Dokumen tersebut membahas tentang penggunaan teorema sisa dan teorema faktor dalam pemecahan masalah matematika, termasuk menentukan sisa pembagian suku banyak, menentukan faktor suku banyak, dan menyelesaikan persamaan suku banyak.

1. Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2

2. 4.Menggunakan aturan
suku banyak dalam
penyelesai an masalah
Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2

3. 4.2 Menggunakan teorema sisa
dan teorema faktor dalam
pemecahan masalah
Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2

4. 11 Menentukan sisa pembagian suku-banyak
oleh bentuk linear dan kuadrat dengan
teorema sisa.
22 Menentukan faktor linear dari suku-banyak
dengan teorema faktor.
33 Menyelesaikan persamaan suku-banyak
dengan menggunakan teorema faktor
44 Membuktikan teorema sisa dan teorema
faktor
Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2

5. TEOREMA SISA dan TEOREMA FAKTOR
Teorema Sisa untuk Pembagian Bentuk Linear
Teorema Sisa :
1.Jika suatu suku banyak f(x) dibagi oleh
pembagi linear berbentuk (x – k), maka
sisanya adalah s = f(k).
2.Jika suatu suku banyak f(x) dibagi oleh
pembagi linear berbentuk (ax + b), maka
sisanya adalah s = f ( − b )
a
Bukti : f(x) = (x – k).H(x) + s
Jika x = k, maka f(k) = (k – k).H(k) + s
f(k) = 0.H(k) + s
f(k) = 0 + s  Sisa s = f(k) (terbukti)
Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2

6. Contoh soal :
1. Tentukan sisa pembagian suku banyak (3x4+4x3–x2+5x– 7)
oleh (x – 2)
Jawab :
S = f(2) = 3.24 + 4.23 – 22 + 5.2 – 7
= 3.16 + 4.8 – 4 + 10 – 7
= 3.16 + 4.8 – 4 + 10 – 7
= 48 + 32 – 1 = 79
Jadi sisa suku banyak di atas adalah 79
2. Suku banyak (2x3 + ax2 + bx – 2) memberikan sisa 7 jika
dibagi (2x – 3) dan habis dibagi oleh (x + 2). Tentukan nilai
a+b!
Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2

7. 2. Suku banyak (2x3 + ax2 + bx – 2) memberikan sisa 7 jika dibagi
(2x – 3) dan habis dibagi oleh (x + 2). Tentukan nilai a + b !
Jawab :
f(x) = (2x3 + ax2 + bx – 2)
s = 7 jika dibagi (2x – 3)
 s = f( 3 ) = 7
2
s = f ( 3 ) = 2( 3 ) + a ( 3 ) + b( 3 ) – 2 = 7
3 2
2 2 2 2
s = f( 3 ) =
2
27
4
+ 9a + 3b − 2 = 7
4 2
x4
27 + 9a + 6b = 36
9a + 6b = 9 : 3
3a + 2b = 3 ......(1)
f(x) habis dibagi (x + 2)
 s = f(– 2) = 0
s = f(– 2) = 2(– 2)3+ a(– 2)2+ b(– 2) – 2 = 0
s = f(– 2) = – 16 + 4a – 2b – 2 = 0
Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2

8. s = f(– 2) = – 16 + 4a – 2b – 2 = 0
4a – 2b = 18 : 2
2a – b = 9….......(2)
Dari persamaan (1) dan (2), kita cari nilai a dan b :
(1)….3a + 2b = 3 x 1 3a + 2b = 3
(2)….2a – b = 9 x 2 4a – 2b = 18 +
7a = 21
a=3
Untuk menentukan nilai b, substitusikan a = 3 pada
persamaan (1) atau (2)  (2)…. 2 . 3 – b = 9  b = – 3
Jadi a + b = 3 + (– 3) = 0
Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2

9. Teorema Sisa untuk Pembagian Bentuk
Kuadrat yang dapat difaktorkan (x – a)(x – b)
Algoritma Pembagian Suku Banyak oleh (x – a)(x – b)
Jika fungsi suku banyak f(x) dibagi oleh (x–a)(x – b),
selalu dapat dituliskan :
f(x) = p(x) . H(x) + s
f(x) = (x–a)(x – b) . H(x) + s(x)
f(x) = (x–a)(x – b) . H(x) + (px+q)
P adalah koefisien x dan q adalah konstanta
Untuk menentukan nilai p dan q lakukan kegiatan
5.2 pada hal. 173
Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2

10. Sehingga didapatkan :
f (a ) − f (b) a . f ( b ) − b. f ( a )
p= dan q =
a −b a −b
Jadi : f (a ) − f (b) a . f ( b ) − b. f ( a )
s( x ) = x+
a −b a −b
Contoh soal :
Tentukan sisa pembagian suku banyak (3x4+4x3–x2+5x– 7)
oleh x2 + x – 6 !
Jawab :
F(x) = (3x4+4x3–x2+5x– 7)
P(x) = x2 + x – 6 = (x – 2)(x + 3)
 a = 2 dan b = - 3
Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2

11. Jadi :
f (a ) − f (b) a . f ( b ) − b. f ( a )
s( x ) = x+
a −b a −b
79 − 104 2.104 − (−3).79
s( x) = x+
2 − (−3) 2 − (−3)
− 25 208 + 237
= x+
5 5
= −5 x + 89
Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2

12. Jawab :
F(x) = (3x4+4x3–x2+5x– 7)
P(x) = x2 + x – 6 = (x – 2)(x + 3)
 a = 2 dan b = - 3
f(a) = f(2) = 3.24 + 4.23 – 22 + 5.2 – 7
= 48 + 32 – 4 + 10 – 7
= 79
f(b) = f(- 3) = 3.(- 3)4 + 4. (- 3)3 – (- 3)2 + 5. (- 3) – 7
= 243 – 108 – 9 – 15 – 7
= 104
Jadi :
f (a ) − f (b) a . f ( b ) − b. f ( a )
s( x ) = x+
a −b a −b
Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2

13. Teorema Faktor
1.Suatu fungsi suku banyak f(x) memiliki
faktor (x – k) jika dan hanya jika f(k) = 0.
2.Suatu fungsi suku banyak f(x) memiliki
faktor (ax + b) jika dan hanya jika f ( − b ) = 0
a
Contoh soal :
Buktikan bahwa (x – 2) dan (x + 3) adalah faktor-faktor dari
suku banyak (2x4 + 7x3 – 4x2 – 27x – 18) !
Bukti :
f(x) = (2x4 + 7x3 – 4x2 – 27x – 18)
• (x – 2) faktor dari (2x4 + 7x3 – 4x2 – 27x – 18)
maka f(2) = (2.24 + 7.23 – 4.22 – 27.2 – 18)
Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2

14. Bukti :
f(x) = (2x4 + 7x3 – 4x2 – 27x – 18)
• (x – 2) faktor dari (2x4 + 7x3 – 4x2 – 27x – 18)
maka f(2) = (2.24 + 7.23 – 4.22 – 27.2 – 18)
= (32 + 56 – 16 – 54 – 18) = 0
Karena f(2) = 0, maka (x – 2) adalah faktor dari f(x)
Terbukti
• (x + 3) faktor dari (2x4 + 7x3 – 4x2 – 27x – 18)
maka f(-3) = (2.(-3)4 + 7.(-3)3 – 4.(-3)2 – 27.(-3) – 18)
= (162 – 189 – 36 + 81 – 18) = 0
Karena f(-3) = 0, maka (x + 3) adalah faktor dari f(x)
Terbukti
Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2

15. Menyelesaikan Persamaan Suku Banyak
Menentukan Faktor Linear dari Suku Banyak
Jika f(x) = a0xn + a1xn-1 + … + an-1x + an dan (x
– a) merupakan faktor dari f(x), maka nilai a
yang mungkin adalah faktor-faktor bulat dari
an
Contoh soal :
Tentukan faktor-faktor dari suku banyak (2x3 – 5x2 – 14x + 8)
Jawab :
f(x) = 2x3 – 5x2 – 14x + 8
Nilai a yang mungkin adalah ±8, ±4, ±2, ±1
Dengan cara trial and error, tentukan nilai a yang mungkin
dengan mensubstitusikan ke dalan f(x) sehingga f(a) = 0
Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2

16. Contoh soal :
Tentukan faktor-faktor dari suku banyak (2x3 – 5x2 – 14x + 8)
Jawab :
f(x) = 2x3 – 5x2 – 14x + 8
Nilai a yang mungkin adalah ±8, ±4, ±2, ±1
Dengan cara trial and error, tentukan nilai a yang mungkin
dengan mensubstitusikan ke dalan f(x) sehingga f(a) = 0
Untuk a = -2  f(- 2) = 0, sehingga (x + 2) merupakan faktor
dari f(x)
Untuk menentukan faktor-faktor yang lain dapat dilakukan
dengan cara HORNER sebagai berikut :
Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2

17. 2 –5 – 14 8
x=–2 –4 18 –8 +
2 –9 4 0  f(-2)
Sehingga :
f(x) = (x – k).H(x) + s
2x3 – 5x2 – 14x + 8 = (x + 2).(2x2 – 9x + 4) + 0
2x3 – 5x2 – 14x + 8 = (x + 2).(2x – 1)(x – 4)
Jadi faktor dari 2x3 – 5x2 – 14x + 8 adalah (x + 2), (2x – 1)
dan (x – 4)
Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2

18. Menyelesaikan Persamaan Suku Banyak
Contoh soal :
Selesaikan persamaan suku banyak 2x3 – 5x2 – 14x + 8 = 0
Jawab :
f(x) = 2x3 – 5x2 – 14x + 8
Nilai a yang mungkin adalah ±8, ±4, ±2, ±1
Dengan cara trial and error, tentukan nilai a yang mungkin
dengan mensubstitusikan ke dalan f(x) sehingga f(a) = 0
Untuk a = -2  f(- 2) = 0, sehingga (x + 2) merupakan faktor
dari f(x)
Untuk menentukan faktor-faktor yang lain dapat dilakukan
dengan cara HORNER sebagai berikut :
Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2

19. 2 –5 – 14 8
x=–2 –4 18 –8 +
2 –9 4 0  f(-2)
f(x) = (x – k).H(x) + s
(x + 2).(2x2 – 9x + 4) + 0
2x3 – 5x2 – 14x + 8 = (x + 2).(2x – 1)(x – 4)
Sehingga : 2x3 – 5x2 – 14x + 8 =
Jadi faktor dari 2x3 – 5x2 – 14x + 8 adalah (x + 2), (2x – 1)
dan (x – 4)
Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2

20. Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2

21. Pembagian Suku Banyak
Hitunglah 1.256 dibagi 3 dengan cara bersusun !
Algoritma Pembagian Suku Banyak oleh (x – k)
1. Cara bersusun
Contoh soal :
Tentukan pembagian suku banyak f(x) = 3x4 + 4x3 – x2 + 5x – 7
dibagi (x – 2) !
Jawab : 3x3 + 10x2 + 19x
(x – 2) 3x4 + 4x3 – x2 + 5x – 7
3x4 – 6x3 -
10x3 – x2 + 5x – 7
10x3 – 20x2 -
19x2 + 5x – 7
19x2 – 38x -
Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2

22. 3x3 + 10x2 + 19x + 43  Hasil bagi
(x – 2) 3x4 + 4x3 – x2 + 5x – 7
3x4 – 6x3 -
pembagi 10x3 – x2 + 5x – 7
10x3 – 20x2 -
19x2 + 5x – 7
19x2 – 38x -
43x – 7
43x – 86 -
79  sisa
Jadi hasil baginya = 3x3 + 10x2 + 19x + 43
dan sisanya adalah 79
Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2

23. 2. Cara Bagan/Horner/Sintetis :
Contoh soal :
Tentukan pembagian suku banyak f(x) = 3x4 + 4x3 – x2 + 5x – 7
dibagi (x – 2) !
Jawab :
3 4 -1 5 -7
x=2 6 20 38 86 +
3 10 19 43 79  Sisa
Koefisien Hasil Bagi
Jadi hasil baginya = 3x3 + 10x2 + 19x + 43 dan sisanya
adalah 79
Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2

24. Pembagian Suku Banyak
Algoritma Pembagian Suku Banyak oleh (ax+b)
1. Cara bersusun
Contoh soal :
Tentukan pembagian suku banyak f(x) = 6x4 – 4x2 + 2x – 1
dibagi (2x + 4) !
Jawab : 3x3 – 6x2 + 10x
(2x + 4) 6x4 + 0x3 – 4x2 + 2x – 1
6x4 + 12x3 -
– 12x3 – 4x2 + 2x – 1
– 12x3 – 24x2 -
20x2 + 2x – 1
20x2 + 40x -
Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2

25. 3x3 – 6x2 + 10x – 19  Hasil bagi
(2x + 4) 6x4 + 0x3 – 4x2 + 2x – 1
6x4 + 12x3 -
– 12x3 – 4x2 + 2x – 1
pembagi
– 12x3 – 24x2 -
20x2 + 2x – 1
20x2 + 40x -
– 38x – 1
– 38x – 76 -
75  sisa
Jadi hasil baginya = 3x3 - 6x2 + 10x -19 dan
sisanya adalah 75
6x4 – 4x2 + 2x – 1= (2x + 4)(3x3 - 6x2 + 10x -19) + 75
Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2

26. 2. Cara Bagan/Horner/Sintetis :
Contoh soal :
Tentukan pembagian suku banyak f(x) = 6x4 – 4x2 + 2x – 1
dibagi (2x + 4) !
Jawab :
6 0 –4 2 –1
x=–2 – 12 24 – 40 76 +
6 – 12 20 – 38 75  Sisa
6x 3 − 12x 2 + 20x − 38 6x 3 − 12x 2 + 20x − 38
H(x) = =
a 2
= 3x3 – 6x2 + 10x – 19
Jadi hasil baginya : H(x) = 3x3 – 6x2 + 10x – 19 dan
sisanya adalah f(– 2) = 75
Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2

27. Pembagian Suku Banyak
Algoritma Pembagian Suku Banyak oleh (ax2+ bx + c)
1. Cara bersusun
Contoh soal :
Tentukan pembagian suku banyak f(x) = 4x4 – 5x2 + 3x – 1
dibagi (2x2 + x – 1) !
Jawab : 2x2 – x – 1  Hasil bagi
(2x2 + x – 1) 4x4 + 0x3 – 5x2 + 3x – 1
4x4 + 2x3 – 2x2 -
pembagi – 2x3 – 3x2 + 3x – 1
– 2x3 – x2 + x -
– 2x2 + 2x – 1
– 2x2 – x + 1 -
3x – 2  sisa
Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2

28. 2. Cara Bagan/Horner/Sintetis :
Contoh soal :
Tentukan pembagian suku banyak f(x) = 4x4 – 5x2 + 3x – 1
dibagi (2x2 + x – 1) !
Jawab :
Diskusikan dan kerjakan, dikumpulkan
pada pertemuan yang akan datang !!!!
Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2

29. Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2