MATEMATICAS OLIMPIADA INGENIERIA PRE GRADO

1. INSTITUCIÓN EDUCATIVA SAN JUAN BAUTISTA
PROGRAMACION (04 JULIO AL 05 DE AGOSTO)
ECUACION Y FUNCIONES CUADRATICAS
I.- DATOS INFORMATIVOS.-
I.1.- INSTITUCIÓN EDUCATIVA : SAN JUAN BAUTISTA.
I.2.- AREA : MATEMATICA.
I.3.- GRADO SECCION : CUARTO – “A”;”B”;”C”.
1.4.- DOCENTE RESPONSABLE : EDWARD SANDOVAL.
II.- ESTANDARES DE APRENDIZAJE.-
COMPETENCIAS PROPOSITOS
 RESUELVE PROBLEMAS DE CANTIDAD
 REPASO DE ECUACIONES CUADRATICASDE LA FORMA A𝑋2
= 𝐶.
 RESUELVE PROBLEMAS DE REGULARIDAD Y
CAMBIOS.
 RESOLVER EXPRESIONES CUADRATICAS POR FACTORIZACIÓN.
 RESUELVE PROBLEMAS DE MOVIMIENTO
FORMA Y LOCALIZACIÓN.
 RESOLVER EXPRESIONES CUADRATICAS COMPLETANDO CUADRADOS PERFECTOS.
 RESOLVEMOS LA FORMA CUADRATICA.
 RESUELVE PROBLEMAS DE GESTIÓN DE DATOS
E INCERTIDUMBRE.
 DIFERENCIAS ENTRE FORMAS Y CARACTERISTICAS DE LA FUNCION CUADRATICA.
 RESOLVER PROBLEMAS VERVALES MEDIANTE ECUACIONES CUADRATICAS.
 DISTINCION DE PROBLEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES.

2. INSTITUCIÓN EDUCATIVA SAN JUAN BAUTISTA
Ecuación y función cuadrática
1.1.- ECUACION E INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO.
Una ecuación es de segundo grado o cuadrática cuando después de quitar denominadores, reducir
términos semejantes y pasar todos sus términos al primer miembro, adopta la forma típica:
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Donde:
a.- Coeficientes de 𝑥2
(x € 𝑹), es preciso que a ≠ 0, pues de otro modo la ecuación no sería de
segundo grado.
B.- Coeficiente de “x” (b€R)
c.- Termino independiente (c€R)
Los coeficientes b y c pueden ser nulos, entonces la ecuación de segundo grado toma la forma:
i.- Si c=0 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 = 0
ii.- Si b=0 𝑎𝑥2
+ 𝑐 = 0
iii.- Si c=b 𝑎𝑥2
= 0
Resolver una ecuación de segundo grado es hallar los valores de la incógnita “x” que hacen cierta
la igualdad: 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, convirtiéndola en una identidad. Estos valores que toma “x” son
las raíces o soluciones de dicha ecuación.
Denominación de los términos de una ecuación.
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
término cuadrático término lineal término independiente.
1.2.- resolución algebraica.
Para hallar las raíces distinguiremos tres casos según el trinomio sea incompleto o completo.
 Caso I.- Si b=0, la ecuación es de la forma 𝑎𝑥2
+ 𝑐 = 0
Despejando “x” obtenemos:
𝑥2
= −
𝑐
𝑎
Entonces:
𝑥1 = +√−
𝑐
𝑎
𝑦 𝑥2 = −√−
𝑐
𝑎
Ejemplo:
Resolver la ecuación:
i.- 3𝑥2
− 12 = 0 CS= (-2; 2 )
ii.- 2𝑥2
+ 18 = 0 CS= (-3i; 3i)

3. INSTITUCIÓN EDUCATIVA SAN JUAN BAUTISTA
 Caso 2.- Si c=0, la ecuación desde la forma:𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 = 0
Las raíces se obtienen sacando a “x” como un factor común: x (ax+b)=0
De donde:
i.- x=0
ii.- (ax+b)=0
Luego las raíces o soluciones de la ecuación: 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0; son:
𝑥1 = 0 𝑦 𝑥2 = −
𝑏
𝑎
Ejemplo:
Resolver la ecuación:
i.- 2𝑥2
− 6 = 0 CS= (0; 3)
ii.- 3𝑥2
+ 9𝑥 = 0 CS= (0;-3).
 Caso 3.- la ecuación desde la forma:𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Las raíces de “x” mediante la fórmula siguiente será:
𝑥1 =
−𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
𝑦 𝑥2 =
−𝑏−√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
Ejemplo:
Resolver la ecuación:
1.- 𝑥2
− 2𝑥 − 3 = 0 CS= (-1; 3).
2.- 𝑥2
− 6𝑥 + 5 = 0 CS= (1;5).
3.- 2𝑥2
+ 5𝑥 − 5 = 0 CS= (
1
2
; −3)
4.- 𝑥2
− 5𝑥 + 6 = 0 CS= (3;2)
EJERCICIOS PROPUESTOS.
1.- 𝑋2
− 81 = 0 7.- 3(𝑋2
− 11) + 2(𝑋2
− 7) = 38
2.- 𝑋2
− 13 = 12 8.- 5(𝑋2
− 7) = 3(4 + 𝑋2) + 5
3.- 𝑋2
− 121 = 0 9.- 𝑋2
+ 11𝑋 + 24 = 0
4.-5𝑋2
− 4 = 28 + 𝑋2
10.-
𝑋+3
𝑋+2
=
5𝑋
𝑋+6
5.- 4𝑋2
+ 20 = 4
6.- 4𝑋2
− 3𝑋 = 0

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1.3.- RESOLUCION DE UNA ECUACION DE SEGUNDO GRADO CON UNA
INCOGNITA
En forma general una ecuación de segundo grado con una incógnita o una ecuación de grado
superior a dos se resuelven:
A.- Por medio de la factorización.
B.- Empleando la formula general.
A.- RESOLUCION DE ECUACIONES CUADRATICAS POR FACTORIZACIÓN.-
Una ecuación de segundo grado se resuelve en forma sencilla por medio de la factorización,
cuando la factorización del polinomio puede efectuarse.
1.- Se trasladan todos los términos a un solo miembro, dejando el otro miembro igual a cero.
2.- Se factoriza el primer miembro.
3.- Para obtener la solución se iguala cada factor a cero.
EJEMPLO.-
 RESOLVER: 5𝑋2
+ 4𝑋 = 6 − 3𝑋
Primero, se traslada todo al primer miembro:
5𝑥2
+ 4𝑥 + 3𝑥 − 6 = 0
5𝑥2
+ 7𝑥 − 6 = 0
Segundo, factorizamos (por aspa simple)
5𝑥2
+ 7𝑥 − 6 = 0
5x -3 10x
X 2 -3x
7x
Luego: (5x-3) (x+2)=0
Tercero, Igualamos cada factor a cero
i.- 5x-3=0 x=
3
5
ii.- x+2=0 x=-2
El conjunto solución es: CS:{
3
5
;-2}
EJERCICIOS
1.- 𝑋2
− 8𝑋 − 105 = 0 cs:{-7; 15}
2.- 4𝑋2
− 49𝑋 = −12 CS: {
1
4
; 12}
3.- -𝑋2
+ 10𝑋 + 24 = 0 CS: {-2; 12}
4.- 𝑋2
− 2𝑋 − 15 = 0 CS: {-3; 5}
5.- 2𝑋2
+ 11𝑋 − 6 = 0 CS: {
1
2
; −6}
6.- 2𝑋2
+ 5𝑋 − 6 = 0 CS: {−
3
2
;
2
3
}
7.- 8𝑋2
+ 22𝑋 + 5 = 0 CS: {−
1
4
; −
5
2
}

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B.- RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRATICAS EMPLEANDO LA
FORMULA GENERAL
Cuando la factorización no es posible se recurre a la formula general de la ecuación de segundo
grado, la cual nos da las soluciones o raíces de dicha ecuación.
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
𝑥1 =
−𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
Y 𝑥2 =
−𝑏−√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
EJEMPLO.-
 RESOLVER: 3𝑋2
+ 𝑋 − 6 = 0
La ecuación dada: 3𝑋2
+ 𝑋 + (−6) = 0
Tiene la forma: 𝑎𝑋2
+ 𝑏𝑋 + 𝑐 = 0
Donde a=3 ; b=1 ; c=-6
Remplazando esos valores en la formula general
𝑥1 =
−1+√12−4(3)(−6)
2(3)
; 𝑥2 =
−𝑏−√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥1 =
−1+√73
6
; 𝑥2 =
−1−√73
6
EJERCICIOS
1.- 5𝑋2
− 8𝑋 + 2 = 0
2.- 3𝑋2
− 2𝑋 + 1 = 0
3.- 𝑋2
+ 11𝑋 + 24 = 0
4.- (5𝑥 − 2)2
= 10𝑋2
+ 6𝑥 + 61
1.4.- RESOLUCION DE problemas mediante Ecuaciones DE SEGUNDO
GRADO CON UNA INCOGNITA.
Todo problema implica una o más relaciones entre los elementos que intervienen en él, de los
cuales uno a lo menos es desconocido. Estas relaciones se pueden expresar en lenguaje
algebraico y dan origen a una o más ecuaciones.
1.4.1.- PROBLEMAS DE NUMEROS CONSECUTIVOS.-
La suma de los cuadrados de tres números naturales consecutivos es 149 ¿Cuáles son los
números?
Solución:
Números consecutivos son: x ; (x+1) ; (x+2)
Entonces sus cuadrados serán: 𝑥2
; (𝑥 + 1)2
; (𝑥 + 2)2
Por lo tanto: 𝑥2
+ (𝑥 + 1)2
+ (𝑥 + 2)2
= 149
Desarrollamos: 𝑥2
+ (𝑥2
+ 2𝑥 + 1) + (𝑥2
+ 4𝑥 + 4) = 149

6. INSTITUCIÓN EDUCATIVA SAN JUAN BAUTISTA
3𝑥2
+ 6𝑥 + 5 = 149 3𝑥2
+ 6𝑥 = 144
Simplificamos: 3(𝑥2
+ 2𝑥) = 144 𝑥2
+ 2𝑥 = 48 𝑥2
+ 2𝑥 − 48 = 0
𝑥2
+ 2𝑥 − 48 = 0
X 8 8x
X -6 -6x
2x
Luego igualamos cada factor a cero: (𝑥1+8)=0 y (𝑥2-6)=0
Por lo tanto: 𝑥1 = −8 𝑦 𝑥2 = 6
Finalmente vemos que (-8) no es número natural, por lo tanto los números consecutivos son:
6, 7,8.
 La diferencia de dos números enteros positivos es 4 y la suma de sus cuadrados es 730
¿Cuáles son los números?
1.4.2.- PROBLEMAS DE edades.-
 El producto de la edad de una persona por 9 tiene 90 unidades menos que el cuadrado de
su edad. ¿Cuántos años tiene la persona?
 La edad de nataly era hace 6 años la raíz cuadrada de la edad que tendrá dentro de 6 años.
Determina la edad actual.
1.4.3.- PROBLEMAS DE geometría.-
 La diagonal de un rectángulo es 9 centímetros mayor que su ancho y 8 centímetros mayor
que su largo. Determina las dimensiones del rectángulo.
 El perímetro de un rectángulo es de 30 cm y su área de 54 𝒄𝒎𝟐
. Determine sus
dimensiones.
“éxitos”