matematika diskrit di universitas klabat

1. For download this slideclick: http://comscienceisland.wordpress.com/

2. KombinatorialdanPeluangDiskrit

3. DaftarIsi

4. Kombinatorial (combinatoric)adalahcabangmatematika yang mempelajaripengaturanobjek-objek. Contoh: Misalkan plat sebuahmobil yang terdiridari 2 hurufdan 4 digit angka. Berapabanyaknomor plat yang bisadibuat Password yang terdiridari 10 digit bisaberupaangkadankarakter. Berapabanyaksandi yang dapatdibuat

5. 6.1 Percobaan Melempardadu Kemungkinannyaadalahmunculangka 1,2,3,4,5 dan Melemparkoin Kemungkinanmunculdapatberupamukakoinataubelakangkoin

6. 6.2 KaidahDasarMenghitung KaidahPerkalian (rule of product) p* q hasilpercobaanatau p * q kemungkinanjawaban KaidahPenjumlahan(rule of sum) p + q hasilpercobaanatau p + q kemungkinanjawaban

7. Contoh 6.3 Sekelompokmahasiswaterdiridariatas 4 orangpriadan 3 wanita. Berapajumlahcaramemilihsatuorangwakilpriadansatuorangwakilwanita Jumlahkemungkinan yang dapatdipilihadalah 4*3=12

8. Contoh 6.4 Sekelompokmahasiswaterdiridari 4 priadan 3 wanita. Berapajumlahcaramemilihsatuorang yang mewakilikelompoktersebut(tidakpedulipriaatauwanita) Jikahanyasatuorang yang harusdipilih (priaatauwanita), makajumlahkemungkinan yang dapatdipilih 4+ 3 = 7

9. Contoh 6.6 Kursi-kursididalamruangakandiberinomordengansebuahhurufdiikutibilanganpositif yang tidaklebihdari 50 (mis: A12, B36 ) Berapajumlahmaksimumkursi yang dapatdinomori? Jumlahpenomorankursi yang dapatdibuatadalah 26*50=1300. jadi, jumlahmaksimumkursi yang dinomori 1300 buah

11. Contoh 6.8 Jikaadasepuluhpertayaan yang masing-masingbisadijawabbenaratausalahberapakahkemungkinankombinasijawaban yang dapatdibuat? (2)(2)(2)(2)(2) (2)(2)(2)(2)(2)=210

12. Contoh 6.10 Berapaperpustakaanmemiliki 6 bukuberbahasainggris, 8 buahbukuberbahasaperancis, dan 10 buahbukuberbahasajerman. Masing-masingbukuberbedajudulnyaberapajumlahcaramemilih (a) 3 buahbuku, masing-masingdaritiapbahasaberbedadan (b) 1 buahbuku (sembarangbahasa) (6)(8)(10)=480 cara 6+8+10=24 cara

13. Contoh 6.12 Berapanilai k sesudahkode program pascaldieksekusi K= n1+n2+…nM

14. 6.4 PrinsipInklusi - Eksklusi Misalkan A= himpunanbyte yang dimulaidengan ‘11’ B= himpunanbyte yang dimulaidengan ‘11’ A ∩ B= himpunan byte yang berawaldanberakhir ’11’ Maka A ∪ B= himpunan byte yang berawaldengan ‘11’ atauberakhirdengan ‘11’

15. jumlah Byte yang dimulaidari ‘11’ adalah 26= 64 buah Dengancara yang sama, jumlah byte yang diakhiridengan ‘11’ adalah 26=64 buah . Jadi, |B| = 64 jumlah byte yang berawaldanberakhirdengan ’11’ ada 24=16 buahJadi,|A ∩ B|=16 denganmenggunakanprinsipinklusi –eksklusi, makajumlah byte yang dimulaidengan ‘11’ atauberakhirdengan ‘11’ adalahsebanyak |A ∪ B |=|A| + |B| - |A ∩ B| = 26 + 26 -16 = 64 + 64 -16 = 112 buah

16. 6.5 Permutasi Misalkantiga bola, akandimasukandalam 3 kotak

17. Misalkanurutanitukitasimbolkanxyz. Urutanpertamaditempatiolehsalahsatudari 3 buah bola, (x) Urutankeduaditempatiolehsalahsatudari 2 buah bola, (y) Urutanketigaditempatioleh bola (z) yang sisasehingga (3)(2)(1)=3!=6

18. Diagramapermutasi

19. Definisi Permutasir dann objekadalahjumlahkemungkinanurutanr buahobjek yang dipilihdarin buahobjek , denganr ≤ n, yang dalamhalini, padasetiapkemungkinanurutantidakbolehadaobjek yang sama Perhatikanbahwabila r=n, maka P(n,n)= n!/ (n-n)!= n!/0!= n!/1= n!

20. Contoh 6.19 Berapabanyakkata yang terbentukdarikata “BOSAN”? Cara 1: (5)(4)(3)(2)(1) = 120 buahkata Cara 2: P(5,5)=5 ! = 120 buahkata

21. Contoh 6.24 Berapabanyak

22. PermutasiMelingkar Misalkanada 10 orangdandudukpada 10 kursi. P(10,10)= 10! . Kemudianmerekadisuruhdudukmelingkar , berapabanyakcarapengaturantempatdudukbagimereka? Satuorangdapatdudukdimanasaja. Sembilan lainnyadapatdudukdalam 9!

23. Definisipermutasimelingkar Permutasimelingkardarin objekadalahpenyusunanobjek-objek yang mengelilingisebuahlingkaran (ataukurvatertutupsederhana). Jumlahsusunanobjek yang mengelilingilingkaran (n-1)!

24. 6.6 Kombinasi Permutasiurutankemuculandiperhitungkan Kombinasiurutankemuculandiabaikan Definisi: Kombinasi r elemendari n elemenadalahjumlahpemilihan yang terurut r elemen yang diambildari n buahelemen

25. InterpretasiKombinasi 1. misalkan A= {1,2,3} JumlahHimpunanbagiandengan 2 elemen yang dapatdibentukdarihimpunan A ada 3 buah , yaitu: {1,2}={2,1} {1,3}={3,1} {2,3}={3,2} Atau 3!/(3-2)!2!= 3!/1!2!= 3 buah

26. Contoh 6.29 String bineryang panjangnya 32 bit disusunolehangka 1 atau 0, berapabanyakstringbiner yang tepatberisi 7 buah bit 1? Memasukan 7 buah bit 1 kedalam 32 kotak, sisanyaadalah (0). Banyaknyastring biner yang terbentukadalah C(4,3)=4buah

27. Contoh 6.31 Sebuahkarakterdalamsistem ASCII berukuran 1 byte atau 8 bit (1 atau 0). Berapabanyakpola bit yang terbentuk? (atauberapabanyakkarakter yang dapatdirepresentasikan) Berapabanyakpola bit yang mempunyai 3 bit 1? Berapabanyakpola bit yang mempunyai bit 1 sejumlahgenap?

28. Posisi bit dalam 1 byte Kemudianposisi 0 dapatdiisidengan 2 cara (1 atau 0 ) Dst Sampai: posisi 7 dapatdiisidengan 2 cara (1 atau 0) Makadaripoladiataskitadapatkanjumlahpola bit yang terbentuk: 28= (2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)

29. (b). C(8,3) = 56 (c). Banyaknyapola bit yang mempunyai 0 buah bit 1 = C(8,0) Banyaknyapola bit yang mempunyai 2 buah bit 1 = C(8,2) Banyaknyapola bit yang mempunyai 4 buah bit 1 = C(8,4) Banyaknyapola bit yang mempunyai 6 buah bit 1 = C(8,6) Banyaknyapola bit yang mempunyai 8 buah bit 1 = C(8,8) Jadibanyaknyapola bit yang mempunyai bit 1 sejumlahgenap = C(8,0) + C(8,2) + C(8,4) + C(8,6) + C(8,8)

30. PermutasiBentukUmum P(n;n1,n2,…,nk)= P(n,n)/ n1!n2!...nk! Persamaandiatasditerapkanuntukmenghitungpengaturan / pengurutannbuahobjekdarihimpunanganda S (himpunan S darin buahobyek yang tidakperlusemuanyaberbeda). Inidisebutpermutasibentukumumterhadap S

31. Kombinasibentukumum C(n;n1,n2,…,nk)= n! / n1!n2!n3!...nk! Apabila S adalahhimpunangandadengann buahobjek yang adadidalamnyaterdiriatask jenisobjekberbeda, dantiapobjekmemilikimultiplisitasn1,n2,…,nk

32. Contoh 6.37 12 lembarkartonakandiwarnaisehingga 3 diantaranyaberwarnamerah, 2 berwarnakuning, dansisanyaberwarnabiru. Berapajumlahcarapengecatan? Diketahui N1=3, n2=2, n3=2, n4=5, dan n1+n2+n3+n4=12 Jumlahcarapengecatan= P(12,3,2,2,5)=

33. KombinasidenganPengulangan Jikamasing-masingkotakhanyabolehdiisi paling banyaksatubuah bola, makajumlahcaramemasukkan bola kedalamkotakadalah C(n,r) jikamasing-masingkotakbolehlebihdarisatu bola (tidakadapembatasanjumlah bola), makajumlahcaramemasukkan bola kedalamkotakadalahC(n+r-1,r) C(n+r-1,r)= C(n+r-1,n-1).

34. Contoh 6.43

35. Contoh 6.44

36. 6.9 Koefisien Binomial Sukupertamaadalahxn, sedangkansukuterakhiradalahyn. Padasetiapsukuberikutnya, pangkatxberkurangsatusedangkanpangkatybertambahsatu. Untuksetiapsuku, jumlahpangkatx dany adalahn Koefisienuntukxn+kyk, yaitusukuke –(k+1) adalahC(n,k). BilanganC(n,k) disebutkoefisien binomial

37. Teorema Binomial

38. Contoh 6.47 Jabarkan (3x-2)3 Asumsikan a=3x dan b=-2, maka

39. Segitiga Pascal (x+y)0=1 (x+y1=x+y (x+y)2=x2+2xy+y2 (x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3

40. PrinsipSarangMerpati Teorema: jikan+1ataulebihobjekditempatkandidalamn buahkotak , maka paling sedikitterdapatsatukotak yang berisiduaataulebihobjek

41. Contoh 6.51

42. PeluangDiskrit

45. reflection If you always put limit on everything you do, physical or anything else. It will spread into your work and into your life. There are no limits. There are only plateaus, and you must not stay there, you must go beyond them.”

46. For download this slideclick: http://comscienceisland.wordpress.com/