Zermelo, Schrödinger, Rasch

Zermelo – Rasch – Schrödinger
Ein stoffdidaktischer Zugang zur probabilistischen
Modellierung mathematischer Leistung
Assoz. Prof. Dr. Andreas Vohns
Institut für Didaktik der Mathematik
49. GDM Jahrestagung
FHNW Basel, 12.02.2015

Einführung Einkleidung: Zermelo Anwendung: Rasch Reﬂexion: Schrödinger Literatur
Einführung und Motivation
Problemlage:
• Zunehmende Bedeutung probabilistischer Testmodelle
(v. a. Rasch-Modell) für mathematische Leistungsmessungen
• Seltene Thematisierung des Modellcharakters
• Kaum Beschäftigung mit dem „math. Kern der Sache“(Kirsch 1977)
• In Kritik wie Verteidigung Vermischung der eigentlichen Modellierung
mit davon unabhängigen Ergänzungen
Zermelo, Rasch, Schrödinger – Ein stoffdidaktischer Zugang Andreas Vohns

Problemlage:
• Zunehmende Bedeutung probabilistischer Testmodelle
(v. a. Rasch-Modell) für mathematische Leistungsmessungen
• Seltene Thematisierung des Modellcharakters
• Kaum Beschäftigung mit dem „math. Kern der Sache“(Kirsch 1977)
• In Kritik wie Verteidigung Vermischung der eigentlichen Modellierung
mit davon unabhängigen Ergänzungen
Zielsetzungen:
• Präsentation einer Einkleidung (Spielstärke im Schach)
• Kontrastierung mit mathematikdid. Anwendungsfall (Leistungsmessung)
• Diskussion epistemologischer Hürden (Stichprobenunabhängigkeit,
Lösungswahrscheinlichkeit)

Einkleidung: Zermelos Schach-Turnier
Zermelos Schach-Turnier: Problem
Ein Schach-Verein mit 14 Mitgliedern will die 5 spielstärksten Mitglieder zu
einem internationalen Turnier schicken.
Mitglieder: Unterteilt in zwei Teilmengen:
5 Vorjahresteilnehmer des Turniers (Teilmenge , „Meister“),
9 weitere Mitglieder (Teilmenge P, „Stümper“).

Vorauswahl-Turnier:
Alle Meister () treten gegen jeden Stümper (P) an (1. Runde),
Meister und Stümper treten untereinander an (2. Runde).
Zum internationalen Turnier fahren die mit den meisten Siegen

Vorauswahl-Turnier:
Alle Meister () treten gegen jeden Stümper (P) an (1. Runde),
Meister und Stümper treten untereinander an (2. Runde).
Zum internationalen Turnier fahren die mit den meisten Siegen
Vorauswahl-Turnier muss nach 1. Runde abgebrochen werden
Wie gelangt man zu einem zuverlässigen Maß für die Spielstärke
sämtlicher Mitglieder?
Gesucht: Anordnung (auch: Prognose nicht realisierter Partien)

Zermelos Schach-Turnier: Lösungsidee
Vier Regeln zur Sortierung: (Remis-Partien vernachlässigt)
1 Personen aus Menge P gleich spielstark, wenn
gleiche Anzahl von Siegen (gegen Personen aus Menge )
2 Personen aus Menge  gleich spielstark, wenn
gleiche Anzahl von Siegen (gegen Personen aus Menge P)

3 Teilmenge Pn gleichstarker Personen besser als Person k ∈ ,
wenn Anteil Siege gegen k ∈  in Pn größer als 50%
4 Person k ∈  besser als Teilmenge gleichstarker Personen Pn,
wenn Anteil Siege k ∈  gegen Pn größer als 50%

3 Teilmenge Pn gleichstarker Personen besser als Person k ∈ ,
wenn Anteil Siege gegen k ∈  in Pn größer als 50%
4 Person k ∈  besser als Teilmenge gleichstarker Personen Pn,
wenn Anteil Siege k ∈  gegen Pn größer als 50%
Problem: Erlaubt i. A. keine eindeutige Sortierung
Lösung: Glättung durch probabilistische Modellierung

Anwendung: Rasch-Modellierung von Leistungsdaten
Rasch-Modellierung von Leistungsdaten: Problem
Gegeben:
• Wiederum: Zwei Mengen  (5 Aufgaben), P (9 Personen)
• Paarvergleich: p beantwortet  korrekt (zustimmend)
• Interner Paarvergleich hier per se ausgeschlossen

Rasch-Modellierung von Leistungsdaten: Problem
Gegeben:
• Wiederum: Zwei Mengen  (5 Aufgaben), P (9 Personen)
• Paarvergleich: p beantwortet  korrekt (zustimmend)
• Interner Paarvergleich hier per se ausgeschlossen
Gesucht:
• Anordnung Personen nach „Fähigkeit“ (Zustimmungsgrad)
• Anordnung Aufgaben nach „Schwierigkeit“ (Ablehnungsgrad)
• Gemeinsame Anordnung Personen und Aufgaben (Wonach?)

Rasch-Modellierung von Leistungsdaten: Lösungsidee
Vier Regeln zur Sortierung: (teilweise richtige Lsg. vernachlässigt)
1 Personen aus Menge P gleich fähig, wenn
gleiche Anzahl an richtigen Lösungen aus Aufgabenmenge 
2 Aufgaben aus Menge  gleich schwer, wenn
gleiche Anzahl an falschen Lösungen in Personenmenge P
3 Teilmenge Pn gleich fäh. Personen „besser“ als Aufgabe k ∈ ,
wenn Anteil korrekter Lösungen von k ∈  in Pn größer als 50%
4 Aufgabe k ∈  „besser“ als Teilmenge gleich fäh. Personen Pn,
wenn Anteil falscher Lösungen von k ∈  in Pn größer als 50%
Problem: Erlaubt i. A. keine eindeutige Sortierung
Lösung: Glättung durch probabilistische Modellierung

Ein Zahlenbeispiel
Ausgangspunkt: Wertetabelle (Datenmatrix)
1 2 3 4 5
p1 0 1 1 1 1
p2 1 1 1 1 0
p3 0 1 1 0 1
p4 0 1 1 0 1
p5 1 0 1 1 0
p6 0 0 0 1 1
p7 0 0 0 1 1
p8 0 0 0 1 0
p9 0 0 0 0 1
(Tabelle bereits vorsortiert)

Ein Zahlenbeispiel
1 2 3 4 5 p
p1 0 1 1 1 1 4
p2 1 1 1 1 0 4
p3 0 1 1 0 1 3
p4 0 1 1 0 1 3
p5 1 0 1 1 0 3
p6 0 0 0 1 1 2
p7 0 0 0 1 1 2
p8 0 0 0 1 0 1
p9 0 0 0 0 1 1
Ordnung auf P: Zeilensumme p
Einkleidung Schach: Anzahl Siege des Stümpers gegen 5 Meister
Anwendung Test: Anzahl von einer Person korrekt gelöster Aufgaben

Ein Zahlenbeispiel
1 2 3 4 5 p
p1 0 1 1 1 1 4
p2 1 1 1 1 0 4
p3 0 1 1 0 1 3
p4 0 1 1 0 1 3
p5 1 0 1 1 0 3
p6 0 0 0 1 1 2
p7 0 0 0 1 1 2
p8 0 0 0 1 0 1
p9 0 0 0 0 1 1
 2 4 5 6 6
Ordnung auf : Spaltensumme 
Einkleidung Schach: Anzahl Niederlagen 9 Stümper gegen den Meister
Anwendung Test: Anzahl eine Aufgabe falsch lösender Personen

Ein Zahlenbeispiel
1 2 3 4 5 p
p1 0 1 1 1 1 4
p2 1 1 1 1 0 4
p3 0 1 1 0 1 3
p4 0 1 1 0 1 3
p5 1 0 1 1 0 3
p6 0 0 0 1 1 2
p7 0 0 0 1 1 2
p8 0 0 0 1 0 1
p9 0 0 0 0 1 1
 2 4 5 6 6
Ordnung auf G = P ∪ : i. A. nicht eindeutig (Paarvergleiche nicht transitiv)

Ein Zahlenbeispiel
1 2 3 4 5 p
p1 0 1 1 1 1 4
p2 1 1 1 1 0 4
p3 0 1 1 0 1 3
p4 0 1 1 0 1 3
p5 1 0 1 1 0 3
p6 0 0 0 1 1 2
p7 0 0 0 1 1 2
p8 0 0 0 1 0 1
p9 0 0 0 0 1 1
 2 4 5 6 6
Reihenfolge {p1, p2} > {p3, p4, p5} > 3 > {p6, p7} > {p8, p9} eindeutig

Ein Zahlenbeispiel
1 2 3 4 5 p
p1 0 1 1 1 1 4
p2 1 1 1 1 0 4
p3 0 1 1 0 1 3
p4 0 1 1 0 1 3
p5 1 0 1 1 0 3
p6 0 0 0 1 1 2
p7 0 0 0 1 1 2
p8 0 0 0 1 0 1
p9 0 0 0 0 1 1
 2 4 5 6 6
Reihenfolge zwischen pk und 5 nicht eindeutig

Ein Zahlenbeispiel
Glättung 1 (Ohne Rasch-Modellierung):
Zusammenfassung: Teilmengen gleich oft gewinnender  bzw. p,
Übergang zu relativen Anteilen gewonnener Paarvergleiche
Rel. Anteile {1} {2} {3} {4, 5} p (%)
{p1, p2} 0,5 1,00 1,00 0,75 4 (80%)
{p3, p4, p5} 0,33 0,67 1,00 0,50 3 (60%)
{p6, p7} 0,00 0,00 0,00 1,00 2 (40%)
{p8, p9} 0,00 0,00 0,00 0,50 1 (20%)
 (%) 2 (22%) 4 (44%) 5 (56%) 6 (66%)
Problem: Relative Anteile nicht zwingend monoton

Ein Zahlenbeispiel
Glättung 2 (Mit Rasch-Modellierung):
Zusammenfassung: Teilmengen gleich oft gewinnender  bzw. p,
ML-Schätzung der Rasch-Argumente ( p), y( )
Übergang zu ƒ(, y) als geschätzten relativen Anteilen
Schätzer {1} {2} {3} {4, 5} ( p)
{p1, p2} 0,57 0,78 0,85 0,90 1,54
{p3, p4, p5} 0,31 0,54 0,65 0,75 0,44
{p6, p7} 0,15 0,32 0,43 0,55 -0,47
{p8, p9} 0,06 0,14 0,21 0,30 -1,53
y( ) 1,258 0,27 -0,188 -0,67
Lösung (Rasch-Modell): ƒ(, y) = e−y
1+e−y Werte sind immer monton

Das Rasch Modell
. . . ist im Kern schlicht eine Funktion ƒ : R2 → R mit
ƒ(, y) =
e−y
1 + e−y

Das Rasch Modell
ƒ(, y) =
e−y
1 + e−y
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
ƒ(, y)

y
ƒ(, y)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1

Das Rasch Modell
ƒ(, y) =
e−y
1 + e−y
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
y
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1

Das Rasch Modell
ƒ(, y) =
e−y
1 + e−y
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
ƒ(,y)

y=-2
y=-1
y=0
y=1
y=2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
ƒ(,y)
y
x=-2
x=-1
x=0
x=1
x=2

Rasch-Modellierung: Interpretation beim Schachspiel
−1.5
−1.0
−0.5
0
0.5
1.0
1.5 {p1, p2}
{1}
{p3, p4, p5}
{2}
{p6, p7}
{3}
{4, 5}
{p8, p9}
Gewinnwahrscheinlichkeiten (Spielstärke)
(p) = y(): P(„p gewinnt gegen “ ) = 0, 5
Qualitativ:  oder p ist egal
(p) < y(): P(„p gewinnt gegen “ ) < 0, 5
Qualitativ::  ist „spielstärker“ als p
(p) > y(): P(„p gewinnt gegen “ ) > 0, 5
Qualitativ: p ist „spielstärker“ als 

Rasch-Modellierung: Interpretation beim Leistungstest
−1.5
−1.0
−0.5
0
0.5
1.0
1.5 {p1, p2}
{1}
{p3, p4, p5}
{2}
{p6, p7}
{3}
{4, 5}
{p8, p9}
Lösungswahrscheinlichkeiten (Kompetenzen?)
(p) = y(): P(„p löst Aufgabe “ ) = 0, 5
Qualitativ: Völlig offen, ob p  beherrscht oder nicht
(p) < y(): P(„p löst Aufgabe “ ) < 0, 5
Qualitativ: p „beherrscht nicht“ 
(p) > y(): P(„p löst Aufgabe “ ) > 0, 5
Qualitativ: p „beherrscht“ 

Konsequenzen der Rasch-Modellierung
Aufgaben und Personen landen auf gemeinsamer Skala

Erfüllungsnorm: Eindimensionalität
1 Fähigkeit Person: nur wie viele, nicht welche Aufgaben richtig gelöst
2 Schwierigkeit Aufgabe: nur wie viele, nicht welche Personen lösen falsch
Passt, wenn gleiche Anzahl ehedem i. W. selbe Aufgaben/Personen bedeutet

Abweichende Lösungsmuster („Pattern“) als Residuen, d. h.
• zufällige Abweichungen (Messfehler) und/oder
• nicht modellierte Mehrdimensionalität (Passungsprobleme)

Zur Itemselektion (Goldstein 2008)
Indeed, much of the ‘item analysis’ activity in the test development stage is concerned
with rejecting items that do not conform to this assumption, so creating a test structure
in terms of dimensionality that is largely self-fulﬁlling.

Gründe für eine Rasch-Modellierung
Prüfen: Landen Aufgaben und Personen auf eindimensionaler Skala?
• Sind Population und „Aufgabenuniversum“ hinreichend homogen?
(Ermessenssache)

(Ermessenssache)
• Itemselektion: Lässt sich „repräsentative“ Aufgabenauswahl ﬁnden, die
für Population hinreichend homogen? (Ermessenssache)

(Ermessenssache)
Wollen: Aufgaben und Personen sollen auf eindimensionaler Skala landen
1 Aufgabengeheimhaltung, „Anforderungsmerkmale“ typischerweise
gelöster Aufgaben beschreiben Personengruppen (Kompetenzstufen)

(Ermessenssache)
Wollen: Aufgaben und Personen sollen auf eindimensionaler Skala landen
1 Aufgabengeheimhaltung, „Anforderungsmerkmale“ typischerweise
gelöster Aufgaben beschreiben Personengruppen (Kompetenzstufen)
2 nicht alle Personen bearbeiten alle Aufgaben (Rasch-Modell auch
für unvollständige Daten möglich)
3 zu verschiedenen Testzeitpunkten können/sollen nicht genau dieselben
Aufgaben gestellt werden (siehe 2.)

Rasch-Modellierung: Multi-Matrix-Design
Einfacher Fall:
Block 1 Block 2 Block 3
Testheft 1 x x
Testheft 2 x x
Testheft 3 x x

Einfacher Fall:
Block 1 Block 2 Block 3
Testheft 1 x x
Testheft 2 x x
Testheft 3 x x
Wichtige Änderungen:
• Rasch-Werte treffen auch Aussagen zu Aufgaben-Personen-Paaren, die
nicht aufeinander getroffen sind (für alle Aufgaben/Personen)
• Testhefte dürfen unterscheidlich schwer sein (Gleiche Anzahl Lösungen
in verschiedenen Testheften = gleicher Rasch-Wert)
• Passungsprobleme (nicht modellierte Mehrdimensionalität) noch
problematischer (Verzerrung der Schätzwerte)

Realistischer Fall (TIMSS 2011):
Wichtige Änderungen:
• Rasch-Werte treffen auch Aussagen zu Aufgaben-Personen-Paaren, die
nicht aufeinander getroffen sind (für alle Aufgaben/Personen)
• Testhefte dürfen unterscheidlich schwer sein (Gleiche Anzahl Lösungen
in verschiedenen Testheften = gleicher Rasch-Wert)
• Passungsprobleme (nicht modellierte Mehrdimensionalität) noch
problematischer (Verzerrung der Schätzwerte)

Reflexion: Schrödinger’s Katze, Stichprobenunabhängigkeit & Lösungswahrscheinlichkeit
Spezifische Objektivität = Stichprobenunabhängigkeit?
Spezifische Objektivität (wikipedia 2014)
Im Rasch-Modell erfolgt eine Trennung des Einflusses der Personenfähigkeit
 vom Einfluss der Testaufgabe y. Damit wird eine Messung gemäß der
Messtheorie etabliert.
Vergleiche von Personen (bzw. Aufgaben), die von den Aufgaben (bzw.
Personen) unabhängig sind, werden möglich.
(Auch in „seriöseren“ Quellen so zu finden.)

Speziﬁsche Objektivität = Stichprobenunabhängigkeit?
Speziﬁsche Objektivität (Kubinger 1999)
Der Unterschied in den Fähigkeiten  und  zwischen je zwei Personen 
und  kann unabhängig davon bestimmt werden, welche Items des Tests
dafür herangezogen werden;
bzw. umgekehrt und wichtiger: der Vergleich je zweier Aufgaben  und j
bezüglich der Schwierigkeiten y und yj ist unabhängig davon, welche
Stichprobe dafür verwendet wird.
„Stichprobenunabhängigkeit“ meint im Idealfall
Invarianz gegenüber jeglicher Teilmengenbildung

Stichprobenunabhängigkeit = Teilmengeninvarianz
Für einen Datensatz, für den das Rasch-Modell nicht verworfen werden
kann, gilt näherungsweise
• Schätzung der „Fähigkeit“  für Personengruppe in jeder Teilmenge von
Aufgaben näherungsweise gleich
• bzw.: „Fähigkeitsreihenfolge“ der Personen in jeder Teilmenge von
Aufgaben näherungsweise gleich (ideal: kein Platztausch)

Stichprobenunabhängigkeit = Teilmengeninvarianz
Für einen Datensatz, für den das Rasch-Modell nicht verworfen werden
kann, gilt näherungsweise
• Schätzung der „Fähigkeit“  für Personengruppe in jeder Teilmenge von
Aufgaben näherungsweise gleich
• bzw.: „Fähigkeitsreihenfolge“ der Personen in jeder Teilmenge von
Aufgaben näherungsweise gleich (ideal: kein Platztausch)
• Schätzung der „Schwierigkeit“ y für Aufgaben in jeder Teilmenge von
Personen näherungsweise gleich
• bzw.: „Schwierigkeitsreihenfolge“ der Aufgaben in jeder Teilmenge von
Personen näherungsweise gleich (ideal: kein Platztausch)
→ i. W. wieder Homogenitäts-/Eindimensionalitätsanforderung

Teilmengeninvarianz = Stichprobenunabhängigkeit?
. . . is an illusion. Item parameters and subject abilities are always
estimated relative to a population, even if this fact may be
obscured by the mathematical properties of the models used.
Holland (1990)

Teilmengeninvarianz = Stichprobenunabhängigkeit?
. . . is an illusion. Item parameters and subject abilities are always
estimated relative to a population, even if this fact may be
obscured by the mathematical properties of the models used.
Holland (1990)
Epistemologische Hürde: Lösungswahrscheinlichkeit
• eine Person löst eine einzelne Aufgabe oder nicht
• eine Gruppe von Personen hat einen relativen Lösungsanteil für eine
einzelne Aufgabe
• eine Gruppe von Aufgaben hat einen relativen Lösungsanteil bei einer
einzelnen Person
• Personen/Aufgaben sind überhaupt erst gruppierbar durch gleichen
Lösungsanteil bei mehreren Aufgaben/Personen
• „Lösungswahrscheinlichkeit“ einzelner Person für einzelne Aufgabe
ohne weitere Aufgaben/Personen weder schätzbar noch interpretierbar
(→ Schrödingers Katze, Kopenhagener Deutung (?))

Lösungswahrscheinlichkeit: Interpretationen
Rasch ca. 1960 (cit. acc. to Wainer 2010)
Certain human acts can be described by a model of chance. [...] Even if we
know a person to be very capable, we cannot be sure he will solve a certain
difﬁcult problem, nor even a much easier one. There is always a possibility
that he fails.

that he fails.
Knoche & Lind 2000
Bei der Modellierung von Testsituationen kann man unterstellen, dass die
Bearbeitung einer Testaufgabe unter Zeitdruck ein Zufallsexperiment ist, in
dem der Proband und die Aufgabe zusammen ein Zufallsgerät bilden, das
die Bewertung der gezeigten Reaktionen als Ergebnis hat.

that he fails.
Knoche & Lind 2000
Bei der Modellierung von Testsituationen kann man unterstellen, dass die
Bearbeitung einer Testaufgabe unter Zeitdruck ein Zufallsexperiment ist, in
dem der Proband und die Aufgabe zusammen ein Zufallsgerät bilden, das
die Bewertung der gezeigten Reaktionen als Ergebnis hat.
Birnbaum 1968 (cit. acc. to Wainer 2010)
Item scores [...] are related to an ability  by functions that give the
probability of each possible score on an item for a randomly selected
examinee of given ability.

Kognitive Dissonanz: Subskalen-Bildung
oder: Den Kuchen essen und behalten wollen?
Gesamt
Zahlen und
Operationen
Raum und Form
Muster und
Strukturen
Größen und
Messen
Daten,
Häufigkeiten und
Wahrschein.
Bayern 519 515 538 516 509 510
Sachsen 517 511 528 506 513 513
Sachsen‐Anhalt 517 511 524 500 517 516
Baden‐Württemberg 512 510 510 506 518 511
Thüringen 502 501 504 493 503 500
Nordrhein‐Westfalen 497 505 482 508 498 501
Niedersachsen 496 495 494 497 498 498
Mecklenburg‐Vorpommern 494 489 500 482 497 494
Rheinland‐Pfalz 494 489 497 491 496 493
Saarland 492 495 470 492 509 493
Brandenburg 491 483 505 481 488 494
Schleswig‐Holstein 487 484 487 486 491 490
Hessen 484 486 476 484 491 485
Hamburg 470 474 476 481 464 475
Bremen 452 454 464 459 448 459
Berlin 451 451 459 455 448 461
Korrelation mit "Gesamt" 0,979 0,888 0,926 0,959 0,992
Datenquelle: IQB-Ländervergleich 2011

Literatur
Goldstein, H. (2008). How may we use international comparative studies to
inform education policy? http://goo.gl/rhshqi
Holland, P. W. (1990). On the sampling theory foundations of item response theory
models. Psychometrika, 55, 577–601.
Kirsch, A. (1977). Aspekte des Vereinfachens im Mathematikunterricht. Didaktik
der Mathematik, 5, 87–101.
Knoche, N. & Lind, D. (2000). Eine Analyse der Aussagen und Interpretationen
von TIMSS unter Betonung methodologischer Aspekte. Journal
für Mathematik-Didaktik, 21 (1), 3–27.
Kubinger, K. D. (1999). Replik auf Jürgen Rost: „Was ist aus dem Rasch-Modell
geworden?“ http://goo.gl/XMFffn
Rost, J. (1996). Lehrbuch Testtheorie Testkonstruktion. Bern: Hans Huber.
Schreiber, A. (1980). Idealisierungsprozesse – ihr logisches Verständnis und ihre
didaktische Funktion. Journal für Mathematik-Didaktik, 1 (1-2),
42-61.
Stanat, P. et al. (2012). Kompetenzen von Schülerinnen und Schülern am Ende
der vierten Jahrgangsstufe in den Fächern Deutsch und
Mathematik. Ergebnisse des IQB-Ländervergleichs 2011.
Münster: Waxmann.
Wainer, H. (2010). Schrödinger’s Cat and the Conception of Probability in Item
Response Theory. Chance, 23 (19), 53-56.
Zermelo, E. (1929). Die Berechnung der Turnier-Ergebnisse als ein
Maximumproblem der Wahrscheinlichkeitsrechnung.
Mathematische Zeitschrift, 29 (1), 436–460.
Folien:
http://goo.gl/y2sifb

Zermelo, Schrödinger, Rasch

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