Presentación inecuaciones

1. UNIDAD DIDÁCTICA 4:
INECUACIONES
ALFONSO NAVARRO PERAL

2. INECUACIONES
DE PRIMER
GRADO
(1 INCÓGNITA)
UNA
INECUACIÓN
SISTEMA DE
INECUACIONES
DE PRIMER
GRADO
DE SEGUNDO
GRADO
RACIONALES
DE PRIMER
GRADO (2
INCÓGNITAS)
UNA
INECUACIÓN
SISTEMA DE
INECUACIONES
DE SEGUNDO
GRADO
MAPA CONCEPTUAL

3. INTRODUCCIÓN
Una inecuación es una desigualdad algebraica en la que aparecen
una o más incógnitas.
El grado de una inecuación es el mayor de los grados al que están
elevadas sus incógnitas.
4 ≥ x + 2 ;
x + y <2 ; son inecuaciones de primer grado, mientrasque
𝑥2 > −5 + 𝑥; es de segundogrado
Resolver una inecuación consiste en encontrar los valores
que la verifican. Éstos se denominan soluciones de la
misma.
4 ≥ 𝑥 + 2 ⇔ 𝑥 ∈ (−∞, 2] 2

4. INTRODUCCIÓN
INECUACIONES EQUIVALENTES
Dos inecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución.
A veces, para resolver una inecuación, resulta conveniente
encontrar otra equivalente más sencilla. Para ello, se pueden
realizar las siguientes transformaciones:
- Sumar o restar la misma expresión a los dos miembros
de la inecuación.
- Multiplicar o dividir ambos miembros por un número
positivo.
- Multiplicar o dividir ambos miembros por un número
negativo y cambiar la orientación del signo de la desigualdad.
5𝑥 + 4 < 9 ⇔ 5𝑥 + 4 − 4 < 9 − 4 ⇔ 5𝑥 < 5
5𝑥 < 5 ⇔ 5𝑥: 5 < 5: 5 ⇔ 𝑥 < 1
𝑥 < 2 ⇔ 𝑥 > −2
−2

5. 1. INECUACIONES DE PRIMER GRADO
CON UNA INCÓGNITA
Inecuaciones de primer grado con una incógnita:
Una inecuación de primer grado con una incógnita puede escribirse de
la forma:
ax > b, ax ≥ b, ax < b o bien ax ≤ b.
Para resolver la inecuación en la mayoría de los casos conviene seguir
el siguiente procedimiento:
1º) Quitar denominadores, si los hay. Para ello, se multiplica los
dos miembros de la ecuación por el m.c.m. de los denominadores.
2º) Quitar los paréntesis, si los hay.
3º) Transponer los términos con x a un miembro y los números al otro.
4º) Reducir términos semejantes.
5º) Despejar la x.
𝑥 − 5
3
−
𝑥 − 8
6
>
3 − 𝑥
2

6. 1. INECUACIONES DE PRIMER GRADO
CON UNA INCÓGNITA
2 x -3 - x - 9 2-7x - 2x + 7
1. Resuelvelassiguientesinecuaciones y representa la solución en la recta real:
a) 5 + 3x < 2x + 4 b) 3 + 4x ≥ 8x + 6 c) 5 + 4x > 3x + 2
2. Resuelvelassiguientesinecuaciones y representa la solución en la recta real:
a) 4(3 + 2x) < -(6x + 8) b) 7(2 + 3x) ≤ 5(6x + 3) c) 9(2 + 4x) + 4(5x – 2) > 3(2x + 1)
3. Resuelvelassiguientesinecuaciones y representa la solución en la recta real:
a) 6 + 3x <x/3 + 1 b) 5 + 5x/2 ≥ 9x/2 + 1 c) (2 + 5x)/3 > 4x + 1
4. Escribeunainecuacióncuyasolución sea el siguienteintervalo:
a) [2, ∞) b) (-∞, 3) c) (4, ∞]
5. Calcula los valores de x paraque sea posiblecalcularlassiguientesraíces:

7. 2. SISTEMA DE INECUACIONES DE
PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNTA
𝑎𝑥 + 𝑏 < 0
c𝑥 + 𝑑 < 0
Los sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita son aquellos que
pueden ponerse en la forma
(*), siendo a, b, c y d números reales.
(*) Puede ser cualquier otra desigualdad: >, ≤ ó ≥.
Para resolver un sistema de este tipo:
1º Resolveremos por separado cada una de las inecuaciones.
2º Escogeremos entre las soluciones comunes a ambas.

8. 2. SISTEMA DE INECUACIONES DE
PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNTA
Resolver el siguiente sistema de inecuaciones:
Resolvemos cada inecuación por separado:
La solución común es la intersección de los conjuntos solución
de ambas inecuaciones

9. 3. INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
CON UNA INCÓGNITA
Una inecuación de segundo grado con una incógnita puede
escribirse de la forma:
empleando cualquiera de los cuatro signos de desigualdad.
Para resolverla:
1º Calculamos las soluciones de la ecuación asociada.
2º Las representamos sobre la recta real, quedando por
tanto la recta dividida en tres, dos o un intervalo,
dependiendo de que la ecuación tenga dos, una o ninguna
solución.
3º Determinar el signo que tiene dicho polinomio para un
valor cualquiera de cada uno de los intervalos y
comprobar así que intervalos cumplen la inecuación.
¡¡¡También los extremos de los intervalos !!!
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0

10. 3. INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
CON UNA INCÓGNITA
𝑥2 − 6𝑥 + 5 ≥ 0
Resolver la siguiente inecuación:
1º Raíces: x = 1 ; x = 5
2º
3º Solución: x ∈ (−∞, 1] ∪ [5, +∞)
(−∞, 1) (1,5) (5, +∞)
+ - +
SI NO SI

11. 4. INECUACIONES RACIONALES
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
> 0
Una inecuación racional es una expresión de la forma:
1º Calculamoslasraícesde los polinomios P(x) y Q(x)
2º Estudiamos el signo y los valoresqueverifican la inecuación
en los siguientesvalores (donde𝑥1 𝑦 𝑥2 son lasraíces)
!!Nuncacumplirá en la raízqueanula el denominador¡¡
(−∞, 𝑥1) (𝑥1, 𝑥1) (𝑥1, +∞)
(*) Puede ser cualquier otra desigualdad: >, ≤ ó ≥.
Para resolver:

12. 4. INECUACIONES RACIONALES
2𝑥 − 4
3𝑥 + 1
≤ 0
Resolver la siguiente inecuación:
1º Raíces de los polinomios: 𝑥1 = 2𝑥2 = −1/3
2º
3º Solución: x ∈ (−
1
3
, 2]
(−∞, −
1
3
) (−
1
3
, 2)
(2, +∞)
P(x) - - +
Q(x) - + +
P(x)/Q(x) + - +
¿Cumple? NO SI NO
Solución:

13. 5. INECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON
DOS INCÓGNITAS
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 > 0
Una inecuación de primer grado con dos incógnitas es una
expresión de la forma:
(*) Puede ser cualquier otra desigualdad: >, ≤ ó ≥.
Para resolver:
1º Representamos la recta: ax + by + c = 0
2º La recta divide al plano en dos semiplanos. Comprobamos
el semiplano solución escogiendo un punto del mismo y
analizando si verifica la inecuación.
3º Incluimos o no la frontera según si la incluye la inecuación.

14. 5. INECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON
DOS INCÓGNITAS
Representación de rectas (ax + by + c = 0)
Una recta queda determinada por dos de sus puntos.
Para poder representarla:
1º Hacemos un tabla de valores (damos dos
valores a la x; calculamos los valores de y).
2º Representamos gráficamente los puntos y los
unimos para generar la recta.
Ejemplo: 2x – y +4= 0  y = 2x+4
x y
0 4
2 8

15. 5. INECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON
DOS INCÓGNITAS
Ejemplo: 3x + 2y - 7 > 0
1º Representamos: 𝑦 =
7−3𝑥
2
2º Analizamos que región del plano cumple la
inecuación. Probamos con (0, 0)
-7 >0 no cumple la solución es la otra región.
3º Solución
x y
2 1/2
-1 5

16. 6. SISTEMA DE INECUACIÓN DE PRIMER
GRADO CON DOS INCÓGNITAS
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 > 0
𝑑𝑥 + 𝑒𝑦 + 𝑓 > 0
Una inecuación de primer grado con dos incógnitas es una
expresión de la forma:
(*) Puede ser cualquier otra desigualdad: >, ≤ ó ≥.
Para resolver:
1º Representamos las rectas.
2º Cada recta divide al plano en dos semiplanos.
Comprobamos el semiplano solución escogiendo un punto
del mismo y analizando si verifica la inecuación.
3º La solución será la región del plano que verifique ambas
inecuaciones.
4º Incluimos o no la frontera según si la incluye la inecuación.

17. 6. SISTEMA DE INECUACIÓN DE PRIMER
GRADO CON DOS INCÓGNITAS
−2𝑥 + 𝑦 > 0
−3𝑥 − 2𝑦 + 3 ≤ 0
Ejemplo:
1º Representamos las rectas:
2º La solución será la región del plano que
verifique ambas inecuaciones.
𝑦 = 2𝑥
𝑦 =
3 − 3𝑥
2