Tema d'iniciació a la geometría analítica per a 4t.

1. Unitat 3: Geometria Analítica
1. Vectors
2. Operacions amb vectors
2.1 Suma i resta gràficament
2.2 Suma i resta per coordenades
2.3 Multiplicació per un nombre
3. Equacions de la recta:
Vectorial, Paramètrica, Contínua, Punt-pendent, Explícita, General
Exemples d'equacions de diverses formes geomètriques
4. Propietats analítiques i mètriques
4.1 Distància entre dos punts
4.2 Càlcul del punt mitjà

2. 1. Vectors
Prèvia repàs coordenades
-Un vector és un segment orientat, amb un origen "A" i un
extrem "B", que anomenem AB.
A (a1
,a2
)
Exemples gràfics
-Mòdul: Longitud del segment.
-Direcció: Recta sobre la qual està situat (inclinació)
-Sentit: Manera d'anar d'origen a extrem (2)
-Coordenades: Indiquen quant avança en x, quant avança en y.
⃗AB=(b1−a1, b2−a2)
B (b1
,b2
)
p140 E1, 1, 2, 3, 4, 34, 35

3. Per Teorema de Pitàgores:
-Càlcul del mòdul
⃗v=(v1, v2)
p141 E2 amb dibuix, 6, 45, 46
v1
v2 ∣⃗v∣=√(v1)
2
+(v2)
2

4. 2. Operacions amb vectors
2.1 Suma i resta gràficament
Fitxa
⃗v
⃗u
⃗v+⃗u
⃗v
⃗u
⃗v−⃗u
−⃗u

5. 2.2 Suma i resta per coordenades
142 E4, 8, 9, retorn fitxa, 54, 55, 56, 57
⃗v=(v1, v2)
Si
⃗u=(u1, u2)
⃗v+⃗u=(v1+u1, v2+u2)
⃗v−⃗u=(v1−u1, v2−u2)
2.3 Multiplicació per un nombre
k ·⃗v=(k · v1, k · v2)
143 E5, 11, 12, 62, 63

6. 3. Equacions de la recta
3 exemples a dibuixar
Per definir una recta necessitem: -un vector director (direcció)
-un punt de pas.
(x , y)=(a ,b)+t ·(v1, v2)
x=a+t ·v1
Equació vectorial de la recta
y=b+t ·v2
A(a,b)
⃗v P(x,y)
Equacions paramètriques de la recta
Els 3 exemples, p144 E6, 14, 15, 16

7. x=a+t ·v1
y=b+t ·v2
Equació contínua de la rectap145 E7, 17, 18 i 19
t=
x−a
v1
t=
y−b
v2
x−a
v1
=
y−b
v2
x−a
v1
=
y−b
v2
; (x−a)
v2
v1
= y−b ; m=
v2
v1
Pendent de la recta
y−b=m(x−a)
y−b=mx−ma; y=mx−ma+b ; y=mx+n
Equació punt-pendent
Equació
explícitan
20, 22, 23
E9, 21
Pas eix y

8. x−a
v1
=
y−b
v2
Equació general
A
(x−a)· v2=( y−b)·v1 ;
(x−a)· v2−( y−b)· v1=0 ;
v2 · x−v2 · a−v1 · y+v1 ·b=0;
v2 · x−v1 · y−v2 ·a+v1 ·b=0;
B C
Ax+By+C=0
⃗v=(v1, v2)=(−B , A)
p147 E10, 23, 24, 25, 26, 65, 66, 67, 69, 70

9. Exemples d'equacions de diverses formes geomètriques
ax+by+c=0
x−a
v1
=
y−b
v2
x−a
v1
=
y−b
v2
=
z−c
v3
x2
+y2
+Dx+Ey+F=0 (x−a)2
+( y−b)2
+(z−c)2
=r2
Rectaalpla
Rectaal'espai
Circumferència
Esfera

10. y2
=2px z=
x2
a2
+
y2
b2
z=
y2
b2
−
x2
a2
Paràbola
Paraboloide
Paraboloidehiperbòlicx2
a2
−
y2
b2
=1
Hipèrbola
Hiperboloide
Hiperboloidede2fullesx2
a2
+
y2
b2
−
z2
c2
=1 z2
c2
−
x2
a2
−
y2
b2
=1

11. x2
a2
+
y2
b2
=1
El·lipse
El·lipsoide
Hèlixcircular
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
=1
x = a · cos t
y = a · sin t
z = h · t

12. 4. Propietats analítiques i mètriques
p148, 27, 28
4.1 Distància entre dos punts en el pla
d (A, B)=√(b1−a1)2
+(b2−a2)2
⃗AM =
1
2
· ⃗AB
Si A(a1
, a2
) i B(b1
, b2
)
(m1−a1, m2−a2)=
1
2
·(b1−a1, b2−a2)
E11, 29
d (A, B)=∣ ⃗AB∣
4.2 Punt mitjà d'un segment
A
B
M
m1−a1=
b1−a1
2
;
1a coor.
m1=
b1−a1
2
+a1=
b1−a1+2a1
2
=
b1+a1
2
M (b1+a1
2
,
b2+a2
2 )