1. TURUNAN
1

2. 4.1 Konsep Turunan
4.1.1 Turunan di satu titik
Pendahuluan ( dua masalah dalam satu tema )
a. Garis Singgung
Kemiringan tali busur PQ adalah :
Q
f(x)
f ( x ) − f (c )
mPQ = f(x)-f(c)
x−c
f(c) P
Jika x  c , maka tali busur PQ akan
berubah menjadi garis singgung di ttk P x-c
dgn kemiringan c x
f(x) − f(c)
m = lim
x→ c x−c
2

3. • b. Kecepatan Sesaat
Misal sebuah benda bergerak sepanjang garis koordinat sehingga
posisinya setiap saat diberikan oleh s = f(t). Pada saat t = c benda
berada di f(c) dan saat t = c + h benda berada di f(c+h).
Perubahan waktu Perubahan
posisi
c
f(c)
c+h
f(c+h)
s
• Sehingga kecepatan rata-rata pada selang waktu [c,c+h] adalah
f ( c + h ) − f (c )
vrata − rata =
h
3

4. Jika h 0, diperoleh kecepatan sesaat di x = c :
f (c + h ) − f ( c )
v = lim v rata − rata = lim
h→ 0 h→ 0 h
Misal x = c + h, bentuk diatas dapat dituliskan dalam bentuk
f(x) − f(c)
v = lim
x →c x −c
Dari dua bentuk diatas : kemiringan garis singgung dan kecepatan
sesaat terlihat bahwa dua masalah tersebut berada dalam satu tema,
yaitu turunan
Definisi 4.1 : Turunan pertama fungsi f di titik x = c, notasi didefinisikan
sebagai berikut: f ' (c )
f(x) − f(c)
bila limit diatas ada f ' (c) = lim
x→ c x−c
4

5. Notasi lain :
df (c)
, y' (c)
dx
1
Contoh : Diketahui f ( x ) = tentukan f ' (3)
x
1 1
−
f(x) − f( 3 )
f'( 3 ) = lim = lim x
x→ x −
3
x →3 x −3 3 3
3− x − ( x − 3)
= lim = lim
x →3 3 x(x − 3 )
x →3 3 x(x − 3 )
−1 1
= lim =−
x→ 3x
3 9
MA1114 Kalkulus I 5

6. 4.1.2 Turunan Sepihak
Turunan kiri dari fungsi f di titik c, didefinisikan sebagai :
f ( x ) − f (c )
f −' (c) = lim
x →c−
x−c
Turunan kanan dari fungsi f di titik c, didefinisikan sebagai :
f(x) − f(c)
f +' (c) = lim
x →c+
x−c
bila limit ini ada.
Fungsi f dikatakan mempunyai turunan(diferensiabel) di c atau f ' (c )
ada, jika
' '
f − ( c ) = f + ( c ) dan f ' ( c ) = f _ ( c ) = f +' ( c )
'
sebaliknya f dikatakan tidak mempunyai turunan di c.
MA1114 Kalkulus I 6

7. x2 − x + 3 , x < 1
Contoh : Diketahui f ( x) = 
1 + 2 x , x ≥ 1
Selidiki apakah f(x) diferensiabel di x=1
Jika ya, tentukan f ' (1)
Jawab :
f ( x ) − f (1) x 2 − x + 3 − (1 + 2 1 )
a. f −' ( 1 ) = lim = lim
x→ 1− x−1 x →1 x −1
x2 −x x( x − 1 )
= lim = lim =1
x → x −1
1 x →1 x −1
f ( x ) − f (1 ) 1 + 2 x − (1 + 2 1 )
b. f +' ( 1 ) = lim = lim
x → 1+ x−1 x →1 x −1
2 x − 2 = 2 lim x −1
= lim =1
x→ 1 x −1 x → 1 ( x − 1 )( x + 1 )
Jadi, f diferensiabel di x=1. dan f ' (1) = 1.
MA1114 Kalkulus I 7

8. – Teorema 4.1 Jika f diferensiabel di c f kontinu di c.
– Bukti : Yang perlu ditunjukkan adalah
lim f ( x) = f (c)
x→c
f ( x ) − f (c )
– Perhatikan bahwa f ( x) = f (c) + .( x − c) , x ≠ c
x−c
– Maka
 f ( x ) − f (c ) 
lim f ( x) = lim  f (c) + ( x − c)
x →c x →c
 x−c 
f ( x ) − f (c )
= lim f (c) + lim . lim( x − c)
x →c x →c x−c x →c
= f (c) + f ' (c).0 = f(c). Terbukti.
– Sifat tersebut tidak berlaku sebaliknya. Artinya, Jika f kontinu di c,
maka belum tentu f diferensiabel di c. Hal ini, ditunjukkan oleh
contoh berikut.
MA1114 Kalkulus I 8

9. Contoh Tunjukkan bahwa f ( x ) = | x | kontinu di x = 0
tetapi tidak diferensiabel di x = 0
Jawab
Akan ditunjukkan bahwa f(x)=|x| kontinu di x=0
 x , x≥0
f ( x) =| x |= 
− x , x < 0
 f(0) = 0
 lim f ( x ) = lim x = 0
x →0 + x →0
lim f ( x) = 0
x→ 0
lim f ( x ) = lim ( − x ) = 0
x →0 − x→ 0
 lim f ( x ) = f (0)
x →0
f kontinu di x=0
MA1114 Kalkulus I 9

10. Selidiki apakah f terdiferensialkan di x=0
' f ( x )− f (0) −x − 0 −x
f− ( 0 ) = lim = lim = lim = −1
x→ 0 − x−0 x→ 0 x x→ 0 x
' f ( x )− f (0) x− 0 x
f + ( 0 ) = lim = lim = lim = 1.
x→ 0+ x−0 x →0 x x →0 x
Karena − 1 = f −' (0) ≠ f +' (0) = 1
maka f tidak diferensiabel di 0.
MA1114 Kalkulus I 10

11. Contoh: Tentukan konstanta a dan b agar fungsi f(x) berikut
diferensiabel di x=1 ;
 x2 + b , x < 1
f ( x) = 
 ax , x ≥ 1
Jawab : Agar f(x) terdiferensialkan di x = 1, haruslah
a. f kontinu di x = 1 (syarat perlu)
b. Turunan kiri = turunan kanan di x = 1 (syarat cukup)
f kontinu di x = 1 jika f kontinu kiri dan kontinu kanan di x = 1 atau
f (1) = lim f ( x) = lim f ( x).
− +
x →1 x →1
a = lim x 2 + b = lim ax ⇔ a = 1 + b = a ⇔ b = a − 1
x →1 x →1
MA1114 Kalkulus I 11

12. f ( x) − f (1) = lim x 2 +b − a
f −' (1) = lim−
x→ 1 x−1 x→ 1 x −1
x 2 + ( a −1 ) − a x 2 −1
= lim = lim
x→ 1 x −1 x→ x −
1 1
( x −1 )( x +1 )
= lim = lim x + 1 = 2
x→1 x −1 x →1
f ( x) − f (1) ax − a x −1
f (1) = lim+
+
'
= lim = a lim =a
x→ 1 x−1 x → x −1
1 x→1 x −1
f −' (1) = f +' (1) ⇒ a = 2
Maka diperoleh : a = 2 dan b = 1.
MA1114 Kalkulus I 12

13. Soal Latihan
Tentukan nilai a dan b agar fungsi berikut diferensiabel
di titik yang diberikan.
 ax − b ; x < 2
1. f ( x ) =  2 x 2 − 1 ; x ≥ 2 , x=2

 x2 − 1 ; x < 3

2. f ( x ) =  , x=3
 2 ax + b ; x ≥ 3

3.  a x + 3 ;0 ≤ x < 1
f (x ) =  2 ,x=1
 x − bx ; x ≥ 1

MA1114 Kalkulus I 13

14. 4.2 Aturan Pencarian Turunan
• Fungsi Turunan Pertama
• Definisi 4.2 Misalkan f (x) terdefinisi pada selang I. Fungsi turunan
pertama dari f, ditulis f ' ( x ) didefinisikan sebagai
,
f (t ) − f ( x)
f '( x) = lim , ∀x ∈Ι
t→x t−x
• atau jika h=t-x
f ( x + h) − f ( x )
f '( x) = lim , ∀ x∈Ι
h →0 h
bila limitnya ada.
dy df ( x)
• Notasi lain y ', , , Dx y, Dx f ( x) , bentukdy dikenal
dx dx dx
sebagai notasi Leibniz.
MA1114 Kalkulus I 14

15. • Dengan menggunakan definisi tersebut dapat diturunkan aturan
untuk mencari turunan sebagai berikut :
1. Jika f (x)=k, maka f ' ( x) = 0
2.
d xr( ) = r x r −1 ; r ∈ R
dx
3. d ( f(x) ± g(x))
= f ' (x) ± g ' (x)
dx
d ( f ( x) g ( x) )
4. = f ' ( x) g ( x) + f ( x) g ' ( x)
dx
d ( f ( x ) g ( x ) ) f ' ( x) g ( x) − f ( x) g ' ( x)
5. = ≠
dengan g(x) 0.
dx g 2 ( x)
MA1114 Kalkulus I 15

16. Bukti aturan ke-4
Misal h(x) = f(x)g(x)
h( x + h) − h( x ) = lim
f ( x + h ) g ( x + h) − f ( x ) g ( x )
h' ( x) = lim
h→ 0 h h→ 0 h
f ( x + h) g ( x + h) − f ( x + h) g ( x ) + f ( x + h) g ( x ) − f ( x ) g ( x )
= lim
h→ 0 h
 g ( x + h) − g ( x ) f ( x + h) − f ( x ) 
= lim  f ( x + h) + g ( x + h) 
h→ 0
 h h 
g ( x + h) − g ( x ) f ( x + h) − f ( x )
= lim f ( x + h) lim + lim g ( x + h) lim
h→ 0 h→ 0 h h→ 0 h→ 0 h
= f ( x) g ' ( x) + g ( x) f ' ( x)
= f ' ( x) g ( x) + f ( x) g ' ( x)
MA1114 Kalkulus I 16

17. Contoh
1. Tentukan turunan pertama dari f ( x) = x + 3x + 4
3 2
Jawab :
f ' ( x) = 3 x 2 + 3.2 x + 0 = 3 x 2 + 6 x
2. Tentukan turunan pertama dari f ( x) = ( x 3 + 1)( x 2 + 2 x + 3)
Jawab :
f ' ( x) = 3 x 2 ( x 2 + 2 x + 3) + ( x 3 + 1)(2 x + 2)
= 3x 4 + 6 x 3 + 9 x 2 + 2 x 4 + 2 x 3 + 2 x + 2
= 5x 4 + 8x3 + 9 x 2 + 2 x + 2
x+3
3.Tentukan turunan pertama dari f ( x) = 2
Jawab : x +1
1.( x 2 + 1 ) − 2 x( x + 3 ) x2 +1 − 6x − 2x2 − x 2 − 6x +1
f' ( x) = = = .
2 2
2
( x +1 ) 2 2
( x +1) 2 ( x +1)
MA1114 Kalkulus I 17

18. Soal Latihan
Tentukan fungsi turunan pertama dari
1. f ( x) = x 1 / 2 + 3 x 2 + 1
2. f ( x) = ( x + 1) ( x 3 + 2 x + 1)
x +1
3. f ( x) =
x −1
x
4. f ( x) =
x2 − 1
x2 − 1
5. f ( x) = 2
x +1
MA1114 Kalkulus I 18

19. 4.3 Turunan Fungsi Sinus dan Cosinus
a. f ( x) = sin x → f ' ( x) = cos x
b. f ( x) = cos x → f ' ( x) = − sin x
Bukti:
a. Misal f(x) = sin x maka
t + x t − x
2 cos  sin 
sint −sin x  2   2 
f ' ( x ) = lim = lim
t→x t −x t →x t−x
t−x
sin( )
t+x 2
= lim cos( ). lim
t →x 2 t − x →0 t−x
2 ( )
2
= cos x.1 = cos x.
MA1114 Kalkulus I 19

20. b. Misal f(x) = cos x maka
cos( x + h) − cos x = lim cos x cosh − sin x sinh − cos x
f ' ( x) = lim
h →0 h h→ 0 h
h
cos x(− sin 2 )
cos x(cosh − 1) − sin x sinh = lim 2 − sin x sinh
= lim h→ 0 h h
h→ 0 h
h 2
cos x (− sin 2 )h  sin(h / 2)  h sinh
= lim( 2 − sin x sinh ) = cos x lim −   − sin x lim
h→ 0 ( h / 2) 2 4 h
( h / 2 )→ 0
 h/2  4 h→ 0 h
= cos x .0 − sin x = − sin x
MA1114 Kalkulus I 20

21. Untuk turunan fungsi trigonometri yang lain dapat diperoleh dengan
menerapkan rumus perhitungan turunan, khususnya turunan bentuk u/v
d ( tan x ) d ( sin x cos x ) = cos 2 x + sin 2 x =
1
= sec 2 x
c. = cos 2 x cos 2 x
dx dx
d ( cot x ) d ( cos x sin x ) − sin 2 x − cos 2 x −1
d. = = = = − csc 2 x
dx dx sin 2 x sin 2 x
d ( sec x ) d ( 1cos x ) = sin x sin x 1
e. = = = tan x sec x
dx dx cos 2 x cos x cos x
d ( csc x ) d ( 1sin x ) = − cos x = − cos x 1 = − csc x cot x
f. = sin 2 x sin x sin x
dx dx
MA1114 Kalkulus I 21

22. 4.4 Aturan Rantai
dy du
• Andaikan y = f(u) dan u = g(x). Jika dan ada ,
maka du dx
dy dy du
=
dx du dx
dy
dari y = sin( x + 1)
2
Contoh : Tentukan
dx
Jawab :
Misal u = x 2 + 1 sehingga bentuk diatas menjadi y = sin u
Karena dy dan du
= cos u = 2x
du dx
maka
dy
= cos( x 2 + 1) 2 x = 2 x cos( x 2 + 1)
dx
MA1114 Kalkulus I 22

23. dy du dv
Jika y = f(u), u = g(v), v = h(x), dan , , Ada, maka
du dv dx
dy dy du dv
=
dx du dv dx
dy
dari y = Sin ( x + 5)
4 3
Contoh : Tentukan
dx
Jawab :
dv
Misal v= x +53
→ dx
= 3 x2
u = Sin v → du
= cos v = cos( x 3 + 5)
dv
y = u4 → dy
= 4 u 3 = 4Sin 3 ( x 3 + 5)
sehingga du
dy dy du dv
= . . = 12 x 2 Sin 3 ( x 3 + 5) Cos( x 3 + 5)
dx du dv dx
MA1114 Kalkulus I 23

24. • Contoh : Tentukan
d
2
f ' ( x ) jika ( f ( x 2 )) = x 2 + 1, x ≠ 0
dx
jawab :
d
dx
( f ( x 2 )) = x 2 + 1 ⇔ f ' ( x 2 ).2 x = x 2 + 1
x2 + 1
⇔ f '(x ) =
2
2x
MA1114 Kalkulus I 24

25. Soal Latihan
Tentukan fungsi turunan pertama dari
2
x − 2x + 5
1. y= 2 Tentukan f' (cos(x )), 2
x + 2x − 3
d(f(cos(x 2 ))
= ( 2 x − 3)
10
2. y = ( 2 x − 3) 10 jika dx
3. y = sin 3 x
4.
(
y = cos 4 4 x 2 − x )
2
 x + 1
5. y= 
 x − 1
6. y = sin x tan [ x2 + 1 ]
MA1114 Kalkulus I 25

26. 4.5 Turunan Tingkat Tinggi
• Turunan ke-n didapatkan dari penurunan turunan ke-(n-1).
f (n)
( x) =
dx
( f ( x) )
d ( n −1)
df ( x)
• Turunan pertama f ' (x) =
dx
d f ( x)
2
• Turunan kedua f " ( x) =
dx 2
d 3 f ( x)
• Turunan ketiga f " ' ( x) =
dx 3
d f ( x) n
• Turunan ke-n f ( n ) ( x) =
dx n
• Contoh : Tentukan y ' ' dari y = 4 x 3 + sin x
• Jawab :
y ' = 12 x 2 + cos x maka y' ' = 24 x − sin x
MA1114 Kalkulus I 26

27. Soal Latihan
A. Tentukan turunan kedua dari
1. y = sin ( 2 x − 1)
4
2. y = ( 2 x − 3)
x
3. y=
x+1
4. y = cos2 ( π x)
B. Tentukan nilai c sehingga f "( c) = 0 bila f ( x ) = x 3 + 3 x 2 − 45 x − 6
2
C. Tentukan nilai a, b dan c dari g ( x ) = ax + b x + c bila g (1) = 5,
g ' (1) = 3 dan g ' ' (1) = − 4
MA1114 Kalkulus I 27

28. 4.6 Turunan Fungsi Implisit
• Jika hubungan antara y dan x dapat dituliskan dalam bentuk
y = f(x) maka y disebut fungsi eksplisit dari x, yaitu antara
peubah bebas dan tak bebasnya dituliskan dalam ruas yang
berbeda. Bila tidak demikian maka dikatakan y fungsi
implisit dari x.
Contoh :
1. x 3 y 2 + x 2 + y = 10
2. sin( xy ) + x 2 = y 2 + 1
• Untuk menentukan turunan dari bentuk implisit digunakan
aturan rantai dan anggap y fungsi dari x.
MA1114 Kalkulus I 28

29. Tentukan dy/dx dari bentuk implisit berikut
1. x 3 y 2 + x 2 + y = 10 2. sin( xy ) + x 2 = y 2 + 1
Jawab
1. Dx ( x 3 y 2 + x 2 + y ) = Dx (10)
D x ( x 3 y 2 ) + D x ( x 2 ) + D x ( y ) = D x (10)
(3 x 2 y 2 + 2 x 3 y y ' ) + 2 x + y ' = 0
(2 x 3 y + 1) y ' = − 2 x − 3x 2 y 2
− 2 x − 3x 2 y 2
y' =
2x 3 y + 1
2. Dx ( sin( xy ) + x 2 ) = Dx ( y 2 + 1)
cos( xy ) ( y + xy ' ) + 2 x = 2 yy '+ 0
( x cos( xy ) − 2 y ) y ' = − 2 x − y cos( xy )
− 2 x − y cos( xy )
y' =
x cos( xy ) − 2 y
MA1114 Kalkulus I 29

30. Soal Latihan
'
Tentukan turunan pertama ( y ) dari bentuk implisit
1. x 3 − 3x 2 y + y2 = 0
2. y + sin ( xy) = 1
3. tan ( x y ) - 2 y = 0
4. x 2 sin( xy ) + y = x
MA1114 Kalkulus I 30

31. 4.7 Garis singgung dan garis normal
• Persamaan garis singgung fungsi y = f(x) di titik (x0,y0)
dengan kemiringan m adalah
y – y0 = m( x – x0 ).
• Garis yang tegak lurus dengan garis singgung disebut
dengan garis normal.
• Persamaan garis normal di titik (x0,y0) adalah
1
y − y0 = − ( x − x0 ).
m
MA1114 Kalkulus I 31

32. Contoh: Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal
y = x3 − 2 x 2 + 6
fungsi di (2,6).
Jawab :
y ' = 3 x 2 − 4 x → y ' (2,6) = 3.2 2 − 4.2 = 4
Sehingga persamaan garis singgung di titik (2,6) :
y − 6 = 4( x − 2)
y = 4x − 2
Persamaan garis normal dititik (2,6) :
1 1 1
y − 6 = − ( x − 2) ⇔ y − 6 = − x +
4 4 2
1 13
y =− x+ .
4 2
MA1114 Kalkulus I 32

33. Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal pada kurva
x 2 y 2 − xy − 6 = 0 di titik dengan absis( x) = 1
Jawab :
Jika disubstitusikan nilai x = 1 pada persamaan kurva diperoleh
y2 − y − 6 = 0 ⇔ ( y − 3)( y + 2) = 0 y = 3 dan y = -2
Sehingga diperoleh titik dimana akan ditentukan persamaan garis
singgung dan garis normalnya adalah (1,3) dan (1,-2)
Hitung terlebih dahulu y ' dengan menggunakan turunan fungsi implisit
Dx ( x 2 y 2 − xy − 6) = Dx (0) ⇔ 2 xy 2 + 2 x 2 yy '− ( y + xy ' ) − 0 = 0
2 xy 2 + 2 x 2 yy '− y − xy ' = 0
MA1114 Kalkulus I 33

34. y − 2 xy 2
(2 x y − x) y ' = y − 2 xy
2 2
⇒ y' = 2
2x y − x
Di titik (1,3)
3 − 2.1.9 − 15
y ' |(1,3) = = = −3
2.1.3 − 1 5
Persamaan garis singgung
y − 3 = − 3( x − 1) = − 3x + 3
3x + y = 6
Persamaan garis normal
1 1 1
y − 3 = ( x − 1) = x −
3 3 3
x − 3 y = −8
MA1114 Kalkulus I 34

35. Di titik (1,-2)
− 2 − 2.1.4 − 10
y ' |(1, −2) = = =2
2.1.(− 2) − 1 − 5
Persamaan garis singgung
y + 2 = 2( x − 1) = 2 x − 2
2x − y = 4
Persamaan garis normal
1 1 1
y + 2 = − ( x − 1) = − x +
2 2 2
x + 2 y = −3
MA1114 Kalkulus I 35

36. 4.8 Diferensial dan Hampiran
• 4.8.1 Diferensial
f ( x + ∆x) − f ( x) ∆y
• Jika f ' ( x)ada, maka f ' ( x) = lim = lim
∆x → 0 ∆x ∆x → 0 ∆x
Q
T
.
P
x
x x + ∆x
∆y
Untuk ∆x sangat kecil , maka mPQ = mPT yakni ≈ f ' ( x) , ∆y ≈ f ' ( x)∆x
,
∆x
• Definisi 4.4 Jika y = f (x) diferensiabel di x, maka
Diferensial dari x , dinyatakan dengan dx, adalah dx = ∆x
Diferensial dari y , dinyatakan dengan dy, adalah dy = f ' ( x)dx
MA1114 Kalkulus I 36

37. 4.8.2 Hampiran
• Perhatikan kembali gambar sebelumnya,
• Misalkan y= f (x) diferensiabel di interval I yang memuat x dan x + ∆x. Jika x
ditambah ∆x, maka y bertambah sepadan dengan ∆y yang dapat dihampiri oleh
dy .
• Jadi , f ( x + ∆x ) ≈ f ( x ) + dy = f ( x ) + f ' ( x(*) x
)∆
3
• Contoh : Hampiri 28
1 1
• Jawab : Pandang, f ( x) = x ⇒ f (27) = 27 = 3 27 = 3
3 3
2 2 2
1 −3 1 − 1 3 −3 1
f ' ( x) = x ⇒ f ' (27) = (27) = (3 ) =
3
3 3 3 27
Dengan pers (*)
1
f ( 28) ≈ f ( 27) + f ' (27)(28 − 27) = 3 .
MA1114 Kalkulus I
27 37

38. Soal Latihan
1. Diketahui kurva yang dinyatakan secara implisit
y + sin ( xy) = 1
Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal di (π ,1)
2. Gunakan diferensial untuk menghampiri
a. 10
b. 33
3. Jika diketahui f ' (0) = 2 , g (0) = 0 , g ' (0) = 3 tentukan ( f  g )' (0).
MA1114 Kalkulus I 38