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CAMPO GRAVITATORIO
CONCEPTO
DE CAMPO
CONCEPTO FÍSICO DE CAMPO

 Es una región del espacio afectada por una determinada
  magnitud que cambia con la posición. Ésta puede ser, por
  ejemplo una Tª, una fuerza…

 En todos los campos “los espacios se deforman” debido a las
  fuerzas que le son introducidas.
TIPOS DE CAMPO

a) ESCALAR
Si la magnitud física asociada a cada punto del
espacio es escalar. Por ejemplo la temperatura.


b) VECTORIAL
Si la magnitud física asociada a cada punto es
vectorial. Por ejemplo una fuerza.
REPRESENTACIÓN DE UN CAMPO
a) CAMPO ESCALAR

                                Se representa mediante líneas
                                equipotenciales, que son líneas
                                que unen los puntos donde la
                                magnitud física asociada al campo
                                tiene el mismo valor.

                                Temperatura    →      Isotermas
                                Presión        →      Isobaras



También se las conoce como curvas de nivel y no se cortan nunca.
REPRESENTACIÓN DE UN CAMPO
b) CAMPO VECTORIAL
                Se representa mediante líneas de campo, que son
                líneas que representan en cada punto la dirección
                del campo e indican la trayectoria que sigue el
                movimiento de una partícula colocada en ese
                punto del campo.




  Las líneas de campo
   (o líneas de fuerza)
  no se cortan nunca
REPRESENTACIÓN DE UN CAMPO
b) CAMPO VECTORIAL
Si los campos vectoriales son conservativos podemos
definir un potencial que es una magnitud que sólo
depende de la posición (escalar).


Podemos representarlas.
Van a ser siempre
perpendiculares a las
líneas de campo.
CAMPO
GRAVITATORIO
CAMPO GRAVITATORIO
• Es una propiedad de la masa material de las partículas
  que se manifiesta como fuerza de atracción sobre otras
  partículas con masa.
• Es un campo vectorial porque alrededor de la masa, lo
  que se distribuye es una magnitud vectorial (������ ).

Intensidad de Campo: (������)
                                                 ������
Es la fuerza ejercida por unidad de masa.   ������ =
                                                 ������

       −������·������          ������
������ =       2 ������������             Vector de campo gravitatorio
        ������            ������������
PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN
Para calcular la intensidad de campo gravitatorio creado por
varias masas, se calcula la intensidad creada por cada una
de ellas como si las otras no existirán.

La intensidad total será la suma vectorial de las intensidades
de cada masa.
                                 ������

                       ������������ =           ������������
                                ������=������

                            ������ · ������������
                   ������������ = −        ������
                                      ������������
                              ������������
ACELERACIÓN EN UN CAMPO GRAVITATORIO

                 ������ · ������
     ������������ = ������ ·                          ������ · ������
                   ������2     ������ · ������ = ������ ·
                                            ������2
        ������ = ������ · ������



                ������                        ������
       ������ = ������ · 2
                ������         →     ������ = ������ · 2
                                          ������
LÍNEAS DE CAMPO GRAVITATORIO


                       Para una sola masa, las líneas
                       de campo acaban en ella.




Para dos masa las líneas de
campo se complican porque se
tuercen un poco por la
existencia de la otra masa.
CARÁCTER CONSERVATIVO
El trabajo que realiza una fuerza para producir un
desplazamiento entre dos puntos A y B no depende de
la trayectoria seguida, sólo de la posición inicial y final.

       (¡¡¡Gracias a Dios!!! si no las integrales serían terribles
                      y mucho más habituales)


                              ������           ������
                            ������������������   =   ������������������

                    ������                                −������������������
      ������������������ =     ������
                       ������   · ������������       y    ������ =         ������ ������������
                                                        ������
CARÁCTER CONSERVATIVO
Recordamos cómo se calcula el producto escalar de dos vectores y tenemos
en cuenta que ������ ������ ������������ son siempre paralelos.
              ������                              ������                                          ������
                                                     ������������������ ������������                               ������������
������������������ =           ������ · ������������ · ������������������ ������ =         −      ������
                                                                 · ������������ = −������������������ ������������
             ������                              ������         ������                               ������    ������������

                             −������ ������                 ������                    ������
   ������������������   = −������������������ ������������ ·        = ������������������ ������������ ·       − ������������������ ������������ ·
                              ������ ������                 ������ ������                 ������ ������


                                                             ������   ������
                        ������������������ = ������������������ ������������                    −
                                                            ������������ ������������

     Como el trabajo realizado por la fuerza sólo depende de ������������ (posición
      inicial) y ������������ (posición final) puedo decir que es CONSERVATIVO.
VARIACIONES
        DE LA
INTENSIDAD DE CAMPO
       CON LA
       ALTURA
Vamos a estudiar el campo gravitatorio
creado por una masa esférica.

El estudio sirve tanto para esferas huecas
como macizas. Se comporta como si toda la
masa estuviera concentrada en el centro.

  1. En la superficie:

                                 ������ · ������
                         ������������ = − ������ ������������
                                   ������
2. Lejos de la superficie, a una altura “h”:
                                               ������
                                        ������ = ������ ������          ������       ������ = ������ + ������
                                               ������
                                             ������������ ������������ ������������ ������������        ������������
                                         ������ = ������ · ������ = ������ · ������ = ������������ · ������
                                              ������ ������     ������ ������           ������

                                                                  ������������
                                                   ������ = ������������ ·           ������
                                                               ������ + ������
                                     ������������
Como   ������������   < ������ + ������   ������   ⇒              < ������ obtenemos que siempre se cumple:
                                   ������+������ ������


                                         ������ < ������������
EJEMPLO
¿Qué relación existe entre la intensidad del campo gravitatorio creado
por una esfera de radio 10 m en la superficie y a una altura de 100 m?

R = 10 m              h = 100 m

                    ������2                     10 ������ 2
      ������ = ������0 ·           2
                             = ������0 ·                      2
                                                              =
                 ������ + ������              10 ������ + 100 ������
                           100 ������2              1
                 = ������������ ·           2
                                      = ������������ ·
                          12100 ������             121

                                  ������������
                            ������ =
                                 121
EJEMPLO
                             ������������
Calcular a qué altura ������ =        :
                              3

     ������������
������ =
      3
                                      1                    100
                                        ������������ = ������������ ·
               100 ������2                3               100 + 20������ + ������2
������ = ������0 ·
           100������ + 20������ + ������2




        300 = 100 + 20������ + ������2                ������ = 7′ 32 ������
                                              ������′ = −27′ 32������
ENERGÍA
 POTENCIAL
GRAVITATORIA
ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA
Como hemos demostrado que el campo
gravitatorio es una fuerza conservativa podemos
definir una energía potencial gravitatoria.

Es una magnitud escalar cuyo valor está
relacionado con la posición que ocupa una masa
respecto a la masa que genera el campo.

En un campo conservativo, la E. potencial es una
magnitud cuya variación indica el trabajo que hay
que realizar para llevar una masa de un punto a
otro.
ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA


                                                              ������         ������
Recordamos que ya definimos que ������������������ = ������������������ ������������                −
                                                             ������������       ������������

                                ������                                 ������
y como ������������������ =   −������������������ ������������        y   ������������������ =   −������������������ ������������              :
                               ������������                               ������������




                  ������������������ = ������������������ − ������������������ = −∆������������
ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA
Diferencia de la energía potencial (¡¡¡es absurdo decir que la energía potencial en un
punto vale x si no se pone antes un valor de referencia!!!)
                             ������������ = ������ ������������������������������������ ������ → ∞
donde la masa no tiene influencia sobre ningún objeto que se coloque.

                      ������������∞ = −∆������������������∞ = −(������������∞ − ������������������ ) = ������������������

Vamos a demostrar esta afirmación con mayor rigurosidad matemática:

               ∞
                                           ������ ∞                      ������        ������������ ������������
    ������������∞ =        ������ ������������ = ������������������ ������������ ·       = ������������������ ������������ ������ −      = −������           ;
              ������                           ������ ������                    ������������         ������������

                            ������������∞ = ������������������ ������. ������. ������.

                                  ������������ · ������������
                       ������������ = −������             ;                    ������
                                       ������
ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA
Algo que no podemos dejar de tener en cuenta es que la
energía potencial en un punto es, por definición, negativa.

Por lo tanto ������������∞ = ������������������ < ������ En este caso el trabajo es
negativo, porque el objeto se mueve desde B → ∞, quiere
salir del campo y eso tiene un coste de energía que se debe
hacer desde fuera para conseguir mover al objeto.

El caso de ������∞������ = −������������������ > ������ En este caso el trabajo es
positivo, porque el objeto, que se mueve desde ∞ → B, lo
hace sólo, a favor del campo y sin necesidad de aporte
externo de energía.
ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA

A parte de la energía potencial, que tendrá cualquier
masa por el mero hecho de estar situada en un punto
del campo, si la masa se mueve tendrá también tendrá
ENERGÍA CINÉTICA:


                       ������������ ������
            ������������ = −������     + ������������������
                        ������  ������
EN LA TIERRA
Vamos a calcular el incremento de energía potencial gravitatoria desde
la superficie terrestre hasta una altura “h”.

                    ������������������ ������   −������������������ ������              ������      ������
    ∆������������������→������   =−           −            = ������������������ ������     −          =
                    ������������ + ������      ������������                ������������ ������������ + ������

Obtenemos el denominador común y simplificamos:

                       ������������ +������ − ������������                    ������
           = ������������������ ������                 = ������������������ ������     ������         =
                       ������������ ������������ + ������              ������������ + ������������ ������

                                       ������                                            ������������������
Sacamos del paréntesis un ������������ dividiendo y tenemos en cuenta que ������������ =                       :
                                                                                     ������������ ������


                          ������������������ ������           ������                           ������
                      =           ������                ������
                                                          = ������������ ������ ·         ������
                           ������������             ������ +   ������������
                                                                        ������ + ������
                                                                                ������
EN LA TIERRA

Podemos aproximar diciendo que la altura “h” es mucho más pequeña
                                                              ������
que el radio terrestre (������������ = ������. ������������������ ������������), por lo tanto    → ������.
                                                       ������������




   ∆������������ = ������ · ������������ · ������           donde ������������ = ������′ ������ ������/������������
POTENCIAL
 GRAVITATORIO
(DIFERENCIA DE POTENCIAL)
POTENCIAL GRAVITATORIO
El Potencial Gravitatorio (V) se define en un punto de un campo
gravitatorio como la ������������ que tendrían el sistema formado por la
masa creadora del campo y la unidad de masa situada en ese
punto.
                             ������       ������
                     ������ = −������ ;
                             ������      ������������

El Potencial Gravitatorio (V) en un punto es el trabajo que
realizan las fuerzas del campo para trasladar la unidad de masa
desde un punto al infinito.
POTENCIAL GRAVITATORIO

Para una masa “m”:

                   ������������ = ������ · ������

Por lo tanto, el trabajo podemos escribirlo como:

           ������������������ = −∆������������ = −∆������ · ������


     ������������������ = −������ · ������������ − ������������ ;            ������
POTENCIAL GRAVITATORIO
Si tengo varias masas, el potencial en un punto es la suma
escalar de los potenciales debidos a cada masa.

                                En el punto p calculo el
                                potencial de cada una de las
                                masas (������������ , ������������ , … ������������ ).

                                                  ������

                                     ������������ =            ������������
                                              ������=������
SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES
Las superficies equipotenciales
son aquellas superficies en las
cuales todos sus puntos se
caracterizan por tener el mismo
potencial.

Para el caso de una masa “m” las
superficies equipotenciales son
ESFERAS           CONCÉNTRICAS
perpendiculares a las líneas de
campo. (Lógico, ya que el campo
gravitatorio es un campo central)
SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES

El sentido del campo siempre apunta hacia potenciales
decrecientes.

¡¡¡OJO!!! El valor del potencial es definido negativo, por lo que
el valor “cero” del potencial en el infinito es el mayor valor que
puede tomar el potencial.

Es interesante observar que, ya que el campo gravitatorio es
conservativo, cuando me muevo sobre una superficie
equipotencial no hago ningún trabajo.

               ������ = −������ · ∆������ = −������ · 0 = 0
GRADIENTE DE POTENCIAL
• Como el campo gravitatorio es perpendicular a las superficies
  equipotenciales, al movernos en dirección radial un ∆������
  atravesamos superficies equipotenciales.

• El gradiente de potencial entre dos puntos es una medida del
  campo gravitatorio que describe la rapidez de variación del campo
  al desplazarnos desde un punto en dirección radial. (Es como la
  pendiente de una cuesta).


                                     ∆������                  ∆������
      ������������������������ ������ = ������ · ������ =      −        ⇒ ������ =      −
                                     ∆������                  ∆������
MOVIMIENTO DE
 PLANETAS Y
  SATÉLITES
PERIODO DE REVOLUCIÓN
   a) Las órbitas son elípticas, cerradas y planas. (Radio medio a).
      Aproximamos a órbitas circulares de radio R = a.
   b) Los satélites están sometidos a una fuerza de atracción
      gravitatoria. Esta es una fuerza centrípeta que mantiene al
      satélite girando.
                                   ������ · ������ ������������ 2
                   ������ = ������������ ⇒ ������
                    ������                  2
                                          =
                                     ������        ������

                               ������������     ������
                       ������ =         ;
                                ������      ������

Observamos que la velocidad del satélite no depende de la masa del
mismo, sólo de la masa del planeta y la distancia al mismo.
SATÉLITES GEOESTACIONARIOS
Es un satélite que gira en el plano del ecuador terrestre. Está siempre en la
misma posición sobre la Tierra. Es decir, el periodo de rotación de la Tierra
y el periodo de traslación del satélite coinciden.
                  ���������������������������������������������������������� ����������������������������������������� = ���������������������������������������������� ������������������������������������ = 24 ������
Vamos a calcular el radio de estos satélites:

                                                       ������
                                           ������ = 2������������
                                                      ������������

                                                    4������ 2 ������3
                                             ������ 2 =
                                                     ������������

        3   ������������������ 2
 ������ =             2
                     ≈ 42300 ������������ (∼ 36000 ������������ ������������������������������ ������������ ������������������������������������������������������������)
              4������
CUESTIÓN PARA LA CLASE




  Estos son tres tipos de órbitas
       ¿puede haber más?
VELOCIDAD DE
   ESCAPE
VELOCIDAD DE ESCAPE
• Es la velocidad mínima que hay que proporcionar a un cuerpo o masa que
  está sometida a un campo gravitatorio para que escape del mismo.
• La condición de escape es que la energía total del cuerpo (una vez ha
  escapado del campo gravitatorio) sea cero.
• Es decir, la velocidad de escape es aquella que anula la energía mecánica
  de un cuerpo.
                                         1     2 − ������
                                                      ������������
                    ������ = ������������ + ������������ = ������������                =0
                                         2             ������
                                1       2 = ������
                                               ������������
                                  ������������
                                2                ������
                                       2 =
                                           2������������
                                    ������
                                            ������

                                        2������������
                              ������������ =
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2. Campo gravitatorio

  • 3. CONCEPTO FÍSICO DE CAMPO  Es una región del espacio afectada por una determinada magnitud que cambia con la posición. Ésta puede ser, por ejemplo una Tª, una fuerza…  En todos los campos “los espacios se deforman” debido a las fuerzas que le son introducidas.
  • 4. TIPOS DE CAMPO a) ESCALAR Si la magnitud física asociada a cada punto del espacio es escalar. Por ejemplo la temperatura. b) VECTORIAL Si la magnitud física asociada a cada punto es vectorial. Por ejemplo una fuerza.
  • 5. REPRESENTACIÓN DE UN CAMPO a) CAMPO ESCALAR Se representa mediante líneas equipotenciales, que son líneas que unen los puntos donde la magnitud física asociada al campo tiene el mismo valor. Temperatura → Isotermas Presión → Isobaras También se las conoce como curvas de nivel y no se cortan nunca.
  • 6. REPRESENTACIÓN DE UN CAMPO b) CAMPO VECTORIAL Se representa mediante líneas de campo, que son líneas que representan en cada punto la dirección del campo e indican la trayectoria que sigue el movimiento de una partícula colocada en ese punto del campo. Las líneas de campo (o líneas de fuerza) no se cortan nunca
  • 7. REPRESENTACIÓN DE UN CAMPO b) CAMPO VECTORIAL Si los campos vectoriales son conservativos podemos definir un potencial que es una magnitud que sólo depende de la posición (escalar). Podemos representarlas. Van a ser siempre perpendiculares a las líneas de campo.
  • 9. CAMPO GRAVITATORIO • Es una propiedad de la masa material de las partículas que se manifiesta como fuerza de atracción sobre otras partículas con masa. • Es un campo vectorial porque alrededor de la masa, lo que se distribuye es una magnitud vectorial (������ ). Intensidad de Campo: (������) ������ Es la fuerza ejercida por unidad de masa. ������ = ������ −������·������ ������ ������ = 2 ������������ Vector de campo gravitatorio ������ ������������
  • 10. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN Para calcular la intensidad de campo gravitatorio creado por varias masas, se calcula la intensidad creada por cada una de ellas como si las otras no existirán. La intensidad total será la suma vectorial de las intensidades de cada masa. ������ ������������ = ������������ ������=������ ������ · ������������ ������������ = − ������ ������������ ������������
  • 11. ACELERACIÓN EN UN CAMPO GRAVITATORIO ������ · ������ ������������ = ������ · ������ · ������ ������2 ������ · ������ = ������ · ������2 ������ = ������ · ������ ������ ������ ������ = ������ · 2 ������ → ������ = ������ · 2 ������
  • 12. LÍNEAS DE CAMPO GRAVITATORIO Para una sola masa, las líneas de campo acaban en ella. Para dos masa las líneas de campo se complican porque se tuercen un poco por la existencia de la otra masa.
  • 13. CARÁCTER CONSERVATIVO El trabajo que realiza una fuerza para producir un desplazamiento entre dos puntos A y B no depende de la trayectoria seguida, sólo de la posición inicial y final. (¡¡¡Gracias a Dios!!! si no las integrales serían terribles y mucho más habituales) ������ ������ ������������������ = ������������������ ������ −������������������ ������������������ = ������ ������ · ������������ y ������ = ������ ������������ ������
  • 14. CARÁCTER CONSERVATIVO Recordamos cómo se calcula el producto escalar de dos vectores y tenemos en cuenta que ������ ������ ������������ son siempre paralelos. ������ ������ ������ ������������������ ������������ ������������ ������������������ = ������ · ������������ · ������������������ ������ = − ������ · ������������ = −������������������ ������������ ������ ������ ������ ������ ������������ −������ ������ ������ ������ ������������������ = −������������������ ������������ · = ������������������ ������������ · − ������������������ ������������ · ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������������������ = ������������������ ������������ − ������������ ������������ Como el trabajo realizado por la fuerza sólo depende de ������������ (posición inicial) y ������������ (posición final) puedo decir que es CONSERVATIVO.
  • 15. VARIACIONES DE LA INTENSIDAD DE CAMPO CON LA ALTURA
  • 16. Vamos a estudiar el campo gravitatorio creado por una masa esférica. El estudio sirve tanto para esferas huecas como macizas. Se comporta como si toda la masa estuviera concentrada en el centro. 1. En la superficie: ������ · ������ ������������ = − ������ ������������ ������
  • 17. 2. Lejos de la superficie, a una altura “h”: ������ ������ = ������ ������ ������ ������ = ������ + ������ ������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������ = ������ · ������ = ������ · ������ = ������������ · ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������������ ������ = ������������ · ������ ������ + ������ ������������ Como ������������ < ������ + ������ ������ ⇒ < ������ obtenemos que siempre se cumple: ������+������ ������ ������ < ������������
  • 18. EJEMPLO ¿Qué relación existe entre la intensidad del campo gravitatorio creado por una esfera de radio 10 m en la superficie y a una altura de 100 m? R = 10 m h = 100 m ������2 10 ������ 2 ������ = ������0 · 2 = ������0 · 2 = ������ + ������ 10 ������ + 100 ������ 100 ������2 1 = ������������ · 2 = ������������ · 12100 ������ 121 ������������ ������ = 121
  • 19. EJEMPLO ������������ Calcular a qué altura ������ = : 3 ������������ ������ = 3 1 100 ������������ = ������������ · 100 ������2 3 100 + 20������ + ������2 ������ = ������0 · 100������ + 20������ + ������2 300 = 100 + 20������ + ������2 ������ = 7′ 32 ������ ������′ = −27′ 32������
  • 21. ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA Como hemos demostrado que el campo gravitatorio es una fuerza conservativa podemos definir una energía potencial gravitatoria. Es una magnitud escalar cuyo valor está relacionado con la posición que ocupa una masa respecto a la masa que genera el campo. En un campo conservativo, la E. potencial es una magnitud cuya variación indica el trabajo que hay que realizar para llevar una masa de un punto a otro.
  • 22. ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA ������ ������ Recordamos que ya definimos que ������������������ = ������������������ ������������ − ������������ ������������ ������ ������ y como ������������������ = −������������������ ������������ y ������������������ = −������������������ ������������ : ������������ ������������ ������������������ = ������������������ − ������������������ = −∆������������
  • 23. ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA Diferencia de la energía potencial (¡¡¡es absurdo decir que la energía potencial en un punto vale x si no se pone antes un valor de referencia!!!) ������������ = ������ ������������������������������������ ������ → ∞ donde la masa no tiene influencia sobre ningún objeto que se coloque. ������������∞ = −∆������������������∞ = −(������������∞ − ������������������ ) = ������������������ Vamos a demostrar esta afirmación con mayor rigurosidad matemática: ∞ ������ ∞ ������ ������������ ������������ ������������∞ = ������ ������������ = ������������������ ������������ · = ������������������ ������������ ������ − = −������ ; ������ ������ ������ ������������ ������������ ������������∞ = ������������������ ������. ������. ������. ������������ · ������������ ������������ = −������ ; ������ ������
  • 24. ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA Algo que no podemos dejar de tener en cuenta es que la energía potencial en un punto es, por definición, negativa. Por lo tanto ������������∞ = ������������������ < ������ En este caso el trabajo es negativo, porque el objeto se mueve desde B → ∞, quiere salir del campo y eso tiene un coste de energía que se debe hacer desde fuera para conseguir mover al objeto. El caso de ������∞������ = −������������������ > ������ En este caso el trabajo es positivo, porque el objeto, que se mueve desde ∞ → B, lo hace sólo, a favor del campo y sin necesidad de aporte externo de energía.
  • 25. ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA A parte de la energía potencial, que tendrá cualquier masa por el mero hecho de estar situada en un punto del campo, si la masa se mueve tendrá también tendrá ENERGÍA CINÉTICA: ������������ ������ ������������ = −������ + ������������������ ������ ������
  • 26. EN LA TIERRA Vamos a calcular el incremento de energía potencial gravitatoria desde la superficie terrestre hasta una altura “h”. ������������������ ������ −������������������ ������ ������ ������ ∆������������������→������ =− − = ������������������ ������ − = ������������ + ������ ������������ ������������ ������������ + ������ Obtenemos el denominador común y simplificamos: ������������ +������ − ������������ ������ = ������������������ ������ = ������������������ ������ ������ = ������������ ������������ + ������ ������������ + ������������ ������ ������ ������������������ Sacamos del paréntesis un ������������ dividiendo y tenemos en cuenta que ������������ = : ������������ ������ ������������������ ������ ������ ������ = ������ ������ = ������������ ������ · ������ ������������ ������ + ������������ ������ + ������ ������
  • 27. EN LA TIERRA Podemos aproximar diciendo que la altura “h” es mucho más pequeña ������ que el radio terrestre (������������ = ������. ������������������ ������������), por lo tanto → ������. ������������ ∆������������ = ������ · ������������ · ������ donde ������������ = ������′ ������ ������/������������
  • 29. POTENCIAL GRAVITATORIO El Potencial Gravitatorio (V) se define en un punto de un campo gravitatorio como la ������������ que tendrían el sistema formado por la masa creadora del campo y la unidad de masa situada en ese punto. ������ ������ ������ = −������ ; ������ ������������ El Potencial Gravitatorio (V) en un punto es el trabajo que realizan las fuerzas del campo para trasladar la unidad de masa desde un punto al infinito.
  • 30. POTENCIAL GRAVITATORIO Para una masa “m”: ������������ = ������ · ������ Por lo tanto, el trabajo podemos escribirlo como: ������������������ = −∆������������ = −∆������ · ������ ������������������ = −������ · ������������ − ������������ ; ������
  • 31. POTENCIAL GRAVITATORIO Si tengo varias masas, el potencial en un punto es la suma escalar de los potenciales debidos a cada masa. En el punto p calculo el potencial de cada una de las masas (������������ , ������������ , … ������������ ). ������ ������������ = ������������ ������=������
  • 32. SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES Las superficies equipotenciales son aquellas superficies en las cuales todos sus puntos se caracterizan por tener el mismo potencial. Para el caso de una masa “m” las superficies equipotenciales son ESFERAS CONCÉNTRICAS perpendiculares a las líneas de campo. (Lógico, ya que el campo gravitatorio es un campo central)
  • 33. SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES El sentido del campo siempre apunta hacia potenciales decrecientes. ¡¡¡OJO!!! El valor del potencial es definido negativo, por lo que el valor “cero” del potencial en el infinito es el mayor valor que puede tomar el potencial. Es interesante observar que, ya que el campo gravitatorio es conservativo, cuando me muevo sobre una superficie equipotencial no hago ningún trabajo. ������ = −������ · ∆������ = −������ · 0 = 0
  • 34. GRADIENTE DE POTENCIAL • Como el campo gravitatorio es perpendicular a las superficies equipotenciales, al movernos en dirección radial un ∆������ atravesamos superficies equipotenciales. • El gradiente de potencial entre dos puntos es una medida del campo gravitatorio que describe la rapidez de variación del campo al desplazarnos desde un punto en dirección radial. (Es como la pendiente de una cuesta). ∆������ ∆������ ������������������������ ������ = ������ · ������ = − ⇒ ������ = − ∆������ ∆������
  • 35. MOVIMIENTO DE PLANETAS Y SATÉLITES
  • 36. PERIODO DE REVOLUCIÓN a) Las órbitas son elípticas, cerradas y planas. (Radio medio a). Aproximamos a órbitas circulares de radio R = a. b) Los satélites están sometidos a una fuerza de atracción gravitatoria. Esta es una fuerza centrípeta que mantiene al satélite girando. ������ · ������ ������������ 2 ������ = ������������ ⇒ ������ ������ 2 = ������ ������ ������������ ������ ������ = ; ������ ������ Observamos que la velocidad del satélite no depende de la masa del mismo, sólo de la masa del planeta y la distancia al mismo.
  • 37. SATÉLITES GEOESTACIONARIOS Es un satélite que gira en el plano del ecuador terrestre. Está siempre en la misma posición sobre la Tierra. Es decir, el periodo de rotación de la Tierra y el periodo de traslación del satélite coinciden. ������������������������������������������������������ó������ ������������������é������������������������ = ������������������������������������������ó������ ������������������������������������ = 24 ������ Vamos a calcular el radio de estos satélites: ������ ������ = 2������������ ������������ 4������ 2 ������3 ������ 2 = ������������ 3 ������������������ 2 ������ = 2 ≈ 42300 ������������ (∼ 36000 ������������ ������������������������������ ������������ ������������������������������������������������������������) 4������
  • 38. CUESTIÓN PARA LA CLASE Estos son tres tipos de órbitas ¿puede haber más?
  • 39. VELOCIDAD DE ESCAPE
  • 40. VELOCIDAD DE ESCAPE • Es la velocidad mínima que hay que proporcionar a un cuerpo o masa que está sometida a un campo gravitatorio para que escape del mismo. • La condición de escape es que la energía total del cuerpo (una vez ha escapado del campo gravitatorio) sea cero. • Es decir, la velocidad de escape es aquella que anula la energía mecánica de un cuerpo. 1 2 − ������ ������������ ������ = ������������ + ������������ = ������������ =0 2 ������ 1 2 = ������ ������������ ������������ 2 ������ 2 = 2������������ ������ ������ 2������������ ������������ = ������