SlideShare une entreprise Scribd logo
1  sur  83
Profesor Fabricio Valdés Nieto
       Mayo del 2007
Introducción
• Durante mucho tiempo, los artistas y diseñadores se han
  preguntado cuál es la más perfecta y armoniosa forma de
  dividir en dos partes un objeto.

• También se han preguntado cuál es la relación entre las
  medidas de las partes que constituyen un objeto para que éste
  sea bello.

• Un objeto lo podemos dividir por la mitad, o haciendo que una
  parte sea el doble de la otra, o de forma que una parte sea el
  triple de la otra, o que una sea ¾ de la otra,... en fin, podemos
  hacer cualquier partición o división de un objeto.
• En la antigüedad clásica, el griego Platón
  observó una forma de particionar un
  segmento de forma armónica y agradable a
  la vista que llamó La Sección
• Cerca del año 300 A. C, otro griego, Euclides,
  encontró geométricamente la forma de dividir
  en dos partes un segmento de forma armónica,
  o agradable a la vista
• Al segmento particionado le llamó
  Sección Áurea




                                Euclides
• Euclides escribió en su libro Los Elementos:

  “Para que un segmento sea particionado en
  Sección Áurea la razón entre el segmento y la
  parte mayor debe ser igual a la razón entre la
  parte mayor y la menor”.
Veamos la partición de un segmento de forma
 armónica, tal como lo hizo Euclides:

   Aquí tenemos un segmento AB que ha sido dividido en dos partes:
   la parte AC y la parte CB (suponemos que AC>CB)




Eculides descubrió que un segmento es dividido en dos partes
de forma armónica o agradable a la vista siempre y cuando se cumpla que:
la razón entre el segmento y la parte mayor es igual a la razón entre
la parte mayor y la menor, es decir:

                          AB AC
                            =
                          AC CB
• Ésta forma de particionar un segmento
  constituyó la base en la que se fundaba el
  arte y la arquitectura de los griegos




         El Partenón, templo de los dioses griegos
Determinemos el valor de la
            Razón Áurea
• Toda Razón es una comparación de dos
  magnitudes mediante su cuociente
• Por lo tanto podemos encontrar el cociente
  o valor que resulta de dividirlos
• Determinemos el valor de la Razón Áurea
  mediante Álgebra (resolviendo una
  ecuación)
• Tenemos un segmento AB cualquiera con AC = a,
  CB = b, AB = a + b. Donde CB es el segmento
  menor.

• El segmento debe estar particionado en Razón
  Áurea, por lo tanto se debe cumplir que:


                a+b a
                   =
                 a   b
a+b a
                             =
                           a   b
   Por el Teorema Fundamental de las proporciones (multiplicando cruzado)
      queda,


                  ( a + b) ⋅ b = a ⋅ a
multiplicando y reduciendo,



                 a ⋅b + b = a       2            2
a ⋅b + b = a      2            2


            Nosotros sólo sabemos resolver ecuaciones
           con una sola incógnita, por lo tanto digamos
     que la incógnita es “b” (suponemos que conocemos “a”)



“pasando” a2 al lado izquierdo de la ecuación,


              b + a ⋅b − a = 0
                 2                         2
Aplicando la fórmula para encontrar las soluciones de una
ecuación cuadrática, tenemos que:


         − a ± a − 4 ⋅1 ⋅ ( − a )
                         2                 2
      b=
                 2
operando,


               − a ± a (1 + 4)2
            b=
                     2
Escribiendo como producto de raíces,

                    −a± a          2
                                        5
                 b=
                       2
 factorizando,
                    a (−1 ± 5 )
                 b=
                         2
a pasa dividiendo,

                 b (−1 ± 5 )
                   =
                 a     2
invertimos la razón y queda,


               a     2
                 =
               b (−1 ± 5 )
a     2
Tenemos dos soluciones     =
                         b (−1 + 5 )
    a     2
      =                       ó
    b (−1 ± 5 )
                         a     2
                           =
                         b (−1 − 5 )
pero veamos bien ,   5     es un número irracional mayor que 1



por lo tanto:

                a     2
                  =                           Es un número Positivo
                b (−1 + 5 )
                a     2
                  =                            Es un número Negativo
                b (−1 − 5 )
Escogemos el valor positivo de la Razón pues no existen distancias negativas
El número      5   es aproximadamente 2,236067… luego




   a     2
     =         ≈ 1,618033.....
   b (−1 + 5 )

      Este valor encontrado para la Razón Áurea se llama   φ
                 (se escribe Phi y se pronuncia Fi)
Se nombró así en honor a Fidias, el arquitecto griego que construyó el
                 Partenón usando la Razón Áurea.
El Hermano pequeño
• Hemos visto que, si determinamos la razón
  entre el lado mayor “b” y el menor “a”
  obtenemos el número de oro Phi. Ahora,
  también es posible hacer lo inverso:
  determinar la razón que existe entre el
  menor y el mayor:
                     b
                     a
• A ese valor se le llama phi (en minúsculas), y es el
  inverso multiplicativo del número de oro (su hermano
  pequeño).
• Sorprendentemente, lo único que diferencia a ambos
  números es la parte entera: Phi es 1,618... y phi es
  0,618...
• ¡El resto de los decimales son los mismos!
• Phi es el UNICO número real que cumple esta
  característica, además de otras muy interesantes.
¿Dónde encontramos la
            Razón Áurea?



                        La razón entre la distancia del ombligo a
                        los pies y la distancia de la cabeza al
                        ombligo es φ, así como también la razón
                        entre la altura de un hombre y la
                        distancia del ombligo a los pies




El Hombre de Vitrubio
-Leonardo Da Vinci-
En los cuerpos y rostros de actrices,
actores y cantantes famosos




                                             dist.menton.a.boca 6,5
                                                                =   ≈ 1,625 ≈ φ
                                              dist.boca.a.nariz   4

          estatura        163                    l arg o.cara    20
                        =     ≈ 1,6908 ≈ φ                     =    ≈ 1,6666 ≈ φ
    dist.ombligo.a. pies 96,4                dist.menton.a.ojos 12
• Conocemos el Valor de la Razón Áurea
• Ya construimos un Segmento Áureo (o Sección
  Áurea)
• Pero también podemos construir cualquier figura
  geométrica en que sus lados guarden dicha relación
• Usando algunos conocimientos de geometría
  podemos construir el más sencillo de todos, el
  Rectángulo Áureo (¡ESTE ES UN DESAFÍO!)
Construcción de un Rectángulo Áureo

• Un Rectángulo Áureo es simplemente aquel en que la
  razón entre su lado mayor y su lado menor es φ
                         a

               b



                       a
                         =φ
                       b
¿Dónde podemos encontrar
               Rectángulos Áureos?
  En la vida cotidiana:

                                        Generalmente, las tarjetas de crédito,
                                        los carnet de identidad y pases
                                        escolares tienen forma de rectángulo
                                        áureo, es decir la razón entre su lado
                                        mayor y menor es φ




También asemejan a rectángulos
áureos los televisores de pantalla
ancha, las postales y las fotografías
La Gioconda        Sección Áurea
-Leonardo Da Vinci-   -Piet Mondrian-
Dos de las composiciones
en rojo, amarillo y azul del pintor Piet Mondrian
En las obras de muchos otros artistas del Renacimiento
  se han buscado relaciones áureas.




     Sir Theodore Cook (s
XIX) describió una escala
      simple de divisiones
     áureas aplicable a la
       figura humana, que
                    encaja
  sorprendentemente bien
  en las obras de algunos
 pintores, como Boticelli.



                                             El Nacimiento de Venus
                                                    -Boticelli-
Hay otros casos de obras
pictóricas en los que aparece el
uso del Rectángulo Áureo como
medio de distribución espacial
(forma de componer un cuadro):

        En “El Martirio de San
Bartolomé”,   de    Ribera,   es
evidente la división del espacio
en base a rectángulos áureos
verticales y horizontales: el
objeto principal se ubica en el
cuadrado central
En “La Carta”, de
Vermeer,          la
ubicación        del
elemento principal
está en el cruce de
las       divisiones
áureas:
En Monumentos:

                        El Partenón
  Para los griegos, la Razón Áurea constituyó la base del diseño de
  monumentos y construcciones en honor a sus dioses




    El Partenón, templo de los          En la fachada del Partenón se puede
          dioses griegos                    inscribir un rectángulo áureo
La Espiral Mirabilis (Maravillosa) o
                Espiral Áurea

• Es un curva que surge de dibujar arcos de circunferencia en el
  interior de los sucesivos cuadrados que se obtienen al construir
  sucesivos rectángulos áureos
¿Dónde encontramos la Espiral
         Mirabilis?
En el Arte:




 "Semitaza gigante volando con       Observa cómo la espiral áurea
anexo inexplicable de cinco metros     se ajusta a los elementos
           de longitud“                importantes de la pintura
         -Salvador Dalí-
En la Naturaleza:




          La concha del cefalópodo marino Nautilus
Comentario Final
Como ejercicio de observación te propongo
que te fijes en todo lo que nos rodea y
compruebes, que el número áureo está
presente en todas partes.
Si algo nos llama la atención por su belleza, tal
vez el número de oro esté en la fuente de
diseño
Actividades
Investiga para desarrollar las sgtes. actividades:

• En papel, construyan un Segmento Áureo con
  regla y compás
• En papel, construyan un Rectángulo Áureo con
  regla y compás
• En papel, construyan una Espiral Áurea con
  regla y compás
Introducción
• Podemos embaldosar un piso con
  cerámicos, pastelones o azulejos de tal
  forma que no se superpongan ni quede
  algún espacio entre ellos
• Las baldosas pueden ser cuadradas,
  triangulares, rectangulares, pero también
  existen otras figuras con las que podemos
  embaldosar el piso o, más generalmente,
  un plano
• Si hemos recubierto un plano con
  determinadas figuras sin que queden
  espacios vacíos entre ellas ni se
  superpongan, podemos decir que hemos
  hecho una teselación del plano con
  dichas figuras. Se dice que la figura es
  teselante.
• Teselar es una acción donde intervienen
  la técnica, la geometría, el arte y la
  decoración.
• Las teselaciones han sido utilizadas en
  todo el mundo desde los tiempo más
  antiguos para recubrir suelos y paredes, e
  igualmente como motivos decorativos de
  muebles, alfombras, tapices, ropas,...
• Podemos Teselar un plano con
  figuras geométricas llamadas
  polígonos. Éstos pueden ser
  Regulares o Irregulares.

• Cuando todos los polígonos de la
  teselación son regulares e iguales
  entre si, se dice que la teselación es
  regular, y de otra forma se dice
  teselación irregular.
Solo existen 3 teselaciones regulares:

• Teselación de triángulos equiláteros:




• Teselación de cuadrados
  (Ejemplo: la del tablero de ajedrez):




• Teselación de hexágonos:
  (Ejemplo: la de los panales de abeja)
• Para teselar un plano, los polígonos se pueden
  someter a unos tipos de transformaciones en el
  plano, llamadas Isometrías. - Iso - quiere decir
  igual, - metría - quiere decir medida, por lo
  tanto las Isometrías son transformaciones en el
  plano que conservan los tamaños de las figuras

• Las tres Isometrías son: Rotación, Traslación y
  Reflexión
Rotación de un polígono
• Consiste en rotar un polígono en un cierto ángulo respecto
  a un punto fijo




                                             Rotación de un
                                             triángulo equilátero
Rotación de un
cuadrado
Traslación de un polígono
• Consiste en mover en una dirección un polígono


Traslación de un cuadrado
Traslación de un triángulo
Reflexión
• Consiste en obtener el polígono reflejado con
  respecto a una recta llamada espejo




              Reflexión de un triángulo con
              respecto a la recta espejo
Reflexión de un cuadrado
respecto a la recta espejo
Ejemplos de Teselaciones Regulares
El tablero de Ajedrez
es un plano teselado
  por un cuadrado

                         Una teselación con
                        triángulos equiláteros
• Maurits Cornelis Escher, pintor holandés,
  cuyos trabajos son apreciados por
  matemáticos, realizó una obra que puede
  ser calificada como arte matemático y se
  caracteriza por la teselación irregular del
  plano.




                  M. C. Escher
• Escher tesela el plano con figuras de
  aves, peces, personas, reptiles y otros.

• El resultado total de combinar las figuras
  dificulta apreciar la figura y su fondo.
Ejemplos de Teselaciones Irregulares
Pájaros
M. Escher
Simetría nº 45
  M. Escher
Día y noche
M. C. Escher
   (1938)
Teselación de un plano con la figura de un pez
Construcción
     de
Teselaciones
Teselación a partir de un triángulo
Dibuja un triángulo cualquiera. Distorsiona cada lado del triángulo, de forma que
siempre sea simétrico respecto de su punto medio. La figura que obtienes de este
modo se llama triside y permite recubrir un plano.
Puedes intentar hacer tu propio diseño y recubrir el plano con él.

                                     Ejemplo
Cometario final del taller
Te aconsejo que busques información en
Internet sobre M. Escher, pues además de
haber creado hermosas Teselaciones,
también ha creado “dibujos imposibles”
como los que te presento a continuación
Propiedades de los Fractales
• Autosimilitud:
   A diferentes escalas, una figura fractal
  conserva la misma apariencia, siempre
  existe una clara similitud entre partes muy
  distantes de una misma figura fractal.
• Infinito Detalle:
  Al ampliar un fractal, más detalle revela
  este, sin que se tenga un límite.
Cómo se construyen los Fractales
• Los Fractales son generados en
  computadores con fórmulas o algoritmos y
  con un conjunto muy reducido de datos.
• Su algoritmia es definida por una
  característica clave: la iteración.
• Existen programas para computador que
  permiten experimentar y descubrir nuevos
  fractales.
• Además ser bellos, los fractales
  generados por computador se utilizan
  para la representación y el análisis de una
  gran variedad de procesos complejos a lo
  largo de diversos campos, como pueden
  ser la Física, las Matemáticas, Biología,
  Química, Geología, etc.
Rama de un Helecho Fractal
Música Fractal
Mediante técnicas de computación, los
fractales pueden ser “interpretados”
como música.
Actividad


Generemos Fractales con el
   programa WinFract
Gracias por participar del taller

Contenu connexe

Tendances (17)

Numero Aureo
Numero AureoNumero Aureo
Numero Aureo
 
El número de oro
El número de oroEl número de oro
El número de oro
 
Rectangulo aureo
Rectangulo aureoRectangulo aureo
Rectangulo aureo
 
El Numero De Oro
El Numero De OroEl Numero De Oro
El Numero De Oro
 
Rectangulo de oro
Rectangulo de oroRectangulo de oro
Rectangulo de oro
 
T.P Numero De Oro
T.P Numero De OroT.P Numero De Oro
T.P Numero De Oro
 
Trabajo final número de oro grupo 6
Trabajo final número de oro grupo 6Trabajo final número de oro grupo 6
Trabajo final número de oro grupo 6
 
Trabajo final "Matemáticas en la pintura" pfdz 2013
Trabajo final "Matemáticas en la pintura" pfdz 2013Trabajo final "Matemáticas en la pintura" pfdz 2013
Trabajo final "Matemáticas en la pintura" pfdz 2013
 
Ensayo número de oro
Ensayo número de oroEnsayo número de oro
Ensayo número de oro
 
Matematica y arte
Matematica y arteMatematica y arte
Matematica y arte
 
El Número de Oro
El Número de OroEl Número de Oro
El Número de Oro
 
El número de oro
El número de oroEl número de oro
El número de oro
 
11.numero de oro
11.numero de oro11.numero de oro
11.numero de oro
 
Numero de oro. ova
Numero de oro. ovaNumero de oro. ova
Numero de oro. ova
 
Teoria geometria
Teoria geometriaTeoria geometria
Teoria geometria
 
La Matematica Y El Arte
La Matematica Y El ArteLa Matematica Y El Arte
La Matematica Y El Arte
 
3.vectores en el plano
3.vectores en el plano3.vectores en el plano
3.vectores en el plano
 

En vedette

C:\documents and settings\administrador\mis documentos\dia del idioma
C:\documents and settings\administrador\mis documentos\dia del idiomaC:\documents and settings\administrador\mis documentos\dia del idioma
C:\documents and settings\administrador\mis documentos\dia del idiomadaniel
 
Folea Para Bolsos
Folea  Para  BolsosFolea  Para  Bolsos
Folea Para BolsosHari Seldon
 
HORIZONTE DE ARENA
HORIZONTE DE ARENAHORIZONTE DE ARENA
HORIZONTE DE ARENAleetamargo
 
Asignaciones familiares septiembre 2013
Asignaciones familiares septiembre 2013Asignaciones familiares septiembre 2013
Asignaciones familiares septiembre 2013Agrupacion Almafuerte
 
4 elaboración de invernaderos caseros o escolares
4 elaboración de invernaderos caseros o escolares4 elaboración de invernaderos caseros o escolares
4 elaboración de invernaderos caseros o escolaresnaujsoles
 

En vedette (8)

C:\documents and settings\administrador\mis documentos\dia del idioma
C:\documents and settings\administrador\mis documentos\dia del idiomaC:\documents and settings\administrador\mis documentos\dia del idioma
C:\documents and settings\administrador\mis documentos\dia del idioma
 
Folea Para Bolsos
Folea  Para  BolsosFolea  Para  Bolsos
Folea Para Bolsos
 
LA CASA ROSA
LA CASA ROSALA CASA ROSA
LA CASA ROSA
 
HORIZONTE DE ARENA
HORIZONTE DE ARENAHORIZONTE DE ARENA
HORIZONTE DE ARENA
 
Crises
CrisesCrises
Crises
 
Asignaciones familiares septiembre 2013
Asignaciones familiares septiembre 2013Asignaciones familiares septiembre 2013
Asignaciones familiares septiembre 2013
 
Agujeros negros
Agujeros negrosAgujeros negros
Agujeros negros
 
4 elaboración de invernaderos caseros o escolares
4 elaboración de invernaderos caseros o escolares4 elaboración de invernaderos caseros o escolares
4 elaboración de invernaderos caseros o escolares
 

Similaire à La Matematica Y El Arte

Armonia en la naturaleza
Armonia en la naturalezaArmonia en la naturaleza
Armonia en la naturalezadebsanblas
 
La Matematica Y El Arte
La Matematica Y El ArteLa Matematica Y El Arte
La Matematica Y El Artecevicoan
 
LA MATEMATICA Y EL ARTE
LA MATEMATICA Y  EL ARTELA MATEMATICA Y  EL ARTE
LA MATEMATICA Y EL ARTEEscuela EBIMA
 
La Matematica Y El Arte
La Matematica Y El ArteLa Matematica Y El Arte
La Matematica Y El ArteMaro Regueiro
 
LA MATEMATICA Y EL ARTE
LA MATEMATICA  Y  EL ARTELA MATEMATICA  Y  EL ARTE
LA MATEMATICA Y EL ARTEEscuela EBIMA
 
Numero de-oro-recursos-didacticos
Numero de-oro-recursos-didacticosNumero de-oro-recursos-didacticos
Numero de-oro-recursos-didacticosjuliorasta
 
Numero de-oro-recursos-didacticos
Numero de-oro-recursos-didacticosNumero de-oro-recursos-didacticos
Numero de-oro-recursos-didacticosdianaangelic
 
Numero de-oro-recursos-didacticos
Numero de-oro-recursos-didacticosNumero de-oro-recursos-didacticos
Numero de-oro-recursos-didacticosMiguel Barba Montes
 
El Numero De Oro
El Numero De OroEl Numero De Oro
El Numero De Oropoyofrito
 
El número áureo a través del tiempo
El número áureo a través del tiempoEl número áureo a través del tiempo
El número áureo a través del tiempojaimes11
 
5 -el número áureo-construcción
5 -el número áureo-construcción5 -el número áureo-construcción
5 -el número áureo-construcciónFilomena López
 
008_Taller_Figuras planas y cuerpos geométricos_Perímetro
008_Taller_Figuras planas y cuerpos geométricos_Perímetro008_Taller_Figuras planas y cuerpos geométricos_Perímetro
008_Taller_Figuras planas y cuerpos geométricos_PerímetroRaquel Cv
 
Rectángulo especial i
Rectángulo especial iRectángulo especial i
Rectángulo especial iAlicia Ipiña
 
Proporción Divina
Proporción DivinaProporción Divina
Proporción DivinaOpen_Mind
 

Similaire à La Matematica Y El Arte (20)

Armonia en la naturaleza
Armonia en la naturalezaArmonia en la naturaleza
Armonia en la naturaleza
 
La Matematica Y El Arte
La Matematica Y El ArteLa Matematica Y El Arte
La Matematica Y El Arte
 
LA MATEMATICA Y EL ARTE
LA MATEMATICA Y  EL ARTELA MATEMATICA Y  EL ARTE
LA MATEMATICA Y EL ARTE
 
La Matematica Y El Arte
La Matematica Y El ArteLa Matematica Y El Arte
La Matematica Y El Arte
 
La matematica y el arte
La matematica y el arteLa matematica y el arte
La matematica y el arte
 
Armonia en la naturaleza: La Perfección
Armonia en la naturaleza: La PerfecciónArmonia en la naturaleza: La Perfección
Armonia en la naturaleza: La Perfección
 
LA MATEMATICA Y EL ARTE
LA MATEMATICA  Y  EL ARTELA MATEMATICA  Y  EL ARTE
LA MATEMATICA Y EL ARTE
 
Secció àuria
Secció àuriaSecció àuria
Secció àuria
 
Numero de-oro-recursos-didacticos
Numero de-oro-recursos-didacticosNumero de-oro-recursos-didacticos
Numero de-oro-recursos-didacticos
 
Numero de-oro-recursos-didacticos
Numero de-oro-recursos-didacticosNumero de-oro-recursos-didacticos
Numero de-oro-recursos-didacticos
 
Numero de-oro-recursos-didacticos
Numero de-oro-recursos-didacticosNumero de-oro-recursos-didacticos
Numero de-oro-recursos-didacticos
 
El Numero De Oro
El Numero De OroEl Numero De Oro
El Numero De Oro
 
La Divina Proporcion
La Divina ProporcionLa Divina Proporcion
La Divina Proporcion
 
El número áureo a través del tiempo
El número áureo a través del tiempoEl número áureo a través del tiempo
El número áureo a través del tiempo
 
Soluciones finalmenor2006
Soluciones finalmenor2006Soluciones finalmenor2006
Soluciones finalmenor2006
 
Ejercicio1 1-goldenrate-160107160118
Ejercicio1 1-goldenrate-160107160118Ejercicio1 1-goldenrate-160107160118
Ejercicio1 1-goldenrate-160107160118
 
5 -el número áureo-construcción
5 -el número áureo-construcción5 -el número áureo-construcción
5 -el número áureo-construcción
 
008_Taller_Figuras planas y cuerpos geométricos_Perímetro
008_Taller_Figuras planas y cuerpos geométricos_Perímetro008_Taller_Figuras planas y cuerpos geométricos_Perímetro
008_Taller_Figuras planas y cuerpos geométricos_Perímetro
 
Rectángulo especial i
Rectángulo especial iRectángulo especial i
Rectángulo especial i
 
Proporción Divina
Proporción DivinaProporción Divina
Proporción Divina
 

Plus de Alicia Ipiña

Cronograma tentativo titularización artística (interina/definitiva)
Cronograma tentativo titularización artística (interina/definitiva)Cronograma tentativo titularización artística (interina/definitiva)
Cronograma tentativo titularización artística (interina/definitiva)Alicia Ipiña
 
Guia anual 2012_es (1)
Guia anual 2012_es (1)Guia anual 2012_es (1)
Guia anual 2012_es (1)Alicia Ipiña
 
Convocatoria, malvinas en_1_minuto[1]
Convocatoria, malvinas en_1_minuto[1]Convocatoria, malvinas en_1_minuto[1]
Convocatoria, malvinas en_1_minuto[1]Alicia Ipiña
 
Curso de música cie alte brown. 2012 gacetilla
Curso de música  cie alte brown. 2012 gacetillaCurso de música  cie alte brown. 2012 gacetilla
Curso de música cie alte brown. 2012 gacetillaAlicia Ipiña
 
Proyecto inicial plástica corregido
Proyecto inicial plástica corregidoProyecto inicial plástica corregido
Proyecto inicial plástica corregidoAlicia Ipiña
 
Proyecto Arte en Inicial.
Proyecto Arte en Inicial.Proyecto Arte en Inicial.
Proyecto Arte en Inicial.Alicia Ipiña
 
Curso de música cie alte brown. 2012 gacetilla
Curso de música  cie alte brown. 2012 gacetillaCurso de música  cie alte brown. 2012 gacetilla
Curso de música cie alte brown. 2012 gacetillaAlicia Ipiña
 
Proyecto curricular departamento de educación artística
Proyecto curricular departamento de educación artísticaProyecto curricular departamento de educación artística
Proyecto curricular departamento de educación artísticaAlicia Ipiña
 
Horas libres 1º 2012
Horas libres 1º 2012Horas libres 1º 2012
Horas libres 1º 2012Alicia Ipiña
 
Compromiso 3º con música en segundo
Compromiso 3º con música en segundoCompromiso 3º con música en segundo
Compromiso 3º con música en segundoAlicia Ipiña
 
Curso de capacitación cie avellaneda
Curso de capacitación cie avellanedaCurso de capacitación cie avellaneda
Curso de capacitación cie avellanedaAlicia Ipiña
 
Curso de capacitación cie lanús artística plástica
Curso de capacitación cie lanús artística plásticaCurso de capacitación cie lanús artística plástica
Curso de capacitación cie lanús artística plásticaAlicia Ipiña
 
Presentación especializacion lenguajes artisticos 2012
Presentación especializacion lenguajes artisticos 2012Presentación especializacion lenguajes artisticos 2012
Presentación especializacion lenguajes artisticos 2012Alicia Ipiña
 
Curso Neetbook Música en Servicio
Curso Neetbook Música en ServicioCurso Neetbook Música en Servicio
Curso Neetbook Música en ServicioAlicia Ipiña
 

Plus de Alicia Ipiña (20)

Cronograma tentativo titularización artística (interina/definitiva)
Cronograma tentativo titularización artística (interina/definitiva)Cronograma tentativo titularización artística (interina/definitiva)
Cronograma tentativo titularización artística (interina/definitiva)
 
Guia anual 2012_es (1)
Guia anual 2012_es (1)Guia anual 2012_es (1)
Guia anual 2012_es (1)
 
Convocatoria, malvinas en_1_minuto[1]
Convocatoria, malvinas en_1_minuto[1]Convocatoria, malvinas en_1_minuto[1]
Convocatoria, malvinas en_1_minuto[1]
 
Candombe
CandombeCandombe
Candombe
 
Candombe
CandombeCandombe
Candombe
 
Curso de música cie alte brown. 2012 gacetilla
Curso de música  cie alte brown. 2012 gacetillaCurso de música  cie alte brown. 2012 gacetilla
Curso de música cie alte brown. 2012 gacetilla
 
Proyecto inicial plástica corregido
Proyecto inicial plástica corregidoProyecto inicial plástica corregido
Proyecto inicial plástica corregido
 
Proyecto Arte en Inicial.
Proyecto Arte en Inicial.Proyecto Arte en Inicial.
Proyecto Arte en Inicial.
 
Curso inicial
Curso inicialCurso inicial
Curso inicial
 
Curso de música cie alte brown. 2012 gacetilla
Curso de música  cie alte brown. 2012 gacetillaCurso de música  cie alte brown. 2012 gacetilla
Curso de música cie alte brown. 2012 gacetilla
 
Proyecto curricular departamento de educación artística
Proyecto curricular departamento de educación artísticaProyecto curricular departamento de educación artística
Proyecto curricular departamento de educación artística
 
Horas libres 1º 2012
Horas libres 1º 2012Horas libres 1º 2012
Horas libres 1º 2012
 
Compromiso 3º con música en segundo
Compromiso 3º con música en segundoCompromiso 3º con música en segundo
Compromiso 3º con música en segundo
 
Compromiso 1º
Compromiso 1ºCompromiso 1º
Compromiso 1º
 
Curso de capacitación cie avellaneda
Curso de capacitación cie avellanedaCurso de capacitación cie avellaneda
Curso de capacitación cie avellaneda
 
Curso de capacitación cie lanús artística plástica
Curso de capacitación cie lanús artística plásticaCurso de capacitación cie lanús artística plástica
Curso de capacitación cie lanús artística plástica
 
Curso inicial
Curso inicialCurso inicial
Curso inicial
 
Curso inicial
Curso inicialCurso inicial
Curso inicial
 
Presentación especializacion lenguajes artisticos 2012
Presentación especializacion lenguajes artisticos 2012Presentación especializacion lenguajes artisticos 2012
Presentación especializacion lenguajes artisticos 2012
 
Curso Neetbook Música en Servicio
Curso Neetbook Música en ServicioCurso Neetbook Música en Servicio
Curso Neetbook Música en Servicio
 

Dernier

Trabajo Mas Completo De Excel en clase tecnología
Trabajo Mas Completo De Excel en clase tecnologíaTrabajo Mas Completo De Excel en clase tecnología
Trabajo Mas Completo De Excel en clase tecnologíassuserf18419
 
Redes direccionamiento y subredes ipv4 2024 .pdf
Redes direccionamiento y subredes ipv4 2024 .pdfRedes direccionamiento y subredes ipv4 2024 .pdf
Redes direccionamiento y subredes ipv4 2024 .pdfsoporteupcology
 
Proyecto integrador. Las TIC en la sociedad S4.pptx
Proyecto integrador. Las TIC en la sociedad S4.pptxProyecto integrador. Las TIC en la sociedad S4.pptx
Proyecto integrador. Las TIC en la sociedad S4.pptx241521559
 
9egb-lengua y Literatura.pdf_texto del estudiante
9egb-lengua y Literatura.pdf_texto del estudiante9egb-lengua y Literatura.pdf_texto del estudiante
9egb-lengua y Literatura.pdf_texto del estudianteAndreaHuertas24
 
Global Azure Lima 2024 - Integración de Datos con Microsoft Fabric
Global Azure Lima 2024 - Integración de Datos con Microsoft FabricGlobal Azure Lima 2024 - Integración de Datos con Microsoft Fabric
Global Azure Lima 2024 - Integración de Datos con Microsoft FabricKeyla Dolores Méndez
 
CLASE DE TECNOLOGIA E INFORMATICA PRIMARIA
CLASE  DE TECNOLOGIA E INFORMATICA PRIMARIACLASE  DE TECNOLOGIA E INFORMATICA PRIMARIA
CLASE DE TECNOLOGIA E INFORMATICA PRIMARIAWilbisVega
 
pruebas unitarias unitarias en java con JUNIT
pruebas unitarias unitarias en java con JUNITpruebas unitarias unitarias en java con JUNIT
pruebas unitarias unitarias en java con JUNITMaricarmen Sánchez Ruiz
 
POWER POINT YUCRAElabore una PRESENTACIÓN CORTA sobre el video película: La C...
POWER POINT YUCRAElabore una PRESENTACIÓN CORTA sobre el video película: La C...POWER POINT YUCRAElabore una PRESENTACIÓN CORTA sobre el video película: La C...
POWER POINT YUCRAElabore una PRESENTACIÓN CORTA sobre el video película: La C...silviayucra2
 
guía de registro de slideshare por Brayan Joseph
guía de registro de slideshare por Brayan Josephguía de registro de slideshare por Brayan Joseph
guía de registro de slideshare por Brayan JosephBRAYANJOSEPHPEREZGOM
 
KELA Presentacion Costa Rica 2024 - evento Protégeles
KELA Presentacion Costa Rica 2024 - evento ProtégelesKELA Presentacion Costa Rica 2024 - evento Protégeles
KELA Presentacion Costa Rica 2024 - evento ProtégelesFundación YOD YOD
 
International Women's Day Sucre 2024 (IWD)
International Women's Day Sucre 2024 (IWD)International Women's Day Sucre 2024 (IWD)
International Women's Day Sucre 2024 (IWD)GDGSucre
 
trabajotecologiaisabella-240424003133-8f126965.pdf
trabajotecologiaisabella-240424003133-8f126965.pdftrabajotecologiaisabella-240424003133-8f126965.pdf
trabajotecologiaisabella-240424003133-8f126965.pdfIsabellaMontaomurill
 
Presentación guía sencilla en Microsoft Excel.pptx
Presentación guía sencilla en Microsoft Excel.pptxPresentación guía sencilla en Microsoft Excel.pptx
Presentación guía sencilla en Microsoft Excel.pptxLolaBunny11
 
Herramientas de corte de alta velocidad.pptx
Herramientas de corte de alta velocidad.pptxHerramientas de corte de alta velocidad.pptx
Herramientas de corte de alta velocidad.pptxRogerPrieto3
 
EPA-pdf resultado da prova presencial Uninove
EPA-pdf resultado da prova presencial UninoveEPA-pdf resultado da prova presencial Uninove
EPA-pdf resultado da prova presencial UninoveFagnerLisboa3
 

Dernier (15)

Trabajo Mas Completo De Excel en clase tecnología
Trabajo Mas Completo De Excel en clase tecnologíaTrabajo Mas Completo De Excel en clase tecnología
Trabajo Mas Completo De Excel en clase tecnología
 
Redes direccionamiento y subredes ipv4 2024 .pdf
Redes direccionamiento y subredes ipv4 2024 .pdfRedes direccionamiento y subredes ipv4 2024 .pdf
Redes direccionamiento y subredes ipv4 2024 .pdf
 
Proyecto integrador. Las TIC en la sociedad S4.pptx
Proyecto integrador. Las TIC en la sociedad S4.pptxProyecto integrador. Las TIC en la sociedad S4.pptx
Proyecto integrador. Las TIC en la sociedad S4.pptx
 
9egb-lengua y Literatura.pdf_texto del estudiante
9egb-lengua y Literatura.pdf_texto del estudiante9egb-lengua y Literatura.pdf_texto del estudiante
9egb-lengua y Literatura.pdf_texto del estudiante
 
Global Azure Lima 2024 - Integración de Datos con Microsoft Fabric
Global Azure Lima 2024 - Integración de Datos con Microsoft FabricGlobal Azure Lima 2024 - Integración de Datos con Microsoft Fabric
Global Azure Lima 2024 - Integración de Datos con Microsoft Fabric
 
CLASE DE TECNOLOGIA E INFORMATICA PRIMARIA
CLASE  DE TECNOLOGIA E INFORMATICA PRIMARIACLASE  DE TECNOLOGIA E INFORMATICA PRIMARIA
CLASE DE TECNOLOGIA E INFORMATICA PRIMARIA
 
pruebas unitarias unitarias en java con JUNIT
pruebas unitarias unitarias en java con JUNITpruebas unitarias unitarias en java con JUNIT
pruebas unitarias unitarias en java con JUNIT
 
POWER POINT YUCRAElabore una PRESENTACIÓN CORTA sobre el video película: La C...
POWER POINT YUCRAElabore una PRESENTACIÓN CORTA sobre el video película: La C...POWER POINT YUCRAElabore una PRESENTACIÓN CORTA sobre el video película: La C...
POWER POINT YUCRAElabore una PRESENTACIÓN CORTA sobre el video película: La C...
 
guía de registro de slideshare por Brayan Joseph
guía de registro de slideshare por Brayan Josephguía de registro de slideshare por Brayan Joseph
guía de registro de slideshare por Brayan Joseph
 
KELA Presentacion Costa Rica 2024 - evento Protégeles
KELA Presentacion Costa Rica 2024 - evento ProtégelesKELA Presentacion Costa Rica 2024 - evento Protégeles
KELA Presentacion Costa Rica 2024 - evento Protégeles
 
International Women's Day Sucre 2024 (IWD)
International Women's Day Sucre 2024 (IWD)International Women's Day Sucre 2024 (IWD)
International Women's Day Sucre 2024 (IWD)
 
trabajotecologiaisabella-240424003133-8f126965.pdf
trabajotecologiaisabella-240424003133-8f126965.pdftrabajotecologiaisabella-240424003133-8f126965.pdf
trabajotecologiaisabella-240424003133-8f126965.pdf
 
Presentación guía sencilla en Microsoft Excel.pptx
Presentación guía sencilla en Microsoft Excel.pptxPresentación guía sencilla en Microsoft Excel.pptx
Presentación guía sencilla en Microsoft Excel.pptx
 
Herramientas de corte de alta velocidad.pptx
Herramientas de corte de alta velocidad.pptxHerramientas de corte de alta velocidad.pptx
Herramientas de corte de alta velocidad.pptx
 
EPA-pdf resultado da prova presencial Uninove
EPA-pdf resultado da prova presencial UninoveEPA-pdf resultado da prova presencial Uninove
EPA-pdf resultado da prova presencial Uninove
 

La Matematica Y El Arte

  • 1. Profesor Fabricio Valdés Nieto Mayo del 2007
  • 2.
  • 3.
  • 4. Introducción • Durante mucho tiempo, los artistas y diseñadores se han preguntado cuál es la más perfecta y armoniosa forma de dividir en dos partes un objeto. • También se han preguntado cuál es la relación entre las medidas de las partes que constituyen un objeto para que éste sea bello. • Un objeto lo podemos dividir por la mitad, o haciendo que una parte sea el doble de la otra, o de forma que una parte sea el triple de la otra, o que una sea ¾ de la otra,... en fin, podemos hacer cualquier partición o división de un objeto.
  • 5. • En la antigüedad clásica, el griego Platón observó una forma de particionar un segmento de forma armónica y agradable a la vista que llamó La Sección
  • 6. • Cerca del año 300 A. C, otro griego, Euclides, encontró geométricamente la forma de dividir en dos partes un segmento de forma armónica, o agradable a la vista • Al segmento particionado le llamó Sección Áurea Euclides
  • 7. • Euclides escribió en su libro Los Elementos: “Para que un segmento sea particionado en Sección Áurea la razón entre el segmento y la parte mayor debe ser igual a la razón entre la parte mayor y la menor”.
  • 8. Veamos la partición de un segmento de forma armónica, tal como lo hizo Euclides: Aquí tenemos un segmento AB que ha sido dividido en dos partes: la parte AC y la parte CB (suponemos que AC>CB) Eculides descubrió que un segmento es dividido en dos partes de forma armónica o agradable a la vista siempre y cuando se cumpla que: la razón entre el segmento y la parte mayor es igual a la razón entre la parte mayor y la menor, es decir: AB AC = AC CB
  • 9. • Ésta forma de particionar un segmento constituyó la base en la que se fundaba el arte y la arquitectura de los griegos El Partenón, templo de los dioses griegos
  • 10. Determinemos el valor de la Razón Áurea • Toda Razón es una comparación de dos magnitudes mediante su cuociente • Por lo tanto podemos encontrar el cociente o valor que resulta de dividirlos • Determinemos el valor de la Razón Áurea mediante Álgebra (resolviendo una ecuación)
  • 11. • Tenemos un segmento AB cualquiera con AC = a, CB = b, AB = a + b. Donde CB es el segmento menor. • El segmento debe estar particionado en Razón Áurea, por lo tanto se debe cumplir que: a+b a = a b
  • 12. a+b a = a b Por el Teorema Fundamental de las proporciones (multiplicando cruzado) queda, ( a + b) ⋅ b = a ⋅ a multiplicando y reduciendo, a ⋅b + b = a 2 2
  • 13. a ⋅b + b = a 2 2 Nosotros sólo sabemos resolver ecuaciones con una sola incógnita, por lo tanto digamos que la incógnita es “b” (suponemos que conocemos “a”) “pasando” a2 al lado izquierdo de la ecuación, b + a ⋅b − a = 0 2 2
  • 14. Aplicando la fórmula para encontrar las soluciones de una ecuación cuadrática, tenemos que: − a ± a − 4 ⋅1 ⋅ ( − a ) 2 2 b= 2 operando, − a ± a (1 + 4)2 b= 2
  • 15. Escribiendo como producto de raíces, −a± a 2 5 b= 2 factorizando, a (−1 ± 5 ) b= 2 a pasa dividiendo, b (−1 ± 5 ) = a 2
  • 16. invertimos la razón y queda, a 2 = b (−1 ± 5 )
  • 17. a 2 Tenemos dos soluciones = b (−1 + 5 ) a 2 = ó b (−1 ± 5 ) a 2 = b (−1 − 5 )
  • 18. pero veamos bien , 5 es un número irracional mayor que 1 por lo tanto: a 2 = Es un número Positivo b (−1 + 5 ) a 2 = Es un número Negativo b (−1 − 5 ) Escogemos el valor positivo de la Razón pues no existen distancias negativas
  • 19. El número 5 es aproximadamente 2,236067… luego a 2 = ≈ 1,618033..... b (−1 + 5 ) Este valor encontrado para la Razón Áurea se llama φ (se escribe Phi y se pronuncia Fi) Se nombró así en honor a Fidias, el arquitecto griego que construyó el Partenón usando la Razón Áurea.
  • 20. El Hermano pequeño • Hemos visto que, si determinamos la razón entre el lado mayor “b” y el menor “a” obtenemos el número de oro Phi. Ahora, también es posible hacer lo inverso: determinar la razón que existe entre el menor y el mayor: b a
  • 21. • A ese valor se le llama phi (en minúsculas), y es el inverso multiplicativo del número de oro (su hermano pequeño). • Sorprendentemente, lo único que diferencia a ambos números es la parte entera: Phi es 1,618... y phi es 0,618... • ¡El resto de los decimales son los mismos! • Phi es el UNICO número real que cumple esta característica, además de otras muy interesantes.
  • 22. ¿Dónde encontramos la Razón Áurea? La razón entre la distancia del ombligo a los pies y la distancia de la cabeza al ombligo es φ, así como también la razón entre la altura de un hombre y la distancia del ombligo a los pies El Hombre de Vitrubio -Leonardo Da Vinci-
  • 23. En los cuerpos y rostros de actrices, actores y cantantes famosos dist.menton.a.boca 6,5 = ≈ 1,625 ≈ φ dist.boca.a.nariz 4 estatura 163 l arg o.cara 20 = ≈ 1,6908 ≈ φ = ≈ 1,6666 ≈ φ dist.ombligo.a. pies 96,4 dist.menton.a.ojos 12
  • 24. • Conocemos el Valor de la Razón Áurea • Ya construimos un Segmento Áureo (o Sección Áurea) • Pero también podemos construir cualquier figura geométrica en que sus lados guarden dicha relación • Usando algunos conocimientos de geometría podemos construir el más sencillo de todos, el Rectángulo Áureo (¡ESTE ES UN DESAFÍO!)
  • 25. Construcción de un Rectángulo Áureo • Un Rectángulo Áureo es simplemente aquel en que la razón entre su lado mayor y su lado menor es φ a b a =φ b
  • 26. ¿Dónde podemos encontrar Rectángulos Áureos? En la vida cotidiana: Generalmente, las tarjetas de crédito, los carnet de identidad y pases escolares tienen forma de rectángulo áureo, es decir la razón entre su lado mayor y menor es φ También asemejan a rectángulos áureos los televisores de pantalla ancha, las postales y las fotografías
  • 27.
  • 28. La Gioconda Sección Áurea -Leonardo Da Vinci- -Piet Mondrian-
  • 29. Dos de las composiciones en rojo, amarillo y azul del pintor Piet Mondrian
  • 30. En las obras de muchos otros artistas del Renacimiento se han buscado relaciones áureas. Sir Theodore Cook (s XIX) describió una escala simple de divisiones áureas aplicable a la figura humana, que encaja sorprendentemente bien en las obras de algunos pintores, como Boticelli. El Nacimiento de Venus -Boticelli-
  • 31. Hay otros casos de obras pictóricas en los que aparece el uso del Rectángulo Áureo como medio de distribución espacial (forma de componer un cuadro): En “El Martirio de San Bartolomé”, de Ribera, es evidente la división del espacio en base a rectángulos áureos verticales y horizontales: el objeto principal se ubica en el cuadrado central
  • 32. En “La Carta”, de Vermeer, la ubicación del elemento principal está en el cruce de las divisiones áureas:
  • 33. En Monumentos: El Partenón Para los griegos, la Razón Áurea constituyó la base del diseño de monumentos y construcciones en honor a sus dioses El Partenón, templo de los En la fachada del Partenón se puede dioses griegos inscribir un rectángulo áureo
  • 34. La Espiral Mirabilis (Maravillosa) o Espiral Áurea • Es un curva que surge de dibujar arcos de circunferencia en el interior de los sucesivos cuadrados que se obtienen al construir sucesivos rectángulos áureos
  • 35. ¿Dónde encontramos la Espiral Mirabilis?
  • 36. En el Arte: "Semitaza gigante volando con Observa cómo la espiral áurea anexo inexplicable de cinco metros se ajusta a los elementos de longitud“ importantes de la pintura -Salvador Dalí-
  • 37. En la Naturaleza: La concha del cefalópodo marino Nautilus
  • 38. Comentario Final Como ejercicio de observación te propongo que te fijes en todo lo que nos rodea y compruebes, que el número áureo está presente en todas partes. Si algo nos llama la atención por su belleza, tal vez el número de oro esté en la fuente de diseño
  • 39. Actividades Investiga para desarrollar las sgtes. actividades: • En papel, construyan un Segmento Áureo con regla y compás • En papel, construyan un Rectángulo Áureo con regla y compás • En papel, construyan una Espiral Áurea con regla y compás
  • 40.
  • 41.
  • 42. Introducción • Podemos embaldosar un piso con cerámicos, pastelones o azulejos de tal forma que no se superpongan ni quede algún espacio entre ellos • Las baldosas pueden ser cuadradas, triangulares, rectangulares, pero también existen otras figuras con las que podemos embaldosar el piso o, más generalmente, un plano
  • 43. • Si hemos recubierto un plano con determinadas figuras sin que queden espacios vacíos entre ellas ni se superpongan, podemos decir que hemos hecho una teselación del plano con dichas figuras. Se dice que la figura es teselante. • Teselar es una acción donde intervienen la técnica, la geometría, el arte y la decoración.
  • 44. • Las teselaciones han sido utilizadas en todo el mundo desde los tiempo más antiguos para recubrir suelos y paredes, e igualmente como motivos decorativos de muebles, alfombras, tapices, ropas,...
  • 45. • Podemos Teselar un plano con figuras geométricas llamadas polígonos. Éstos pueden ser Regulares o Irregulares. • Cuando todos los polígonos de la teselación son regulares e iguales entre si, se dice que la teselación es regular, y de otra forma se dice teselación irregular.
  • 46. Solo existen 3 teselaciones regulares: • Teselación de triángulos equiláteros: • Teselación de cuadrados (Ejemplo: la del tablero de ajedrez): • Teselación de hexágonos: (Ejemplo: la de los panales de abeja)
  • 47. • Para teselar un plano, los polígonos se pueden someter a unos tipos de transformaciones en el plano, llamadas Isometrías. - Iso - quiere decir igual, - metría - quiere decir medida, por lo tanto las Isometrías son transformaciones en el plano que conservan los tamaños de las figuras • Las tres Isometrías son: Rotación, Traslación y Reflexión
  • 48. Rotación de un polígono • Consiste en rotar un polígono en un cierto ángulo respecto a un punto fijo Rotación de un triángulo equilátero
  • 50. Traslación de un polígono • Consiste en mover en una dirección un polígono Traslación de un cuadrado
  • 51. Traslación de un triángulo
  • 52. Reflexión • Consiste en obtener el polígono reflejado con respecto a una recta llamada espejo Reflexión de un triángulo con respecto a la recta espejo
  • 53. Reflexión de un cuadrado respecto a la recta espejo
  • 55. El tablero de Ajedrez es un plano teselado por un cuadrado Una teselación con triángulos equiláteros
  • 56. • Maurits Cornelis Escher, pintor holandés, cuyos trabajos son apreciados por matemáticos, realizó una obra que puede ser calificada como arte matemático y se caracteriza por la teselación irregular del plano. M. C. Escher
  • 57. • Escher tesela el plano con figuras de aves, peces, personas, reptiles y otros. • El resultado total de combinar las figuras dificulta apreciar la figura y su fondo.
  • 60. Simetría nº 45 M. Escher
  • 61. Día y noche M. C. Escher (1938)
  • 62. Teselación de un plano con la figura de un pez
  • 63. Construcción de Teselaciones
  • 64. Teselación a partir de un triángulo Dibuja un triángulo cualquiera. Distorsiona cada lado del triángulo, de forma que siempre sea simétrico respecto de su punto medio. La figura que obtienes de este modo se llama triside y permite recubrir un plano. Puedes intentar hacer tu propio diseño y recubrir el plano con él. Ejemplo
  • 65. Cometario final del taller Te aconsejo que busques información en Internet sobre M. Escher, pues además de haber creado hermosas Teselaciones, también ha creado “dibujos imposibles” como los que te presento a continuación
  • 66.
  • 67.
  • 68.
  • 69.
  • 70.
  • 71.
  • 72.
  • 73.
  • 74. Propiedades de los Fractales • Autosimilitud: A diferentes escalas, una figura fractal conserva la misma apariencia, siempre existe una clara similitud entre partes muy distantes de una misma figura fractal. • Infinito Detalle: Al ampliar un fractal, más detalle revela este, sin que se tenga un límite.
  • 75. Cómo se construyen los Fractales • Los Fractales son generados en computadores con fórmulas o algoritmos y con un conjunto muy reducido de datos. • Su algoritmia es definida por una característica clave: la iteración. • Existen programas para computador que permiten experimentar y descubrir nuevos fractales.
  • 76. • Además ser bellos, los fractales generados por computador se utilizan para la representación y el análisis de una gran variedad de procesos complejos a lo largo de diversos campos, como pueden ser la Física, las Matemáticas, Biología, Química, Geología, etc.
  • 77.
  • 78.
  • 79. Rama de un Helecho Fractal
  • 80. Música Fractal Mediante técnicas de computación, los fractales pueden ser “interpretados” como música.
  • 81. Actividad Generemos Fractales con el programa WinFract
  • 82.