1. 35
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UNIVERSIDAD DE POLITÉCNICA
TERRITORIAL
JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI
MATEMÁTICA PARA INGENIEROS
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES.
DEFINICIÓN: Una ecuación que puede escribirse en la forma ( ) ( )
dy
P x y Q x
dx
+ =
Donde P(x) y Q(x) son funciones dadas de x, se llama una ecuación diferencial lineal de
primer orden.
Es fácil verificar que la ecuación tiene como factor integrante a
( )
( )
P x dx
x eμ ∫= puesto
que al multiplicar ambos lados de la ecuación ( ) ( )
dy
P x y Q x
dx
+ = por este factor se
obtiene
( ) ( ) ( )
( ) ( ) (1)
P x dx P x dx P x dxdy
e P x ye Q x e
dx
∫ ∫ ∫+ = se aplica la regla del cálculo para la
diferenciación de un producto
Pdx Pdxd dy
ye P e
dx dx
⎛ ⎞∫ ∫+⎜ ⎟
⎝ ⎠
Lo cual la ecuación (1) es
equivalente a
( ) ( )
( )
P x dx P x dxd
ye Q x e
dx
⎛ ⎞∫ ∫=⎜ ⎟
⎝ ⎠
MÉTODO PARA LA SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN LINEAL DE PRIMER ORDEN
a) Para resolver una ecuación lineal de primer orden, primero se convienen a la forma
de ( ) ( )
dy
P x y Q x
dx
+ = esto es, se hace que el coeficiente de
dy
dx
sea la unidad.
b) Se identifica a ( )P x y definir el factor integrante,
( )
( )
p x dx
x eμ ∫=
c) La ecuación obtenida en el paso a) se multiplica por el factor integrante:
( )
( )
( ) ( )
( ).
p x dx p x dx p x dxdy
e P x e y e Q x
dx
∫ ∫ ∫+ =
d) El lado izquierdo de la ecuación obtenida en el paso c) es la derivada del producto del
factor integrante por la variable dependiente, Y; esto es,
( ) ( )
( )
p x dx p x dxd
e y e Q x
dx
⎡ ⎤∫ ∫=⎢ ⎥⎣ ⎦
e) Se integran ambos lados de la ecuación obtenida en el paso d).
EJEMPLO 1 Resolver 5 50
dy
y
dx
+ =
Esto está en la forma ( ) ( )
dy
P x y Q x
dx
+ = con P= 5, Q = 50.
El factor integrante es
5 5
( )
dx x
x e eμ ∫= =
Multiplicando por 5x
e podemos escribir la ecuación 5 50
dy
y
dx
+ = como

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( ) ( )5 5 5 5 5 5
5 5 5
50 50 50
10 10
x x x x x x
x x x
d
ye e d ye e dx ye e dx
dx
ye e c y ce−
= ⇒ = ⇒ =
= + ⇒ = +
∫ ∫ ∫
Se podría haber usado también el método de separación de variables.
EJEMPLO 2: Resolver 6
4 .xdy
x y x e
dx
− =
Al dividir entre X llegamos a la forma normal
54
.xdy
y x e
dx x
− =
Así escrita reconocemos que ( ) 54
; ( ) x
p x Q x x e
x
−
= = entonces el factor integrante es
Ahora se multiplica la ecuación
54
.xdy
y x e
dx x
− = por ese término
4 5 4
4 4
4 5 4 4
4 integrando
( . )
0
x x
x x
x x x x
dy d
x x y xe x y xe
dx dx
d x y xe dx x y xe dx p p
x y xe e c sea y x e x e cx
− − −
− −
−
⎡ ⎤− = ⇒ = ⇒⎣ ⎦
⎡ ⎤ = ⇒ =⎣ ⎦
= − + = − +
∫ ∫ ∫
EJEMPLO 3. Resolver 3xdy
y e
dx
+ =
( ) 3
1; ( ) x
p x Q x e= = , entonces el factor integrante es ( )
dx x
x e eμ ∫= = Multiplicando la
ecuación 3xdy
y e
dx
+ = por el factor integrante:
( )4 4 4
4 3
4 4
( )
( )
4 4
x x x x x x x
x x
x x x x x x
dy d
e y e e y e e d y e e dx
dx dx
e e
d y e e dx y e e dx y e c y ce−
− = ⇒ = ⇒ =
= ⇒ = ⇒ = + ⇒ = +∫ ∫ ∫
EJEMPLO 4. Resuelva
10
10
2 5
dy y
dx x
+ =
+
La ecuación tiene la forma ( ) ( )
dy
P x y Q x
dx
+ = donde: ( )
10
; ( ) 10
2 5
p x Q x
x
= =
+
El factor integrante es ( ) ( ) ( )
( )
5
10
52 5 5ln 2 5 ln 2 5
( ) ( ) 2 5
dx
x x x
x e e e x xμ μ+ + +∫
= = = ⇒ = + .
Multiplicando
10
10
2 5
dy y
dx x
+ =
+
por ( )
5
2 5t + , encontramos
44 4ln ln 4
( ) ( )
dx
x xx
x e e e x xμ μ
−− − −∫
= = = ⇒ =

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( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
5 5 5 5
6
5 5 5
5
2 5 10 2 5 2 5 10 2 5
5 2 5
2 5 10 2 5 2 5
6
5 2 5
2 5
6
d
x y x d x y x dx
dx
t
d x y x dx x y c
t
y c x
−
⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ = + ⇒ + = +
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
+
⎡ ⎤+ = + ⇒ + = +
⎣ ⎦
+
= + +
∫ ∫
Nota: A veces, una ecuación diferencial de primer orden no es lineal en una variable, pero
si en la otra.
( ) ( ) ( )
( ) ( ) . . ( )
p y dy p y dy p y dydx
p y x Q y F I e solución xe Q y e dy c
dy
∫ ∫ ∫+ = ⇒ = = = +∫
EJEMPLO 5. Resuelva 2
1dy
dx x y
=
+
Se observa que NO es lineal en la variable Y; entonces la forma recíproca, si lo es en
X 2 2
o bien
dx dx
x y x y
dy dy
= + − =
El factor integrante sea
( )1
( )
dy y
y e eμ
− −∫= = y se multiplica la ecuación 2dx
x y
dy
− = por
ese factor:
2 2
2 2 2
( )
( ) ( . . .) 2 2
y y y y y
y y y y y
dx d
e xe y e xe y e
dy dy
d xe y e dy xe y e dy I P P x y y ce
− − − − −
− − − −
− = ⇒ =
= ⇒ = ⇒ = − − − +∫ ∫ ∫
Solución General Si se supone que ( ) ( )y Qp x x son continuas en un intervalo dado y
que ox es cualquier punto del intervalo, entonces, existe sólo una solución del problema
de valor inicial.
( ) ( ) ( )0 0;
dy
P x y Q x y x y
dx
+ = =
Nota: Debe tomar en cuenta la continuidad de las funciones ( ) ( ),P x Q x
EJEMPLO 6. Determinar la solución general de ( )2
9 0.
dy
x xy
dx
+ =
Se escribe la ecuación en la forma adecuada 2
0.
9
dy x
y
dx x
+ =
+
La función ( )
( )2
; 0
9
x
p x Q
x
= =
+
es continua en ( ),−∞ ∞
Entonces, el factor integrante para la ecuación es:
( ) ( ) ( )
( )
2 22
1
ln 9 ln 99 22
( ) 9
x
dx
x xx
x e e e xμ
+ ++
∫
= = = = +

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( ) ( )
( )
2 2 2
2
2
2
9 0 ( 9 ) 0 ( 9 ) 0
9
9
9
dy x d
x y x d y x
dx dxx
c
y x c y
x
+ + = ⇒ + = ⇒ + =
+
+ = ⇒ =
+
∫
EJERCICIOS RESUELTOS.
1)
2 4
4xdy
x e y
dx
−
= − 2)
3
2
dy
x y x
dx
−
+ =
3) tg sec
dr
r
d
θ θ
θ
+ = 4) ( 1) 0t y dt dy+ + − =
5)
3
2 5
dx
y x y
dy
+ = 6)
2 3
3 2 4
dy
x y x x x
dx
+ + = +
7) ( )2 2
1 2 1 4
dy
x x x xy
dx
+ = + − − 8) 4
1
2y
dy
dx e x
=
+
9)
3
2y xy x′+ = 10) 2
( 4 ) 2 0x y dy ydx+ + =
11) ( )xdy xsenx y dx= − 12) 2cos
dy
yctgx x
dx
+ =
13)
2 3
cos ( ) ( cos ( ) 1) 0x senxdy y x dx+ − = 14)
6
4( ) 0ydx x y dy− + =
15)
2
1 x
x x
dy e
y
dx e e
−
−
−
+ =
+
16) (10 )cosh
dy
y x
dx
= −
17)
2
(tan ) cos ; (0) 1
dy
x y x donde y
dx
+ = = − 18) ( 1) ln , (1) 10
dy
x y x y
dx
+ + = =
19)
2
´ (tan ) cos , (0) 1y x y x y+ = = − 20) Resolver 2 2
1 1
dy xy x
dx x x
+ =
+ +
21) Resolver el problema de valor inicial ( )2 , 1 0.
dy
x y x y
dx
+ = =
22) cos cosy y x senx x′+ = 23)
2x x
y e y e′+ =
24)
1
cos
y ytgx
x
′− = 25)
2
4 cscy yctgx x x′+ =
26) ( ) 3
2 3 x
xy x y xe−
′+ + = 27)
2
2 (3 )x y xy senh x′+ =
28)
3 2
´ 2 ( ), (0) 2.x x
y y x e e y= + − = 29) ´ , (1) 2x
xy y e y+ = =
Nota: Sin embargo, si el estudiante no puede reconocer que una ecuación particular tiene
la forma ( ) ( )
dy
P x y Q x
dx
+ = puede estar seguro que el método de los factores
integrantes de una variable si funcionará. (Ver próxima guía).
DÁMASO ROJAS
FEBRERO 2014