matematicas

1. MATEMÁTICA FINANCIERA
PARA FINANCIEROS
Carlos Alberto Montealegre Escobar.
Administrador financiero.

2. CONTENIDO
o Las tasas de interés.
o Interés simple.
o Interés compuesto.
o Tasa de interés real (precios corrientes y
constantes)
o Tasa de devaluación (TRM)
o UVR
o DTF

3. o Valor del dinero en el tiempo
o Pagos únicos.
o Inversiones de pago único
o Serie de pagos iguales
oAnualidades vencidas
o Valor presente de una anualidad vencida
o Valor futuro de una anualidad vendida
oAnualidades anticipadas
o Valor presente de una anualidad anticipadas
o Valor futuro de una anualidad anticipadas

4. o Pagos con variación constante.
o Gradientes lineales
oCrecientes
oDecrecientes
o Gradientes geométricos
oCrecientes
oDecrecientes

5. o Evaluación de flujos de fondos
o Tasa interna de retorno (TIR)
o Tasa interna de oportunidad (TIO)
o Valor presente neto(VPN)
o Periodo de recuperación de la inversión (PRI)
o Costo Anual Equivalente (CAE)

6. LAS TASAS DE INTERÉS

7. 1. Corriente y/o corriente bancaria
2. Tasa de usura
3. Al contado
4. Tasa real
5. Tasa Vencida
6. Tasa Anticipada
7. Tasa periódica o anticipada
8. Tasa nominal
9. DTF

8. 1) Corrientes
La tasa de interés corriente, toda aquella tasa cobrada por un prestamista por debajo
de la tasa de usura; sin embargo cuando en Colombia se habla de tasa de interés
corriente, e lo mismo que la tasa de interés corriente bancaria, la cual es el promedio
ponderado de las colocaciones realizadas por las instituciones financieras cobrada a
sus clientes para los créditos de libre inversión.
2) Tasa de usura
Corresponde a una tasa superior en la mitad a la tasa de interés corriente que
cobran los bancos por sus créditos de libre asignación. Esta tasa será expresada en
términos efectivos anuales
3) Al contado (spot)
Tasa de cambio entre dos monedas que permite realizar las operaciones en el
mismo día, un tipo operación spot , es una operación de contado.
4) Tasa real
Cuando hablamos de tasas reales, estamos frente a tasa que no poseen el efecto de la
inflación y que refleja el costo de los bienes o servicios sobre un periodo base definido.

9. 7) Tasas periódica o efectiva
Hace relación a la tasa remuneratoria del capital utilizada para un periodo definido .
8) Tasas Nominal
Hace relación a la tasa remuneratoria del capital utilizada para un periodo
definido, pero expresada en periodos anuales .
5) Tasas vencida
Hace relación a las operaciones que remuneran el uso del capital al final de un
periodo definido.
6) Tasas anticipada
Hace relación a las operaciones que remuneran el uso del capital al inicio de un
periodo definido.

10. LAS FECHAS DE CALCULO
• Días reales = Diferencia en días exactos entre
dos fechas dadas
• Días contables = diferencia en días para meses
de 30 días entre dos fechas dadas.
• Días reales/año de 365 días
• Días contables/ años de 360 días

11. COMPOSICIÓN DE LOS PERIODOS
Días 360
Meses 12
Bimestres 6
Trimestre 4
Cuatrimestres 3
Semestres 2
Cuando existen periodos no exactos de calculo como es el caso de días
corridos desde una fecha “A” hasta una fecha “B” normalmente se tiene que
utilizar periodos de 365 días a menos que se especifique lo contrario.

12. CONCEPTO
DE «TASA DE INTERÉS»
• Las tasas de interés es el porcentaje que un
inversionista obtiene por invertir sus recursos,
hacia una fecha futura. Esta rentabilidad puede
ser obtenida de manera anticipada, para lo cual
hablaremos de interés anticipado o podemos
recibirla al final para lo cual estaremos hablando
de interés vencido. Cuando no se especifica si la
tasa es vencida o anticipada se entiende que la
tasa es vencida cuando se habla del monto
ganado por invertir un dinero determinado,
estamos hablando de los intereses.

13. INTERÉS SIMPLE
• Es el que obtiene un inversionista por el
capital invertido, pero excluyendo de dicha
rentabilidad los ingresos percibidos por dicha
inversión; en otras palabras los intereses
ganados no pueden producir rentabilidad.

14. INTERÉS COMPUESTO
• Resulta de la rentabilidad obtenida tanto por
el capital como por los intereses, toda vez que
el interés generado es un excedente de
recursos que al ser reinvertidos dentro del
mismo negocio generan la misma
rentabilidad.

15. TASAS NOMINALES Y EFECTIVAS
• TASAS NOMINALES
– La tasa nominal, es aquella que se expresa como
el producto de la tasa periódica, por el numero de
veces que la misma se aplicaría en un año.
Así una tasa periódica del 2% mensual, en términos
nominales equivaldría a decir el 2% * 12 = 24%
anual por mes vencido.
Si la tasa es del 5% trimestral, tendríamos una tasa
anual, trimestre vencido del 20%

16. Esta función permite convertir una tasa efectiva anual a nominal
anual, esto significa el numero de veces que dicha tasa se
convertirá en el año. Al dividir una tasa nominal encontramos la
periódica.

17. Esta función permite convertir una tasa nominal anual, a
efectiva anual; esto significa que una tasa nominal que convierte
n veces al año se convertirá en una tasa de una sola aplicación al
año, o lo que es lo mismo, esta tasa no se podrá dividir

18. FUNCIONES A DESARROLLAR EN EXCEL
PARA INTERESES ANTICIPADOS
Excel no maneja funciones para realizar equivalencias entre
tasas vencidas y anticipadas, por tal razón se tiene que utilizar
funciones diseñadas por el usuario para poder realizar los
cálculos requeridos
Ecuación para calcular la tasa
equivalente de una nominal anticipada
a efectiva anual
Ecuación para calcular la tasa
equivalente de una efectiva anual a
nominal anticipada

19. Procedimiento corto de calculo
Para pasar una tasa nominal a otra nominal , se requiere calcular
primero la efectiva anual y luego la nominal anual requerida
Procedimiento largo de calculo
Con esta ecuación tomamos la tasa dada en términos
nominales como «TD» y «n» con el numero de
capitalizaciones al año, si estas son anticipadas se
colocan con signo negativo; y el «m» simboliza el
numero de capitalización requeridas por año para la
nueva tasa, de igual forma que «n» en caso de ser
anticipada se coloca con el signo negativo.

20. CREANDO LAS FUNCIONES
PERSONALIZADAS EN EXCEL
Para crear un complemento en VBA tenemos que tener activada la cinta de programador
(1) en nuestro programa de Excel.
Una vez estemos ubicados en esta cinta seleccionamos el menú de código y en el
seleccionamos Visual Basic (2).
Como lo que vamos es ha crear un complemento, el libro de Excel que vamos utilizar solo
contendrá este código
1
2
Una vez seleccionada la opción descrita
como 2, pasamos al editor de VBA en el cual
seleccionamos el menú insertar (3) y
escogemos la opción Modulo (4) la cual nos
crea una nueva hoja de programación
3
4

21. CÓDIGOS EN VBA
Una vez en la pagina en blanco del editor de VBA procedemos a escribir los textos que
aparecen en la grafica.
En la primera línea le indicamos al editor que vamos a crear una función seguida del
nombre de la ecuación, y entre paréntesis y separado por comas las variables que la
conforma. Al dar Enter el automáticamente cierra la instrucción creando una línea con la
instrucción «End Function». Entre estas dos instrucción se escribe la función que
requerimos .

22. COMO LAS VISUALIZAMOS EN EXCEL
Seleccionamos inicialmente
Fx de la línea de edición de
ecuaciones, y luego
desplegamos las categorías
de funciones, donde
encontramos «Definidas
por el usuario»
Una vez seleccionada esta categoría,
pasamos a seleccionar nuestra funciones
creadas, hasta este momento solo para
este libro de Excel

23. TASAS DIFERENTES PARA PERIODOS
HOMOGÉNEOS O IGUALES
En ocasiones, tenemos la obligación calcular la rentabilidad de un valor teniendo
rentabilidades diferentes para cada periodo utilizamos la siguiente ecuación:
Para Excel el calculo se realiza mediante
la función VF.Plan en la cual se
incorpora la secuencia de tasas .Donde
el valor principal equivale a la unidad y
al final de la ecuación se resta la unidad.

24. INTERÉS REAL
• En las economías actuales uno de los
fenómenos que afecta la capacidad adquisitiva
de los recursos en la inflación. Esta deteriora
el poder adquisitivo de los recursos de un
periodo determinado. Se entiende que una
inversión genera riqueza cuando los dineros
invertidos obtienen una ganancia por encima
de la perdida de poder adquisitivo del dinero.

26. TASA REPRESENTATIVA DE MERCADO
(TRM)
• La devaluación es el resultado de la perdida de
valor de una moneda frente a otra. En el caso de
Colombia esta devaluación se mide frente al
dólar. En los últimos años se ha venido
presentando un fenómeno distinto denominado
la revaluación o apreciación del peso frente al
dólar lo que ha generado una perdida de
competitividad de nuestra economía frente a la
americana; el precio al cual se cotiza nuestra
moneda frente a la americana es lo que
conocemos como la tasa representativa de
mercado.

27. UNIDAD DE VALOR REAL (UVR)
• La unidad de valor real UVR, remplazo el
sistema UPAC en Colombia; este índice
arranco con un valor inicial de 100 frente al
peso y se ajusta mensualmente con la
Corrección Monetaria CM que no es otra cosa
que la inflación causada en un periodo
determinado. En otrora la CM se calculaba con
otros componentes que generaron la crisis
hipotecaria en Colombia.

28. Depósitos a Termino Fijo
DTF
• Los Depósitos a Termino Fijo son el promedio de
captación del sistema financiero Colombia a
diferentes periodos de tiempo. El mas utilizado es
la DTF a noventa días, y su calculo se realiza por
trimestre anticipado. Esta tasa a sido utilizada
para calcular los intereses a cancelar en diversas
operaciones de crédito y permiten tener un
componente que se ajusta a los cambios
macroeconómicos de las tasas de interés en
Colombia.

29. TASA DE INTERÉS PONDERADA
• Para realizar el costo promedio de diversas tasas
realizamos el siguiente procedimiento:
– Calculamos las tasas equivalente periódica para todas
las tasas.
– Calculamos el peso relativo que tiene cada deuda o
inversión respecto del monto total.
– Multiplicamos el peso relativo por la tas equivalente
calculada.
– Sumos dicha multiplicación para obtener la tasa
promedio ponderada nominal o efectiva según el
caso.

30. FORMULA COMPUESTA
12
MONTO TASA PERIODOS T-NOMINAL PESO T-ABS
35.000.000,00 24,00% (6) 24,74% 17,50% 4,33%
55.000.000,00 22,00% 4 21,61% 27,50% 5,94%
30.000.000,00 21,00% 12 21,00% 15,00% 3,15%
45.000.000,00 22,00% 1 20,05% 22,50% 4,51%
35.000.000,00 18,00% (12) 18,27% 17,50% 3,20%
200.000.000,00 100,00% 21,13%
PERIDOS REQUERIDOS
Para el calculo de la tasa promedio ponderado siempre se toma
una tasa periódica base, en la mayoría de los casos se toma
como tasa para el calculo del wacc la tasa efectiva anual.

31. VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO
• PAGOS ÚNICOS:
– Los pagos únicos se presentan cuando tenemos un
valor que pagamos hoy para obtener un valor en el
futuro, o cuando, tenemos que cubrir una obligación
en el futuro la anticipamos y la cubrimos a un valor
equivalente hoy.
– En los periodos comprendidos entre el primer y el
ultimo pago no existen pagos adicionales ni de
intereses ni de capital, lo cual permite utilizar una
función matemática que resume estos dos
eventos, teniendo siempre para ello una tasa de
descuento o tasa de interés periódica, y un numero de
periodos en los cuales se capitaliza el valor inicial.

32. Las líneas de tiempo equivalentes

33. La función utilizada para un pago en el futuro teniendo un valor presente con
una tasa periódica definida y un plazo establecido es:
Vp
Vf
n
Ip
0
De la ecuación anterior y por despeje se deprenden el calculo de cada una de las
ecuaciones que permiten hallar :
El valor presente de un pago futuro
El numero de periodos para que se logre un valor presente y un valor futuro a una
tasa determinada, y
La tasa de interés que se requiere para que un valor presente y futuro en
determinado tiempo se cumplan.

34. PAGOS IGUALES O ANUALIDADES
• Los pagos anuales tanto para el calculo del valor
presente como para el calculo del valor futuro tiene
como fundamento la conformación de una cantidad
que contiene capital e intereses, pero que siempre al
sumarse se obtiene el mismo valor a cancelar.
• Cuando el valor de estos pagos se inicia después del
tiempo 1 se dice que las mismas son diferidas o con
periodos de gracia.
• Si los pagos inician en el periodo cero se dice que son
anualidades anticipadas, que nada tiene que ver con
las tasas de interés anticipadas ya que estas
anualidades tiene los intereses vencidos.

35. VALOR DE SALVAMENTO MAS CUOTA
MENSUAL

36. GRADIENTES
• Los gradientes son progresiones aritméticas o
geométricas que pueden crecer o decrecer
con el tiempo, manteniendo la periodicidad
en las progresiones y la tasa de interés.

37. GRADIENTES
CRECIENTES DECRECIENTES

38. FORMULACIÓN EN EXCEL
Utilizando la programación en VBA permite el
calculo de los gradientes en Excel, con la función
IF….then…. Else se podrá realizar una programación
de toma de decisiones, donde la variable «tipo» se
podrá utilizar con «0» para los gradientes creciente
y con «1» para los gradientes descendiente.

39. VPGL
Function VPGL(gl, Nper, tasa, pago, tipo)
a = (gl / tasa) * (((1 - (1 + tasa) ^ -Nper) / tasa) - (Nper / (1 + tasa) ^
Nper))
b = pago * ((1 - (1 + tasa) ^ -Nper) / tasa)
If tipo <> 1 Then
VPGL = a + b
Else
VPGL = a * -1 + b
End If
End Function

40. VFGL
Function VFGL(gl, Nper, tasa, pago, tipo)
a = (gl / tasa) * (((((1 + tasa) ^ Nper) - 1) / tasa) - Nper)
b = pago * ((((1 + tasa) ^ Nper) - 1) / tasa)
If tipo <> 1 Then
VFGL = a + b
Else
VFGL = a * -1 + b
End If
End Function

41. CONTINUACIÓN
Function VPGG(gg, tasa, Nper, pago, tipo)
If tasa = gg Then
VPGG = pago * Nper / (1 + tasa)
Else
If tipo <> 1 Then
VPGG = (pago / (tasa - gg)) * (1 - ((1 + gg) / (1 + tasa)) ^ Nper)
Else
VPGG = (pago / (tasa + gg)) * (1 - ((1 - gg) / (1 + tasa)) ^ Nper)
End If
End If
End Function

42. CONTINUACIÓN
Function VFGG(gg, tasa, Nper, pago, tipo)
If tasa = gg Then
VFGG = pago * Nper * (1 + tasa) ^ (Nper - 1)
Else
If tipo <> 1 Then
VFGG = (pago / (tasa - gg)) * ((1 + tasa) ^ Nper - (1 + gg) ^ Nper)
Else
VFGG = (pago / (tasa + gg)) * ((1 + tasa) ^ Nper - (1 - gg) ^ Nper)
End If
End If
End Function

43. FUNCIONES EN EXCEL
Las funciones de valor presente y valor futuro en
Excel tiene la posibilidad de incluir un pago tanto al
final como al comienzo del horizonte de tiempo,
también tiene la posibilidad de elegir si la cuota a
pagar es anticipada o vencida. En esta ecuación
incluimos la ecuación de pago único al principio
mas la ecuación de anualidades vencidas al final.

44. Permite calcular el valor presente de un pago
futuro, un pago periódico anticipado o vencido y
un pago final con pago periódicos iguales.

45. Permite calcular el valor futuro de un pago
presente, mas unos pagos periódicos anticipados
o vencidos periódicos iguales.

46. funciones para el calculo de cada una
de las variables de la función VA y VF
Despeja el total de periodos requeridos para
igualar un valor futuro mas un valor
presente mas anualidades vencidas o
anticipadas, teniendo una tasa establecida
para todos los periodos.
Despeja la tasa de interés requerida para
hacer que la suma de un pago presente mas
un pago futuro mas una serie de pagos
iguales correspondan un numero de periodos
establecidos.
Permite calcular el valor periódico de una serie
de pagos iguales, en los cuales se puede o no
incluir un valor presente o inicial y un valor
futuro. Estas anualidades pueden ser vencidas
o anticipadas.

47. Los pagos periódicos se componen de capital e interés, esto quiere decir que a
pesar de que los pagos sean iguales los montos de interés disminuyen
mientras que el pago a capital aumenta , pero la suma de los dos termina
siempre siendo el mismo valor.
Determina cual es valor de los intereses de una cuota determinada; en este caso
periodo significa la cuota a calcular
Determina cual es el valor del capital de una cuota determinada; en
este caso, periodo significa la cuota a calcular

48. En ocasiones es necesario determinar cual es valor del capital pagado de un
grupo de pagos, al igual que el monto de los intereses. Esto se hace útil
cuando queremos determinar el saldo de una obligación en momento
determinado.
Esta función determina el total del valor pagado en intereses entre un
grupo de cuotas
Esta función determina el total del valor pagado en capital entre un grupo
de cuotas determinado

50. MODELO DE CUOTA FIJA
• EL MODELOS CALCULA
– CUOTA FIJA VENCIDA
– CUOTA FIJA ANTICIPADA
– CUOTA FIJA CON PERIODO DE GRACIA
– CUOTA FIJA ANTICIPADA CON PERIODO DE GRACIA

51. CONSTRUCCIÓN DEL PLAN DE
AMORTIZACIÓN
TASA NOMINAL EQUIVALENTE
PLAN DEAMORTIZACIÓN
DESCRIPCIÓN VALORES
TIPO
PERIODO DE GRACIA
PLAZO TOTAL
01/05/2011
15.000.000,00
23,00%
36
12
20,88%
FECHA DE DESEMBOLSO
VALOR INICIAL
TASA DE INTERÉS EFECTIVA
PAGOS TOTALES
PAGOS AL AÑO
CUOTA PERIÓDICA $ 564.210,02
-
12
48
01/05/2014FECHA FINAL DE PAGO
El presente modelo de Excel
permite calcular planes de
pago con periodos de gracia,
y cuotas anticipadas o
vencidas.
A nivel visual muestra las
celdas vacías para los campos
que no tiene valores. En el
momento de imprimir se
requiere seleccionar el área a
imprimir para evitar la salida
de paginas en blanco

52. DATOS DE SALIDA DE LOS PLANES DE
PAGO
PERIODO
CUOTA
FECHA PAGO
SALDO
CAPITAL
INTERESES
EL PERIODO DETERMINA EL HORIZONTE DE TIEMPO DEL PAGO
LA CUOTA DETERMINA EL NUMERO DEL PAGO A REALIZAR
LA FECHA DE PAGO INDICA CUANDO TERMINA UN PERIODO
EL SALDO NOS PERMITE DETERMINAR CUANDO SE ADEUDA
DETERMINA DEL VALOR DE LA CUOTA CUAL ES EL VALOR A CAPITAL
DETERMINA DEL VALOR DE LA CUOTA CUAL ES EL VALOR DE LOS
INTERESES

53. FORMULACIÓN DEL
MODELO EN EXCEL
PERIODO 0
CUOTA SI(Y(D91;D100);1;0)
FECHA PAGO SI(A17"";"";FECHA.MES($D$3;12/$D$7*A17))
SALDO SI(A17"";"";SI(B17>0;$D$4+PAGO.PRINC.ENTRE($D$8/$D$7;$D$6;$D$4;1;B17;$D$9);$D$4))
CAPITAL SI(A17"";"";SI(B17>0;-PAGOPRIN($D$8/$D$7;B17;$D$6;$D$4;;$D$9);0))
INTERESES SI(A17"";"";SI(B17>0;-PAGOINT($D$8/$D$7;B17;$D$6;$D$4;;$D$9);0))
F O R M U L A C I Ó N E N E L P E R I O D O C E R O
PERIODO SI(MAX($A$17:A17)+1>$D$11;"";A17+1)
CUOTA SI(A18"";"";SI(MAX($D$9:$E$10)>A18;0;SI($D$91;1+B17;A18-$D$10)))
FECHA PAGO SI(A18"";"";FECHA.MES($D$3;12/$D$7*A18))
SALDO SI(A18"";"";SI(B18>0;$D$4+PAGO.PRINC.ENTRE($D$8/$D$7;$D$6;$D$4;1;B18;$D$9);$D$4))
CAPITAL SI(A18"";"";SI(B18>0;-PAGOPRIN($D$8/$D$7;B18;$D$6;$D$4;;$D$9);0))
INTERESES SI(A18"";"";SI(B18>0;-PAGOINT($D$8/$D$7;B18;$D$6;$D$4;;$D$9);0))
F O R M U L A C I Ó N E N E L P E R I O D O U N O

54. PLAN DE PAGOS CON ABONO FIJO A
CAPITAL MAS INTERESES

55. EJERCICIOS DE PRACTICA

56. Una persona compra un carro de segunda por valor de $18,000,000 , da una
cuota inicial del 20% de su valor total y el saldo lo paga en cuotas mensuales
vencidas de $300,000 cada una , tanto tiempo como fuera necesarios, y
reconoce unos intereses del 21% NAMV.
Hallar el numero de pagos de $300,000 que debe realizar ,y
Cual será el pago final, que hecho después de tres meses del ultimo pago
cancela la deuda total

57. EVALUACIÓN DE ALTERNATIVAS DE
INVERSIÓN

58. VALOR NETO ACTUAL

59. TASA INTERNA DE RETORNO
La tasa interna de retorno es aquella que permite que la
suma de los flujos de caja de todos los periodos al ser
sumados sean igual a cero.
La tasa interna de retorno toma como premisa el hecho de
reinvertir todos los flujos de caja excedentes y reinvertirlos a
la misma tasa de interés que los utilizados por el proyecto.

60. TASA INTERNA DE OPORTUNIDAD

61. TASA INTERNA DE RETORNO
MODIFICA
La tasa interna de retorno modificada, es un indicador financiero que elimina el
problema de las tasas de retorno múltiples, al utilizar una tasa de inversión y una
tasa de crédito diferenciada para los flujos finales de caja del proyecto.
Los flujos de caja positivos los lleva a valor futuro y los flujos de caja negativos los
trae a valor presente despejando posteriormente la ecuación de valor presente con
respecto a la tasa de interés.