6. Problema de Transporte sob a forma de Rede. Exemplo Protótipo. Fábricas Armazéns 1 2 3 1 2 3 4 c 11 x 11 c 34 x 34

7. Problema de Transporte. Do Exemplo ao Modelo do PT Cargas de leite Unidades de um produto 3 fábricas m origens 4 armazéns n destinos Produção da fábrica i a i oferta da origem i Procura no armazém j b j procura no destino j Custo de transporte por carga da fábrica i para o armazém j c ij custo por unidade transportada da origem i para o destino j

8. Problema de Transporte. Do Exemplo ao Modelo do PT x ij cargas a distribuir da fábrica i para o armazém j x ij unidades a distribuirda origem i para o destino j Determinar o plano óptimo de distribuição diária do leite das fábricas pelos armazéns tendo como objectivo a minimização do custo total Determinar o plano óptimo de distribuição desse produto das origens pelos destinos tendo como objectivo a minimização do custo total

9. Problema de Transporte. Caso Equilibrado. Oferta total = Procura total Um problema de transporte está equilibrado se a oferta total é igual à procura total, caso contrário está não equilibrado .

10. Problema de Transporte.Caso equilibrado. Exemplo protótipo Oferta total = Procura total Para o exemplo protótipo a oferta total é igual à procura total . Este problema está equilibrado. Destino Origem 1 2 3 4 Oferta 1 2 3 6 8 10 Procura 4 7 6 7 24 =24 1 2 4 4 3 4 x 11 x 12 x 14 x 21 x 22 x 24 3 x 13 2 x 23 0 2 1 x 31 x 32 x 34 2 x 33

11. Problema de Transporte. Formulação como problema de PL. Minimizar sujeito a: restrições de oferta restrições de procura

12. Problema de transporte sob a forma de rede. Origens Destinos c 11 x 11 c ij x ij c mn x mn Esta figura ilustra o problema de transporte sob a forma de rede representados por nodos e arcos. Os nodos representam as origens e os destinos e os arcos representam os percursos das origens aos destinos através dos quais o produto pode ser transportado. a 1 a i a m b 1 b j b n 1 i m . . . . . . 1 j n . . . . . .

13. Problema de Transporte. Estrutura especial da matriz de restrições. O problema de transporte apresenta uma estrutura especial evidenciada pela disposição das restrições : A matriz dos coeficientes das restrições é apenas constituída por uns (1) e zeros (0) . Cada variável x ij tem como coeficientes apenas 2 uns : um na linha associada à origem i e outro na linha relativa ao destino j restrições dos destinos restrições das origens x 11 x 12 ... x 1n x 21 x 22 ... x 2n … x m1 x m2 ... x mn A= . . . . . .

14. Problema de Transporte. Oferta total superior à procura total Adicionar destino fictício Destino Origem 1 2 … n n+1 Oferta 1 2 . . . m a 1 a 2 . . . a m Procura b 1 b 2 … b n  a i -  b j c 11 c 12 c 1n c 21 c 22 c 2n c m1 c m2 c mn x 11 x 12 x 1n … x 21 x 22 x 2n … x m1 x m2 x mn … . . . . . . . . . 0 0 0 x 1 n+1 x 2 n+1 x m n+1

20. Oferta total superior à procura total. Exemplo 1. Quadro do problema de transporte. Este problema reformulado como problema de transporte apresenta o seguinte quadro: Os custos são calculados tomando os dados dos custos de produção e de armazenamento. Por exemplo para a variável x 24 que representa o número de motores produzidos no mês 2 a serem instalados no mês 4, o custo correspondente c 24 = 1.11 + 0.015+0.015 =1.140 Como a oferta total é superior à procura total foi adicionado um destino fictício com uma procura igual a : Oferta Total -Procura Total = 100 -70 = 30 u.

21. Problema de Transporte. Oferta total inferior à procura total Origem fictícia Destino Origem 1 2 … n Oferta 1 2 . . . m m+1 a 1 a 2 . . . a m Procura b 1 b 2 … b n  b j -  a i c 11 c 12 c 1n c 21 c 22 c 2n c m1 c m2 c mn x 11 x 12 x 1n … x 21 x 22 x 2n … x m1 x m2 x mn … . . . . . . . . . 0 0 0 x m+1,1 x m+1,2 x m+1,n …

27. Oferta total inferior à procura total Exemplo 2. Quadro do problema de transporte. Como a oferta total é inferior à procura total foi adicionada uma origem fictícia com uma oferta igual a: Procura Total -Oferta Total = 210 -160 = 50 unidades.

28. Oferta total inferior à procura total Exemplo 2. Análise do rio fictício. Para satisfazer as necessidades mínimas de água é preciso re-analisar os dados para cada cidade de forma a garantir que o mínimo procurado não seja fornecido pelo rio fictício. Cidade 3 : Como não tem necessidade mínima, então não é preciso alterar nada. Cidade 4 : procura > necessidade (60 > 10). Como o rio fictício fornece apenas 50 unidades, pelo menos fica garantido que as 10 unidades mínimas não podem ser obtidas deste rio. Não é preciso alterar nada.

29. Oferta total inferior à procura total Exemplo 2. Análise do rio fictício. Cidade 2 : procura = necessidade Esta cidade não pode ser fornecida pelo rio fictício . Para isto é preciso penalizar com M o percurso que une o rio fictício com a cidade 2. Cidade 1 : procura > necessidade Esta cidade deve ser dividida em 2 destinos : um que verifica a necessidade mínima (onde o rio fictício fica penalizado ) e o outro que corresponde à quantidade de água que pode ser tomada além do requerimento mínimo.

30. Oferta total inferior à procura total Exemplo 2. Formulação como P.T. O rio fictício está penalizado para a cidade 2 A cidade 1 foi dividida em duas para garantir as necessidades mínimas de 30 unidades. O rio fictício está penalizado para a cidade 1'. Este é o quadro final dos custos para o problema de distribuição da água, formulado como problema de transporte:

33. Base e Solução Básica Admissível para o PT. Como m=3 e n=4 e a característica de A, c(A)=m+n-1=6, qualquer base B tem dimensão 6x6. Uma base pode ser obtida, por exemplo, tomando as colunas P 11 , P 12 , P 22 , P 23 , P 33 , P 34 e eliminando à restrição 4. Trocando as linhas obtém-se uma matriz B triangular P 11 P 12 P 13 P 14 P 21 P 22 P 23 P 24 P 31 P 32 P 33 P 34 (1) 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 (2) 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 (3) 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 (4) 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 (5) 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 (6) 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 (7) 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 A= P 11 P 12 P 22 P 23 P 33 P 34 (1) 1 1 0 0 0 0 (2) 0 0 1 1 0 0 (3) 0 0 0 0 1 1 (5) 0 1 1 0 0 0 (6) 0 0 0 1 1 0 (7) 0 0 0 0 0 1 B = P 11 P 12 P 22 P 23 P 33 P 34 (1) 1 1 0 0 0 0 (5) 0 1 1 0 0 0 (2) 0 0 1 1 0 0 (6) 0 0 0 1 1 0 (3) 0 0 0 0 1 1 (7) 0 0 0 0 0 1 B =

34. Uma Solução básica Admissível para o PT. X B x 11 x 12 x 22 x 23 x 33 x 34 6 7 8 6 10 7 = Uma SBA do problema é: X = (4, 2, 0, 0, 0, 5, 3, 0, 0, 0, 3, 7) Como a matriz B é triangular a solução do sistema é imediata : P 11 P 12 P 22 P 23 P 33 P 34 (1) 1 1 0 0 0 0 (5) 0 1 1 0 0 0 (2) 0 0 1 1 0 0 (6) 0 0 0 1 1 0 (3) 0 0 0 0 1 1 (7) 0 0 0 0 0 1 x 34 =7 x 33 + x 34 =10 x 23 + x 33 = 6 x 33 =3 x 23 =3 x 22 + x 23 = 8 x 22 =5 x 12 + x 22 = 7 x 12 =2 x 11 + x 12 = 6 x 11 =4