15. 14
∫ √ 𝑥√2 − 𝑥𝑑𝑥
1
0
∫ √
1 + 𝑥
1 − 𝑥
𝑑𝑥
3/5
0
∫ √
1 + 𝑥
1 − 𝑥
𝑑𝑥
3/5
0
∫
1
𝑥 − √ 𝑥
3 𝑑𝑥
27
0
1. Hallar el área de la figura limitada por la curva 𝑦3
= 𝑥, la recta 𝑦 = 1, la vertical
𝑥 = 8.
2. Hallar el área de la figura limitada por la curva 𝑦 = 𝑥3
, la recta 𝑦 = 8 y el eje
OY.
3. El área dentro de la intersección de las curvas 𝑦 = sin 𝑥 y 𝑦 = cos 𝑥 en el
intervalo [0, 𝜋]
4. Hallar el área de la porción en el primer cuadrante limitada superiormente por
𝑦 = 2𝑥 e inferiormente por 𝑦 = 𝑥√3𝑥2 + 1
5. Hallar el área limitada por las siguientes curvas:
a. 𝑦2
= 2𝑥,𝑦 = −4 + 𝑥
b. 𝑦 = 𝑥2
,𝑦3
= 𝑥,𝑥 + 𝑦 = 2
6. Hallar el área de la figura comprendida entre las curvas 𝑦 = √ 𝑥 + 1
3
−
√𝑥 − 1
3
,𝑥 = 1,𝑥 = −1
1. Encontrar el área de la figura plana que forman las curvas 𝑦 = √1 − 𝑥 −
√ 𝑥; 𝑦 = ±√ 𝑥
2. Hallar el área limitada por las siguientes curvas:
a. 𝑦2
= 4𝑥, 𝑥 = 12 + 2𝑦 − 𝑦2
b. 𝑦 = 𝑥2
,𝑦 = 8 − 𝑥2
,4𝑥 − 𝑦 + 12 = 0
16. 15
3. Hallar el área limitada por las curvas 𝑦 = 𝑥3
+ 3𝑥2
+ 2, 𝑦 = 𝑥3
+ 6𝑥2
− 25
4. Calcular el área limitada por las curvas:
a. 𝑦 = 𝑥2
,𝑦 = 2𝑥 − 1,𝑦 − 4 = 0
b. 𝑦 = arctan 𝑥 ,𝑦 = arccos
3𝑥
2
, 𝑦 = 0
1. Completar el cuadro de valores y realizar el gráfico en coordenadas polares de
las siguientes curvas:
a. 𝑟 = 1 + cos 𝜃
𝜃 ° 𝜃(rad) 𝑟 = 𝑓(𝜃)
0
15
30
45
60
75
90
105
120
135
150
165
180
195
210
225
240
255
270
285
300
315
330
345
360
21. 20
1. Calcular el área limitada por:
a. La curva 𝑟 = cos 𝜃
b. La curva 𝑟 = 1 + cos 𝜃
c. La curva 𝑟 = 4sin 𝜃
d. La primera espiral de Arquímedes definida por 𝑟 = a. 𝜃
e. Las curvas 𝑟1 =
1
2
y 𝑟2 =
3
4
común a las dos curvas en [
𝜋
6
,
𝜋
3
]
f. Las curvas 𝑟1 = 4 sin 𝜃y 𝑟2 = 2 común a las dos curvas
g. Las curvas 𝑟1 = 2 cos 2𝜃 y 𝑟2 = 1 , tal que esté fuera de 𝑟2 y dentro de
𝑟1
22. 21
1. Calcular el área limitada por:
a. La curva 𝑟 = 1 − cos 𝜃
b. La curva 𝑟 = 4cos 𝜃
c. La curva 𝑟2
= 4sin 𝜃
d. La curva 𝑟2
= sin 2𝜃
e. La curva 𝑟 = 2sin 3𝜃
f. La curva 𝑟 = acos 2𝜃
g. Los lazos interior y exterior del caracol 𝑟 = 1 − 2 sin 𝜃
h. Las curvas 𝑟1 = 3 − 2 sin 𝜃 y 𝑟2 = 3 − 2 cos 𝜃 común a las dos curvas
23. 22
i. Las curvas 𝑟1 = 3 sin 𝜃 y 𝑟2 = 2 − sin 𝜃, tal que esté dentro de 𝑟1 y
fuera de 𝑟2
j. Las curvas 𝑟1 = 𝑎(1 + cos 𝜃) y 𝑟2 = 𝑎 cos 𝜃, tal que esté dentro de 𝑟1 y
fuera de 𝑟2
k. Las curvas 𝑟1 = 2(sec 𝜃 − 2 cos 𝜃) y 𝑟2 = 1, tal que esté dentro de 𝑟1 y
fuera de 𝑟2
24. 23
1. Completar el cuadro de valores y realizar el gráfico de las siguientes curvas
descritas de forma paramétrica:
a. La curva 𝑥 = 𝑎 cos 𝑡 ; 𝑦 = 𝑎 sin 𝑡
𝑡(°) 𝑡(rad) 𝑥 = 𝑓(𝑡) 𝑦 = 𝑓(𝑡) 𝑡(°) 𝑡(rad) 𝑥 = 𝑓(𝑡) 𝑦 = 𝑓(𝑡)
0 180
15 195
30 210
45 225
60 240
75 255
90 270
105 285
120 300
135 315
150 330
165 345
180 360
27. 26
d. El primer arco de la cicloide definida por 𝑥 = 𝑎(𝑡 − sin 𝑡); 𝑦 = 𝑎(1 −
cos 𝑡) y el eje de las X
𝑡(°) 𝑡(rad) 𝑥 = 𝑓(𝑡) 𝑦 = 𝑓(𝑡) 𝑡(°) 𝑡(rad) 𝑥 = 𝑓(𝑡) 𝑦 = 𝑓(𝑡)
0 180
15 195
30 210
45 225
60 240
75 255
90 270
105 285
120 300
135 315
150 330
165 345
180 360
28. 27
1. Calcular el área de la región limitada por:
a. La curva 𝑥 = 𝑎 cos 𝑡 ; 𝑦 = 𝑎 sin 𝑡
b. La curva 𝑥 = 𝑎 cos 𝑡 ; 𝑦 = 𝑏 sin 𝑡
1. Calcular el área limitada por:
a. La curva 𝑥 = cos3
𝑡 ; 𝑦 = sin3
𝑡
b. El primer arco de la cicloide definida por 𝑥 = 𝑎(𝑡 − sin 𝑡); 𝑦 = 𝑎(1 −
cos 𝑡) y el eje de las X
1. Hallar la longitud del arco de la parábola descrita por 6𝑦 = 𝑥2
desde el origen
de coordenadas al punto (4,
8
3
)
2. Calcular la longitud de cada una de las siguientes curvas:
a. La catenaria definida por 𝑦 =
1
2
(𝑒 𝑥
+ 𝑒−𝑥
) desde 𝑥 = 0 hasta 𝑥 = 2
b. 𝑥 = ln(𝑠𝑒𝑐 𝑦) entre 𝑦 = 0 y 𝑦 = 𝜋 y entre 𝑦 = 0 y 𝑦 = 1
c. 𝑓(𝑥) = ∫ √cos 𝑡 𝑑𝑡
𝑥
0
desde 𝑥 = 0 y 𝑥 =
𝜋
2
29. 28
d. 𝑓(𝑥) = ∫ tan 𝑡 𝑑𝑡
𝑥
0
desde 𝑥 = 0 hasta 𝑥 =
𝜋
4
3. Encontrar la longitud de la circunferencia 𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑎2
4. Hallar la longitud total de la hipociloide 𝑥2/3
+ 𝑦2/3
= 𝑎2/3
1. Hallar la longitud del arco de la curva 𝑦2
= 4𝑥 − 𝑥2
, comprendida entre los dos
puntos en que corta al eje X.
2. Hallar la longitud del arco de la curva 𝑦 = ln𝑥 desde 𝑥 = √3 hasta 𝑥 = √8
3. Hallar la longitud del arco de la parábola semicúbica 5𝑦3
= 𝑥2
comprendida
dentro de la circunferencia 𝑥2
+ 𝑦2
= 6
4. Calcular la longitud del arco de la curva 𝑦 = 𝑒 𝑥
entre los puntos (0,1) y (1,e)
5. Hallar la longitud total del lazo de la curva 6𝑦2
= 𝑥(𝑥 − 2)2
si 𝑥 ∈[0, 2]
6. Calcule la longitud del arco de la parábola semicúbica 𝑦2
=
2
3
(𝑥 − 1)3
comprendida dentro de la parábola 𝑦2
=
𝑥
3
1. Calcular la longitud del arco de la curva en cada uno de los siguientes ejercicios:
a. 𝑥 = sin 𝑡 y 𝑦 = cos 𝑡 entre 𝑡 = 0 y 𝑡 = 2𝜋
b. 𝑥 = 𝑎(2 cos 𝑡 − cos 2𝑡) y 𝑦 = 𝑎(2 sin 𝑡 − sin 2𝑡)
30. 29
1. Calcular la longitud del arco de la curva en cada uno de los siguientes ejercicios:
a. Del arco de la envolvente del círculo definida por: 𝑥 = 𝑅(cos 𝑡 + 𝑡 sin 𝑡)
y 𝑦 = 𝑅(sin 𝑡 − 𝑡 cos 𝑡) desde 𝑡 = 0 hasta 𝑡 = 𝜋
b. Las coordenadas del punto P que divide al primer arco de la cicloide
definida por: 𝑥 = 𝑎(𝑡 − sin 𝑡) y 𝑦 = 𝑎(1 − cos 𝑡), en dos partes cuyas
longitudes están en relación de 2 a 1
31. 30
1. Calcular la longitud del arco de la curva en cada uno de los siguientes ejercicios:
a. 𝑟 = sin 𝜃 entre 𝜃 = 0 y 𝜃 =
𝜋
2
b. La primera espira de la espiral de Arquímedes definida por 𝑟 =
𝑎𝜃; 𝑎 > 0
1. Calcular la longitud del arco de la curva en cada uno de los siguientes ejercicios:
a. 𝑟 =
2
cos 𝜃
entre 𝜃 = 0 y 𝜃 =
𝜋
3
b. 𝑟 = 2 sin3
(
𝜃
3
)
1. Encontrar por integración el volumen de un cono circular recto de altura h
unidades y de radio de la base “a” unidades
2. Encontrar el volumen del sólido generado por la rotación de la región entre las
curvas 𝑦 = 𝑥2
+ 4 e 𝑦 = 2𝑥2
alrededor del eje X
3. Hallar el volumen del sólido generado por la rotación de la región R limitada
por la curva 𝑦 = 𝑒 𝑥
sin 𝑒 𝑥
, 𝑥 = 0, 𝑥 = ln (
𝜋
4
), alrededor del eje X.
1. Hallar el volumen de tronco del cono generado al girar el área limitada
por2𝑦 = 6 − 𝑥, 𝑦 = 0, 𝑥 = 0, 𝑥 = 4 alrededor del eje X
2. Hallar el volumen del sólido de revolución generado por la rotación de la región
R limitada por la curva 𝑦 = 𝑒 𝑥
sin 𝑒 𝑥
, 𝑥 = 0, 𝑥 = ln (
𝜋
4
) alrededor del eje X
3. Calcular el volumen del sólido engendrado al rotar alrededor del eje Y la figura
acotada por la curva (
𝑥
𝑎
)
2
+ (
𝑦
𝑏
)
3/2
= 1
4. Dada la región plana R en el primer cuadrante limitada por 3𝑦 − 4𝑥 = 6, 4𝑦 −
3𝑥 = 8, 𝑥2
+ (𝑦 − 2)2
= 25. Hallar el volumen generado, si se rota R
alrededor del eje X.
5. Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje OX, la
superficie comprendida entre las parábolas 𝑦 = 𝑥2
,𝑦 = √ 𝑥
6. Calcular el volumen del sólido generado por la rotación de la región limitada
por las curvas 𝑥 + 𝑦2
+ 3𝑦 = 6,𝑥 + 𝑦 = 3 alrededor de la recta 𝑦 = 3
7. Calcular el volumen generado al hacer rotar la región encerrada por las curvas
(𝑦 − 4)2
= 4 − 4𝑥,𝑦 + 2𝑥 = 2, gira alrededor de la recta 𝑦 = −1
8. La región limitada por las curvas 𝑥2
𝑦2
= 1; 𝑦(𝑥2
+ 3) = 4 gira alrededor de la
recta 𝑦 + 1 = 0. Hallar el volumen del sólido que se genera
9. Calcular el volumen que genera la elipse
𝑥2
4
+
𝑦2
3
= 1, al girar alrededor del eje
X.
10. Un ingeniero civil piensa que para almacenar agua, una cisterna debe tener la
forma de una esfera y construye una en la azotea de su casa de radio R=1m y
desea encontrar el volumen que puede almacenar pero planteándolo como un
problema de integral definida por el método del anillo.
32. 31
11. Hallar el volumen generado en la rotación del área limitada por 𝑦 = 𝑥2
, 𝑦 =
4𝑥 − 𝑥2
alrededor de la recta 𝑦 = 6
12. Calcular el volumen del sólido engendrado por la rotación de la región entre las
curvas 𝑦 = cos 𝑥 , 𝑦 = 0, 𝑥 = 0, donde x es mayor igual a cero y menor igual a
𝜋
2
, rota alrededor del eje Y.
13. Hallar el volumen generado en la rotación del área limitada por 𝑥2
− 4 =
𝑦,𝑦 = −3𝑥 alrededor de la recta 𝑥 = 1
14. Calcular el volumen del sólido generado por la rotación de la región limitada
por las curvas dadas alrededor de la recta dada:
a. 𝑦 = √ 𝑥 −
1
√ 𝑥
, 𝑥 = 1, 𝑥 = 4, 𝑦 = 0 alrededor de 𝑦 = −2
b. 𝑥 + 𝑦 = 1, √ 𝑥 + √ 𝑦 = 1 alrededor de 𝑥 = 0
1. Determinar si las siguientes integrales impropias son convergentes:
a.
∫
𝑑𝑥
1+𝑥2
+∞
0
∫ 𝑒 𝑥
1
−∞
𝑑𝑥
2. Determinar si las siguientes integrales impropias son convergentes:
a.
∫
𝑑𝑥
√1−𝑥
1
0
b.
∫
𝑥3
𝑑𝑥
√𝑥 − 1
2
1
1. Analizar la convergencia, y si son convergentes las siguientes integrales
impropias determinar su valor:
a.
∫ 𝑒 𝑥
𝑑𝑥
+∞
0
b.
∫ ln 𝑥 𝑑𝑥
+∞
1
c.
∫ 𝑒−𝑥
𝑑𝑥
+∞
0
d.
∫ ln 𝑥 𝑑𝑥
1
0
33. 32
e.
∫
𝑑𝑥
𝑥2 + 1
+∞
1
f.
∫
ln 𝑥
𝑥
𝑑𝑥
+∞
1
∫ 𝑒 𝑥
𝑑𝑥
+∞
−∞
g.
∫ 𝑒−|𝑥|
𝑑𝑥
+∞
−∞
h.
∫
𝑑𝑥
4 − 𝑥2
2
−∞
i.
∫ cos 𝑥 𝑑𝑥
+∞
−∞
j.
∫ sin 𝑥 𝑑𝑥
+∞
−∞
∫
𝑑𝑥
𝑥 ln 𝑥
+∞
0
1. Analizar la convergencia de las siguientes integrales impropias:
a.
∫
𝑑𝑥
𝑥2 + 𝑥 + 7
+∞
1
∫ ln 𝑥3
𝑑𝑥
+∞
𝑒
b.
∫
𝑑𝑥
(1 − 𝑥)3/2
1
0
34. 33
1. Empleando los criterios de convergencia, indicar cuáles de las siguientes
integrales son convergentes:
a.
∫ ln 𝑥 𝑑𝑥
+∞
1
b.
∫
ln 𝑥
𝑥
𝑑𝑥
+∞
1
c.
∫
𝑑𝑥
𝑥2 + 𝑥 + 1
+∞
1
d.
∫
2𝑥 − 1
𝑥2 + 𝑥 − 3
+∞
1
𝑑𝑥
∫
𝑑𝑥
ln 𝑥
2
1
∫
𝑥𝑑𝑥
ln 𝑥
𝑒
1
∫ 𝑥3
𝑒−𝑥
𝑑𝑥
+∞
0
e.
∫
𝑑𝑥
𝑥 ln2 𝑥
+∞
1
f.
∫ 𝑒−3𝑥
𝑑𝑥
+∞
0
∫
sin2
𝑥
𝑥√1 + 𝑥
𝑑𝑥
+∞
1
∫
𝑑𝑥
√𝑥(1 − 𝑥2)
1
0
∫
𝑑𝑥
𝑒 𝑥 − cos 𝑥
1
0
