2014年度秋学期　応用数学（解析）　第２部・基本的な微分方程式　／　第７回　２階線形微分方程式（１） (2014. 11. 6)

A. Asano, Kansai Univ.
2014年度秋学期　応用数学（解析）
第２部・基本的な微分方程式
２階線形微分方程式（１）
浅野　晃
関西大学総合情報学部
第７回

２階線形微分方程式とは

２階線形微分方程式
一般には
ての２階線形微分方程式とは，次の形のものをいいます。
x′′ + P(t)x′ + Q(t)x = R(t) 恒等的に0 であるものを斉次，そうでないものを非斉次の方程２階線形微分方程式は，P(t) やQ(t) が定数の斉次方程式で，a, x′′ + ax′ + bx = 0 として，まずx ≡ 0 が浮かびます。これは自明解とよばれていて，これを方程式に代入してみると
2014年度秋学期　A. Asano, Kansai Univ.
λ2eλt + aλeλt + beλt = 0
!
λ2 + aλ + b
"
eλt = 0

一般には
ての２階線形微分方程式とは，次の形のものをいいます。
x′′ + P(t)x′ + Q(t)x = R(t) 斉次ここが恒等的に0なのが［斉次］
恒等的に0 であるものを，そそううでではなないいのもがの［非を斉非次斉］
次の方程２階線形微分方程式は，P(t) やQ(t) が定数の斉次方程式で，a, x′′ + ax′ + bx = 0 として，まずx ≡ 0 が浮かびます。これは自明解とよばれていて，これを方程式に代入してみると
!
λ2 + aλ + b
"
eλt = 0

一般には
x′′ + P(t)x′ + Q(t)x = R(t) にての２階線形微分方程式とは，次の形のものをいいます。
0 であるものを斉次，そうでないものを非斉次の形微分方程式は，P(t) やQ(t) が定数の斉次方程式x′′ x′′ + P(t)x′ + Q(t)x = R(t) 斉次ここが恒等的に0なのが［斉次］
次の方程２階線形微分方程式は，P(t) やQ(t) が定数の斉次方程式で，a, x′′ + ax′ + bx = 0 て，まずx ≡ 0 が浮かびます。これは自明解とよばこれを方程式に代入してみると
+ ax′ + bx = 0 として，まずx ≡ 0 が浮かびます。これは自明解とよばれていて，これを方程式に代入しると
!
λ2 + aλ + b
"
eλt = 0
一番簡単なのは
!
λ2 "
eλt

一般には
定数係数の斉次方程式
!
"
λ2 eλt 2014年度秋学期　A. Asano, Kansai Univ.
!
λ2 + aλ + b
"
eλt = 0

一般には
!
"
λ2 eλt とりあえず， x ≡ 0 は解［自明解］
!
λ2 + aλ + b
"
eλt = 0

一般には
!
"
λ2 eλt とりあえず， x ≡ 0 は解［自明解］
それ以外には？
!
λ2 + aλ + b
"
eλt = 0

るもの２を斉階次線，形そう微で分ない方も程の式を非の斉解
次の方程式といい程式は，P(t) やQ(t) が定数の斉次方程式で，a, b を定数x′′ を満たすλ について，x(t) = eλt は解です。また，そとて，まずx ≡ 0 が浮かびます。れは自明解とよばれ，これを方程式に代入してみると
+ ax′ + bx = 0 ≡ 0 が浮かびます。これは自明解とよばれています。式に代入してみると
!
λ2 + aλ + b
"
eλt = 0
表されます。
この方程式の解として，x(t) = eλt としてみて，これとなりますから，λ2 + aλ + です。
さらに，λ2 +aλ+b = 0はて，これらをλ1, λ2 とするC1 = C2 = 0とするとx(t) こんなんでいいのでしょうか
とりあえず
にを代入すると
!
λ2 + aλ + b
"
eλt = 0
aλ + b = 0を満たすλ について，x(t) = eλt は解です= 0はλ の２次方程式ですから，これを満たすλ はたいすると，x(t) = C1eλ1t + C2eλ2t（C1, C2 は定数）が解x(t) ≡ 0 になりますから，この解は自明解を含んでいま

次の方程式といい程式は，P(t) やQ(t) が定数の斉次方程式で，a, b を定数x′′ を満たすλ について，x(t) = eλt は解です。また，そとて，まずx ≡ 0 が浮かびます。れは自明解とよばれ，これを方程式に代入してみると
ここが 0 になるような λ については
x = eλt は解，その定数倍も解
!
λ2 + aλ + b
"
eλt = 0
表されます。
とりあえず
!
λ2 + aλ + b
"
eλt = 0

次の方程式といい程式は，P(t) やQ(t) が定数の斉次方程式で，a, b を定数x′′ て，まずx ≡ 0 が浮かびます。れは自明解とよばれ，これを方程式に代入してみると
!
λ2 + aλ + b
"
eλt = 0
の２次方程式だから，みたす λ はたいてい２つ　λ1, λ2
を満たすλ について，x(t) = eλt は解です。また，そλ 2014年度秋学期　A. Asano, Kansai Univ.
と表されます。
とりあえず
!
λ2 + aλ + b
"
eλt = 0

!
λ2 + aλ + b
"
eλt = 0
とりあえず
!
λ2 + aλ + b
"
eλt = 0
aλ + b = 0を満たすλ について，x(t) = eλt は解です= 0はλ の２次方程式ですから，これを満たすλ はたいすると一，般x(解t) は = x = C1eλ1t C1eλ1t + C2eλ2t
+ C2eλ2t（C1, C2 は定数）が解x(t) ≡ 0 になりますから，この解は自明解を含んでいま

!
λ2 + aλ + b
"
eλt = 0
とりあえず
!
λ2 + aλ + b
"
eλt = 0
aλ + b = 0を満たすλ について，x(t) = eλt は解です= 0はλ の２次方程式ですから，これを満たすλ はたいすると一，般x(解t) は = x = C1eλ1t C1eλ1t + C2eλ2t + C2eλ2t（x ≡ 0 をC1, 含C2 む
は定数）が解x(t) ≡ 0 になりますから，この解は自明解を含んでいま

おわり

こんなんでいいのか？

本当に一般解であるためには
x = C1eλ1t + C2eλ2t　が本当に一般解であることは，
以下の２項目が正しいことと同じ

１．解が一意

１．解が一意
初期値 x(t0), x′(t0) を定めると，特殊解はひとつ
に定まる

１．解が一意
に定まる
初期値はこの２つ

１．解が一意
に定まる
２．１次独立な特殊解の１次結合で一般解が表せる

１．解が一意
に定まる
1次独立な特殊解 x1(t), x2(t) が得られれば，
一般解は C1x1(t) + C2x2(t) で表される

２つの関数が1次独立とは

C1x1(t) + C2x2(t) = 0 がどんな t についても
なりたつのは，C1 = C2 = 0 のときだけ

x1
x2
x2
Univ.
Kansai x1
Asano, ◯ ×
A. 2014年度秋学期

x1
x2
x2
Univ.
Kansai x1
Asano, ◯ ×
A. 2014年度秋学期　解全体は
２次元ベクトル空間
をなす

１．解が一意
さっきの例では
eλ1t, eλ2t は λ1 ≠ λ2 なら１次独立
一般解は C1eλ1t + C2eλ2t だけで，他にはない

１．解が一意
一般の斉次形 n 階線形微分方程式
（定数係数でない場合も含む）についてなりたつ

１．解が一意
一般の斉次形 n 階線形微分方程式
（定数係数でない場合も含む）についてなりたつ
定数係数の場合に，証明してみる

行列で表現する
(b = 0を満たすλ について，x(t) = eλt は解です。また，その定数倍も上の２つの条件は，２階線形微分方程式だけでなく，一般のことが知られています。しかも，定数係数でない場合にもなり(1) 式の２階線形微分方程式は，x1 = x, x2 = x′ とおくと，
，２階線形微分方程式だけでなく，一般の斉次形n 階微分方程式につす。しかも，定数係数でない場合にもなりたちます。
微分方程式は，x1 = x, x2 = x′ とおくと，
線形微分方程式とは，次の形のものをいいます。
x′x′1 = x2
1 = x2
と表す
x′x′= −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(2 t)
= −Q(t)x1 − P(t)x2 + 2 という連立微分方程式となります。この式は行列とベクトルを!
式となります。この式は行列とベクトルを使って
!
x′1
x′2
"
=
!
0 1
−Q(t) −P(t)
"!
を，とおいて
x′′ + P(t)x′ + Q(t)x = R(t) (であるものを斉次，そうでないものを非斉次の方程式といいます。
微分方程式は，P(t) やQ(t) が定数の斉次方程式で，a, b を定数として
x′′ + ax′ + bx = 0 (まずx ≡ 0 が浮かびます。これは自明解とよばれています。また，かりを方程式に代入してみると
!
λ2 + aλ + b
"
eλt = 0
x′1
x′2
"
x1
x2
=
!
"
+
!
"
0 1
−Q(t) −P(t)
"!
x1
x2
と表せますから，
0
R(t)
x′ = A(t)x + b(t) x′ という，ベクトルについての１階線形微分方程式で表すことがで同様の操作によって(6) 式の形で表すことができます。
= A(t)x + b(t) ついての１階線形微分方程式で表すことができます。一般のn 階線形微式の形で表すことができます。

分方程式に関の２つの行条件は列する定で理
，２階線表形微現分方程す式だる
けでなく，一般の斉次形n 階微分方程式についてが知られています。しかも，定数係数でない場合にもなりたちます。
式の２階線形微分方程式は，x1 = x, x2 = x′ とおくと，
(b = 0を満たすλ について，x(t) = eλt は解です。また，その定数倍も上の２つの条件は，２階線形微分方程式だけでなく，一般のことが知られています。しかも，定数係数でない場合にもなり(1) 式の２階線形微分方程式は，x1 = x, x2 = x′ とおくと，
x′= x2
x′x′1 = x2
1 = x2
1 と表す
x′x′2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 x′+ R(t)
= −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(2 t)
う連立微分方程式となります。この式は行列とベクトルを使って
行列で
!
x′1
x′2
"
!
x′1
x′2
=
!
"
=
!
0 1
−Q(t) −P(t)
0 1
−Q(t) −P(t)
"!
せますから，
x′ = A(t)x + b(t) Univ.
う，ベクトルについての１階線形微分方程式で表すことができます。一般のn 階線形微分の操Kansai 作によって(6) 式の形で表すことができます。
1. がAsano, なりたつことの証明　まず，1. の解の一意性について，証明の概略を示します。これA. くてもなりたちます。
2014年度秋学期　を，とおいて
!
λ2 + aλ + b
"
eλt = 0
x′1
x′2
"!
"
x1
x2
=
!
x1
x2
"
+
"
+
!
!
"
"
0
R(t)
0 1
−Q(t) −P(t)
"!
x1
x2
0
R(t)

(b = 0を満たすλ について，x(t) = eλt は解です。また，その定数倍も上の２x′つの条件は，２階線形微分方程式だけでなく，一般の1 = x2
ことが知x′られています。しかも，定数係数でない場合にもなり2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(t)
(1) 式の２階線形微分方程式は，x1 = x, x2 = x′ とおくと，
x′= x2
x′x′1 = x2
1 = x2
1 と表す
x′x′2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 x′+ R(t)
= −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(2 t)
!
x′1
x′2
"
=
!
0 1
−Q(t) −P(t)
"!
x1
x2
"
+
行列で
!
x′1
x′2
"
!
x′1
x′2
=
!
"
=
!
0 1
−Q(t) −P(t)
0 1
−Q(t) −P(t)
"!
せますから，
!
0
R(t)
"
x′ = A(t)x + b(t) いての１階線形微分方程式で表すことができます。一般の6) 式の形で表すことができます。
との証明　ず，1. の解の一意性について，証明の概略を示x′ = A(t)x + b(t) Univ.
う，ベクトルについての１階線形微分方程式で表すとができます。一般のKansai n 階線形微分の操作によって(6) 式の形で表すことができます。
!
λ2 + aλ + b
"
eλt = 0
x′1
x′2
"!
"
x1
x2
=
!
x1
x2
"
+
"
+
!
!
"
"
0
R(t)
0 1
−Q(t) −P(t)
"!
x1
x2
0
R(t)

x′= x2
x′x′1 = x2
1 = x2
1 と表す
x′x′2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 x′+ R(t)
= −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(2 t)
!
x′1
x′2
"
=
!
0 1
−Q(t) −P(t)
"!
x1
x2
"
+
行列で
!
x′1
x′2
"
!
x′1
x′2
=
!
"
=
!
0 1
−Q(t) −P(t)
0 1
−Q(t) −P(t)
"!
せますから，
!
0
R(t)
"
との証明　ず，1. の解の一意性について，証明の概略を示１x′ = A(t)x + b(t) Univ.
階線形微分方程式の形になる
!
λ2 + aλ + b
"
eλt = 0
x′1
x′2
"!
"
x1
x2
=
!
x1
x2
"
+
"
+
!
!
"
"
0
R(t)
0 1
−Q(t) −P(t)
"!
x1
x2
0
R(t)

x′= x2
x′x′1 = x2
1 = x2
1 と表す
x′x′2 = −Q(t)x1 − P(t)x2 x′+ R(t)
= −Q(t)x1 − P(t)x2 + R(2 t)
!
x′1
x′2
"
=
!
0 1
−Q(t) −P(t)
"!
x1
x2
"
+
行列で
!
x′1
x′2
"
!
x′1
x′2
=
!
"
=
!
0 1
−Q(t) −P(t)
0 1
−Q(t) −P(t)
"!
せますから，
!
0
R(t)
"
との証明　ず，1. の解の一意性について，証明の概略を示１x′ = A(t)x + b(t) Univ.
階線形微分方程式の形になる
何階線形微分方程式でも，この形にできる
!
λ2 + aλ + b
"
eλt = 0
x′1
x′2
"!
"
x1
x2
=
!
x1
x2
"
+
"
+
!
!
"
"
0
R(t)
0 1
−Q(t) −P(t)
"!
x1
x2
0
R(t)

条件１の証明の概略

１．解が一意

１．解が一意
初期値 x(t0), x′(t0) を定めると，特殊解はひとつに定まる

１．解が一意
リプシッツ条件をつかう

特異解と解の一意性
方程式x′ = x
1
3 を考えます。x = {
2
3
(t+C)}
微分方程式x′ = x
1
3 を考えます。x = {
2
3
(t+C)}
3
2（C は定数）はこの方程式の一般
して確かめて変えても出初て期み値てくがだひさいと）。つ一定方，まx っ≡ 0 たもと明らきかにに解，
ですが，この解は上の一
きません。このように一般解からは出てこない解を，特異解(singular
。
解がひとつだけに決まることを，
まったとき解にが解が一ひ意とつ(unique)だけに定まるでことあをる，解とがい一意う
(unique) であるといいま
期値がx(0) = 0 のとき，一般解からはC = 0でx = (
2
3
t)
3
2 が得られ，一方特異解
満たしま一すか意ら性，の解が十一分意条では件あのりひまとせんつ。
「リプシッツ条件」
一意である（十分）条件としてよく知られているものに，Lipschitz（リプシッツ）
ります。これは，微分方程式がx′(t) = f(t, x) の形で表されるときに，f(t, x) をあ
考えたとき，初期値のまわりでどんなx1, x2 に対しても
微分方程式が
のとき，
初期のまわりでどんな x1, x2 についても
|f(t, x1) − f(t, x1 − x2| (1)
となる定数 L があるなら，その初期値について一意
するならば，この微分方程式のその初期値を満たす解は一意に定まる，というもの
録１）。(1) 式は，関数f(t, x) がx のわずかな変化に対していくらでも急峻に変化
，という条件を表しています。
方程式x′ = x
3
2（C は定数）はこの方程式の一般
て確かめてみてください）。一方，x ≡ 0 も明らかに解ですが，この解は上の一
ても出てきません。このように一般解からは出てこない解を，特異解(singular
たときに解がひとつだけに定まることを，解が一意(unique) であるといいま
がx(0) = 0 のとき，一般解からはC = 0でx = (
2
3
t)
3
2 が得られ，一方特異解
たしますから，解が一意ではありません。
である（十分）条件としてよく知られているものに，Lipschitz（リプシッツ）
す。これは，微分方程式がx′(t) = f(t, x) 形で表されるときに，f(t, x) をあ
えたとき，初期値のまわりでどんなx1, x2 に対しても
|f(t, x1) − f(t, x2)| ! L|x1 − x2| (1)
ならば，この微分方程式値を満たす解は一意に定まる，というもの
１）。(1) 式は，関数f(t, x) x ずかな変化に対していくらでも急峻に変化
という条件を表しています。
程式x′ = x
x のわずかな変化について，
f がいくらでも大きく変化する，ということはない
1
3 では，f(t, x) = x
1
3 では，f(t, x) = x
1
3 です。この関数はx = 0で微分不可能で，x = 0
1
3 です。この関数はx = 0で微分不可能で，x = 0
くらでも大きくなります。したがって，x = 0に近づけば近づくほど，x のわずか
x) の変化はいくらでも大きくなり，Lipschitz 条件を満たしていません3。
でも大きくなります。したがって，x = 0に近づけば近づくほど，x のわずか
の変化はいくらでも大きくなり，Lipschitz 条件を満たしていません3。

−− 。この式は行列とベクトルを使って
１．解が一意
=
!
0 1
−Q(t) −P(t)
"!
x1
x2
"
+
!
リプシッツ条件をつかう
の右辺について，関数 x, y を考えると
0
R(t)
"
(5)
x′ = A(t)x + b(t) (6)
線形微分方程式で表すことができます。一般のn 階線形微分方程式も，
表すことができます。
まず，1. の解の一意性について，証明の概略を示します。これは斉次形
さを表す「ノルム」を記号∥ · ∥ で表します。例えば，「要素の2 乗の
，ユークリッドノルムといいます。

１．解が一意
う，ベクトルについての１階線形微分方程式で表すことができます。一般のn 階線の操作によって式の形で表すことができます。
!
(6) "!
"
!
1. がなりた0 つことの1
証明　まずx1
，1. の解の一意性について，証明の概略を示しまく=
てもな−Q(りたt) ちま−す。
+
P(t)
x2
こで，行列やベクトルの大きさを表す「ノルム」を記号∥ · ∥ で表します。例えばのルートリ」はプノシルッムツの条一種件でを，つユかークう
リッドノルムといいます。
式の右辺について，
で，
∥ (A(t)x + b(t)) − (A(t)y + b(t)) ∥ = ∥A(t)x − A(t)y∥ ! ∥A(t)∥∥x − るノルムが存在します。たとえば，ユークリッドノルムではそうなります。そこ関数とすると，それを考えている区間内の任意の有界閉区間に対しては，ノルム∥A(t)∥ には上限が存在します。
Univ.
のこKansai とは，(6) 式の１階微分方程式について，Lipschitz 条件（講義第５回参照）を示しています。したがって，この微分方程式の解は一意です。■
Asano, 2. A. がなりたつことの証明　次に，斉次形の方程式2014年度秋学期　x′ = A(t)x について，2. の「間をなす」ことの証明を示します。
0
R(t)
"
(5)
x′ = A(t)x + b(t) (6)
まず，1. の解の一意性につて，証明の概略を示します。これは斉次形

= A(t)x + b(t) 程式で表すことができます。一般のn 階線形微分方程式も，
できます。
解の一意性について，証明の概略を示します。これは斉次形
１．解が一意
!
(6) "!
"
!
証明　まずx1
+
P(t)
x2
「ノルム」を記号∥ · ∥ で表します。例えば，「要素の2 乗の
で，
∥ (A(t)x + b(t)) − (A(t)y + b(t)) ∥ = ∥A(t)x − A(t)y∥ ! ∥A(t)∥∥x − るノルムが存在します。たとえば，ユークリッドノとルなムでるはよそううな
ります。そこ関数とすると，それを考えている区間内の任意の有ノ界ル閉区ム間がにあ対る
しては，ノルム∥b(t)) ∥ = ∥A(t)x − A(t)y∥ ! ∥A(t)∥∥x − y∥ (7)
クリッドノルムではそうなります。そこで，問題の関数を
の任意の有界閉区間に対しては，ノルムが連続であること
A(t)∥ には上限が存在します。
Univ.
のこKansai とは，(6) 式の１階微分方程式について，Lipschitz 条件（講義第５回参照）を示しています。したがって，この微分方程式の解は一意です。■
0
R(t)
"
(5)
x′ = A(t)x + b(t) (6)
いて，Lipschitz 条件（講義第５回参照）が成り立っている
分方程式の解は一意です。■

できます。
１．解が一意
!
(6) "!
"
!
証明　まずx1
+
P(t)
x2
で，
Univ.
のこKansai とは，(6) 式の１階任微意分方の程有式界に閉つい区て間，で
Lipschitz 条件（講義第５回参照）を示しています。したが上っ限てが，存この在微す分る
方程式の解は一意です。■
0
R(t)
"
(5)
x′ = A(t)x + b(t) (6)

できます。
１．解が一意
!
(6) "!
"
!
証明　まずx1
+
P(t)
x2
で，
Univ.
のこKansai とは，(6) 式の１階任微意分方の程有式界に閉つい区て間，で
Lipschitz 条件（講義第５回参照）を示しています。したが上っ限てが，存この在微す分る
方程式の解は一意です。■
0
R(t)
"
(5)
x′ = A(t)x + b(t) (6)
リプシッツ条件
が成り立ち，一意

条件２の証明の概略

− ∥ ∥− y∥ ∥t)∥∥− y∥ ます。条たと件えば２，のユー証クリ明ッのドノ概ルム略
ではそうなります。そこで，れを考えている区間内の任意の有界閉区間に対しては，ノルムが連存在し２．１ます。
次独立な特殊解の１次結合で一般解が表せる
の１階微分方1次程独式立になつ特い殊て解，x1(t), x2(t) 条が得られれば，
Lipschitz 件（講義第５回参照）が成したがって一，般こ解のは微分C1x1(方程t) 式+ C2x2(の解はt) で一表意さでれする
。■
の証明斉　次形にの，場斉合次を形考のえ方る
程式x′ = A(t)x について，2. の「解が証明を示します。
，ベクトルx はn 次元です。そこで，n 次元の基本ベクトルe1 = (1, 0, = (0, 0, · · · , 1) を考え，初期値x(t0) = e1 をみたすx′ = A(t)x の特たす特殊解をξ2(t)，· · · ，初期値x(t0) = en をみたす特殊解をξn(を2014年度秋学期　A. Asano, Kansai Univ.
x(t) とすると，t = t0 のときの任意の初期値はx(t0) = x1e1+x2e2+ます。

− ∥ ∥− y∥ ∥t)∥∥− y∥ ます。条たと件えば２，のユー証クリ明ッのドノ概ルム略
ではそうなります。そこで，れを考えている区間内の任意の有界閉区間に対しては，ノルムが連存在し２．１ます。
次独立な特殊解の１次結合で一般解が表せる
の１階微分方1次程独式立になつ特い殊て解，x1(t), x2(t) 条が件得（ら講れれば，
Lipschitz 義第５回参照）が成したがって一，般こ解のは微分C1x1(方程t) 式+ C2x2(の解はt) で一表意さでれする
。■
の証明斉　次形にの，場斉合次を形考のえ方る
程式x′ = A(t)x について，2. の「解が証明を示プしリまンすト。
は n 階の場合を示しているが，
，ベクトこルこx でははn ２次階元でのす場。合そをこ示です
，n 次元の基本ベクトルe1 = (1, 0, = (0, 0, · · · , 1) を考え，初期値x(t0) = e1 をみたすx′ = A(t)x の特たす特殊解をξ2(t)，· · · ，初期値x(t0) = en をみたす特殊解をξn(を2014年度秋学期　A. Asano, Kansai Univ.
x(t) とすると，t = t0 のときの任意の初期値はx(t0) = x1e1+x2e2+ます。

条件２の証明の概略
斉次形の場合を考える
の１階微分方程式について，Lipschitz 条件（講義第５回参照）が成したがって，この微分方程式の解は一意です。■
の証明　次に，斉次形の方程式x′ = A(t)x について，2. の「解が証明を示します。
，ベクトルx はn 次元です。そこで，n 次元の基本ベクトルe1 = (1, 0, = (0, 0, · · · , 1) を考え，初期値x(t0) = e1 をみたすx′ = A(t)x の特たす特殊解をξ2(t)，· · · ，初期値x(t0) = en をみたす特殊解をξn(を２階ならば，x は2次元
2014 年度秋学期）　第７回(2014. 11. 6) http://racco.mikeneko.x(t) とすると，t = t0 のときの任意の初期値はx(t0) = x1e1+x2e2+ます。

連続関数とすると，それを考えている区間内の任意の有界閉区間にから∥A(t)∥ には上限が存在します。
このことは，(6) 式の１階微分方程式について，Lipschitz 条件（ことを示しています。したがって，この微分方程式の解は一意です条件2. がなりたつことの証明　次に，斉次形の方程式x′ = A(t)x ル空間をなす」ことの証明を示します。
n 階の方程式の場合，ベクトルx はn 次元です。そこで，n 次元の(0, 1, 0, · · · , 0), . . . , en = (0, 0, · · · , 1) を考え，初期値x(t0) = e1 を初期値x(t0) = e2 みたす特殊解をξ2(t)，· · · ，初期値x(t0) = en x′ 意の有界閉区間に対しては，ノルムが連続であこと
リッドノルムではそうなります。そこで，問題の関数を
任意の有界閉区間に対しては，ノルムが連続であること
浅野　晃秋学期）　第７回(2014. 11. 6) 連続関数とすると，それを考えている区間内の任意の有界閉区間にから∥A(t)∥ には上限が存在します。
このことは，(6) 式の１階微分方程式について，Lipschitz 条件（ことを示しています。したがって，この微分方程式の解は一意です条件2. がなりたつことの証明　次に，斉次形の方程式x′ = A(t)x にル空間をなす」ことの証明を示します。
n 階の方程式の場合，ベクトルx はn 次元です。そこで，n 次元の基(0, 1, 0, , 0), . . . , en = (0, 0, , 1) を考え，初期値x(t0) = e1 をみ初条件２の証明の概略
このことは，(??) 式の１ことを示しています。した条件2. がなりたつことの証ル空間をなす」ことの証明n 浅野　晃／応用数学（解析）（2014 。
，ベクトルx はn 次元です。そこで，n 次元の基本ベクトルe1 = (1, 0, = (0, 0, · · · , 1) を考え，初期値x(t0) = e1 をみたすx′ = A(t)x の特たす特殊解をξ2(t)，· · · ，初期値x(t0) = en をみたす特殊解をξn(を，程Lipschitz 式について条，件Lipschitz （講義第５条回件参（照講）義が第成５り回立参っ照て）いがる
成り立っている
，式このの解微は分一方意程で式すの。解■
は一意です。■
方に程，式斉次x′ 形= のA(方t)程x 式につx′ い= てA(，t)2. x のに「つ解いがてn ，次2. 元のベ「ク解ト
がn 次元ベクト
ます。
はn 次元です。そこで，n 次元の基本ベクトルe1 = (1, 0, · · · , 0), e2 =
1) を考え，初期値x(t0) = e1 みたすx′ = A(t)x の特殊解をξ1(t)，
をξ2(t)，· · · ，初期値x(t0) = en をみたす特殊解をξn(t) とします。
ると，t = t0 のときの任意の初期値はx(t0) = x1e1+x2e2+· · ·+xnen
Lipschitz 条件（講義第５回参照）が成り立っている
程式の解は一意です。■
方程式x′ = A(t)x について，2. の「解がn 次元ベクト
階の方程式の場合，ベク(0, 1, 0, · · · , 0), . . . , en = (0, 初期値x(t0) = e2 をみたすe1 ，２階ならば，x は2次元
の特殊解を，２つ考える
= (1, 0), e2 = (0, 1)
2014 年度秋学期）　第７回(2014. 11. 6) http://racco.mikeneko.。そこで，n 次元の基本ベクトルe1 = (1, 0, · · · , 0), e2 =
期値x(t0) = e1 をみたすx′ = A(t)x の特殊解をξ1(t)，
初期値x(t0) = en をみたす特殊解をξn(t) とします。
ときの任意の初期値はx(t0) = x1e1+x2e2+· · ·+xnen
初期値
をみたすもの
初期値
をみたすもの
浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第７回(2014. 11. 6) x(t0) = e2 ξ2(t)，· ，初期値x(t0) = en x′ 。そこで，n 次元の基本ベクトルe1 = (1, 0, · · · , 0), e2 =
，初期値x(t0) = en をみたす特殊解をξn(t) とします。
x(t) とすると= = ，A(t t)= x のt0 一の般と解きをのx(任t) 意とすのる初とと期，，値t t = = はt0 t0 x(ののとt0) ときき= のの任x1e1+任意意のの初初期x2e2+期値ます。
のの形で表すことができます。
11. 6) http://racco.mikeneko.jp/　2/5 ページ
は，2次元の
基本ベクトル
）　第７回(2014. 11. 6) http://racco.mikeneko.jp/　2/5 ページ

このことは，(6) 式の１階微分方程式について，Lipschitz 条件（ことを示しています。したがって，この微分方程式の解は一意です条件2. がなりたつことの証明　次に，斉次形の方程式x′ = A(t)x ル空間をなす」ことの証明を示します。
このことは，(6) 式の１階微分方程式について，Lipschitz 条件（ことを示しています。したがって，この微分方程式の解は一意です条件2. がなりたつことの証明　次に，斉次形の方程式x′ = A(t)x にル空間をなす」ことの証明を示します。
n 階の方程式の場合，ベクトルx はn 次元です。そこで，n 次元の基(0, 1, 0, , 0), . . . , en = (0, 0, , 1) を考え，初期値x(t0) = e1 をみ初条件２の証明の概略
方に程，式斉次x′ 形= のA(方t)程x 式につx′ い= てA(，t)2. x のに「つ解いがてn ，次2. 元のベ「ク解ト
ます。
= (1, 0), e2 = (0, 1)
初期値
をみたすもの
初期値
をみたすもの
は，１次独立
= c2 = · · · = cn = 0のときだけだからです。
ここで，特殊解ξ1(t), ξ2(t), . . . , ξn(t) の１次結合x1ξ1(t)+x2ξ2(t)+· · ·+xnξn(のとき，この特殊解の初期条件から，この１次結合はやはりx1e1 + x2e2 + · このことは，一般解x(t) と，上記の特殊解の１次結合x1ξ1(t)+x2ξ2(t)+· この一方特，殊特殊解解ξ1(t), ξ2(t), . . . , ξn(t)は１次独立です。なぜならば，c1ξ1(t)+c2ξ2(がなりたっているとする時，t = t0 でもなりたつので代入すると，c1ξ1(t0)+c2ξ2(c1e1 + c2e2 + · · · + cnen = 0 となります。e1, e2, . . . , en は１次独立ですかc1 11. 6) http://racco.mikeneko.jp/　2/5 ページ
は，2次元の
基本ベクトル

このことは，(6) 式の１階微分方程式について，Lipschitz 条件（ことを示しています。したがって，この微分方程式の解は一意です条件2. がなりたつことの証明　次に，斉次形の方程式x′ = A(t)x ル空間をなす」明を示します。
このことは，(6) 式の１階微分方程式について，Lipschitz 条件（とを示しています。したがって，この微分方程式の解は一意です条件2. がなりたつことの証明　次に，斉次形の方程式x′ = A(t)x にル空間をなす」ことの証明を示します。
n 階の方程式の場合，ベクトルx はn 次元です。そこで，n 次元の基(0, 1, 0, , 0), . . . , en = (0, 0, , 1) を考え，初期値x(t0) = e1 をみ初となるノルムが存在します。たとえば，ユークリッドノルムではそうなり連続関数とすると，それを考えている区間内の任意の有界閉区間に対してから∥A(t)∥ には上限が存在します。
このことは，(6) 式の１階微分方程式について，Lipschitz 条件（講義第ことを示しています。したがって，この微分方程式の解は一意です。■
条件2. がなりたつことの証明　次に，斉次形の方程式x′ = A(t)x についル空間をなす」ことの証明を示します。
n 階の方程式の場合，ベクトルx はn 次元です。そこで，n 次元の基本ベ(0, 1, 0, · · · , 0), . . . , en = (0, 0, · · · , 1) を考え，初期値x(t0) = e1 をみたす初期値x(t0) = e2 をみたす特殊解をξ2(t)，· ，初期値x(t0) = en をみたe1 条件２の証明の概略
方に程，式斉次x′ 形= のA(方t)程x 式につx′ い= てA(，t)2. x のに「つ解いがn 次2. 元のベ「ク解ト
ます。
= (1, 0), e2 = (0, 1)
初期値
をみたすもの
初期値
をみたすもの
は，１次独立
= c2 = · · · = cn = 0のときだけだからです。
ここで，特殊解ξ1(t), ξ2(t), . . . , ξn(t) の１次結合x1ξ1(t)+x2ξ2(t)+· · ·+xnξn(のとき，この特殊解の初期条件から，この１次結合はやはりx1e1 + x2e2 + · このことは，一般解x(t) と，上記の特殊解の１次結合x1ξ1(t)+x2ξ2(t)+· この一方特= ，殊特(1, 殊解0), 解e2 ξ1(= t), (ξ2(0, 1)
t), . . . , ξn(t)は１次独立です。なぜならば，c1ξ1(t)+c2ξ2(∵
がなりたっているとする時，t = t0 でもなりたつので代入すると，c1ξ1(t0)+c2ξ2(c1e1 c1ξ1(t) + c2ξ2(t) = 0
が任意の t についてなりたつとする
浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第７回(2014. 11. 6) http://+ c2e2 + · · · + cnen = 0 となります。e1, e2, . . . , en は１次独立ですかc1 11. 6) http://racco.mikeneko.jp/　2/5 ページ
t = t0 のときも当然なりたつ
は，2次元の
基本ベクトル

2014年度秋学期　応用数学（解析）　第２部・基本的な微分方程式　／　第７回　２階線形微分方程式（１） (2014. 11. 6)

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