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- 2. Leonhard Euler (1707-1783) 𝑽 − 𝑨 + 𝑪 = 𝟐 Fórmula de Euler para poliedros vértices aristas caras
- 4. POLIEDRO polys edra muchos asiento – base – cara "muchas caras" Arquímedes
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- 11. Definición de Poliedro Figura construida a partir de caras poligonales en la que… cada arista es compartida por exactamente dos caras desde cada vértice emanan al menos tres aristas
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- 13. Figura construida a partir de caras poligonales en la que… cada arista es compartida por exactamente dos caras desde cada vértice emanan al menos tres aristas Poliedros???
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- 15. Figura construida a partir de caras poligonales en la que… cada arista es compartida por exactamente dos caras desde cada vértice emanan al menos tres aristas Poliedros???
- 16. Figura construida a partir de caras poligonales en la que… cada arista es compartida por exactamente dos caras desde cada vértice emanan al menos tres aristas Poliedros???
- 17. Un poliedro es convexo. Cualesquiera dos puntos en el objeto pueden ser unidos por un segmento de recta que está completamente contenido en el interior.
- 18. Ejemplos de Poliedros Figura construida a partir de caras poligonales en la que… cada arista es compartida por exactamente dos caras desde cada vértice emanan al menos tres aristas Cualesquiera dos puntos en el objeto pueden ser unidos por un segmento de recta que está completamente contenido en el interior. Convexos
- 19. Figura construida a partir de caras poligonales en la que… cada arista es compartida por exactamente dos caras desde cada vértice emanan al menos tres aristas Cualesquiera dos puntos en el objeto pueden ser unidos por un segmento de recta que está completamente contenido en el interior. No convexos
- 20. Por ahora… y por razones históricas… Poliedros Convexos
- 21. ¿Un poliedro es sólido o está hueco?
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- 29. polígonos regulares Un polígono es regular si cada lado tiene la misma longitud y todos los ángulos interiores tienen la misma medida.
- 30. Atención… POLÍGONOS REGULARES Hay una infinidad de polígonos regulares. POLIEDROS REGULARES Hay exactamente cinco poliedros regulares.
- 31. ¿Cuáles son, exactamente, los criterios para que un poliedro sea regular?
- 32. Poliedro regular Un poliedro regular o sólido regular es un poliedro que satisface las siguientes condiciones: El poliedro es convexo. Cada cara es un polígono regular. Todas las caras son congruentes (idénticas). Cada vértice está rodeado por el mismo número de caras.
- 33. Hay exactamente cinco poliedros regulares El poliedro es convexo. Cada cara es un polígono regular. Todas las caras son congruentes. Cada vértice está rodeado por el mismo número de caras.
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- 35. 500 a.C. – Padua, Italia
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- 41. Desarrollo de la teoría de poliedros regulares 1. Construcción de los objetos. 2. Descubrimiento de la noción abstracta de regularidad. 3. Demostrar que sólo hay cinco sólidos regulares. Teeteto Libro XIII de los Elementos de Euclides
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- 43. Leonardo da Vinci • Icosaedro truncado • Dodecaedro pentaquis De divina Proportione (1509) Luca Pacioli
- 45. Johannes Kepler (1571 – 1630) Misterio Cósmico 1596 Saturno Júpiter Marte Venus Mercurio Tierra
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- 51. Euler - 1750 La superficie de un poliedro se conforma de componentes de 0, 1 y 2 dimensiones. vértices aristas caras ángulos sólidos acies edra 1794 Adrien-Marie Legendre
- 52. vértices – aristas – caras 𝑽 − 𝑨 + 𝑪 = 𝟐
- 53. Euler … 1750 – 1751 1758 𝑽 − 𝑨 + 𝑪 = 𝟐 No he sido capaz de encontrar una demostración firme de este teorema. 1
- 54. Euler … 1750 – 1751 1758 𝑽 − 𝑨 + 𝑪 = 𝟐 2 Poliedros Convexos
- 55. Legendre - 1794 𝑽 − 𝑨 + 𝑪 = 𝟐 geometría esférica
- 56. Cauchy - 1813 Augustin Louis Cauchy (1789 – 1857) 𝑽 − 𝑨 + 𝑪 = 𝟐 Poliedros Huecos
- 57. grafo
- 58. Consecuencia… Poliedro No Convexo 𝑉 − 𝐴 + 𝐶 = 2
- 59. Los poliedros convexos satisfacen 𝑉 − 𝐴 + 𝐶 = 2. Pero hay más poliedros que la satisfacen. Johann F. C. Hessel (1796–1872) Poliedros eulerianos
- 60. Lhuilier – 1813 “excepciones” 𝑉 − 𝐴 + 𝐶 = 3 𝑉 − 𝐴 + 𝐶 = 0 𝑉 − 𝐴 + 𝐶 = 4
- 61. Hessel – 1832 “excepciones” 5 𝑉 − 𝐴 + 𝐶 = 3 𝑉 − 𝐴 + 𝐶 = 3
- 62. Staudt – 1847 Karl G. C. von Staudt (1798–1867) 𝑽 − 𝑨 + 𝑪 = 𝟐
- 63. 𝑽 − 𝑨 + 𝑪 = 𝟐
- 64. 𝑽 − 𝑨 + 𝑪 = 𝟐
- 65. TOPOLOGÍA
- 66. Topológicamente son lo mismo 𝑽 − 𝑨 + 𝑪 = 𝟐
- 67. Particionamos la superficie 62 vértices 132 aristas 72 caras 𝑉 − 𝐴 + 𝐶 = 2 𝜒(𝑆) número de Euler de 𝑺 característica de Euler de 𝑺
- 68. 1924 Es posible particionar cada superficie en vértices, aristas y caras. 1943 El número de Euler es independiente de la elección de la partición.
- 70. Lhuilier – 1813 “excepciones” 𝑉 − 𝐴 + 𝐶 = 0 toro 𝜒 toro = 8 − 16 + 8 = 0
- 72. Botella de Klein 𝜒 botella de Klein = 0
- 73. matemática griega matemática del siglo XX Euler lo vio: 𝑽 − 𝑨 + 𝑪 = 𝟐!!!
- 74. II Jornadas de Enseñanza de las Ciencias Básicas de la Patagonia Sur" Ms. Ana María Teresa Lucca