinito (se hace más grande que cualquier
número dado) si x aproxima a + infinito, siempre que bsea mayor que 1. En ese
caso, logb(x) es un función creciente. Para b < 1, logb(x) tiende a menos infinito en
lugar de a infinito. Cuando xse aproxima a cero, logb(x) tiende a menos infinito
para b > 1 (a más infinito cuando b < 1, respectivamente). En cualquier caso, y para
todo valor apropiado de la base b, la gráfica de la función logarítmica corta al eje de
las abscisas en el punto (1,0).
Derivada e integral indefinida
El gráfico del logaritmo natural (verde) y su tangente en x = 1.5 (negro)
Las propiedades analíticas de las funciones pasan a sus inversas.4 Así, como f(x)
= bx es una función continua y diferenciable, también lo será logb(y). Toscamente
hablando, una función continua es diferenciable si su gráfico no tiene «trazos
puntiagudos». Más aún, como la derivada de f(x) evaluada en ln(b)bx por las
propiedades de la función exponencial, la regla de la cadena implica que la derivada
de logb(x) es dada por5 7

17. Esto es, la pendiente de la tangente que toca el gráfico del logaritmo en base-b en el
punto (x, logb(x)) es igual a 1/(x ln(b)). En particular, la derivada de ln(x) es 1/x, lo
que implica que la integral indefinida de 1/x es ln(x) + C.La derivada con un
argumento funcional generalizado f(x) es
El cociente del miembro derecho es denominado derivada logarítmica de f.
Calcular f'(x) por medio de la derivada de ln(f(x)) se conoce como diferenciación
logarítmica.8 La integral indefinida del logaritmo natural ln(x) es:9
Fórmulas relacionadas, tales como integrales indefinidas de logaritmos en otras
bases pueden ser obtenidas de esta ecuación usando el cambio de bases.10
Representación integral del logaritmo natural
El logaritmo natural de t es el área sombreada bajo el gráfico de la funciónf(x) =
1/x (inversa de x).

18. El logaritmo natural de t concuerda con la integral de 1/x dx desde 1 a t:
En otras palabras, ln(t) es igual al área entre el eje x y el gráfico de la función 1/x,
recorrido desde x = 1 a x = t (figura a la derecha). Esto es una consecuencia
del teorema fundamental del cálculo y del hecho de que la derivada de ln(x) sea 1/x.
El miembro de la derecha de esta ecuación puede servir con una definición para el
logaritmo natural. Las fórmulas del producto y potencias de logaritmo pueden ser
obtenidas de esta definición.11 Por ejemplo, la fórmula del producto ln(tu) = ln(t) +
ln(u) se deduce como:
La igualdad (1) descompone la integral en dos partes, mientras que la igualdad (2)
es un cambio de variable (w = x/t). En la ilustración de abajo, la descomposición
corresponde a dividir el área en las partes azul y amarilla. Reescalando el área azul
de la izquierda verticalmente mediante el factor t y contrayendo esta por el mismo
factor horizontalmente no se cambia su tamaño. Moviéndola apropiadamente, el
área de la gráfica se ajusta a la función f(x) = 1/x de nuevo. Por lo tanto, el área azul
del término izquierdo, que es la integral de f(x) desde t a tu es la misma que la de la
integral desde 1 a u. Esto justifica la igualdad (2) con otra demostración geométrica
más.
Una demostración visual de la fórmula del producto del logaritmo natural.

19. La fórmula de la potencia ln(tr) = r ln(t) puede ser obtenida de manera similar:
La segunda igualdad usa los cambios de variable (integración por
sustitución), w := x1/r.
La suma sobre los inversos de los números naturales,
es llamada serie armónica. Está estrechamente vinculada al logaritmo natural:
cuando n tiende a infinito, la diferencia,
converge (i.e., se aproxima arbitrariamente cerca) a un número conocido
como constante de Euler-Mascheroni. Esta relación ayuda a analizar el rendimiento
de algoritmos, como quicksort.12
Trascendencia del logaritmo
El logaritmo es un ejemplo de función trascendente y desde un punto de vista
teórico, el teorema de Gelfond-Schneider afirma que los logaritmos suelen tomar
valores «difíciles» . La declaración formal se basa en la noción de números
algebraicos, que incluye a todos los números racionales, pero también números tales
como la raíz cuadrada de 2 o

20. Números complejos que no son algebraicos son llamados transcendentes; por
ejemplo, π y e son dos de esos números. Casi todos los números complejos son
trascendentes. Usando estas nociones, el teorema de Gelfond–Scheider declara que
dados dos números algebraicos a y b, logb(a) es, o un número trascendente, o un
número racional p / q(en cuyo caso aq = bp, de manera que, para
empezar, a y b estaban estrechamente relacionados).14
Cálculo
Los logaritmos son fáciles de calcular en algunos casos, tales como log10(1,000) = 3.
En general, los logaritmos pueden ser calculados usando series de potencias o
la media aritmético-geométrica, o ser obtenidos de una tabla de
logaritmos precalculada que proporciona una precisión fijada. El método de
Newton, un método iterativo para resolver ecuaciones aproximadamente, puede ser
usado también para calcular el logaritmo, porque su función inversa, la función
exponencial, puede ser calculada eficientemente. Usando tablas de referencias,
métodos como CORDIC pueden ser usados para calcular logaritmos si la únicas
operaciones disponibles son la adición y el desplazamiento de bits. Más aún,
el algoritmo del logaritmo binario calcula lb(x) recursivamente basado en la
repetición cuadrática de x, aprovechando la relación
Serie de potencias
Serie de Taylor

21. Serie de Taylor de ln(z) at z = 1. La animación muestra las primeras 10
aproximaciones junto con las aproximaciones 99 y 100.
Para cualquier número real z que satisfaga 0 < z < 2, la siguiente serie de
potencias se cumple:nb 1 20
Esta es una manera rápida de decir que ln(z) puede ser aproximado a un valor más y
más preciso mediante las siguientes expresiones:
Por ejemplo, con z = 1.5 la tercera aproximación obtiene 0.4167, que es alrededor
de 0.011 mayor que ln(1.5) = 0.405465. Esta serie aproxima ln(z) con precisión
arbitraria, siempre que el número de sumandos sea lo suficientemente grande. En
cálculo elemental, ln(z) es por tanto, el límite de la serie. Esta es la serie de
Taylor del logaritmo natural en z = 1. La serie de Taylor de ln z proporciona una
particular aproximación útil de ln(1+z) cuando zes pequeño, |z| << 1, puesto que
Por ejemplo, con z = 0.1 el primer orden de aproximación da ln(1.1) ≈ 0.1, que es
menor del 5% del valor correcto 0.0953.

22. Series más eficientes
Otra serie está basada en la función argumento de tangente hiperbólica:
para cualquier número real z > 0. Usando la notación sumatorio esta también puede
ser escrita como
Esta serie se puede obtener de la serie de Taylor anterior. Converge más rápido que
la serie de Taylor, especialmente si z es cercano a 1. Por ejemplo, para z = 1.5, los
tres primeros términos de la segunda serie aproximan ln(1.5) con un error del
entorno de 3×10−6. La rápida convergencia para z cercano a 1 puede ser tomada
como una ventaja de la siguiente manera.: da una aproximación de baja
exactitud y ≈ ln(z) y calculando
el logaritmo de z es:
Cuando mejor es la aproximación inicial y, más cerca está A de 1, así que su
logaritmo puede ser calculado eficientemente. A puede ser calculado usando la serie
exponencial, que converge rápidamente siempre que y no sea demasiado grande.

23. Calculando el logaritmo de un z mayor, puede ser reducido a valores más pequeños
que z mediante la escritura z = a · 10b, así que ln(z) = ln(a) + b · ln(10).
Un método íntimamente relacionado puede ser utilizado para calcular el logaritmo
de enteros. De la serie anterior, se deduce que:
Si el logaritmo de un entero grande n es conocido, entonces esta serie obtiene una
veloz serie convergente para log(n+1).
Aproximación mediante media aritmético-geométrica
La media aritmético-geométrica da aproximaciones con gran precisión del logaritmo
natural. ln(x) es aproximado con una precisión de 2−p (o p bits precisos) mediante la
siguiente fórmula (dada por Carl Friedrich Gauss).
Aquí M denota la media aritmético-geométrica. Se puede obtener mediante el
cálculo repetido de la media (media aritmética) y de la raíz cuadrada del producto
de dos números (media geométrica). Más aún, m es escogido tal que
Ambas, media aritmético-geométrica y las constantes π y ln(2) pueden ser
calculadas mediante series convergentes muy rápidas.
Extensiones

24. Es posible extender el concepto de logaritmo más allá de los reales positivos.
Números reales
Para enteros b y x, el número es irracional (no puede representarse como el
cociente de dos enteros) si b o x tienen un factor primo que el otro no tiene.
El logaritmo natural de un número real positivo está bien definido y es un número
real. Sin embargo, generalizar el logaritmo natural a números reales negativos solo
puede hacerse introduciendo números complejos.
Sin embargo, al igual que sucede el logaritmo de números complejos la elección de
logaritmo de un número negativo no es única, aunque la elección hecha es la más
frecuentemente usada para extender el logaritmo a números reales negativos.
Números complejos
Principal rama del logaritmo complejo, Log(z).
El logaritmo natural de un número complejo z es otro número complejo b = ln(z)
que sea solución de la ecuación:

25. (*)
La ecuación anterior no tiene solución única. De hecho, tiene un número infinito de
soluciones, aunque todas ellas son fáciles de encontrar. Dado un número
complejo z escrito en forma polar, una solución posible de la ecuación (*) es b0:
Puede comprobarse que esta no es la única solución, sino que para cualquier
valor resulta que el número complejo bk, definido a continuación, también
es solución:
De hecho cada valor particular de k define una superficie de Riemann.
Logaritmo en base imaginaria
Un logaritmo en base imaginaria es un logaritmo que tiene como base i (la unidad
imaginaria). Este tipo de logaritmos se puede resolver fácilmente con la fórmula:
Dónde z es cualquier número complejo excepto 0. Sin embargo, cabe señalar que la
fórmula anterior solo es una de las posibles soluciones ya que la ecuación:
admite no solo la solución dada anteriormente sino que cualquier x de la forma:

26. también es solución.
Matrices
Una matriz B es logaritmo de una matriz dada A si la exponenciación de B es A:
A diferencia de la exponenciación de matrices, el logaritmo de una matriz real
puede no estar definido siempre. En el caso de una matriz diagonalizable es
necesario que logaritmo esté definido para todos y cada uno de los autovalores o
valores propios de la matriz. En ese caso el logaritmo de la matriz está definido y es
logaritmo de una matriz con autovalores positivos es otra matriz real. Si el 0 es un
autovalor de la matriz, entonces su logaritmo no está definido.
Si el logaritmo está definido sobre el espectro o conjunto de autovalores y estos
incluyen algún número negativo, aun así es posible definir una matriz logaritmo (en
forma similar a como se definen los logaritmos de números negativos o complejos),
aunque no resulta única.
En el caso de una matriz no diagonalizable, este proceso es más complicado, ya que
requiere encontrar primero su forma canónica de Jordan.
Logaritmo discreto

27. Los logaritmos discretos son los análogos en teoría de grupos de los logaritmos
ordinarios. En particular, un logaritmo ordinario loga(b) es una solución de la
ecuación ax = bsobre números reales o números complejos. De manera similar,
si g y h son elementos de un grupo cíclico finito G, entonces una solución x de la
ecuación gx = h es llamada logaritmo discreto en la base g de h en el grupo G.
Si (G,·) es un grupo cíclico finito de orden n, donde · es el operador multiplicación,
si se escoge un generador g de G, entonces cada elemento h de G puede ser escrito
comoh = gk para algún entero k, de manera que la función
asigna a cada h la clase de equivalencia módulo n de k, esto es, todos los k que
cumplan que h ≡ gk mod n.
Este logaritmo tiene aplicaciones en criptografía, en especial en el método de
intercambio de claves de Diffie-Hellman o en el sistema de ElGamal.
___ _____ ______
El método de cálculo mediante logaritmos fue propuesto por primera vez,
públicamente, por John Napier (latinizado Neperus) en 1614, en su libro
titulado Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio. Joost Bürgi, un matemático y
relojero suizo al servicio del duque de Hesse-Kassel, concibió por primera vez los
logaritmos; sin embargo, publicó su descubrimiento cuatro años después que
Napier. La inicial resistencia a la utilización de logaritmos fue cambiada por Kepler,
por el entusiasta apoyo de su publicación y la impecable y clara explicación de
cómo funcionaban.
Este método contribuyó al avance de la ciencia, y especialmente de la astronomía,
facilitando la resolución de cálculos muy complejos. Los logaritmos fueron

28. utilizados habitualmente en geodesia, navegación marítima y otras ramas de la
matemática aplicada, antes de la llegada de las calculadoras y computadoras.
Además de la utilidad en el cálculo, los logaritmos también ocuparon un
importante lugar en las matemáticas más avanzadas; el logaritmo natural presenta
una solución para el problema de la cuadratura de un sector hiperbólico ideado por
Gregoire de Saint-Vincent en 1647.
Napier no usó una base tal como ahora se entiende pero, sus logaritmos, como
factor de escala, funcionaban de manera eficaz con base 1/e. Para los propósitos de
interpolación y facilidad de cálculo, eran útiles para hallar la relación r en una serie
geométrica tendente a 1. Napier escogió r = 1 - 10−7 = 0,999999 (Bürgi
eligió r = 1 + 10−4 = 1,0001). Los logaritmos originales de Napier no tenían
log 1 = 0, sino log 107 = 0. Así, si N es un número y L es el logaritmo, Napier
calcula: N = 107(1 − 10−7)L. Donde (1 − 10−7)107 es aproximadamente 1/e,
haciendo L/107 equivalente a log1/e N/107. Véase logaritmo neperiano.
Inicialmente, Napier llamó «números artificiales» a los logaritmos y «números
naturales» a los antilogaritmos. Más tarde, Napier usa la palabra logaritmo en el
sentido de un número que indica una proporción: λόγος (logos) el sentido de
proporción, y ἀριθμός (arithmos) significado número, y se define, literalmente,
como «un número que indica una relación o proporción». Se refiere a la proposición
que fue hecha por Napier en su «teorema fundamental», que establece que la
diferencia de dos logaritmos determina la relación de los números a los cuales
corresponden, de manera que una progresión aritmética de logaritmos corresponde a
una progresión geométrica de números. El término antilogaritmo fue introducido a
finales de siglo xvii y, aunque nunca se utilizó ampliamente en matemáticas,
perduró en muchas tablas, hasta que cayó en desuso.
Aplicaciones
El logaritmo más ampliamente utilizado es el natural, ya que tiene multitud de
aplicaciones en física, matemáticas, ingeniería y en ciencias en general. También es
bastante utilizado el logaritmo decimal, que se indica cómo , en ciencias que
hacen uso de las matemáticas, como la química en la medida de la acidez

29. (denominada pH) y en física en magnitudes como la medida de la luminosidad
(candela), de intensidad de sonido (dB), de la energía de un terremoto (escala
sismológica de Richter), etc. En informática se usa el logaritmo en base 2 la
mayoría de veces.
LOGARITMO NATURAL
En matemáticas se denomina logaritmo natural o informalmente logaritmo
neperiano al logaritmo cuya base es el número e, un número irracional cuyo valor aproximado
es 2,7182818284590452353602874713527. El logaritmo natural se suele denominar como
ln(x) o a veces como loge(x), porque para ese número se cumple la propiedad de que el
logaritmo vale 1.
El logaritmo natural de un número x es entonces el exponente a al que debe ser elevado el
número e para obtener x. Por ejemplo, el logaritmo de 7,38905... es 2, ya que e2=7,38905... El
logaritmo de e es 1, ya que e1=e.
Desde el punto de vista del análisis matemático, puede definirse para cualquier número real
positivo x>0 como el área bajo la curva y=1/t entre 1 y x. La sencillez de esta definición es la
que justifica la denominación de «natural» para el logaritmo con esta base concreta.2 Esta
definición puede extenderse a los números complejos.
El logaritmo natural es entonces una función real con dominio de definición los números reales
positivos:
y corresponde a la función inversa de la función exponencial:

30. Logaritmo natural
Gráfica de Logaritmo natural
Definición
Tipo Función real
Descubridor(es) Nikolaus Mercator (1668)1
Dominio
Codominio
Imagen
Propiedades Biyectiva
Cóncava
Estrictamente creciente
Continua
Trascendente
Cálculo infinitesimal
Derivada

31. Función inversa
Límites
Funciones relacionadas Logaritmo
Función exponencial
Origen del término logaritmo natural
Inicialmente, y desde que el sistema decimal se volvió el sistema de numeración más común,
podría parecer que la base 10 fuese más «natural» que la base e. Pero matemáticamente, el
número 10 no es particularmente significativo. Su uso cultural—como base numérica para
muchas sociedades—probablemente surge del típico número de dedos humanos. Otras
culturas basaron sus sistemas de numeración eligiendo diversas bases como 5, 8, 12, 20,
y 60.
loge es el logaritmo «natural» porque automáticamente surge, y aparece más comúnmente, en
matemáticas. Por ejemplo, consideremos el problema de derivar una función logarítmica:9
Si la base b es igual a e, entonces la derivada es simplemente 1/x, y en x = 1 esta
derivada es igual a 1. Otra razón por la cual el logaritmo de base -e- es el más natural es
que puede ser definido muy fácilmente en términos de una integral o por series de
Taylor y esto no sería tan sencillo si el logaritmo fuera de otra base.
Sentidos adicionales de esta naturalidad no hacen uso del cálculo. Como ejemplo,
tenemos un número de series simples relacionadas con el logaritmo natural. Además de
que Pietro Mengoli y Nicholas Mercator lo llamaron logarithmus naturalis unas décadas
antes de que Newton y Leibniz desarrollaran el cálculo.

32. Definición
ln(x) normalmente se representa como el área bajo la curva f(t) = 1/t de 1 hasta x. Si x es menor que
1, el área de x hasta 1 se toma como negativa.
Formalmente, la función ln(x) se define para valores reales positivos, como el área bajo la
gráfica de 1/t entre 1 y x. Esta área corresponde a una integral:
La funciónlogaritmo natural ln:R+→R se define como:
Mediante esta definición es inmediato comprobar que esta función cumple la propiedad
fundamental de todo logaritmo:
,
Demostración
El número para el cual esta función vale 1 resulta ser el número e. Por lo tanto, ln es
el logaritmo con base e, o sea, la función inversa de ex.
Propiedades
El logaritmo natural cumple con las propiedades generales de los logaritmos, así
como las identidades logarítmicas; Aparte de las propiedades generales, se destacan
las siguientes:




33. 

Derivada, serie de Taylor
Los polinomios de Taylor para ln(1 + x) únicamente proporcionan aproximaciones precisas
en el rango −1 < x ≤ 1. Nótese que,para x > 1, los polinomios de Taylor de mayor grado
son pésimas aproximaciones.
La derivada del logaritmo natural viene dada por
Esto se debe a que ln(x) es una integral indefinida de una función continua,
por lo tanto, utilizando el teorema fundamental del cálculo obtenemos que la
primera derivada de ln(x) es igual a 1/x .
El logaritmo natural es una función analítica, por tanto puede representarse
como una serie de Taylor centrada en algún punto de su dominio. Puesto que
la primera derivada del logaritmo natural (1/x) evaluada en cero no existe, su
serie de Taylor suele centrarse en uno, para luego hacer un cambio de
variable y centrarla en cero. De esta manera, se obtiene la serie de Taylor
del logaritmo natural

34. que se conoce como serie de Mercator.
Utilizando la identidad funcional
y sustituyendo en la serie de Taylor del arcotangente
hiperbólico se obtiene la siguiente serie, cuya convergencia es más
rápida que la anterior y es válida para valores positivos de x:
Aplicando una trasformación binomial a la serie de Taylor
se obtiene esta segunda serie, válida para valores x con valor
absoluto mayor que 1:
Nótese que es su propia función inversa, con lo que
para obtener el logaritmo natural de un cierto número y es
suficiente con sustituir en el lugar de x.
Logaritmo neperiano

35. Gráfico del logaritmo neperiano para valores entre 0 y 5·107
.
El término logaritmo neperiano suele referirse informalmente al logaritmo natural, aunque
esencialmente son conceptos distintos. Para más detalles véase logaritmo natural.
En matemáticas, el logaritmo neperiano fue definido por primera vez por John Napier, y es
la función dada (en términos de logaritmos modernos) como:
Puesto que es un cociente de logaritmos, la base del logaritmo escogido es irrelevante.
No es, pues, un logaritmo en ninguna base particular en el sentido moderno del término.
Puede ser reescrito como:
y por lo tanto es una función lineal de un logaritmo en particular, por lo que satisface
identidades muy similares a las modernas.
El logaritmo neperiano está relacionado con el logaritmo natural mediante la relación
y con el logaritmo decimal como
Logaritmo binario

36. Gráfica de
En matemática el logaritmo binario o logaritmo en base 2: es la función
matemática que determina a que valor y hay que elevar 2 para obtener x, es un caso
particular de logaritmos en el que la base es 2.
Esta base tiene su importancia en informática (donde se lo representa comúnmente
como lg n, o ld n que proviene del Latín logarithmus dualis), dada la codificación binaria que
se utiliza. Así por ejemplo con un número determinado de bits, ocho por ejemplo, se puede
codificar una cantidad de información equivalente a , que es el número de
variaciones que se pueden realizar con 0 y 1 en ocho posiciones. El uso del logaritmo binario,
es útil cuando la información a calcular es la contraria: cuantas posiciones binarias y se
necesitarán si se tiene que codificar x datos, direcciones, etc.
Con el ejemplo anterior para codificar 256 direcciones son necesarios
.
El logaritmo binario aparece frecuentemente en el análisis de algoritmos. Si un
número n mayor que 1 es dividido por 2 repetidamente, el número de iteraciones necesitadas
para obtener un valor de al menos 1 es la parte entera del lg n. Esta idea es utilizada en el
análisis de varios algoritmos y estructura de datos. Por ejemplo en la búsqueda binaria, el
tamaño del problema que resolver es dividido en mitades en cada iteración, y por lo tanto se
necesitarán lg n iteraciones para resolver un problema de tamaño n. Similarmente, un árbol
binario de búsqueda que contenga n elementos tiene una altura de lg n+1.
- Logaritmo decimal
Representación geométrica del logaritmo decimal o común en coordenadas cartesianas.

37. En matemáticas, se denomina logaritmo decimal, logaritmo común o logaritmo
vulgar al logaritmo cuya base es 10, por lo tanto, es el exponente al cual hay que elevar 10
(exponenciación) para obtener dicho número. Se suele denotar como log10(x), o a veces
como log(x), aunque esta última notación causa ambigüedades, ya que los matemáticos usan
ese término para referirse al logaritmo complejo. El logaritmo decimal fue desarrollado
por Henry Briggs.
Logaritmo discreto
En álgebra abstracta, se conoce como logaritmo discreto de y en base g, donde g e y son
elementos de un grupo cíclico finito G, a la solución x de la ecuación gx = y. Esto, se puede
denotar matemáticamente como:
Los logaritmos discretos son análogos en teoría de grupos a los logaritmos ordinarios
en análisis. Mientras que el cálculo de su inversa — la exponenciación discreta — es una
tarea muy sencilla en términos computacionales, el cálculo del logaritmo discreto no es
sencillo en muchos grupos. El hecho de que el problema sea «irresoluble» en un tiempo
razonable si se utiliza aritmética modular hace que esto se use en criptografía, en
el método de intercambio de claves de Diffie-Hellman o en el sistema de ElGamal.
Ejemplo
Los Logaritmos discretos son quizás más sencillos de entender en el grupo (Zp)×, o sea el
grupo multiplicativo módulo un primo p.
La k-ésima potencia de uno de los números en este grupo puede ser calculada
encontrando la potencia k-ésima como un entero y luego obteniendo el resto después de
su división por p. Este proceso es llamado Exponenciación modular. Por ejemplo,
considerando (Z17)×, para considerar 34 en este grupo, primero se calcula 34 = 81 y
después se divide 81 entre 17 obteniendo de resto 13. Esto es 34 = 13 en el grupo (Z17)×.
En la práctica se utiliza el método de la exponenciación binaria, reduciendo en cada paso.
El logaritmo discreto es la operación inversa. Por ejemplo, considerando la ecuación 3k ≡
13 (mod 17) para k. Del ejemplo de arriba, una solución es k = 4, pero esta no es la única
solución. Puesto que 316 ≡ 1 (mod 17) — como indica el Pequeño teorema de Fermat —,
se deduce que, si n es un entero, entonces 34+16n ≡ 34 × (316)n ≡ 13 × 1n ≡ 13 (mod 17).
Por lo tanto la ecuación tiene infinitas soluciones de la forma 4 + 16n. Por otra parte, como
16 es el menor número entero positivo m que cumple 3m ≡ 1 (mod 17) (en otras palabras,
16 es el orden de 3 en (Z17)×), estas son las únicas soluciones. Equivalentemente, el
conjunto de todas las posibles soluciones puede ser expresado por la restricción k ≡ 4
(mod 16).
Definición
Sea (G,·) un grupo cíclico finito de orden n — con n elementos —, es
decir, G={e,g,g2,...,gn-1} para cierto elemento g de G. Dado h perteneciente a G existe
un k perteneciente aZ tal que h = gk. Este valor de k es el logaritmo discreto de a en
base g.
Más formalmente, se define:

38. como la función que asigna valores de la siguiente manera:
tal que .
Propiedades
Algunas de las propiedades de esta función son:




Aquí sigue vigente la fórmula del cambio de base de los logaritmos continuos
siempre que c sea otro generador:

Algoritmos
No se conocen algoritmos clásicos para la computación de un algoritmo discretos
logb g. Un algoritmo es elevar b a sucesivas potencias k hasta encontrar la
deseada g. Este algoritmo requiere una complejidad temporal lineal respecto del
tamaño del grupo G y, por lo tanto, exponencial respecto del número de dígitos en
el tamaño del grupo. Existe un algoritmo cuántico eficiente debido a Peter Shor.
Existen algoritmos más sofisticados, normalmente inspirados por algoritmos
similares para la factorización de enteros. Estos algoritmos funcionan más rápido
que el algoritmo anterior. Algunos de ellos en un tiempo lineal respecto de la raíz
cuadrada del tamaño del grupo y, por lo tanto, exponencial respecto de la mitad
del número de dígitos del tamaño del grupo. Sin embargo, ninguno corre en
un Tiempo polinómico (en el número de dígitos del tamaño del grupo). Algunos de
los algoritmos funcionan para cualquier grupo, mientras otros sólo pueden ser
utilizados para ciertos grupos concretos.
 Baby-step giant-step ó algoritmo de Shanks
 Algoritmo rho de Pollard para logaritmo discreto
 Algoritmo del canguro de Pollard
 Algoritmo Pohlig–Hellman
 Algoritmo de cálculo de índices
Comparación con la factorización de enteros
Si bien los problema del cálculo de logaritmos discretos y el de factorización de
enteros son distintos, comparten algunas propiedades:

39.  ambos problemas son difíciles
 para ambos se conocen algoritmos eficientes en ordenadores cuánticos,
 algoritmos para un problema a menudo se adaptan al otro, y
 la dificultad de ambos problemas se ha utilizado para construir varios
sistemas criptográficos.