ABP- Revolución Industrial y Matemáticas. Problemas resueltos

1. Matemáticas y Revolución industrial
1. ¿Qué matemáticos contribuyeron a asentar las bases de las
matemáticas actuales?
2. ¿Qué ramas de las matemáticas se desarrollaron a partir del s.
XVIII?. ¿En qué se basa cada una de ellas?
Leibniz (1646-1716): asentó las bases del Análisis matemático
estudio de las funciones). En 1714 fue Leibniz quien usó la
palabra “función” como cantidades que dependen de una
variable. Fue , junto con Newton, el precursor del Cálculo tal y
como se entiende en la matemática actual: incluye el estudio de
los límites, derivadas, integrales y series infinitas (Cálculo
Infinitesimal).
Desarrolló el Cálculo diferencial (derivación de funciones y
aplicaciones) y el Cálculo Integral (proceso inverso). Fue el gran
inventor de símbolos matemáticos, como el de la integral y las
notaciones dx, dy. El término “coordenadas también proviene
de Leibniz.

2. Hermanos Bernoulli (Jacobo y Jean): discípulos de Leibniz.
Fue Jacobo quien propuso que se llamara Cálculo Integral
al inverso de cálculo diferencial. JeanBernoulli se adjudica
la regla de L’Hopital (fórmula muy utilizada en el cálculo
infinitesimal), en principio deducida por el Marqués de
L’Hopital, aristócrata al que Jean le daba clases de
matemáticas.
Euler (1707-1783): Ha sido el matemático más
prolífico de la historia. Hizo importantes
contribuciones en Geometría y Análisis.

3. Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Llamado el príncipe de las
matemáticas debido a sus grandes aportaciones al mundo de las
Matemáticas, tanto puras – Teoría de Números, Análisis, Geometría –
como aplicadas – Astronomía, Geodesia, Teoría de errores – y en Física –
Magnetismo, Óptica, Teoría del potencial...
Contribuyó en campos como la Geometría diferencial y el Análisis (
números reales, los complejos y las funciones . Estudia conceptos como
la continuidad, la integración y la diferenciabilidad de diversas formas.)
La eliminación de Gauss-Jordan, llamada así debido a C. F. Gauss y
Wilhelm Jordan, es un algoritmo del álgebra lineal para determinar las
soluciones de un sistema de ecuaciones lineales. Un sistema de
ecuaciones se resuelve por el método de Gauss cuando se obtienen sus
soluciones mediante la reducción del sistema dado a otro equivalente en
el que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior.

4. Una fábrica textil produce diariamente "x" toneladas de un
tejido A y (40- 5x)/(10-x) toneladas de un tejido B. La
cantidad máxima de tejido A que se puede producir es 8
toneladas. El precio de venta del producto A es 100 pesetas por
tonelada y el del producto B es 250 pesetas portonelada.
Construye la función de la variable "x" que proporciona los
ingresos diarios, suponiendo que se vende toda la producción.
Calcula cuántas toneladas de cada producto se tienen que
producir diariamente para obtener el máximo de ingresos.
Problema-1
Resolución de los problemas

5. Solución Problema-1
La función que da los ingresos diarios es:
Para calcular el máximo beneficio hay que buscar el máximo de la función
(derivando e igualando a cero para obtener los posibles extremos relativos):
Posibles máximos
Por tanto, el máximo es x = 5, ya que a su izquierda la función
crece y a su derecha decrece
Para obtener el máximo beneficio se han de producir 5 toneladas del tejido A
y 3 toneladas del tejido B

6. En los suburbios de Londres se declara una epidemia como consecuencia
de la falta de higiene debido al hacinamiento en las viviendas. Los
médicos preveen que la propagación de esta epidemia seguirá la función
f(x) = - 2 x2 + 48 x + 162, en que x representa el número de semanas
que han transcurrido desde el momento de la declaración de la epidemia,
y f(x) indica el número de personas infectadas.
¿Cuántas personas hay afectadas en el
momento de declararse la epidemia?.
¿Cuántas semanas durará la epidemia
hasta el momento en que ya no quede
ninguna persona afectada?. ¿Cuál será
el número máximo de personas
afectadas, y en qué semana se
producirá?.Fuente: http://www.escuelapedia.com/revolucion-industrial-resumen/
Problema-2

7. Solución Problema-2
El momento de declararse la epidemia es cuando x = 0:
No habrá personas infectadas cuando la función se anule:
Por tanto, en el momento de declarase la epidemia había 162
personas infectadas. La epidemia durará 27 semanas
Para hallar el máximo, derivamos la función y la igualamos a cero:
Es un máximo, ya que:
Además:
El número máximo de personas afectadas será de 450 y se dará en la
semana número 12

8. Según un estudio sobre la evolución de una población rural determinada
una vez ha empezado la migración hacia la ciudad, se puede establecer
el número de individuos durante los próximos años mediante la función:
en que "t" es el número de años
transcurridos. Calcula la población
inicial y la que había al cabo de 9
años. Determina los períodos en los
que la población aumentó y los
períodos en los que disminuyó. Dí
si, según esta previsión, la
población tenderá a estabilizarse
en algún valor.Fuente: http://www.educando.edu.do/articulos/docente/la-revolucin-francesa-y-la-
democracia/
Problema-3

9. Solución Problema-3
La población actual es de f(0) = 500 individuos, y la prevista al cabo de 9 años es
de f(9) = 95 individuos
La derivada de la función es:
Que es negativa para todo valor de “t”, por tanto, la función es decreciente y la
población disminuye continuamente.
Resolviendo el límite cuando “t” tiende a infinito, se observa que la población
tiende a estabilizarse en 50 individuos:

10. Sabiendo que invirtió en la fábrica C lo mismo que en las otras dos
juntas, calcular la cantidad de dinero que invirtió en acciones de cada
fábrica.
Una persona invirtió 12000 pesetas
en acciones de tres fábricas
siderúrgicas, que denominaremos
A, B y C. Las acciones de la
fábrica A aumentaron de valor
en un 25 %, las de la fábrica B
aumentaron en un 10 % y, en
cambio, las de la fábrica C
perdieron un 15 % de su valor. Si
vendiera todas las acciones, no
obtendría ni pérdidas ni
beneficios.
Fuente:
http://www.barrameda.com.ar/dp/index2.php?option=com_content&
task=view&id=2540&pop=1&page=0
Problema-4

11. Solución Problema-4
Denominamos x, y, z las cantidades invertidas en las respectivas acciones A, B, C
Las condiciones son:
x + y + z = 12000 x + y + z = 12000
0,25 x + 0,1 y -0,15 z = 0 5 x + 2 y – 3 z = 0
x + y – z = 0 x + y – z = 0
Resolviendo el sistema por el método de Gauss:
x + y + z = 12000
-3 y - 8 z = -60000
- 2 z = - 12000
De donde resulta que z = 6000, y = 4000, x = 2000
Por tanto, invirtió 2000 pesetas en la fábrica A, 4000 pesetas en la fábrica B
y 6000 pesetas en la C
Transformaciones realizadas:
2ªF - 5 1ªF , 3ªF -1ªF

12. Recopilación ejercicios de Selectividad
• Septiembre 2001, Serie 4, Problema 1
• Junio 2001, Serie 2, problema 1
• Junio 2002, Serie 3, problemas 2 y 5
• Junio 2003, Serie 2, problema 5
• Junio 2004, Serie 3, problema 5
• Junio 2005, Serie 4, problema 4 y 6
• Septiembre 2006, Serie 4, problema 1
• Junio 2006, Serie 1, problema 5; Serie 3, problema 5
http://www.selectivitat.cat/

13. Fuentes
 Inventos de la Revolución Industrial:
http://www.estudiapuntes.com/inventos-de-la-revolucion-industrial.html
 La Revolución Indutrial:
http://historiatecnologiacuartoeso.wikispaces.com/008+PRIMERA+REVOLU
CI%C3%93N+INDUSTRIAL
 Las Matemáticas durante la Revolución Francesa. David del Monte Estévez:
http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/barcelo/historia/Matematicas%
20y%20la%20Revolucion%20Francesa.pdf
 Matemáticas, Ciencia y Tecnología: una relación profunda y duradera. Juan
Luis Vázquez Departamento de Matemáticas Universidad Autónoma de Madrid:
http://www.mat.ucm.es/~rrdelrio/documentos/jlvazquez.pdf

14.  Las matemáticas en el siglo XVIII, Volumen 24. Escrito por Mariano
Hormigón.
http://books.google.es/books?id=8XWbCAKwANcC&pg=PA8&lpg=PA8&dq=revoluci%C3%B3
n+industrial+matematicas&source=bl&ots=-6rYuxQJmT&sig=-
srrKBNGLa9n1CpIrfQexKLPHsE&hl=es&sa=X&ei=8bmnUa_GIeim4ASMiYHYAQ&ved=0CEkQ6
AEwBDgK#v=onepage&q=revoluci%C3%B3n%20industrial%20matematicas&f=false
 Elementos de cálculo diferencial: historia y ejercicios resueltos . Escrito por
Ángel Ruíz Zúñiga, Hugo Barrantes Campos
http://books.google.es/books?id=ptBhjsVvwioC&pg=PA160&lpg=PA160&dq=revoluci%C3%B
3n+industrial+matematicas&source=bl&ots=AQsMA1wGxO&sig=JucsSydxK84_bIuatCV35LTQ
_Gc&hl=es&sa=X&ei=8bmnUa_GIeim4ASMiYHYAQ&ved=0CGIQ6AEwCTgK#v=onepage&q=re
voluci%C3%B3n%20industrial%20matematicas&f=false
Carl Friedrich Gauss (1777-1855)“El príncipe de los matemáticos”.
http://platea.pntic.mec.es/~aperez4/html/sigloxix/Carl%20Friedrich%20
Gauss.htm
 Wikipedia:
http://es.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss
http://es.wikipedia.org/wiki/Eliminaci%C3%B3n_de_Gauss-Jordan
http://es.wikipedia.org/wiki/Euler
http://es.wikipedia.org/wiki/Leibniz

15. Junio 2013
Problemas de Bachillerato
(Aprendizaje basado en problemas)
A. Marrero