хэрэглээний математик

1. БИЕ ДААЛТ ЛЕКЦ №4. Íýãýí òºðëèéí äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýë.
Òîäîðõîéëîëò: )
;
( y
x
f ôóíêöèéí õóâüä )
;
(
)
;
( y
x
f
t
ty
tx
f 
= 
òýíöýòãýë áèåëæ
áàéâàë óã ôóíêöèéã  ýðýìáèéí íýãýí òºðëèéí ôóíêö ãýíý. Æèøýýëáýë:
;
2
)
;
( 2
3
2
xy
x
y
x
y
x
f +
−
= ôóíêöèéí õóâüä
);
;
(
)
2
(
)
)(
(
)
(
)
(
)
(
2
)
;
(
3
2
3
2
3
2
3
2
y
x
f
t
xy
x
y
x
t
ty
tx
tx
ty
tx
ty
tx
f
=
+
−
=
=
+
−
=
òóë óã ôóíêö 3-ð ýðýìáèéí íýãýí òºðëèéí ôóíêö þì.
Òîäîðõîéëîëò: 0
)
;
(
)
;
( =
+ dy
y
x
Q
dx
y
x
P òýãøèòãýëèéí õóâüä )
;
(
),
;
( y
x
Q
y
x
P íü
èæèë ýðýìáèéí íýãýí òºðëèéí ôóíêö¿¿ä áàéâàë óã òýãøèòãýëèéã íýãýí òºðëèéí
äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýë (ÍÒÄÒ) ãýíý.
Óã òýãøèòãýëä x
u
y 
= îðëóóëãà õèéâýë ÕßÄÒýãøèòãýëä øèëæèíý.
.
'
'
, u
x
u
y
x
u
y +
=


= áàéíà.
Æèøýý 60: ;
0
2
)
3
( 2
2
=
+
− xydy
dx
x
y äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýëèéã áîä.
;
2
)
;
(
,
3
)
;
( 2
2
xy
y
x
Q
x
y
y
x
P =
−
= íü õî¸óë 2-ð ýðýìáèéí íýãýí òºðëèéí ôóíêö òóë
äýýðõè òýãøèòãýë ÍÒÄÒ ìºí. Óã òýãøèòãýëèéã ;
2
3
'
2
2
xy
y
x
y
−
= ãýæ áè÷èæ áîëíî.
x
u
y 
= ãýæ îðëóóëáàë .
2
3
'
2
u
u
u
x
u
−
=
+ áóþó ;
0
1
2
3 2
=
−
+
u
udu
x
dx
òýãøèòãýëä
øèëæèíý. Ãèø¿¿í÷ëýí èíòåãðàë÷èëáàë ,
)
1
( 2
3
c
u
x =
− áóþó ;
)
( 2
2
c
x
y
x =
− ãýæ
åðºíõèé øèéä îëäîíî.
;
'
2
2
2
1
1
1








+
+
+
+
=
c
y
b
x
a
c
y
b
x
a
f
y õýëáýðèéí òýãøèòãýëèéã
− ,
0
2
2
1
1

b
a
b
a
áîë



+
=
+
=


v
y
t
x
îðëóóëãààð ÍÒÄÒýãøèòãýëä øèëæ¿¿ëæ áîäíî.
Ýíä 
, íü



=
+
+
=
+
+
0
0
2
2
2
1
1
1
c
b
a
c
b
a




ñèñòåìèéí øèéä áà )
(t
v
v = ôóíêö áàéíà.
− ,
0
2
2
1
1
=
b
a
b
a
áîë ,
1
1
1 z
c
y
b
x
a =
+
+ ýñâýë z
c
y
b
x
a =
+
+ 2
2
2 îðëóóëãààð
ÕßÄÒýãøèòãýëä øèëæ¿¿ëæ áîäíî.
Æèøýý 61: ;
0
)
4
2
(
)
5
2
( =
+
−
+
+
− dy
y
x
dx
y
x
äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýëèéã áîä.
;
4
2
5
2
'
+
−
+
−
−
=
y
x
y
x
y áóþó ,
3
1
2
2
1
=
−
−
áàéíà. 



=
+
−
=
+
−
0
4
2
0
5
2




.
2
,
1 =
−
= 
 òóë



+
=
−
=
2
1
v
y
t
x
ãýæ îðëóóëáàë ;
2
2
'
v
t
v
t
v
−
−
−
= áîëíî. Ýíý íü ÍÒÄÒ ó÷èð t
u
v 
= ãýæ
îðëóóëáàë ;
2
2
1
'
u
u
u
t
u
−
−
−
=
+ ÕßÄÒ-ä øèëæèíý.

+
=
−

=
−
−
,
)
1
(
1
,
1
)
2
( 3
2
2
u
ct
u
t
dt
u
du
u
.
)
1
(
3 3
−
+
=
−
− y
x
c
x
y

2. Æèøýý 62: ;
3
4
2
1
2
'
+
+
+
+
=
y
x
y
x
y äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýëèéã áîä.
;
3
4
2
1
2
'
+
+
+
+
=
y
x
y
x
y áóþó ,
0
4
2
2
1
= áàéíà.
,
1
2
3
4
2
,
1
2 +
=
+
+

=
+
+ z
y
x
z
y
x áà .
2
1
'
'
−
=
z
y òóë ;
1
2
2
1
'
+
=
−
z
z
z
áóþó
.
1
4
1
2
dx
dz
z
z
=
+
+
áîëíî. Ãèø¿¿í÷ëýí èíòåãðàë÷èëáàë ,
1
4
ln
8
1
2
1
c
x
z
z +
=
+
+ áóþó
.
4
8
5
8
4
ln c
x
y
y
x =
−
+
+
+ åðºíõèé øèéäòýé.
Òîäîðõîéëîëò: 0
)
;
(
)
;
( =
+ dy
y
x
Q
dx
y
x
P òýãøèòãýëèéí õóâüä ),
;
(
)
;
( 1
y
x
P
t
y
t
tx
P m
k −
=
)
;
(
)
;
( y
x
Q
t
y
t
tx
Q k
m
k −
= òýíöýòãýë¿¿ä çýðýã áèåëæ áàéõààð k áà m òîî îëäîæ
áàéâàë ºðãºòãºñºí íýãýí òºðëèéí äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýë ãýíý.
Óã òýãøèòãýëä k
x
u
y 
= îðëóóëãà õèéâýë ÕßÄÒýãøèòãýëä øèëæèíý.
Æèøýý 63: ;
0
)
2
( 2
=
−
+ dy
x
y
ydx äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýëèéã áîä.
;
2
)
;
(
,
)
;
( 2
x
y
y
x
Q
y
y
x
P −
=
=





−
=
−
=
−
=
=
=
−
−
)
2
(
)
2
(
)
(
2
)
(
)
;
(
)
;
(
2
2
2
2
1
x
y
t
x
t
y
t
tx
y
t
y
t
tx
Q
y
t
y
t
y
t
tx
P
k
m
k
k
k
m
k
k




−
=
=
−
=
k
m
k
m
k
1
2
1
 ;
2
3
,
2
1
=
= m
k ãýæ îëäîõ òóë ºðãºòãºñºí ÍÒÄÒ ìºí. x
u
y =
ãýæ îðëóóëáàë ;
)
2
(
2
3
2
x
dx
du
u
u
=
−
áîëæ ,
2
2
2
c
e
u
x u
=

 áóþó ;
2
2
2
c
e
y y
x
=
 åðºíõèé
øèéäòýé.
Øóãàìàí äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýë.
Òîäîðõîéëîëò: );
(
)
(
' x
f
y
x
p
y =

+ õýëáýðèéí òýãøèòãýëèéã I ýðýìáèéí øóãàìàí
äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýë (ØÄÒ) ãýíý.
ØÄÒýãøèòãýëèéí åðºíõèé øèéä ;
)
(
)
(
)
( 






 +


= 
dx
x
p
dx
x
p
e
c
dx
e
x
f
y òîìú¸îãîîð
îëäîíî.
Æèøýý 64: ;
' x
x
y
y =
− äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýëèéã áîä.

=
−
= ;
)
(
,
1
)
( x
x
f
x
x
P ;
1
1








+


= 
− dx
x
dx
x
e
c
dx
e
x
y áóþó ;
2
x
cx
y +
= åðºíõèé
øèéäòýé.
Æèøýý 65: ;
1
'
)
( =
+ y
y
x äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýëèéã áîä.
Óã òýãøèòãýë íü ØÄÒ áèø ìýò õàðàãäàæ áàéãàà áîëîâ÷ óðâóó ôóíêöèéíõýý
õóâüä ØÄÒ ìºí þì.
º.õ. y -ã ¿ë õàìààðàõ õóâüñàã÷, x -ã õàìààðàõ õóâüñàã÷ áóþó )
(y
x
x = ãýæ ¿çâýë

= ;
'
1
'
x
y ;
1
'
1
)
( =
+
x
y
x áóþó ;
' y
x
x =
− áîëíî. Ýíý íü )
(y
x
x = ôóíêöèéí õóâüä
ØÄÒ.

=
−
= ;
)
(
,
1
)
( y
y
f
y
P ;







 +


= 
− dy
dy
e
c
dy
e
y
x áóþó ;
1
−
−
= y
ce
x y
åðºíõèé
øèéäòýé.

3. Òîäîðõîéëîëò: ).
1
,
0
(
;
)
(
)
(
' 


=

+ 


y
x
f
y
x
p
y õýëáýðèéí òýãøèòãýëèéã
Áåðíóëëèéí òýãøèòãýë ãýíý.
Óã òýãøèòãýëä 
−
= 1
y
z îðëóóëãà õèéâýë ØÄÒýãøèòãýëä øèëæèíý.
Æèøýý 66: ;
4
' y
x
y
x
y =
− äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýëèéã áîä.
;
2
1
=
 òóë ;
2
1
1
y
y
z =
=
−
îðëóóëáàë ;
2
2
'
x
z
x
z =
− òýãøèòãýëä øèëæèíý.

=
−
= ;
2
)
(
,
2
)
(
x
x
f
x
x
P 








+


= 
−
;
2
2
2
dx
x
dx
x
e
c
dx
e
x
z ;
)
ln
2
1
( 2
x
c
x
z +
= áóþó
;
)
ln
2
1
( 2
4
c
x
x
y +
= åðºíõèé øèéäòýé.
Á¿òýí äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýë.
Òîäîðõîéëîëò: 0
)
;
(
)
;
( =
+ dy
y
x
Q
dx
y
x
P () òýãøèòãýëèéí ç¿¿í òàë
dy
y
x
Q
dx
y
x
P )
;
(
)
;
( + íü ÿìàð íýã )
;
( y
x
u ôóíêöèéí á¿òýí äèôôåðåíöèàë áîë óã
òýãøèòãýëèéã á¿òýí äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýë (ÁÄÒ) ãýíý.
º.õ. .
)
;
(
)
;
( dy
y
x
Q
dx
y
x
P
du +
=
.
dy
y
u
dx
x
u
du


+


= ãýäãýýñ dy
y
x
Q
dx
y
x
P )
;
(
)
;
( + èëýðõèéëýë íü )
;
( y
x
u ôóíêöèéí
á¿òýí äèôôåðåíöèàë áîëîõûí òóëä ,
)
;
(
x
u
y
x
P


= áà ;
)
;
(
y
u
y
x
Q


= áàéõ ¸ñòîé.




=



;
2
2
x
y
u
y
x
u
;
)
;
(
)
;
(
x
y
x
Q
y
y
x
P


=


().
() òýíöýòãýëèéã () òýãøèòãýëèéí ÁÄÒ áàéõ çàéëøã¿é áºãººä õ¿ðýëöýýòýé
íºõöºë ãýíý. () íºõöºë áèåëæ áàéâàë () òýãøèòãýë ;
0
)
;
( =
y
x
du áîëíî.
Ãèø¿¿í÷ëýí èíòåãðàë÷èëáàë () òýãøèòãýëèéí åðºíõèé øèéä ;
)
;
( c
y
x
u = ãýæ
îëäîíî.
Æèøýý 67: ;
0
3
2
4
2
2
3
=
−
+ dy
y
x
y
dx
y
x
äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýëèéã áîä.
;
3
)
;
(
,
2
)
;
( 4
2
2
3
y
x
y
y
x
Q
y
x
y
x
P
−
=
= áóþó ;
6
4
y
x
x
Q
y
P
−
=


=


òóë ÁÄÒ ìºí. ,
2
3
y
x
x
u
=


áà
;
3
4
2
2
y
x
y
y
u −
=


áàéíà. ,
2
3
y
x
x
u
=


òýíöýòãýëèéã x -ýýð ãèø¿¿í÷ëýí èíòåãðàë÷èëáàë (
x -ýýð èíòåãðàë÷èëàõàä y -ã òîãòìîë òîî ãýæ ¿çíý) ),
(
2
3
y
c
dx
y
x
u +
=  áóþó
);
(
3
2
y
c
y
x
u +
= áîëíî. Ñ¿¿ëèéí òýíöýòãýëèéí õî¸ð òàëààñ y -ýýð òóõàéí óëàìæëàë
àâáàë );
(
'
3
4
2
y
c
y
x
y
u
+
−
=


áîëîõ áà 
−
=


;
3
4
2
2
y
x
y
y
u

−
=
+
− ;
3
)
(
'
3
4
2
2
4
2
y
x
y
y
c
y
x

4. ;
1
)
(
' 2
y
y
c = áóþó .
1
)
(
y
y
c −
= áàéíà. 
+
= );
(
3
2
y
c
y
x
u ;
1
3
2
y
y
x
u −
= áîëæ åðºíõèé
øèéä .
1
3
2
c
y
y
x
=
−
() òýãøèòãýëèéí ç¿¿í òàë ÿìàð íýã ôóíêöèéí á¿òýí äèôôåðåíöèàë áèø áîëîâ÷
çàðèì õÿëáàð òîõèîëäîëä )
;
( y
x

 = ãýñýí èíòåãðàë÷ëàã÷ ¿ðæèãäýõ¿¿íèéã
àøèãëàí óã òýãøèòãýëèéã ÁÄÒýãøèòãýëä øèëæ¿¿ëæ áîëäîã.
º.õ. ;
x
Q
y
P





¿åä ;
x
Q
y
P


=

 

áàéõààð )
;
( y
x

 = èíòåãðàë÷ëàã÷ ¿ðæèãäýõ¿¿í
îëäîæ áàéâàë 0
)
;
(
)
;
(
)
;
(
)
;
( =
+ dy
y
x
Q
y
x
dx
y
x
P
y
x 
 íü () òýãøèòãýëòýé
ýêâèâàëåíò ÁÄÒ þì.
Èíòåãðàë÷ëàã÷ ¿ðæèãäýõ¿¿íèéã ),
(x
 ),
(y
 ),
(xy
 ),
( y
x 
 ),
( 2
2
y
x 
 ãýõ ìýò
òîäîðõîé õýëáýðýýð õàéäàã. )
(
 -ãèéí õóâüä );
(



=



−





−


y
P
x
Q
x
Q
y
P
íºõöºë
áèåëæ áàéâàë ;
)
(
)
(

=





d
e ãýæ îëäîíî.
Æèøýý 68: ;
0
)
( 2
=
−
+ xdy
dx
xy
y äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýëèéã áîä.
,
2
1 xy
y
P
+
=


,
1
−
=


x
Q
áóþó ;
x
Q
y
P





òóë ÁÄÒ áèø. Èíòåãðàë÷ëàã÷
¿ðæèãäýõ¿¿íèéã )
(y
 (çºâõºí y -ýýñ õàìààðñàí) õýëáýðýýð õàéÿ.
);
(
2
)
(
)
1
(
)
2
1
(
2
y
y
xy
y
xy
P
x
Q
y
P
y
y
P
x
y
Q
x
Q
y
P

=
−
=
+
−
−
−
+
=
−


−


=



−





−


 ;
1
)
( 2
2
y
e
y
dy
y
=

=
−
 ãýæ
îëäîíî. ;
0
)
( 2
=
−
+ xdy
dx
xy
y òýãøèòãýëèéí õî¸ð òàëûã 2
1
y
-ð ¿ðæ¿¿ëáýë
;
0
1
2
=
−
+
dy
y
x
dx
y
xy
ÁÄÒ-ä øèëæèíý. Åðºíõèé øèéä ;
2
2
c
x
y
x
=
+ áàéíà.