Bab16

16. INTEGRAL

A. Integral Tak Tentu
1. ∫ dx = x + c
2. ∫ a dx = a ∫ dx = ax + c

3. ∫ xn dx = n1 1 x n +1 + c
+

4. ∫ sin ax dx = – 1 cos ax + c
a

5. ∫ cos ax dx = 1 sin ax + c
a

6. ∫ sec2 ax dx = 1 tan ax + c
a

7. ∫ [ f(x) ± g(x) ] dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx

Catatan
1. Identitas trigonometri yang biasa digunakan
a. 2sinA⋅cosB = sin(A + B) + sin(A – B)
b. –2sinA⋅sinB = cos(A + B) – cos(A – B)

c. sin2A = 1 {1 − cos 2 A}
2

d. cos2A = 1 {1 + cos 2 A}
2

e. sin 2A = 2sin A ⋅ cos A

2. Teknik Penyelesain Bentuk Integran
Misalkan u(x) dan v(x) masing-masing adalah fungsi dalam variabel x, maka metode
pengintegralan yang bisa digunakan adalah:
a. Metode substitusi
Jika bentuk integran : ∫ u v dx , dengan derajat u dan v selisihnya Satu
b. Metode Parsial dengan TANZALIN
Jika bentuk integran : ∫ u dv , dengan derajat u dan v sama atau selisihnya lebih dari satu
∫u dv = uv - ∫v du c

LATIH – UN IPA. 2002 – 2010
http://www.soalmatematik.com
SOAL PENYELESAIAN
1. UN 2010 PAKET A
Hasil ∫ (sin2 x – cos2 x) dx adalah …
a. 1 cos 2x + C
2
b. –2 cos 2x + C
c. – 2 sin 2x + C
d. 1 sin 2x + C
2
e. – 1 sin 2x + C
2

Jawab : c

2. UN 2010 PAKET B
Hasil dari ∫(3 – 6 sin2 x) dx = …
a. 3 sin2 2x + C
2
b. 3 cos2 2x + C
2
c. 3 sin 2x + C
4
d. 3 sin x cos x + C
e. 3 sin 2x cos 2x + C
2
Jawab : d

3. UN 2009 PAKET A/B
Hasil ∫4sin 5x ⋅ cos 3x dx = …
a. –2 cos 8x – 2 cos 2x + C
b. − 1 cos 8 x − cos 2 x + C
4
c. 1 cos 8 x + cos 2 x + C
4
d. − 1 cos 8 x − cos 2 x
2
+C
e. 1 cos 8 x + cos 2 x + C
2

Jawab : b

3x 2
Hasil ∫ dx = …
2x3 + 4
a. 4 2 x 3 + 4 + C
b. 2 2 x 3 + 4 + C
c. 2x3 + 4 + C
d. 1 2 x 3 + 4 + C
2

e. 1 2 x 3 + 4 + C
4

Jawab : c

132 Kemampuan mengejakan soal akan terus
meningkat jika terus berlatih mengerjakan ulang soal yang lalu

LATIH – UN IPA. 2002 – 2010
SOAL PENYELESAIAN
Hasil dari ∫sin2 x cos x dx = …
a. 1 cos3 x + C
3
b. − 1 cos3 x + C
3
c. − 3
1 sin3 x + C

d. 1 sin3 x + C
3
e. 3 sin3 x + C
Jawab : d

6. UN 2006
Hasil dari ∫(x – 3)(x2 – 6x + 1)–3 dx = …
a. − 1 ( x 2 − 6 x + 1) − 4 + c
8
b. − 1 (x 2 − 6 x + 1) − 4 + c
4
c. − 1 (x 2 − 6 x + 1) − 4 + c
2
d. − 1 (x 2 − 6 x + 1) − 2 + c
4
e. − 1 (x 2 − 6 x + 1) − 2 + c
2
Jawab : d

7. UN 2006
Hasil dari ∫(x2 – 3x + 1) sin x dx = …
a. (–x2 + 3x + 1) cos x + (2x – 3) sin x + c
b. (–x2 + 3x – 1) cos x + (2x – 3) sin x + c
c. (x2 – 3x + 1) sin x + (2x – 3) cos x + c
d. (x2 – 3x + 1) cos x + (2x – 3) sin x + c
e. (x2 – 3x + 3) cos x + (2x – 3) sin x + c
Jawab : a


LATIH – UN IPA. 2002 – 2010
SOAL PENYELESAIAN
8. UN 2005
Hasil dari ∫ ( x 2 + 1) cos x dx = …
a. x2 sin x + 2x cos x + c
b. (x2 – 1) sin x + 2x cos x + c
c. (x2 + 3) sin x – 2x cos x + c
d. 2x2 cos x + 2x2 sin x + c
e. 2x sin x – (x2 – 1)cos x + c
Jawab : b

9. UN 2004
Hasil dari ∫ x 2 sin 2 x dx = …
a. – 1 x2 cos 2x – 1 x sin 2x + 1 cos 2x + c
2 2 4
b. – 1 x2 cos 2x + 1 x sin 2x – 1 cos 2x + c
2 2 4
c. – 1 x2 cos 2x + 1 x sin 2x + 1 cos 2x + c
2 2 4
d. 1 x2 cos 2x – 1 x sin 2x – 1 cos 2x + c
2 2 4
e. 1 x2 cos 2x – 1 x sin 2x + 1 cos 2x + c
2 2 4
Jawab : c

10. UAN 2003
Hasil ∫ x x + 1dx = …
a. 2 ( x + 1) x + 1 − 2 ( x + 1) 2 x + 1 + c
5 3

b. 2 (3x 2 + x − 2) x + 1 + c
15
c. 2 (3x 2 + x + 4) x + 1 + c
15
d. 2 (3x 2 − x − 2) x + 1 + c
15
e. 2 ( x 2 + x − 2) x + 1 + c
5
Jawab : b


LATIH – UN IPA. 2002 – 2010
B. Penggunaan Integral Tak Tentu
Integral tak tentu di gunakan untuk mencari persamaan suatu kurva y = f(x) apabila diketahui
turunan pertama dan sebuah titik pada kurva tersebut yaitu:

f(x) = ∫f’(x) dx, dengan f’(x) adalah turunan pertama dari f(x) atau:
dy dy
y = ∫ dx dx , dengan dx adalah turunan pertama y

SOAL PENYELESAIAN
1. UN 2004
Gradien garis singgung suatu kurva adalah
dy
m= = 2x – 3. kurva itu melalui titik (3,2).
dx
Persamaan kurva tersebut adalah …
a. y = x2 – 3x – 2
b. y = x2 – 3x + 2
c. y = x2 + 3x – 2
d. y = x2 + 3x + 2
e. y = x2 + 3x – 1
Jawab : b

2. UAN 2003
Jika grafik y = f(x) melalui titik (1, 2) dan
turunannya f’(x) = x2 + 1, maka grafiknya
y = f(x) memotong sumbu Y di titik …
a. (0, 0)
b. (0, 1 )
3
c. (0, 2 )
3
d. (0, 1)
e. (0, 2)
Jawab : c


LATIH – UN IPA. 2002 – 2010
C. Integral Tentu
Misalkan kurva y = f(x) kontinu pada interval tertutup [a, b], maka luas daerah L yang dibatasi
oleh kurva y = f(x), sumbu X, garis x = a, dan garis x = b, ditentukan dengan rumus:
b
L = ∫ f ( x)dx = [ F ( x)]b = F (b) − F (a) , dengan F(x) adalah integral (antidiferensial) dari f(x)
a
a

SOAL PENYELESAIAN
1. UN 2010 PAKET A
2
 1 
∫x −
2
Hasil dari dx = …
1 x2 
a. 9
5
b. 9
6
c. 11
6
d. 17
6
e. 19
6
Jawab : c

2. UN 2010 PAKET B
2
Hasil dari ∫ 3( x + 1)( x − 6)dx = …
0
a. –58
b. –56
c. –28
d. –16
e. –14
Jawab : a

3. UN 2010 PAKET A
π
6
Nilai dari ∫ (sin 3x + cos 3x)dx = …
0
a. 2
3
b. 1
3
c. 0
d. – 1
3
e. – 2
3
Jawab : a


LATIH – UN IPA. 2002 – 2010
SOAL PENYELESAIAN
4. UN 2010 PAKET B
2π
3
Hasil dari ∫ cos(3x − π )dx = …
1π
2
a. –1
b. – 1
3
c. 0
d. 13
e. 1
Jawab : b

Nilai a yang memenuhi persamaan
1

∫ 12 x( x + 1) 2 dx = 14 adalah …
2

a
a. –2
b. –1
c. 0
d. 1
2
e. 1
Jawab : c

0

∫x ( x 3 + 2) 5 dx = …
2
Hasil dari
−1
a. 85
3
b. 75
3
c. 63
18
d. 58
18
e. 31
18
Jawab : e


LATIH – UN IPA. 2002 – 2010
SOAL PENYELESAIAN
7. UN 2007 PAKET A
p
Diketahui ∫ 3x ( x + 2 )dx = 78.
3
1
Nilai (–2p) = …
a. 8
b. 4
c. 0
d. –4
e. –8
Jawab : e

8. UN 2007 PAKET B
p
Diketahui ∫ (3t 2 + 6 t − 2)dt = 14.
1
Nilai (–4p) = …
a. –6
b. –8
c. –16
d. –24
e. –32
Jawab : b


LATIH – UN IPA. 2002 – 2010
SOAL PENYELESAIAN
9. UN 2004
Nilai
π
2
dari ∫ cos(3x − π) sin(3x − π) dx =
π
3

a. – 1
6
b. – 1
12
c. 0
d. 1
12
e. 1
6
Jawab : e

10. UAN 2003
π
∫ x cos x dx = …
0
a. –2
b. –1
c. 0
d. 1
e. 2
Jawab : a

11. UAN 2003
π
4
∫ sin 5x sin x dx = …
0
a. – 1
2
b. – 1
6
c. 1
12
d. 1
8
5
e.
12
Jawab : c


LATIH – UN IPA. 2002 – 2010
SOAL PENYELESAIAN
12. EBTANAS 2002
1
Hasil dari ∫ x 2 ( x − 6)dx = …
−1
a. –4
b. − 12
c. 0
d. 12
e. 4 1
2
Jawab : a

13. EBTANAS 2002
π
6
π π
∫ sin( x + 3 ) cos( x + 3 )dx = …
0
a. – 1
4
b. – 1
8
c. 1
8
d. 1
4
3
e.
8
Jawab c

14. EBTANAS 2002
a 4 1
∫ ( 2 + 1)dx = . Nilai a = …
2

2 x a
a. –5
b. –3
c. 1
d. 3
e. 5
Jawab : e


LATIH – UN IPA. 2002 – 2010
SOAL PENYELESAIAN
15. EBTANAS 2002
1
2 2
∫ sin πx cos πx dx = …
0
a. 0
b. 1
8
c. 1
4
d. 1 π
8
e. 1 π
4
Jawab : b

16. EBTANAS 2002
π
∫ x sin x dx = …
π
2
a. π + 1
b. π – 1
c. – 1
d. π
e. π + 1
Jawab : b


LATIH – UN IPA. 2002 – 2010
E. Penggunan Integral Tentu
1) Untuk Menghitung Luas Daerah

a. Luas daerah L pada gb. 1 b. Luas daerah L pada gb. 2 c. Luas daerah L pada gb. 3
b b b
L = ∫ f ( x )dx , L = – ∫ f ( x )dx , atau L = ∫ { f ( x) − g ( x)}dx ,
a a a
untuk f(x) ≥ 0 b dengan f(x) ≥ g(x)
L = ∫ f ( x)dx untuk f(x) ≤ 0
a

SOAL PENYELESAIAN
1. UN 2010 PAKET A
Luas daerah yang dibatasi parabola
y = x2 – x – 2 dengan garis y = x + 1 pada
interval 0 ≤ x ≤ 3 adalah …
a. 5 satuan luas
b. 7 satuan luas
c. 9 satuan luas
d. 10 1 satuan luas
3
e. 10 2 satuan luas
3
Jawab : c


LATIH – UN IPA. 2002 – 2010
SOAL PENYELESAIAN
2. UN 2010 PAKET B
Luas daerah di kuadran I yang dibatasi
kurva y = x3, y = x, x = 0, dan garis x = 2
adalah …
a. 2 1 satuan luas
4
b. 2 1 satuan luas
2
c. 3 1 satuan luas
4
d. 3 1 satuan luas
2
e. 4 1 satuan luas
4

Jawab : b


LATIH – UN IPA. 2002 – 2010
SOAL PENYELESAIAN
Luas daerah yang dibatasi oleh parabola
y = x2 – 6x + 8, garis y = x – 2 dan sumbu
X dapat dinyatakan dengan …

4

∫ − (x − 6 x + 8)dx +
a. 2

2
4

∫ (( x − 2) − ( x − 6 x + 8))
2

3
4

∫ − (x − 6 x + 8)dx
b. 2

2

∫ (1 ( x − 3) − ( x )
4
c.
3
2
− 6 x + 8) dx
3
4

∫ − (x − 6 x + 8)dx +
d. 2

3

∫ (( x − 3) − ( x )
5
2
− 6 x + 8) dx
4
4
e.
∫ ( x − 2)dx +
2

∫ (( x − 2) − ( x )
5
2
− 6 x + 8) dx
4
Jawab : e


LATIH – UN IPA. 2002 – 2010
SOAL PENYELESAIAN
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva
y = x + 1 , sumbu X dan 0 ≤ x ≤ 8 adalah
…
a. 6 satuan luas
b. 6 2 satuan luas
3
c. 17 1 satuan luas
3
d. 18 satuan luas
e. 18 2 satuan luas
3
Jawab : c

5. UN 2007 PAKET A
Luas daerah tertutup yang dibatasi oleh
kurva x = y2 dan garis y = x – 2 adalah …
a. 0 satuan luas
b. 1 satuan luas
c. 4 1 satuan luas
2
d. 6 satuan luas
e. 16 satuan luas
Jawab : c


LATIH – UN IPA. 2002 – 2010
SOAL PENYELESAIAN
6. UN 2006
Luas daerah tertutup yang dibatasi oleh
kurva y = 6x – x2 dan y = x2 – 2x pada
interval 0 ≤ x ≤ 5 sama dengan …
a. 30 satuan luas
b. 26 satuan luas
c. 64 satuan luas
3
d. 50 satuan luas
3
e. 14 satuan luas
3
Jawab : b

7. UAN 2003
Luas daerah pada kuadran I yang dibatasi
oleh kurva y = x2, sumbu Y, dan garis
x + y = 12 adalah …
a. 57,5 satuan luas
b. 51,5 satuan luas
c. 49,5 satuan luas
d. 25,5 satuan luas
e. 22,5 satuan luas

8. UAN 2003
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva
y = x2 – 9x + 15 dan y = –x2 + 7x – 15
adalah …
a. 2 2 satuan luas
3
b. 22 satuan luas
5
c. 2 1 satuan luas
3
d. 32 satuan luas
3
e. 4 1 satuan luas
3
Jawab : a


LATIH – UN IPA. 2002 – 2010
SOAL PENYELESAIAN
9. EBTANAS 2002 (i) Batas Integral (titik potong dua kurva)
Luas daerah yang dibatasi parabola y1 = y2
y = 8 – x2 dan garis y = 2x adalah … 8 – x2 = 2x
a. 36 satuan luas x2 + 2x – 8 = 0
b. 41 1 satuan luas (x + 4)(x – 2) = 0 ⇒ x = {– 4 , 2}
3
Jadi, batas integralnya – 4 ≤ x ≤ 2
c. 41 2 satuan luas
3 (ii) luas daerah
d. 46 satuan luas 2
e. 46 2 satuan luas ∫ (x + 2 x − 8)dx
2
L =
3
Jawab : a −4
2
= 1 x 3 + x 2 − 8x
3 −4
= 1 (2) 3 + 2 2 − 8(2) − {1 (−4) 3 + (−4) 2 − 8(−4)}
3 3
= 8 + 4 − 16 + 64 − 16 − 32
3 3
= 72
3
− 60 = 24 − 60 = 36 ……………….(a)


LATIH – UN IPA. 2002 – 2010
2) Untuk Menghitung Volume Benda Putar

b b d d
V = π ∫ ( f ( x)) 2 dx atau V = π ∫ y 2 dx V = π ∫ ( g ( y )) 2 dy atau V = π ∫ x 2 dy
a a c c

b b d
V = π ∫ {( f 2 ( x) − g 2 ( x)}dx atau V = π ∫ ( y1 − y 2 )dx
2 2
V = π ∫ { f 2 ( y ) − g 2 ( y )}dy atau V
a a c
d
= π ∫ ( x1 − x 2 )dy
2 2
c
SOAL PENYELESAIAN
1. UN 2010 PAKET A
Volum benda putar yang terjadi jika daerah
yang dibatasi oleh kurva
y = 2x – x2 dan y = 2 – x diputar
mengelilingi sumbu X sejauh 360° adalah
…
a. 1 π satuan volum
5
b. 5 π satuan volum
2

c. 3 π satuan volum
5
d. 5 π satuan volum
4

e. π satuan volum
Jawab : a


LATIH – UN IPA. 2002 – 2010
SOAL PENYELESAIAN
2. UN 2010 PAKET B
Volum benda putar yang terjadi bila daerah
yang dibatasi oleh kurva
y = x2 dan y = x diputar mengelilingi
sumbu X sejauh 360° adalah …
a. 10 π satuan volum
3

5

3
3
e. 2π satuan volum
Jawab : a

Perhatikan gambar di bawah ini:
Jika daerah yang diarsir pada gambar
diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360°
maka volume benda putar yang terjadi
adalah … satuan volume

a. 123 π
15
b. 15 π
83

c. 15 π
77

d. 15 π
43

e. 15 π
35

Jawab : c


LATIH – UN IPA. 2002 – 2010
SOAL PENYELESAIAN
Daerah yang dibatasi oleh kurva y = 4 – x,
x = 1, x = 3, dan sumbu X diputar
mengelilingi sumbu X sejauh 360°, maka
volume benda putar yang terjadi adalah …
a. 4 2 π satuan volume
3
b. 6 1 π satuan volume
3
c. 8 2 π satuan volume
3
d. 10 2 π satuan volume
3
e. 12 1 π satuan volume
3
Jawab : c

5. UN 2007 PAKET A
yang dibatasi oleh kurva y = 2x dan
parabola y = x2 diputar sejauh 360º
mengelilingi sumbu X adalah …
32
a. π satuan volume
5
64
b. π satuan volume
15
52
c. π satuan volume
15
48
d. π satuan volume
15
32
e. π satuan volume
15
Jawab : b


LATIH – UN IPA. 2002 – 2010
SOAL PENYELESAIAN
6. UN 2007 PAKET A
yang dibatasi oleh kurva y = x2 + 1 dan
y = 3 diputar mengelilingi sumbu Y sejauh
360º adalah …
a. 2π satuan volum.
b. 2 1 π satuan volum.
2
c. 3π satuan volum.
d. 4 1 π satuan volum.
3
e. 5π satuan volum.
Jawab : a

7. UN 2005
Volum benda putar yang terjadi karena
daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2
dan y2 = 8x diputar 360º mengelilingi
sumbu Y adalah ….
a. 2 4 π satuan volum
5
5
5
5
e. 94 π satuan volum
5
Jawab : c


LATIH – UN IPA. 2002 – 2010
SOAL PENYELESAIAN
8. UAN 2003
Volum benda putar yang terjadi karena
daerah yang dibatasi oleh sumbu X, sumbu
Y, dan kurva y = 4 − x diputar terhadap
sumbu Y sejauh 360º, dapat dinyatakan
dengan …
2
a. π ∫ (4 − y 2 ) 2 dy satuan volume
0
2
b. π ∫ 4 − y 2 dy satuan volume
0
2
c. π ∫ (4 − y 2 ) dy satuan volume
0
2
d. 2π ∫ (4 − y 2 ) 2 dy satuan volume
0
2
e. 2π ∫ (4 − y 2 ) dy satuan volume
0
Jawab : a
9. EBTANAS 2002
Gambar berikut merupakan kurva dengan
persamaan y = x 30 − 30 x 2 . Jika daerah
yang diarsir diputar mengelilingi sumbu X,
maka volum benda putar yang terjadi sama
dengan …

a. 6π satuan volum
b. 8π satuan volum
c. 9π satuan volum
d. 10π satuan volum
e. 12π satuan volum
Jawab : b


Bab16

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Tendances

Tendances (15)

Similaire à Bab16

Similaire à Bab16 (20)

Plus de amin-mipa

Plus de amin-mipa (16)

Bab16