Programación Lineal, Investigación de Operaciones

1. INVESTIGACIÓN OPERATIVA
UNIVERSIDAD NACIONAL
“SAN AGUSTIN” - AREQUIPA
Augusto JAVES SANCHEZ
Lic. Administración
Maestría en Gestión Estratégica de Organizaciones
Doctorado en Administración
EXPOSITOR
http://www.facebook.com/cursospara.emprendedores?sk=notes
http://cursosparaemprendedores.blogspot.com/p/tesis.html
2
PROGRAMACIÓN LINEAL Formulación matemática del problema

2. TEXTO BASE:
2. IO - Programación Lineal

3. Programación Lineal
Un modelo de programación lineal busca maximizar o minimizar una función lineal, sujeta a un conjunto de restricciones lineales.
Un modelo de programación lineal esta compuesto de lo siguiente:
* Un conjunto de variables de decisión
* Una función objetivo
* Un conjunto de restricciones

4. PROGRAMACIÓN LINEAL
Es un método matemático que se emplea para resolver problemas de optimización. En palabras simples la P.L. busca asignar recursos limitados, entre actividades que compiten, de la forma mas óptima posible.
Supuestos de la P.L.
•Proporcionalidad
•Aditividad
•Divisibilidad
•Certidumbre
•Objetivo único
•No negatividad

5. PROGRAMACIÓN LINEAL
FORMULACION MATEMATICAMETODO GRAFICOMETODO ALGEBRAICO(SIMPLEX) PROBLEMA GENERALPROBLEMAS DE TRANSPORTEPROBLEMAS DE ASIGNACIÓNPROBLEMAS ESPECIALESPROGRAMACION LINEAL

6. La importancia de la programación lineal:
•Ciertos problemas se describen fácilmente a través de la programación lineal.
•Muchos problemas pueden aproximarse a modelos lineales.
•La salida generada por el programa que resuelve el modelo de programación lineal entrega información útil para responder nuevas condiciones sobre el “qué pasa si”.

7. 7

8. Formulación matemática básica
en un problema de I.O. (PL)
Ejemplo: Una multinacional minera extrae un tipo de mineral de dos minas diferentes, el cuales es sometido a un proceso de trituración, con tres grados: alto , medio y bajo. La compañía han firmado un contrato para proveer de mineral a una planta de fundición, cada semana, 12 toneladas de mineral de grado alto, 8 toneladas de grado medio y 24 toneladas de grado bajo. Cada una de las minas tiene diferentes procesos de fabricación.
Mina Costo por día (miles de Euros) Producción(toneladas/día)
Alto Medio Bajo
X 180 6 3 4
Y 160 1 1 6
¿Cuántos días a la semana debería operar cada mina para cumplir el contrato con la planta de fundición con el que se comprometió la multinacional?

9. Es necesario buscar una solución que minimice el costo de producción global de la empresa, sujeta a las restricciones impuestas por los proceso productivos asociados a cada mina así como el contrato con la planta de fundición. Traducción del problema en términos matemáticos
1.definir las variables
2.las restricciones
3.el objetivo
Formulación matemática básica en un problema de I.O. (PL)

10. Variables
Representan las decisiones que puede tomar la empresa:
Dx = número de días a la semana que la mina X produce
Dy= número de días a la semana que la mina Y produce
Notar que Dx0 y Dy0
Restricciones
Se recomienda primero plantear las restricciones con palabras antes de pasar a su formulación matemática.
Restricción 1. refleja el balance entre las limitaciones productivas de la fábrica y el contrato con la plante de fundición
Grado
Alto 6Dx+1Dy12
Medio 3Dx+1Dy8
Bajo 4Dx+6Dy24
Restricción 2. días de trabajo disponibles a la semana
Dx5 y Dy5
Objetivo Como objetivo buscamos minimizar el costo 180Dx+160Dy
Formulación matemática básica
en un problema de I.O. (PL)

11. La representación completa del problema tomaría la siguiente forma:
Minimizar 180Dx+160Dy
s.a.
6Dx+1Dy12
3Dx+1Dy8
4Dx+6Dy24
Dx5, Dy5
Dx0, Dy0
Formulación matemática básica
en un problema de I.O. (PL)

12. PROGRAMACIÓN LINEAL Construcción de modelos
PROBLEMA DE LA MEZCLA DE PRODUCTOS Una compañía fabrica dos tipos de componentes electrónicos: transistores y bobinas. Cada transistor requiere un minuto de tiempo en el departamento de ensamble, dos minutos de tiempo en el departamento de Control de Calidad y un minuto de tiempo en empaque. Cada bobina requiere dos minutos de tiempo en ensamble, un minuto de tiempo en Control de Calidad y dos minutos en empaque. Existe un total de 300 minutos en Ensamble, 400 minutos en C. Calidad y 400 minutos en Empaque disponibles cada día. Tanto los transistores como las bobinas contribuyen en un dólar a la utilidad. La compañía desea determinar la mezcla de productos optima que maximice la utilidad total.

13. PROGRAMACIÓN LINEAL Construcción de modelos
Solución:
Formulación
Paso 1: Identificar el objetivo (meta) a optimizar
Maximizar las utilidades de la compañía (U).{dólares/día}
Paso 2: Identificar las variables de decisión que se desea determinar
X….Cantidad de transistores a fabricar por día {unds./día}
Y….Cantidad de bobinas a fabricar por día {unds./día}
Paso 3: Identificar las restricciones del modelo
R1) Tiempo disponible en el depto. de Ensamble por día 300 min.
R2) Tiempo disponible en el depto. de C. Calidad por día de 400 min.
R3) Tiempo disponible en el depto. de Empaque por día de 400 min.
R4) No Negatividad.

14. PROGRAMACIÓN LINEAL Construcción de modelos
Paso 4: Construcción del modelo matemático
F.Objetivo
MAX { U = X + Y }
Sujeto a :
R1) X + 2Y  300
R2) 2X + Y  400
R3) X + 2Y  400
R4) X , Y  0

15. 8
Métodos de Resolución
Método Gráfico Empleado principalmente para PPL con dos variables de decisión. Este método se basa en la idea de obtener regiones de soluciones factibles (RSF), en las cuales se encontraría la combinación de variables de decisión que optimizan el modelo.
Método Algebraico (SIMPLEX) Empleado principalmente para PPL con más de dos variables de decisión. Este método se desarrollo con base en el método gráfico y corresponde a un sistema heurístico, por lo cual requiere de una solución inicial factible para empezar a funcionar.

16. Problemas típicos
•Problema del transporte
•Problema de flujo con coste mínimo en red
•Problema de asignación
•Problema de la mochila (knapsack)
•Problema del emparejamiento (matching)
•Problema del recubrimiento (set-covering)
•Problema del empaquetado (set-packing)
•Problema de partición (set-partitioning)
•Problema del coste fijo (fixed-charge)
•Problema del viajante (TSP)
•Problema de rutas óptimas

17. Algunas reflexiones
•Hemos pasado de la definición del problema a su formulación matemática.
•Error de especificación, el error más frecuente consiste en descuidar las limitaciones (restricciones, características de las variables, etc,) En el ejemplo anterior:
a)Todas las variables son continuas (admitimos fracciones de día)
b)Existe un único objetivo (minimizar los costes)
c)El objetivo y las restricciones son lineales Las tres consideraciones anteriores nos llevan a lo que denominamos un problema de Programación Lineal PL

18. Algunas reflexiones
El ejercicio anterior plantea un PROBLEMA DE DECISIÓN
Se ha tomado una situación real y se ha construido su equivalente matemático MODELO MATEMÁTICO
Durante la formulación del modelo matemático se considera el método cuantitativo que (esperanzadamente) nos permitirá resolver el modelo numéricamente ALGORITMO
El algoritmo es un conjunto de instrucciones que siguiendo de manera gradual producen una solución numérica
Otra definición de I.O. Ciencia para la representación de problemas reales mediante modelos matemáticos que junto con métodos cuantitativos nos permiten obtener una solución numérica a los mismos

19. Dificultades
Dificultades de este tipo de enfoques:
•Identificación del problema (debemos ignorar partes o tratar el problema entero).
•Elección del modelo matemático adecuado así como el algoritmo adecuado para resolverlo (validación del algoritmo).
•Dificultades en la implementación.
•Velocidad (costes) que supone llegar a una solución.
•Calidad de la solución.
•Consistencia de la solución.

20. Cada muñeco:
• Produce un beneficio neto de 3 €.
• Requiere 2 horas de trabajo de acabado.
• Requiere 1 hora de trabajo de carpinteria. Cada tren:
• Produce un beneficio neto de 2 €.
• Requiere 1 hora de trabajo de acabado.
• Requiere 1 hora trabajo de carpinteria.
Ejemplo desarrollado
Gepetto S.L., manufactura muñecos y trenes de madera.
Cada semana Gepetto puede disponer de:
• Todo el material que necesite.
• Solamente 100 horas de acabado.
• Solamente 80 horas de carpinteria. También:
• La demanda de trenes puede ser cualquiera (sin límite).
• La demanda de muñecos es como mucho 40.
Gepetto quiere maximizar sus beneficios.
¿Cuántos muñecos y cuántos trenes debe fabricar?

21. Variables de Decisión x = nº de muñecos producidos a la semana y = nº de trenes producidos a la semana
Función Objetivo. En cualquier PPL, la decisión a tomar es como maximizar (normalmente el beneficio) o minimizar (el coste) de alguna función de las variables de decisión. Esta función a maximizar o minimizar se llama función objetivo.
Max z = 3x + 2y
El objetivo de Gepetto es elegir valores de x e y para maximizar 3x + 2y. Usaremos la variable z para denotar el valor de la función objetivo. La función objetivo de Gepetto es:
Este problema es un ejemplo típico de un problema de programación lineal (PPL).
Restricciones Son desigualdades que limitan los posibles valores de las variables de decisión. En este problema las restricciones vienen dadas por la disponibilidad de horas de acabado y carpintería y por la demanda de muñecos. También suele haber restricciones de signo o no negatividad: x ≥ 0 y ≥ 0

22. Restricción 1: no más de 100 horas de tiempo de acabado pueden ser usadas. Restricción 2: no más de 80 horas de tiempo de carpinteria pueden ser usadas. Restricción 3: limitación de demanda, no deben fabricarse más de 40 muñecos.
Estas tres restricciones pueden expresarse matematicamente por las siguientes desigualdades:
Restricción 1: 2 x + y ≤ 100 Restricción 2: x + y ≤ 80 Restricción 3: x ≤ 40
Cuando x e y crecen, la función objetivo de Gepetto también crece. Pero no puede crecer indefinidamente porque, para Gepetto, los valores de x e y están limitados por las siguientes tres restricciones:
Restricciones
Además, tenemos las restricciones de signo: x ≥ 0 e y ≥ 0

23. x ≥ 0 (restricción de signo) y ≥ 0 (restricción de signo)
Muñeco
Tren
Beneficio
3
2
Acabado
2
1
≤ 100
Carpintería
1
1
≤ 80
Demanda
≤ 40
Formulación matemática del PPL
Max z = 3x + 2y (función objetivo)
2 x + y ≤ 100 (acabado)
x + y ≤ 80 (carpinteria)
x ≤ 40 (demanda muñecos)
Variables de Decisión x = nº de muñecos producidos a la semana y = nº de trenes producidos a la semana

24. Max z = 3x + 2y (función objetivo) Sujeto a (s.a:) 2 x + y ≤ 100 (restricción de acabado) x + y ≤ 80 (restricción de carpinteria) x ≤ 40 (restricción de demanda de muñecos) x ≥ 0 (restricción de signo) y ≥ 0 (restricción de signo)
Para el problema de Gepetto, combinando las restricciones de signo x ≥ 0 e y ≥ 0 con la función objetivo y las restricciones, tenemos el siguiente modelo de optimización:
Formulación matemática del PPL

25. Región factible
x = 40 e y = 20 está en la región factible porque satisfacen todas las restricciones de Gepetto.
Sin embargo, x = 15, y = 70 no está en la región factible porque este punto no satisface la restricción de carpinteria
[15 + 70 > 80].
Restricciones de Gepetto 2x + y ≤ 100 (restricción finalizado) x + y ≤ 80 (restricción carpintería) x ≤ 40 (restricción demanda) x ≥ 0 (restricción signo) y ≥ 0 (restricción signo)
La región factible de un PPL es el conjunto de todos los puntos que satisfacen todas las restricciones. Es la región del plano delimitada por el sistema de desigualdades que forman las restricciones.

26. Solución óptima
La mayoría de PPL tienen solamente una solución óptima. Sin embargo, algunos PPL no tienen solución óptima, y otros PPL tienen un número infinito de soluciones. Más adelante veremos que la solución del PPL de Gepetto es x = 20 e y = 60. Esta solución da un valor de la función objetivo de:
z = 3x + 2y = 3·20 + 2·60 = 180 €
Cuando decimos que x = 20 e y = 60 es la solución óptima, estamos diciendo que, en ningún punto en la región factible, la función objetivo tiene un valor (beneficio) superior a 180.
Para un problema de maximización, una solución óptima es un punto en la región factible en el cual la función objetivo tiene un valor máximo. Para un problema de minimización, una solución óptima es un punto en la región factible en el cual la función objetivo tiene un valor mínimo.
Se puede demostrar que la solución óptima de un PPL está siempre en la frontera de la región factible, en un vértice (si la solución es única) o en un segmento entre dos vértices contiguos (si hay infinitas soluciones)

27. Representación Gráfica de las restricciones
2x + y = 100
Cualquier PPL con sólo dos variables puede resolverse gráficamente. Por ejemplo, para representar gráficamente la primera restricción, 2x + y ≤ 100 : Dibujamos la recta 2x + y = 100
20
20
40
60
80
40
60
80
100
Y
X
Elegimos el semiplano que cumple la desigualdad: el punto (0, 0) la cumple (2·0 + 0 ≤ 100), así que tomamos el semiplano que lo contiene.

28. Dibujar la región factible
Puesto que el PPL de Gepetto tiene dos variables, se puede resolver gráficamente. La región factible es el conjunto de todos los puntos que satisfacen las restricciones:
2 x + y ≤ 100 (restricción de acabado) x + y ≤ 80 (restricción de carpintería) x ≤ 40 (restricción de demanda) x ≥ 0 (restricción de signo) y ≥ 0 (restricción de signo)
Vamos a dibujar la región factible que satisface estas restricciones.

29. Y
X
20
20
40
60
80
40
60
80
100
2x + y = 100
Restricciones
2 x + y ≤ 100
x + y ≤ 80
x ≤ 40
x ≥ 0
y ≥ 0
Dibujar la región factible
Teniendo en cuenta las restricciones de signo (x ≥ 0, y ≥ 0), nos queda:

30. Y
X
20
20
40
60
80
40
60
80
100
x + y = 80
Restricciones 2 x + y ≤ 100 x + y ≤ 80 x ≤ 40 x ≥ 0 y ≥ 0
Dibujar la región factible

31. Y
X
20
20
40
60
80
40
60
80
100
x = 40
Restricciones 2 x + y ≤ 100 x + y ≤ 80 x ≤ 40 x ≥ 0 y ≥ 0
Dibujar la región factible

32. Y
X
20
20
40
60
80
40
60
80
100
2x + y = 100
x + y = 80
x = 40
La intersección de todos estos semiplanos (restricciones) nos da la región factible
Región Factible
Dibujar la región factible

33. Y
X
20
20
40
60
80
40
60
80
100
2x + y = 100
x + y = 80
x = 40
Región Factible
La región factible (al estar limitada por rectas) es un polígono. En esta caso, el polígono ABCDE.
A
B
C
D
E
Como la solución óptima está en alguno de los vértices (A, B, C, D o E) de la región factible, calculamos esos vértices.
Vértices de la región factible
Restricciones 2 x + y ≤ 100 x + y ≤ 80 x ≤ 40 x ≥ 0 y ≥ 0

34. Región
Factible
E(0, 80)
(20, 60)
C(40, 20)
B(40, 0)
A(0, 0)
Vértices de la región factible
Los vértices de la región factible son intersecciones de dos rectas. El punto D es la intersección de las rectas 2x + y = 100 x + y = 80 La solución del sistema x = 20, y = 60 nos da el punto D.
20
20
40
60
80
40
60
80
100
Y
X
D
B es solución de x = 40 y = 0
2x + y = 100
x = 40
x + y = 80
C es solución de
x = 40
2x + y = 100
E es solución de x + y = 80 x = 0

35. Y
X
20
20
40
60
80
40
60
80
100
Región Factible
(0, 80)
(20, 60)
(40, 20)
(40, 0)
(0, 0)
Max z = 3x + 2y
z = 0
z = 100
z = 180
Para hallar la solución óptima, dibujamos las rectas en las cuales los puntos tienen el mismo valor de z.
La figura muestra estas lineas para
z = 0, z = 100, y z = 180
Resolución gráfica

36. Región Factible
(0, 80)
(20, 60)
(40, 20)
(40, 0)
(0, 0)
Max z = 3x + 2y
z = 0
z = 100
z = 180
La última recta de z que interseca (toca) la región factible indica la solución óptima para el PPL. Para el problema de Gepetto, esto ocurre en el punto D (x = 20, y = 60, z = 180).
20
20
40
60
80
40
60
80
100
Y
X
Resolución gráfica

37. Región
Factible
(0, 80)
(20, 60)
(40, 20)
(40, 0)
(0, 0)
Max z = 3x + 2y
También podemos encontrar la solución óptima calculando el valor de z en los vértices de la región factible.
Vértice z = 3x + 2y
(0, 0) z = 3·0+2·0 = 0
(40, 0) z = 3·40+2·0 = 120
(40, 20) z = 3·40+2·20 = 160
(20, 60) z = 3·20+2·60 = 180
(0, 80) z = 3·0+2·80 = 160
20
20
40
60
80
40
60
80
100
Y
X
La solución óptima es: x = 20 muñecos y = 60 trenes z = 180 € de beneficio
Resolución analítica

38. Hemos identificado la región factible para el problema de Gepetto y buscado la solución óptima, la cual era el punto en la región factible con el mayor valor posible de z.

39. Recuerda que:
•La región factible en cualquier PPL está limitada por segmentos (es un polígono, acotado o no).
•La región factible de cualquier PPL tiene solamente un número finito de vértices.
•Cualquier PPL que tenga solución óptima tiene un vértice que es óptimo.

40. Un problema de minimización
Dorian Auto fabrica y vende coches y
furgonetas.La empresa quiere emprender
una campaña publicitaria en TV y tiene
que decidir comprar los tiempos de
anuncios en dos tipos de programas: del
corazón y fútbol.
• Cada anuncio del programa del corazón es visto por 6 millones de mujeres
y 2 millones de hombres.
• Cada partido de fútbol es visto por 3 millones de mujeres y 8 millones de
hombres.
• Un anuncio en el programa de corazón cuesta 50.000 € y un anuncio del
fútbol cuesta 100.000 €.
• Dorian Auto quisiera que los anuncios sean vistos por por lo menos 30
millones de mujeres y 24 millones de hombres.
Dorian Auto quiere saber cuántos anuncios debe contratar en cada tipo de
programa para que el coste de la campaña publicitaria sea mínimo.

41. •Cada anuncio del programa del corazón es visto por 6 millones de mujeres y 2 millones de hombres.
•Cada partido de fútbol es visto por 3 millones de mujeres y 8 millones de hombres.
•Un anuncio en el programa de corazón cuesta 50.000 € y un anuncio del fútbol cuesta 100.000 €.
•Dorian Auto quisiera que los anuncios sean vistos por por lo menos 30 millones de mujeres y 24 millones de hombres.
•Dorian Auto quiere saber cuántos anuncios debe contratar en cada tipo de programa para que el coste de la campaña publicitaria sea mínimo.
Corazón
(x)
Fútbol
(y)
mujeres
6
3
6x + 3y ≥ 30
hombres
2
8
2x + 8y ≥ 24
Coste
1.000€
50
100
50x +100y
Formulación del problema:

42. Variables de decisión: x = nº de anuncios en programa de corazón
y = nº de anuncios en fútbol
Min z = 50x + 100y (función objetivo en 1.000 €) s.a: 6x + 3y ≥ 30 (mujeres) 2x + 8y ≥ 24 (hombres) x, y ≥ 0 (no negatividad)
Formulación del problema:

43. X
Y
2 4 6 8 10 12 14
14 12 10 8 6 4 2
Min z = 50 x + 100y
s.a. 6x + 3y ≥ 30
2x + 8y ≥ 24
x, y ≥ 0
6x + 3y = 30
2x + 8y = 24
Dibujamos la región factible.

44. X
Y
2 4 6 8 10 12 14
14 12 10 8 6 4 2
La región factible
no está acotada
Región
Factible
Calculamos los vértices de la región factible:
A
B
C
El vértice A es solución del sistema 6x + 3y = 30 x = 0 Por tanto, A(0, 10)
El vértice B es solución de 6x + 3y = 30 2x + 8y = 24 Por tanto, B(4, 2)
El vértice C es solución de
2x + 8y = 24
y = 0
Por tanto, C(12, 0)

45. Región
Factible
Resolvemos por el método analítico
A(0, 10)
B(4, 2)
C(12, 0)
X
Y
2 4 6 8 10 12 14
14
12
10
8
6
4
2
Vértice
z = 50x + 100y
A(0, 10)
z = 50·0 + 100·10 =
= 0+10000 = 10 000
B(4, 2)
z = 50·4 + 100·2 =
= 200+200 = 400
C(12, 0)
z = 50·12 + 100·0 =
= 6000+0 = 6 000
El coste mínimo se obtiene en B.
Solución:
x = 4 anuncios en pr. corazón
y = 2 anuncios en futbol
Coste z = 400 (mil €)
Evaluamos la función objetivo z en los vértices.

46. Región Factible
Resolvemos por el método gráfico
A(0, 10)
B(4, 2)
C(12, 0)
X
Y
2 4 6 8 10 12 14
14 12 10 8 6 4 2
El coste mínimo se obtiene en el punto B.
Solución: x = 4 anuncios en pr. corazón y = 2 anuncios en futbol Coste z = 400 (mil €)
Min z = 50 x + 100y
s.a. 6x + 3y ≥ 30
2x + 8y ≥ 24
x, y ≥ 0
Z = 600
Z = 400

47. Número de Soluciones de un PPL
•Algunos PPL tienen un número infinito de soluciones óptimas (alternativas o múltiples soluciones óptimas).
•Algunos PPL no tienen soluciones factibles (no tienen región factible).
•Algunos PPL son no acotados: Existen puntos en la región factible con valores de z arbitrariamente grandes (en un problema de maximización).
Los dos ejemplos anteriores, Gepetto y Dorian Auto, tienen, cada uno, una única solución óptima. No en todos los PPL ocurre esto. Se pueden dar también las siguientes posibilidades:
Veamos un ejemplo de cada caso.

48. Número infinito de soluciones óptimas
max z = 3x + 2y
s.a:
Cualquier punto (solución) situado en el segmento AB puede ser una solución óptima de z =120.
Consideremos el siguiente problema:
3x + 2y ≤ 120 x + y ≤ 50 x , y ≥ 0
10
10
20
30
40
20
30
40
50
50
60
Y
X
z = 60
z = 100
z = 120
A
B
C
Región
Factible

49. Sin soluciones factibles
s.a:
max z = 3x1 + 2x2
No existe región factible
Consideremos el siguiente problema:
3x + 2y ≤ 120
x + y ≤ 50
x ≥ 30
y ≥ 30
x , y ≥ 0
10
10
20
30
40
20
30
40
50
50
60
Y
X
No existe Región Factible
y ≥ 30
x ≥ 30
x + y ≤ 50
3x + 2y ≤ 120

50. PPL no acotado
max z = 2x – y
s.a: x – y ≤ 1
2x + y ≥ 6
x, y ≥ 0
La región factible es no acotada. Se muestran en el gráfico las rectas de nivel para z = 4 y z = 6. Pero podemos desplazar las rectas de nivel hacia la derecha indefinidamente sin abandonar la región factible. Por tanto, el valor de z puede crecer indefinidamente.
1
1
2
3
4
2
3
4
5
5
6
Y
X
z = 4
z = 6
Región Factible