Vectores en el espacio

REPUBLICA BOLIVARIA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION
I.U.P SANTIAGO MARIÑO
ESCUALA: ARQUITECTURA
MATERIA: MATEMATICAS III
SECCION: S1
VECTORES EN EL
ESPACIO
Profesor: Bachiller:
BELTRAN, Pedro BRITO, Andrea
Barcelona, 22 de Marzo del 2019

Introducción
Los vectores son un auxiliar muy útil para la geometría del espacio, se contemplan las
herramientas necesarias para la geometría tridimensional, se estudian los vectores
geométricamente, y a través de sus operaciones, también de forma geométrica, se
llegan a conceptos fundamentales del Álgebra.
Es muy importante tener una "visión" clara del espacio para entender de una forma
sencilla y clara, también la interactividad ayudará en el proceso utilizando uno o más
números (coordenadas) para determinar unívocamente la posición de un punto u objeto
geométrico por medio de numerosos sistemas de coordenadas, ecuación general,
funciones de varias variables así como también su dominio, también el estudio de las
superficies esféricas e cilíndricas y paraboloide por medio de métodos y formulas que
nos facilita su comprensión.

Vector en el espacio
Sistemas de coordenadas
• En geometría, un sistema de coordenadas es un sistema que utiliza uno o más números (coordenadas)
para determinar unívocamente la posición de un punto u objeto geométrico. El orden en que se
escriben las coordenadas es significativo y a veces se las identifica por su posición en una tupla
ordenada; también se las puede representar con letras, como por ejemplo «la coordenada-x». El
estudio de los sistemas de coordenadas es objeto de la geometría analítica, permite formular los
problemas geométricos de forma "numérica".
• Un ejemplo corriente es el sistema que asigna longitud y latitud para localizar coordenadas geográficas.
En física, un sistema de coordenadas para describir puntos en el espacio recibe el nombre de sistema
de referencia.

• El plano cartesiano se utiliza para asignarle una ubicación a cualquier punto en el
plano. En la gráfica se indica el punto +2 en las abscisas y +3 en las ordenadas. El
conjunto (2 , 3) se denomina "par ordenado" y del mismo modo se pueden ubicar
otros puntos.
• Las coordenadas cartesianas se usan por ejemplo para definir un sistema cartesiano
o sistema de referencia respecto ya sea a un solo eje (línea recta), respecto a dos
ejes (un plano) o respecto a tres ejes (en el espacio), perpendiculares entre sí (plano
y espacio), que se cortan en un punto llamado origen de coordenadas. En el plano,
las coordenadas cartesianas se denominan abscisa y ordenada. La abscisa es la
coordenada horizontal y se representa habitualmente por la letra x, mientras que la
ordenada es la coordenada vertical y se representa por la y.

SISTEMAS DE COORDENADAS CARTESIANAS
• Las coordenadas cartesianas o coordenadas rectangulares (sistema cartesiano) son un tipo
de coordenadas ortogonales usadas en espacios euclídeos, para la representación gráfica
de una función, en la geometría analítica , o del movimiento o posición en física,
caracterizadas porque usa como referencia ejes ortogonales entre sí que se cortan en un
punto origen. Las coordenadas cartesianas se definen así como la distancia al origen de las
proyecciones ortogonales de un punto dado sobre cada uno de los ejes. La denominación de
'cartesiano' se introdujo en honor de René Descartes, quien lo utilizó de manera formal por
primera vez.
• Si el sistema en sí es un sistema bidimensional, se denomina plano cartesiano. El punto de
corte de las rectas se hace coincidir con el punto cero de las rectas y se conoce como origen
del sistema. Al eje horizontal o de las abscisas se le asigna los números enteros de las equis
("x"); y al eje vertical o de las ordenadas se le asignan los números enteros de las yes ("y").
Al cortarse las dos rectas, dividen al plano en cuatro regiones o zonas, que se conocen con
el nombre de cuadrantes:
• Primer cuadrante "I": Región superior derecha
• Segundo cuadrante "II": Región superior izquierda
• Tercer cuadrante "III": Región inferior izquierda
• circunferencia.
• Cuarto cuadrante "IV": Región inferior derecha

Sistemas coordenadas cilíndricas
• Las coordenadas cilíndricas son una extensión del sistema de coordenadas polares
al espacio tridimensional. Generalmente, en lugar de utilizar x, y y z, se usan r, el
ángulo theta y la variable z, x o y. La última variable designa la extensión máxima de
una superficie. Para elegir que variable dejar intacta, hay que observar la gráfica de
la función; la variable que no cambia es aquella sobre cuyo eje abre la superficie.

• El nombre de estas coordenadas proviene de la idea de que cada punto en el espacio
es un punto de la superficie de una infinita cantidad de cilindros circulares, todos con un
radio arbitrario de valor r. Las integrales triples en este sistema de coordenadas se
designan de la siguiente manera:
• En caso de empezar con una función en coordenadas cartesianas, estas se pueden
convertir a coordenadas polares:
• Nuevamente se hace énfasis en que el sistema puede cambiar. Por ejemplo, r puede
depender de y y de z siendo x la variable que no cambia. Todo depende de la superficie
con la que se trabaja. Por ejemplo se pide encontrar el volumen del primer octante del
cono cuya ecuación es la siguiente, junto con otras restricciones:

• El cono abre hacia el eje z, así que la región plana que se usa para obtener el
volumen está en el plano xy, y corresponde a una circunferencia de radio 1. Por lo
tanto, la integral se plantea así:
• La integral se calcula igual que en cualquier integral común, respetando el orden de
integración.

Ejemplo 1:
• El punto P(6, 30º, 4) está expresado en coordenadas cilíndricas. Halla sus
coordenadas cartesianas.

Ejemplo 2:
El punto P(-2, -2, 3) está expresado en coordenadas cartesianas. Halla sus
coordenadas cilíndricas.

Sistemas de coordenadas esféricas
• Es la forma de identificar un punto en el espacio tridimensional colocado en la
superficie de una esfera con centro en el origen y radio determinado mediante tres
magnitudes: una distancia y dos ángulos o (r,a,b) donde r, el radio de la esfera; a, la
longitud y la latitud es b ambos últimos expresados en radianes de forma parecida a
como se hace con las coordenadas terrestres.
• El sistema de coordenadas esféricas es un cambio total de las variables en el
espacio tridimensional. El cambio se da por las siguientes fórmulas:
Las nuevas variables anteriores representan la posición de un punto respecto a la
distancia que hay entre este y el origen y los ángulos que se forman entre ese vector
y el eje z y la proyección del mismo vector y el eje x. Al igual que en coordenadas
cilíndricas, el sistema de referencia puede cambiar.

A la inversa, es posible pasar de coordenadas esféricas a
coordenadas cartesianas:

• Toda integral en coordenadas esféricas se representa de la siguiente manera:
Por ejemplo, se pide investigar el volumen del ejemplo usado para explicar la
integración en coordenadas cilíndricas. Para ello la conversión a coordenadas
esféricas se hace de la siguiente formal:

• Finalmente, la integral triple para encontrar el volumen se escribe como:
• De igual forma, esta integral se resuelve como cualquier integral iterada.

Ecuación general
• Expresar una recta en forma vectorial, paramétricas, continua y general en el
espacio.
• Ejemplos de cómo pasar de unas ecuaciones a otras.

• Ejemplos de rectas.
• Cuando conocemos un punto y un vector director.
Ecuación de la recta en forma general o
implícita.
Esta ecuación está definida como
intersección de dos planos.
Para pasar a las otras ecuaciones
tenemos dos maneras:
- Obtener por separado un punto y un
vector director.
- Pasar directamente a ecuaciones
paramétricas resolviendo el sistema
compatible indeterminado.

Forma general obteniendo por separado punto y
vector director
Ejemplo

Pasar de forma general a paramétricas
• Analíticamente resolviendo el sistema compatible indeterminado, ordenamos las
soluciones y ya tenemos las ecuaciones de la recta en paramétricas.

Funciones de varias variables
• Gráfica de una función de varias variables y curvas de nivel.
• Como en el caso de las funciones de una sola variable, se puede saber mucho
acerca del comportamiento de una función de dos variables dibujando se gráfica. La
gráfica de una función fde dos variables es el conjunto de todos los puntos (x,y,z)
para los que z=f(x,y) y (x,y) está en el dominio de f.
• Una segunda manera de visualizar una función de dos variables es como un campo
escalar que asigna al punto (x,y) el escalar Z=f(x,y).
• Un campo escalar se caracteriza por sus curvas de nivel ó líneas de contorno a lo
largo de las cuales el valor f(x,y) es constante.
Ejemplos.
• Un mapa meteorológico muestra las curvas de nivel de igual presión, llamadas
isobaras.
• También en los mapas meteorológicos , las curvas de nivel que representan puntos
de igual temperatura se llaman isotermas.
• En la representación de campos de potencial eléctrico reciben el nombre de curvas
equipotenciales.
• pendiente es fuerte.

Dominio de funciones de varias variables
• Para hallar el dominio despejamos (y) y analizamos el comportamiento de (x). Al hacer
este despeje podemos considerar tres casos:
• i. La (x) hace parte del denominador de una fracción. Dé un ejemplo. R: Sea la relación
R = {(x, y) / 2xy - 3y - 5 = 0} definida en los Reales.ii Despejar(y).
• ¿Qué valores debe tomar (x) (en el denominador) para que sea diferente de cero ? R/:
• Cómo se halla el dominio de una relación, cuando la (x) queda en el denominador al
despejar (y).R: Si al despejar (y) en una expresión (en una relación), encontramos que
la (x) hace parte del denominador de una fracción, entonces para determinar el
dominio de dicha relación hay que hacer que el denominador sea diferente de cero y
se despeja la (x).

Superficie esférica
• Ecuación de una esfera.
• Una esfera o superficie esférica es
el lugar geométrico de los puntos de
coordenadas (x, y, z) del espacio
cuya distancia a un punto fijo C(a, b,
c) que es el centro de la esfera, es
una cantidad constante r > 0 , es
decir, el radio de la esfera.
Posiciones relativas de recta y esfera
Una recta respecto a una esfera puede estar
situada:
Exterior: Si no tienen ningún punto en común.
Tangente: cuando la recta toca a la esfera en un
único punto.
Secante: cuando la recta corta a la esfera en
dos puntos.

• Posiciones relativas de plano y esfera
• Un plano respecto a una esfera puede estar situado:
• Exterior: Si no tienen ningún punto en común
• Tangente: cuando el plano toca a la esfera en un único punto
• Secante: cuando el plano corta a la esfera en una circunferencia.
Para averiguar cuál de las tres posiciones se tiene hay que calcular el valor d del centro de
la esfera al plano y lo comparamos con el radio r de la misma:
Si d>r es exterior
Si d=r es tangente
Si d< r es secante

Superficie cilíndrica
• Las superficies cilíndricas son superficies
generadas por una recta, cuando se desplaza
a través de una curva plana, manteniéndose
siempre paralela a sí misma.
• A dicha recta se la llama generatriz de la
superficie y a la curva, directriz.
• La ecuación de una superficie
cilíndrica de directriz G y
generatriz d (paralela a u → (u1,
u2, u3) y que corta a la directriz
en P0(x0, y0, z0)) se obtiene
reemplazando en la ecuación de
la curva directriz las
coordenadas de P0, despejadas
de la ecuación de d. Entonces, si
las ecuaciones de G y d son:

• despejando las coordenadas de P0 y reemplazándolas en la ecuación de G se
obtiene:
• Eliminando t de las ecuaciones anteriores se obtiene la ecuación de la
superficie cilíndrica.

Paraboloide
• Los paraboloides son cuádricas sin centro de simetría.
• Si el eje del paraboloide es el eje z, entonces la ecuación del paraboloide elíptico es:
• y la ecuación del paraboloide hiperbólico es:

Paraboloide elíptico
• Sea el paraboloide elíptico de ecuación:
• El paraboloide elíptico no es simétrico respecto al origen de coordenadas.
• El origen de coordenadas es el vértice del paraboloide elíptico.
• El paraboloide elíptico es simétrico respecto al eje z.
• El paraboloide elíptico es simétrico respecto a los planos x-z e y-z.
• Las secciones con planos paralelos a los coordenados y al eje del paraboloide son
parábolas.
• Las secciones con planos perpendiculares al eje del paraboloide elíptico son elipses.
• El paraboloide elíptico se extiende para todo x, y, y z ≥ 0.
• Una ecuación paramétrica de este paraboloide elíptico es:

Ejemplo 1.
Analizar la superficie de ecuación:
Ge) x2 + z2 = y
• Es un paraboloide elíptico
• El paraboloide elíptico corta a los ejes de coordenadas en el origen: V(0, 0, 0)
• Las secciones con planos paralelos a los coordenados son:
con planos paralelos al x - y (z = k): parábolas de la forma:
Ge) x2 = y - k2, z = k
en las que k puede asumir cualquier valor real.
con planos paralelos al x - z (y = k): circunferencias de la forma:
Ge) x2 + z2 = k, y = k
en las que k puede asumir cualquier valor no negativo (|k| ≥ 0).
con planos paralelos al z - y (x = k): parábolas de la forma:
Ge) z2 = y - k2 , x = k
 El gráfico de este paraboloide hiperbólico es:

Paraboloide hiperbólica
• Sea el paraboloide hiperbólico de ecuación:
• El paraboloide hiperbólico no es simétrico respecto al origen de coordenadas.
• El paraboloide hiperbólico es simétrico respecto al eje z.
• El paraboloide hiperbólico es simétrico respecto a los planos x-z e y-z.
• Las secciones con planos paralelos a los coordenados y al eje del paraboloide hiperbólico
son parábolas
• Las secciones con planos perpendiculares al eje del paraboloide hiperbólico son
hipérbolas.
• El paraboloide hiperbólico se extiende infinitamente.
• Una ecuación paramétrica de este paraboloide hiperbólico es:

Ejemplo 2.
Analizar la superficie de ecuación:
Ge) y2 - x2 = z
• Es un paraboloide hiperbólico
• El paraboloide hiperbólico corta a los ejes de coordenadas en el origen: O(0, 0, 0)
• Las secciones con planos paralelos a los coordenados son:
• con planos paralelos al x - y (z = k): hipérbolas de la forma:
Ge) - x2 + y2 = k, z = k
en las que k puede asumir cualquier valor real. El eje focal de estas hipérbolas depende
del signo de k.
con planos paralelos al x - z (y = k): parábolas de la forma:
Ge) x2 = - z + k2, y = k
con planos paralelos al z - y (x = k): parábolas de la forma:
Ge) y2 = z + k2, x = k
• El gráfico de este paraboloide hiperbólico es:

Elipsoide y hiperboloide
• Un elipsoide con centro en el origen y cuyos ejes coinciden con los ejes de
coordenadas tiene de ecuación:
• Donde a, b y c son los semiejes dele elipsoide.
.
Plano Sección
Paralelo al plano
xy
Elipse
Paralelo al plano
xz
Elipse
Paralelo al plano
yz
Elipse

Hiperboloide de una hoja
• Un hiperboloide de una hoja con centro en el origen y cuyos ejes coinciden con los
ejes de coordenadas tiene de ecuación:
• Donde a, b y c son los semiejes del hiperboloide.
Plano Sección
Paralelo al
plano xy
Elipse
Paralelo al
plano xz
Hipérbol
a
Paralelo al
plano yz
Hipérbol
a

Hiperboloide de dos hojas
• Un hiperboloide de dos hojas con centro en el origen y cuyos ejes coinciden con los
ejes de coordenadas tiene de ecuación:
• Donde a, b y c son los semiejes del hiperboloide
Plano Sección
Paralelo al
plano xy
Elipse
Paralelo al
plano xz
Hipérbola
Paralelo al
plano yz
Hipérbola

Conclusión
Los vectores están presentes en el espacio de forma gráfica representando un conjunto
de vectores que se forman para crear herramientas necesarias por medio de la
geometría tridimensional de manera analítica para deducir de forma geométrica y
aprender el concepto de coordenadas de un vector con respecto a la base y sus
distintos sistemas de coordenadas (cartesianas, esféricas y cilíndricas).
Los vectores contienen varias variables, se puede saber mucho acerca del
comportamiento de una función de dos variables dibujándose gráficamente para la
representación de curvas de nivel. Los vectores nos ayudan con el estudio de las Las
superficies esféricas determina las posiciones relativas de recta y esfera, así como
también las superficies cilíndricas que son superficies generadas por una recta, cuando
se desplaza a través de una curva plana.
Por ultimo tenemos las paraboloides que son cuádricas sin centro de simetría que se
construyen a partir de rectas. Podemos simplificar el concepto afirmando que es un
plano alabeado.

Bibliografía
• Weisstein, Eric W. «Coordinate System». En Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés). Wólfram
Research.
• Weisstein, Eric W. «Coordinates». En Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés). Wólfram Research.
• «Cartesian Coordinate System». Cut the knot (en ingles).
• https://sites.google.com/site/calculovectorialhakim/coordenadas-cilindricas-y-esfericas
• https://www.vadenumeros.es/segundo/ecuaciones-de-la-recta.htm
• https://sites.google.com/site/calculovectorialhakim/funciones-de-varias-variables
• https://www.monografias.com/trabajos78/funciones-dominio-rango-curva-nivel/funciones-dominio-
rango-curva-nivel2.shtml
• http://calculo.cc/temas/temas_geometria_analitica/curvas_superf/teoria/s_esferica.html
• http://www.frsn.utn.edu.ar/gie/superficies/sup_cilin.html
• http://www.frsn.utn.edu.ar/gie/superficies/paraboloides.html
• http://calculo.cc/temas/temas_geometria_analitica/curvas_superf/teoria/cuadricas.html

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