Econometria Especiais Tópicos

2501.000145-5 TÓPICOS ESPECIAIS EM ECONOMETRIA
C.H.: 68 horas – Turma 2020.1 – sala 2 bloco X
Terça-feira 13h15m a 15h15m e Quinta-feira - 15h25m a 17h25m
1
Prof. Dr. Adriano Marcos Rodrigues Figueiredo
(UFMS – ESAN – Economia)
E-mail: adriano.figueiredo@ufms.br ou
amrofi@gmail.com
3
Este obra está licenciada com uma Licença Creative Commons Atribuição-
CompartilhaIgual 4.0 Internacional.
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International License.
**As ideias e opiniões aqui expostas são de responsabilidade do autor e não representam a opinião
da instituição a que pertence.

Referências
• WOOLDRIDGE, J. Introdução à Econometria, São Paulo,
SP : Cengage Learning, 2017. (ou 2006, cap10)
• HEISS, Florian. Using R for introductory econometrics.
Dusseldorf, Florian Heiss, 2016. Disponível em:
<http://www.urfie.net/>. Acesso em 24.02.2020.
• FERREIRA, Pedro Costa (org.). Análise de Séries
Temporais em R: curso introdutório. São Paulo:
FGV/IBRE/Elsevier, 2017.
• HYNDMAN, Rob J.; ATHANASOPOULOS, George.
Forecasting: principles and practice. 2nd Ed. Otexts,
2018. Disponível em: <https://www.otexts.org/fpp2/>.
Acesso em 24.02.2020.
2

Introdução
• Para que serve a Série Temporal?
• Previsão
– Modelos de decomposição
– Modelos de alisamento exponencial
– Box-Jenkins
– Filtro de Kalman
– Cointegração e séries temporais
3

CONCEITOS
• Conforme Mattos (2009), a série temporal da
variável aleatória Y apresentará uma
dependência serial, uma ordenação específica
que impedirá qualquer reordenação,
diferentemente de uma amostra aleatória de
observações independentes.
• Observamos a mesma variável numa base
regular no tempo!
4

CONCEITOS
• Série
temporal:
uma entidade
e vários
períodos de
tempo
– Ex: retornos
das ações,
desemprego,
PIB, vendas
5
tempo

Série Temporal
• Padrão horizontal –
tempo na abscissa
• Tendência –
(de)crescimento
• Ciclos de altas (baixas)
• Sazonalidade - Padrões
repetitivos
7

Processo estocástico
• “Aquele que não é determinístico, ou seja,
refere-se a uma variável aleatória cujo valor
futuro não pode ser previsto com certeza
absoluta” (Buscarioli e Emerick, 2011, p.77)
• Terá termo de erro ε (incerteza)
• Ex: Y = 100A + 0,1B + ε
8

Passeio aleatório (random Walk) e
ruído branco (White Noise)
• Tipo específico de série cujo comportamento
pode ser definido pela trajetória formada com
sucessivos passos cuja direção é escolhida
aleatoriamente.
• Ex:
• é o ruído branco – série temporal com
média esperada igual a zero, variância
constante e não autocorrelacionada
9
11.t t tY Y  
t

Passeio aleatório
(Random Walk)
10
Fonte: Script de Erik Zivot (2004), disponível em
https://faculty.washington.edu/ezivot/econ424/timeSeriesConcepts.r
Fonte: Adaptada de
http://scifun.chem.wisc.edu/WOP/Ran
domWalk.html

Script para o Random Walk genérico
# SIMULANDO UM PASSEIO ALEATORIO GENERICO
# simulate random walk
#
set.seed(321)
e = rnorm(250)
y.rw = cumsum(e)
ts.plot(y.rw, lwd=2, col="blue", main="Random
Walk")
abline(h=0)
11

Ruído Branco - White Noise
12

Script para gerar White noise
Genérico
options(digits=4, width=70)
# simulate Gaussian White Noise process
set.seed(123)
y = rnorm(250)
ts.plot(y,main="Gaussian White Noise Process",xlab="time",ylab="y(t)",
col="blue", lwd=2)
abline(h=0)
# equivalent plot using plot()
plot(y, main="Gaussian White Noise Process", type="l", xlab="time",ylab="y(t)",
col="blue", lwd=2)
abline(h=0)
13

Modelo Temporal
Wooldridge (2006, p.308-311)
• Tipicamente, o modelo estático de série
temporal ocorre quando as variáveis estão
situadas em um mesmo período t
t=1,2,...,T
• Estático porque tanto y como z estão no
período t – são ditas contemporâneas
• O efeito de z sobre y no período t é
14
0 1t t ty z u   
1

Modelo Temporal
Wooldridge (2006, p.308-311)
• Modelo de defasagens distribuídas finitas (DDF)
(Finite distributed lag - FDL) = modelo dinâmico
• Neste caso, as variáveis em t-1 e t-2 são ditas
defasadas no tempo em hum e em dois períodos, ou
seja, são valores passados de z afetando y
15
0 0 1 1 2 2t t t t ty z z z u        

16
Modelo de defasagens distribuídas
finitas (DDF)
• O parâmetro 0 será a propensão de mudança em curto
prazo, o multiplicador de impacto de z em y: a mudança
imediata
• Fazendo um exemplo de uma mudança temporária (ou
seja, se dissipa rapidamente – o contrário seria uma
mudança permanente) de hum período, y retornará ao
seu nível original no período seguinte t+1
• Portanto, após algumas manipulações matemáticas, pode-
se demonstrar que 0 + 1 +…+ q (para q defasagens) será
a propensão de mudança em longo prazo (long-run
propensity - LRP) – que reflete a mudança em longo prazo
em y após uma mudança permanente
• OBS: não é ainda o mesmo que elasticidade!

17
Modelo de defasagens distribuídas
finitas (DDF)
• Neste caso precisaremos usar o pacote dynlm invés do
lm no R
• Isso para considerar adequadamente as variáveis
defasadas no tempo
• Utilizar o operador defasagem (lag no R base ou L no
dynlm)
• Ver HEISS (2016 ,p.173-174)

Operador defasagem
• Seja Xt o valor da variável X no tempo t
• Posso definir Xt-p como sendo o valor da série
X no tempo t-p tal que o operador defasagem
será
𝐿𝑋𝑡 = 𝑋𝑡−1
𝐿2
𝑋𝑡 = 𝑋𝑡−2
e
𝐿𝑗
𝑋𝑡 = 𝑋𝑡−𝑗
18
Econometria - Prof. Adriano
M.R. Figueiredo

Operadores em linguagem R
• Exemplo para Consumo do varejo de São Paulo,
Morettin e Toloi
• Seja a serie temporal como:
dados.ts<- ts(consumo,start=c(1984,1), frequency = 12)
• A defasagem de 6 períodos será:
cons.l6<-lag(dados.ts, -6)
• IMPORTANTE: o operador lag() do R não inclui NAs em
observações ausentes!
19
M.R. Figueiredo

# fazendo lag
cons.l6<-lag(consumo.ts, -6)
plot(consumo.ts, type="o",col = "black",lwd=2,lty=1)
lines(cons.l6,type="o",col = "red",lwd=2,lty=2)
legend("topright",c("Consumo varejo", "Consumo varejo t-
6"),lwd=2,lty=1:2,col=c(1,2))
20

Exemplo fertilidade 10.4 – Wooldridge
(2017,p. 395-396 ou 2006,p.321-322)
• Fertilidade gfr em função de subsidios e ww2
e pill
21

Exemplo fertilidade 10.4 – Wooldridge
(2017,p. 395-396 ou 2006,p.321-322)
22

23
0 0 1 1 2 2 3 42t t t t t t tgfr pe pe pe ww pill             

Os parâmetros de pe e lags são
significativos?
25

Apenas os lags= não são significativos!
26

Propensão em longo prazo (PLP) do
modelo
27

28
0 0 1 2 1 1 2 2
3 4
( ) ( ) ( )
2
t t t t t t
t t t
gfr pe pe pe pe pe
ww pill
    
  
          
 
PLP = 0.1007
Significativa!!!

Wooldridge (2006, p.311-327)
Pressupostos – Revisão rápida
• Usualmente, os modelos de séries temporais
seguem os pressupostos clássicos de
regressão
30

Pressupostos do Modelo Clássico de
Regressão Linear (MCRL)
P1. Yt = Xt + t - forma funcional / inclusão e omissão
de variáveis
P2. E() = 0 - erros têm média zero
P3. E(’) = σ2I - erros são homocedásticos e não
autocorrelacionados
P4. X’s são Fixos ou não-aleatórios : E(t|Xt) = 0
exógenos contemporaneamente em grande amostra
P5. t ~ N(0, 2I) - erros normais
P6. X’s são independentes ou ausência de
multicolinearidade
31
M.R. Figueiredo

Wooldridge (2006, p.327-336)
Tendência
# SIMULANDO UMA TENDENCIA
# simultate deterministically trending process
#
set.seed(123)
e = rnorm(250)
y.dt = 0.1*seq(1,250) + e
ts.plot(y.dt, lwd=2, col="blue", main="Deterministic
Trend + Noise")
abline(a=0, b=0.1)
32
M.R. Figueiredo

Tendência Determinística com Ruído
33
M.R. Figueiredo

Tendência em séries temporais
• As séries econômicas normalmente têm
tendência
• Apenas porque 2 séries têm tendências
parecidas/relacionadas, não podemos assumir
uma relação causal
• Normalmente, estarão com tendência
parecidas/relacionadas devido a fatores não
observados
34
M.R. Figueiredo

Tendência em ST
• Tendência linear: yt = 0 + 1t + et, t = 1, 2, …
• Tendência exponencial:
log(yt) = 0 + 1t + et, t = 1, 2, …
• Tendência quadrática:
yt = 0 + 1t + 2t2 + et, t = 1, 2, …
35
M.R. Figueiredo

Detrending – retirando a tendência
• Adicionar um termo de tendência linear para a
regressão é o mesmo que usar uma série “detrended”
na regressão
– Ou seja, colocar t como variável explicativa ou fazer
decomposição (veremos a decomposição a frente)
• Retirar a tendência envolve regredir cada variável
contra t
• Os resíduos formam a séries detrended
• Basicamente, a tendência foi particionada para fora do
modelo
• Prefiro a opção de decompor a série (se for univariado)
e colocar t se for multivariado
36
M.R. Figueiredo

Detrending – retirando a tendência
• A vantagem de retirar a tendência colocando t
na regressão envolve o cálculo do ajuste do
modelo (AIC, BIC ou R²)
• A regressões de ST costumam ter R² elevados
quando a tendência é bem explicada
• O R² de uma regressão com dados detrended
refletem melhor como xt’s explicam yt
37
M.R. Figueiredo

Sazonalidade
• As sazonalidades estão associadas à
periodicidade dos fenômenos temporais
• Ex: vendas do varejo em dados trimestrais terão
saltos no 4º trimestre
• A sazonalidade pode ser tratada adicionando
dummies sazonais (uma para cada mês ou uma
para cada trimestre)
• Assim com na tendência, as séries podem ser
ajustadas sazonalmente (dessazonalizadas) antes
de rodar a regressão
38
M.R. Figueiredo

Decomposição da série
• A forma prática de dessazonalizar a série é
pelo decompose do R, ou ainda por metodos
como o X11 ou SEATS, os quais serão vistos
mais adiante
• Ver: https://rpubs.com/amrofi/decompose_x11_varejoms
39
M.R. Figueiredo

Estacionariedade
• Refere-se à oscilação da série em torno da
média e sua variância ao longo do tempo
• Série estacionária – tem média, variância e
autocorrelação constantes ao longo do tempo
e também para qualquer período da série
40
M.R. Figueiredo

Diferença é Xt – Xt-1 = ΔXt
∆2
𝑋𝑡 = ∆𝑋𝑡 − ∆𝑋𝑡−1
= 𝑋𝑡 − 𝑋𝑡−1 − 𝑋𝑡−1 − 𝑋𝑡−2
= 𝑋𝑡 − 2𝑋𝑡−1 + 𝑋𝑡−2
No R: diff(x, lag = 1, differences = 1, ...)
41

Dados do consumo do varejo de SP:
Morettin e Toloi
42
Diferença de t
para t-2

No exemplo de Consumo do Varejo - SP
Morettin e Toloi
43

Script dos graficos de consumo e
dcons
consumo.ts<-ts(dados2,start = c(1984,1),frequency = 12)
View(consumo.ts)
dcons<-diff(consumo.ts,1)
View(dcons)
split.screen(c(1,2))
plot(consumo.ts,type="o",col = "black",lwd=2,lty=1)
legend("topright",c("consumo do varejo SP"),lwd=2,lty=1,
col=c(1))
screen(2)
plot(dcons,type="o",col = "red",lwd=2,lty=1)
legend("bottomright",c("dcons"),lwd=2,lty=1,col=c(2))
close.screen(all = TRUE) # exit split-screen mode
44

PIB preços de mercado - BCB
45

46
#Exemplo PIB - site com problemas
# baixei os dados em csv e vou chamar para o R
library(readxl)
bacen <- read_excel("pib_bacen.xlsx",sheet = "dados")
View(bacen)
bacen<-bacen[,2]
attach(bacen)
## The following object is masked _by_ .GlobalEnv:
##
## bacen
pib.ts<-ts(bacen, start = c(1996,1),frequency=4)
plot(pib.ts,main="PIB a preços de mercado
SCN-2010 (Trimestral) (1995=100)",
sub="BCB série 22109",type = "o",col="black",lwd=2,lty=1,
ylab = "Índice 1995=100",xlab="trimestre")

Série não-estacionária
PIB preços de mercado - BCB
47

Estacionariedade do PIB
48
# Estacionariedade do PIB
dpib<-diff(pib.ts,1)
dpib2<-diff(pib.ts,2)
plot(dpib2,main="Séries de Diferenças do PIB",type = "o",
col="black",lwd=2,lty=1, ylab = "Indice",xlab="trimestre")
lines(dpib,type="o",col = "red",lwd=2,lty=2)
legend("bottomleft",c("d(PIB,2)", "d(PIB)"),
cex=0.7,lwd=2,lty=1:2,col=c(1,2))

50
Estacionária (média sim,
variância não)
Não Estacionária

IMPORTANTE: regressão espúria
• a não estacionariedade pode gerar regressões
espúrias – afirmar que existe relação entre X e
Y quando na realidade a relação é entre X e t,
e Y e t, ou seja, não entre X e Y
• ALTERNATIVAS: fazer log, tirar diferenças DXt =
(Xt – Xt-1)
51

Processo auto-regressivo
• Yt = ϕ1Yt-1 + .. + ϕpYt-p + ut + θ1ut-1 + ... + θ qut-q
– Os termos de ut são o MA(q)
• exemplo de MA(q): Yt = ut + θ1ut-1 + ... + θ qut-q
– Os termos de Yt são o AR(p)
• exemplo de AR(p): Yt = ϕ 1Yt-1 + .. + ϕ pYt-p + ut
52

• Se a série for estacionária, terei como estimar
os momentos (média e variância) com as t
observações
• A variância será
2
2
var( )
1
tY




53

• Decorre disto que, se ϕ=1, a variância de Yt
será infinita, o que impossibilita o cálculo!
• Ou seja, é preciso que a série temporal tenha
|ϕ|<1.
• Se |ϕ|>1, a variância seria negativa, o que é
absurdo.
• Isto define se a série temporal é “estável” ou
estacionária, ou melhor, que Yt não “explode”
54

Integração
• A série será dita integrada se for possível
obter uma série de diferença que é
estacionária. Ou seja, se diferenciar Xt uma
vez, obtendo ΔXt , e esta série ΔXt for
estacionária, então diz-se que Xt é integrada
de primeira ordem, simbolizando da forma:
I(1).
55

Integração
• Generalizando, se a série em diferenças ΔjXt for
estacionária mas em ordens menores que j não
forem, então diz-se que Xt é integrada de ordem j,
simbolizada por I(j) e j é a ordem de integração.
• A ordem de integração é o número de raízes
unitárias da série Xt.
• A série estacionária em nível (sem diferenças) é dita
integrada de ordem zero, denotada por I(0).
56

Ergodicidade
• Processo ergódico – quando o valor esperado
da média para uma subamostra é igual ao
valor esperado da série temporal
• Se a média converge para seu valor esperado
em qualquer subamostra temporal
57

ANTECEDENTES
59
ESTATÍSTICOS ECONOMISTAS
Série Temporal – especificação da
estrutura dinâmica da série
Econometria – ignoravam não
estacionaridade das séries
Ênfase em métodos univariados (mas
não exclusivamente)
Métodos multivariados (regressão
múltipla e sistemas de equações)
Informação do modelo está nos
dados
Teoria econômica guia e influi na
construção dos modelos
Previsões incondicionais
(Extrapolação)
Previsões condicionais a cenários para as
variáveis explicativas

HISTÓRICO
• Até 1955: modelos clássicos de decomposição
• 1957 – 1962: modelos de alisamento exponencial
(Holt, Winters e Brown)
• Anos 60/70: Box-Jenkins, Granger e Newbold
• Anos 80: modelos estruturais clássicos e bayesianos
(filtro de Kalman)
• Anos 80/90 em diante: cointegração e econometria
de séries temporais
60

Antes:
COMPONENTES
• Tendência: uma relação firme entre Y & t
• Sazonalidade: relação periódica de curto prazo
entre Y & t
• Ciclos: relação periódica de longo prazo entre
Y & t
• Irregular: influências não observáveis
dependentes do tempo (erros)
61
Não estamos
olhando relações
causais

Resumo: Modelos de Decomposição
62

Resumo: Modelos de Decomposição
63

Tabela - Componentes de série temporal, definição,
influência e duração.
64
Componente Definição Exemplo Duração
Tendência
(Tt)
Mudança persistente,
crescente ou
decrescente, em longo
prazo
Alteração populacional ou
na riqueza
Muitos anos
Ciclo
(Ct)
Ondas com fase de
prosperidade, recessão,
depressão e retomada
do crescimento
Fatores determinantes do
crescimento econômico
Varia conforme
o fenômeno, por
exemplo, 2 a 10
anos
Sazonalidade
(St)
Mudança periódica,
regular, normalmente a
cada 12 meses em
vários anos, ou de
estações climáticas
(estacionalidade)
Condições climáticas, datas
festivas (dia das mães),
hábitos administrativos
(vencimento de impostos)
A cada 12 meses
ou a cada
trimestre
Irregular
(et)
Mudanças aleatórias,
atípicas
Eventos imprevistos como
seca, greve, fechamento
de empresa chave
Curta duração e
nem sempre se
repete
Fonte: Elaboração própria.

Passos para Análise
1. Plotar séries e ver comportamento temporal
– tendência!
a) Aumento, declínio, oscilação persistente da série
2. Fazer média móvel (rolling mean) para
expurgar efeitos sazonais e aleatórios da
série
3. Fazer índice estacional para avaliar o efeito
sazonal
65

Média Móvel (rolling mean)
• Apresenta a mesma tendência da série original
• Mostra as variações cíclicas da série original
• Elimina as flutuações de curtíssimo prazo ou
aleatórias da série original
• É importante para verificar a tendência e o ciclo
econômico
66

MÉDIAS MÓVEIS-Mattos
• Objetivo: Suavizar Oscilações Erráticas e
Sazonais
– Não–Centrada:
– Centrada:
– Quanto maior P, maior o suavizamento ou alisamento.
67
P
YYY
T
pttt
t
 

...
ˆ 1
1
......ˆ 2/112/


 
P
YYYYY
T PttttPt
t

MÉDIAS MÓVEIS
Santana e Pindyck
 51612
1
5
6
...... 


  tttt
ti
ti
it PPPPPMM
69
• Centrada 12 meses: ver ajustado p.392
Pt não está no centro!

Médias Móveis - Morettin
 131232124
1
1312433221
12
1)12(
7
2...22
2
...
222
ZZZZZ
ZZZZZZZZ
Z






 







70
• N par: Centrada 12 meses:
• N impar
• Pt está centrado!
 3213
1)3(
2
)12(
1*
ZZZZ
ZZ
nj
nj
jtnt

 




0
50
100
150
200
250
consumo
MM12
MM12centrada
MedM12centrada
MM3centrada
71

72
40
80
120
160
200
240
84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96
CONS
80
100
120
140
160
180
84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96
MM12
80
100
120
140
160
180
84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96
MM12C
80
100
120
140
160
180
200
220
84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96
MM3C
80
100
120
140
160
180
200
84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96
MED12C
60
80
100
120
140
160
84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96
IE

Obtendo médias móveis no R
• R:::: zoo:::rollmean
• rollmean(x,3)
• rollmean(x, 12)
73
Por default ele
centra! Se quiser
diferente, usar ‘align’

# médias móveis com package
R:::zoo
library(zoo)
cons3<-rollmean(consumo.ts,3,align="center")
cons12<-rollmean(consumo.ts,12,align = "right")
plot(consumo.ts,main="Séries de consumo do varejo",
type = "o",col="black",lwd=2,lty=1, ylab = "Indice",
xlab="mês")
lines(cons3,type="o",col = "red",lwd=2,lty=2)
lines(cons12,type="o",col = "green",lwd=2,lty=3)
legend("topright",c("consumo", "cons3", "cons12"), lwd=2,
lty=1:3,col=c(1,2,3))
dados.cons<-cbind(consumo.ts,cons3,cons12)
View(dados.cons)
75

Média móvel conforme o Hyndman
Otexts/fpp2
• https://www.otexts.org/fpp2/moving-
averages.html
• Fazer
cons12<-ma(consumo.ts,12)
View(cons12)
Ele faz a média móvel centrada pela formula do
Morettin e Toloi!
77

Índice Estacional:
multiplicativo
• IEi = (Pi / MMi) . 100 = E.Ai
• Pi = Série original
• MMi = média móvel da série Pi
78

Características de IE
• Inclui flutuações estacionais e variações
aleatórias
• Permite avaliar a formação temporal de
preços e identificar mudanças nos padrões
estacionais
79

Plot do Componente sazonal do
consumo (multiplicativo)
80

Ajuste Sazonal
Apostila Mattos
81

Mas como calcular S?
82
• Estimação da Sazonalidade ou Componente
Sazonal
Modelo
aditivo

Fator Sazonal = média dos desvios no mes para
diferentes anos - “modelo aditivo”
83

Passos: modelo aditivo
• Calcular desvios (Y-T) em que Y é a série e T a
média móvel
• Fazer para meses
• Obter média do mês na série (Ymmes)
• Ver Santana (2003, cap. 9)
84

Passos: modelo multiplicativo
• Calcular desvios (Y/T) em que Y é a série e T a
média móvel
• Fazer para meses
• Obter média do mês na série (Ymmes)
• Ver Santana (2003, cap. 9)
85

Calculo manual do IE: multiplicativo
• # calculo manual do IE
• # multiplicativo
• # cons12.ma<-ma(consumo.ts,12)
• S<-100*consumo.ts/cons12.ma
• View(S)
• tapply(S, cycle(S), mean) #fazendo assim eu nao consigo todos os meses
• # farei uma janela para 1984,7 a 1996,4
• Sw<-window(S, start=c(1984,7),end=c(1996,4))
• IEM<-tapply(Sw, cycle(Sw), mean) # IE medio mensal
• # agora somo todos os IEM e faço o IE
• IEM.total<-sum(IEM)
• IE<-12*IEM/IEM.total
• IE
• plot(IE, type = "o")
86

# Decomposição da série consumo:
decompose {stats}
# decompose(x, type = c("additive",
"multiplicative"), filter = NULL)
cons.components<- decompose(consumo.ts,
type=c("multiplicative"))
cons.components
# pega os valores estimados do componente sazonal
cons.saz<-cons.components$seasonal
View(cons.saz)
plot(cons.components)
87

R:::decompose:
modelo aditivo
cons.components.ad<- decompose(consumo.ts,
type=c("additive"))
cons.components.ad
# pega os valores estimados do componente sazonal
cons.saz.ad<-cons.components.ad$seasonal
View(cons.saz.ad) # Indice Estacional (IE) aditivo
plot(cons.components.ad)
plot(cons.saz.ad)
88

Ajuste Sazonal no R: ‘decompose’
aditivo
89

Indice Estacional (IE) multiplicativo
92

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