1. MACS 2. Álgebra. Recopilación preguntas exámenes. 1
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES 2
EJERCICIOS DE EXÁMENES PROPUESTO EN LOS ÚLTIMOS AÑOS
A. PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS DE SISTEMAS DE ECUACIONES Y MÉTODO DE GAUSS
1. En una reunión hay 22 personas, entre hombres, mujeres y niños. El doble del número de
mujeres más el triple del número de niños, es igual al doble del número de hombres.
a) Con estos datos, ¿se puede saber el número de hombres que hay?
b) Si, además, se sabe que el número de hombres es el doble del de mujeres, ¿cuántos
hombres, mujeres y niños hay?
Solución
2. Resuelve estos sistemas, mediante el método de Gauss:
Solución
3. Un hotel adquirió un total de 200 unidades entre almohadas, mantas y edredones, gastando
para ello un total de 7500 €. El precio de una almohada es de 16 euros, el de una manta 50
euros y el de un edredón 80 euros. Además el número de almohadas compradas es igual al
número de mantas más el número de edredones. ¿Cuántas almohadas, mantas y edredones ha
comprado el hotel?
Solución
4. Dado el sistema de ecuaciones lineales
a. Resolverlo sabiendo que además satisface que la suma de los valores correspondientes a cada
una de las incógnitas es 4.)
b. Añadir una tercera ecuación de manera que el sistema resultante sea incompatible.
Solución
5. Raquel, Paula y Sara salen de compras y cada una adquiere una camiseta. El precio medio de las
prendas es de 14 euros. La diferencia entre el precio de la camiseta de Sara y la de Paula es el
doble de la diferencia entre el precio de la camiseta de Paula y la de Raquel. Si a Raquel le
hubiera costado su camiseta el doble, sobrepasaría en un euro el precio de la de Sara.
a) Plantee un sistema de ecuaciones lineales para calcular el precio de cada una de las
camisetas y resuélvalo por el método de Gauss.
b) ¿Es posible saber el precio de las camisetas si la última condición se cambia por “Si a Paula le
hubiera costado su camiseta el cuádruple, sobrepasaría en 42 euros el precio de la de Raquel"?.
Solución





















113116
924
123
52b)
242
103
635a)
zyx
zyx
yx
zyx
zyx
zyx
zyx

2. MACS 2. Álgebra. Recopilación preguntas exámenes. 2
B. MATRICES Y DETERMINANTES. OPERACIONES BÁSICAS
1. Sean las matrices 








101
112
A y













12
02
11
B .
a. Calcule la matriz tt
BAABC  .
b.
Halle la matriz X que verifique 






2
4
XBA
Solución
2. Se consideran las matrices y
c. Calcule y
d. Despeje de la ecuación matricial
e. Calcule
Solución
3. Teniendo en cuenta que , calcular el valor de los siguientes determinantes
a)
b)
Solución
4. Teniendo en cuenta que , calcular el valor de los siguientes determinantes:
a.
b.
c.
d.
Solución
5. Sean las matrices . y
a. (1 punto) Encuentre el valor o valores de x de forma que
b. (1 punto) Igualmente para que .
c. (1 punto) Determine x para que

3. MACS 2. Álgebra. Recopilación preguntas exámenes. 3
C. MATRICES INVERSAS RANGO DE UNA MATRIZ
Ejercicio 1
Calcula el rango de la matriz según los valores de α.
Solución
Ejercicio 2
Se considera la matriz
a) Calcule, si existe,
b) Calcule
Solución
Ejercicio 3
a) Halla los valores de a para que los que existe la matriz inversa de:
b) Calcula la inversa para a = 0

4. MACS 2. Álgebra. Recopilación preguntas exámenes. 4
DISCUSIÓN DE SISTEMAS
1. (2 puntos) Sea el sistema de ecuaciones lineales
a) (1 punto) Discute el sistema según los valores de m
b) (1 punto) Resuelve el sistema cuando m = 0
solución
2. Discuta y resuelva el siguiente sistema para todos los valores del parámetro a. (Utilice el método de
Gauss para su resolución).
solución
3. Sea el sistema de ecuaciones lineales
a) Discute el sistema según los valores de m
b) Resuelve el sistema cuando m = 0
Solución
4. Dado el sistema
a) Discútelo en función del valor del parámetro m.
b) Resuélvelo en el caso m=1.
5. Sea el sistema de ecuaciones lineales
a. Discute el sistema según los valores de a
b. Resuelve el sistema cuando a = 1

5. MACS 2. Álgebra. Recopilación preguntas exámenes. 5
A. PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS DE SISTEMAS DE ECUACIONES Y MÉTODO DE GAUSS
Ejercicio 1
a) Llamemos x al número de hombres, y al de mujeres y z al de niños.
Como hay 22 personas, tenemos que:
x+y+ z = 22
Con el otro dato, planteamos otra ecuación:
2y+ 3z= 2x
Solo con estos datos no podemos saber el número de hombres (ni el de mujeres, ni el de niños) que
hay. Es un sistema compatible indeterminado; como tenemos tres incógnitas, para que pueda ser
compatible determinado, necesitamos otra ecuación.
b) Añadiendo una tercera ecuación con el dato que nos dan, planteamos el sistema:
Por tanto, hay 12 hombres, 6 mujeres y 4 niños.
Ejercicio 2
12
66611
41822
09662
322
032
223
2
0322
22




























x
yy
z
yy
yz
zy
zy
yx
zyx
zyx


















































22670
568160
10131
2412
6315
10131
2412
10131
6315a)
aa
aa
a
a
a
a
123
152
1
3
1
2


































5500
7120
10131
22670
7120
10131
aa
a
a
a
a
a
3227
2
1
3
)8(:2
1
 .1,4,1essoluciónLa
1
481772
111210310
55
72
103





















z
yzy
zyx
z
zy
zyx








































113116
5112
1023
9241
113116
9241
1023
5112b)
a
a
a
a
4
1
2
3

6. MACS 2. Álgebra. Recopilación preguntas exámenes. 6
Las soluciones del sistema son:
Ejercicio 3.
Llamando x, y, z al número de almohadones, mantas y edredones (respectivamente) tendremos el
siguiente sistema de ecuaciones
cuya solución es
Ejercicio 4
a) Si designamos por x, y, z el precio de las camisetas de Raquel, Paula y Sara, respectivamente, y
siguiendo el enunciado del problema tendremos el siguiente sistema de ecuaciones:
b) Si cambiamos la última condición por la que nos proponen en el apartado b) tendremos el
sistema
que indica que el sistema es compatible indeterminado y tendrá, por tanto, infinitas soluciones
siendo imposible saber el precio de las camisetas.














































0000
0000
13370
9241
6515350
13370
266140
9241
aa
aa
a
a
aa
aa
aa
a
354
322
3
1
164
123
132
1
:miembro2allaPasamos
1337
924
o
z
zy
zyx
















zy
zy
zyx
7
3
7
13
3137
294
zzzzzzyx
7
2
7
11
29
7
12
7
52
29
7
3
7
13
4294 










11 2 13 3
, , , con
7 7 7 7
x y z

         

7. MACS 2. Álgebra. Recopilación preguntas exámenes. 7
B. MATRICES Y DETERMINANTES. OPERACIONES BÁSICAS
Ejercicio 1
a)
b) 






2
4
XBA
Ejercicio 2
Multiplicando por a la izquierda, tendremos:
Por tanto
Ejercicio 3
a)
b)
Ejercicio 4

8. MACS 2. Álgebra. Recopilación preguntas exámenes. 8
Ejercicio 5
a. Calculamos
Para que y estas cuatro ecuaciones sólo se
verifican simultáneamente cuando x = 1
b. Calculemos en primer lugar
luego
La igualdad , nos conduce a
es decir que
c. La igualdad equivale a , es decir,
que no puede verificarse para ningún valor de x (ya que los elementos de
las dos matrices nunca pueden ser iguales)

9. MACS 2. Álgebra. Recopilación preguntas exámenes. 9
C. MATRICES INVERSAS RANGO DE UNA MATRIZ
Ejercicio 1
Como la matriz es 3x3, Calculo el α α. α α
Si α α pues existe un menor de orden 3 (el propio determinante de A) distinto
de cero
Si α , , . Como entonces .
Si α , . Como entonces .
Ejercicio 2
a) Calculamos .
luego la inversa es
b) Calculamos en primer lugar
y luego

10. MACS 2. Álgebra. Recopilación preguntas exámenes. 10
DISCUSIÓN DE SISTEMAS
Solución ejercicio 1
a) Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes
Discusión: Si entonces rango(A) = rango(A’) = 3, Sistema compatible
determinado.
Si , entonces , rango(A)≤3 y como , entonces rango(A) = 2 y
siendo rango(A’) = 2. Sistema compatible indeterminado
Si , entonces , rango(A)≤3 y como , entonces
rango(A) = 2 y siendo rango(A’) = 2. Sistema
compatible indeterminado.
b) Si el sistema queda
Siendo la solución (hacemos )
Respuesta. La matriz asociada al sistema es:
Vamos a transformarla mediante las indicaciones que se hacen
Una vez terminado, igualamos a cero los elementos con a que aparecen en la diagonal de la matriz. Es
decir, lo que nos conduce a los siguientes valores críticos de :
Discusión:

11. MACS 2. Álgebra. Recopilación preguntas exámenes. 11
Si el sistema es compatible y determinado puesto que el rango de la matriz de
coeficientes y de la matriz ampliada será 3 = número de incógnitas
La solución sería
de la tercera ecuación. Sustituyendo en la segunda
y sustituyendo en la primera ecuación:
Si , nos quedaría
Se trata de un sistema compatible indeterminado. Nos quedaría el sistema , cuya
solución es
Si , nos quedaría que es un sistema incompatible
Ejercicio 3
a) Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes
Discusión: Si entonces rango(A) = rango(A’) = 3, Sistema compatible
determinado.
Si , entonces , rango(A)≤3 y como , entonces rango(A) = 2 y
siendo rango(A’) = 2. Sistema compatible indeterminado

12. MACS 2. Álgebra. Recopilación preguntas exámenes. 12
Si , entonces , rango(A)≤3 y como , entonces
rango(A) = 2 y siendo rango(A’) = 2. Sistema
compatible indeterminado.
b) Si el sistema queda
Siendo la solución (hacemos )