2. Introducción
La idea para calcular la longitud de una curva contenida en el plano o en el
espacio consiste en dividirla en segmentos pequeños, escogiendo una familia
finita de puntos en C, y aproximar la longitud mediante la longitud de la poligonal
que pasa por dichos puntos.
Cuantos más puntos escojamos en C, mejor será el valor obtenido como
aproximación de la longitud de C.
3. Longitud de arco de una curva
Es una función continua con derivada continua en.
Se define la longitud de su carta, que es la curva C entre los puntos
y.
Para ello, en primer lugar, vamos a considerar una partición P del intervalo:
Tal que:
Considere la línea poligonal determinada por puntos, donde cada
.Por lo tanto, la longitud de C está dada por:
4. donde
Puesto que f es continua, con derivada continua, por hipótesis, la expresión
para L puede ser mejorado. De hecho, el valor medio teorema, podemos escribir:
para algunos, tales que,
es decir,
donde a.
Por lo tanto,
ya que es una suma de Riemann para la
función en la partición P del intervalo.
Por lo tanto, la longitud de la curva C es:
.
5. 𝐿 = ∫ √1 + [ 𝑓′( 𝑥)]2 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
Una notación ligeramente más conveniente es la siguiente, es la siguiente:
𝐿 = ∫ √1 + (
𝑑𝑦
𝑑𝑥
)
2
𝑑𝑥
𝑑
𝑐
Ejemplo:
Vamos a calcular la longitud del arco de la parábola, 𝑦 = 𝑥2
+ 1 𝑒𝑛 0 ≤ 𝑥 ≤ 2
Teniendo en cuenta la 𝑓(𝑥) = 𝑥2
+ 1 función, tenemos:
𝑓′(𝑥) = 2𝑥
y por lo tanto
Buscando las primitivas, encontramos:
y por lo tanto
.
Hemos observado que el arco de parábola que, tiene la misma longitud -
para una traslación vertical no cambia la longitud de arco - y, en consecuencia, por
6. la simetría, la longitud del arco de
parábola, para que también.
Por lo que la formula correspondiente para el caso 𝑥 = 𝑓( 𝑦) 𝑒𝑛 [𝑐, 𝑑], es
análoga a la anterior, veamos:
𝐿 = ∫ √1 + [ 𝑓′( 𝑦)]2 𝑑𝑦 =
𝑑
𝑐
∫ √1 + (
𝑑𝑥
𝑑𝑦
)
2
𝑑𝑦
𝑑
𝑐
De nuevo, la segunda forma es probablemente un poco más conveniente.
Tenga en cuenta la diferencia en el derivado de él según la raíz
cuadrada! No te pongas demasiado confuso. Con una diferenciamos con respecto
a x y con la otra nos diferenciamos con respecto a y. Una manera de mantener las
dos rectas es darse cuenta de que el diferencial en el "denominador" del derivado
coincidirá con el diferencial en la integral. Esta es una de las razones por las que
la segunda forma es un poco más cómodo.
Antes trabajamos algún ejemplo tenemos que hacer un pequeño cambio en
la notación. En lugar de tener dos fórmulas para la longitud de arco de una función
que vamos a reducirlo, en parte, a una sola fórmula.
7. Resumiendo las fórmulas de longitud de arco son las siguientes:
𝐿 = ∫ √1 + [ 𝑓′( 𝑥)]2 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= ∫ √1 + (
𝑑𝑦
𝑑𝑥
)
2
𝑑𝑥
𝑑
𝑐
𝐿 = ∫ √1 + [ 𝑓′( 𝑦)]2 𝑑𝑦 =
𝑑
𝑐
∫ √1 + (
𝑑𝑥
𝑑𝑦
)
2
𝑑𝑦
𝑑
𝑐
Tenga en cuenta que no hay límites fueron puestos en la integral como los
límites dependerán de las ds que estamos utilizando. Usando los
primeros ds requerirá x límites de la integración y el uso de los
segundos ds requerirá Y límites de integración.
Pensando en la fórmula de longitud de arco como una sola pieza con diferentes
maneras de definir ds será conveniente cuando se corre a través de longitudes de
arco en tramos futuros.
Ahora que hemos derivamos la fórmula longitud de arco vamos a trabajar
algunos ejemplos.
1) Determinación de la longitud de entre.
Solución:
En este caso tendremos que utilizar los primeros ds ya que la función está
en forma. Por lo tanto, vamos a obtener el derivado fuera del camino.
También vamos a obtener la raíz del camino ya que es a menudo la simplificación
que se puede hacer y no hay razón para hacer eso dentro de la integral.
8. Tenga en cuenta que podría bajar las barras de valor absoluto aquí desde
secante es positivo en el rango dado.
La longitud del arco es entonces,
2) Determinación de la longitud de entre.
Solución:
Hay un error muy común que se comete en los problemas de este
tipo. Muchos estudiantes ven que la función está en esta forma y de inmediato
deciden que será muy difícil trabajar con ella en esa forma para que resuelvan
por y para obtener la función en el formulario. Mientras que se puede hacer aquí
que dará lugar a un desordenado integral para que nos ocupamos.
A veces es más fácil trabajar en función de “y”. De hecho, si se puede
trabajar con funciones en el formulario a continuación, se puede trabajar con
funciones en términos de “y”. Realmente no hay una diferencia entre los dos.
Vamos a calcular la derivada y la raíz.
9. Como se puede ver manteniendo la función en la forma que se va a llevar a una
muy fácil integral. Para ver lo que pasaría si tratáramos de trabajar con la función
en forma 𝑥 = 𝑓(𝑦) ver el siguiente ejemplo.
Vamos a conseguir la longitud.
𝐿 = ∫ √ 𝑦
4
1
𝑑𝑦 = ∫ 𝑦1/2
4
1
𝑑𝑦
𝐿 =
2
3
𝑦3/2
|
1
4
=
2
3
[43/2
− 13/2]
𝐿 =
2
3
(8 − 1)
𝐿 =
14
3
𝑈𝐿
Como se señaló en el último ejemplo que realmente tienen la opción de
decidir que ds utilizamos. A condición de que podemos obtener la función en la
forma requerida para una determinada ds podemos utilizarlo. Sin embargo, como
también se ha indicado anteriormente, a menudo habrá una diferencia significativa
en dificultad de las integrales resultantes. Echemos un rápido vistazo a lo que
sucedería en el ejemplo anterior, si nos pusimos la función en el formulario. 𝑦 =
𝑓(𝑥)
3) Rehacer el ejemplo anterior se utiliza la función en forma en su lugar. 𝑦 = 𝑓(𝑥)
Solución:
En este caso la función y su derivado serían,
10. La raíz en la fórmula longitud de arco sería entonces.
Todo el trabajo de simplificación anterior era sólo para poner la raíz en una
forma que nos permita hacer la integral.
Ahora, antes de que nos escribimos la integral que también tendrá que
determinar los límites. Este particular ds requiere x límites de integración y
tenemos Y límites. Ellos son bastante fáciles de obtener sin embargo. Ya que
sabemos x en función de y todo lo que necesitamos hacer es conectar los
originales Y límites de integración y obtén los x límites de integración. Hacer esto
le da,
No límites fácil de tratar, pero ahí están.
Ahora vamos a anotar el integrante que le dará la longitud.
Esa es una muy desagradable mirar integral. Puede evaluarse sin embargo con
la siguiente sustitución.
11. Conclusión
La longitud de arco es una técnica que emplea diferenciales de longitud, e
integrales para obtener la longitud de un arco de función, es decir de una porción
de la curva que representa una función.
Este diferencial de longitud es dado por la raíz cuadrada de la derivada de
la variable dependiente en función de la dependiente, entre los extremos del
intervalo en los cuales varia la variable.
