2. Las operaciones
• Las operaciones que se pueden utilizar para construir idiomas
de otros idiomas.
• Recuerde: Un idioma es cualquier conjunto de cadenas.
• Palabra o cadena: es una secuencia de símbolos del alfabeto,
es decir, s = a1a2...an, donde ai .
• Sea un alfabeto Σ. Una palabra sobre Σ es una secuencia finita
de las letras de ese alfabeto.
• La secuencia vacía representa la palabra vacía y la anotamos
con λ.
3. Ejemplos:
• sobre Σ5 ={a,b,c,d}:
• λ, a, b, c, d, abc, aab, dcba, ...
• sobre Σ1 ={0,...,9}:
• λ, 0, 0000, 010, 9980, ...
• sobre Σ3 ={(,)}
• λ, (, ), (), (()()), )())),
4. Por lo general se utilizan las primeras letras del alfabeto, a, b, c,
d, e, para denotar símbolos del alfabeto y las últimas letras, s,
t, u, v, w, x, y, z, para denotar palabras.
•Longitud de una palabra:es el número de
símbolos en s. Se denota por |s|.
•Palabra nula o vacía :es la palabra de longitud
cero. Algunos autores utilizan para denotarla.
5. •Concatenación: si s = a1a2...an y t = b1b2...bn,
entonces
•
st = a1a2...anb1b2...bn; s2 = ss; s3 = sss. La concatenación es
asociativa, es decir, s(tu) = (st)u, pero no es conmutativa.
6. Concatenación de lenguajes
• L1L2 = {w | w = xy, x L1 y y L2}
• Para un lenguaje L:
• L0 = {}
• L1 = L
• L2 = L L
• L3 = L L L
• ...
• L* = L0 L1 L2 L3 ... (Cerradura de Kleene)
• L+ = L1 L2 L3 ... = LL*
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8. La operación ‘Kleene Star’
• La operación ‘Kleene Star’ tiene el mayor grado de precedencia,
• seguido de la concatenación y la unión.
• Por último, podemos decir que las expresiones regulares, al
• igual que las gramáticas, son una notación usada para especificar
• o definir un lenguaje
• Ejemplo: Sea S = {a,b}
1.La expresión regular (a|b) denota el lenguaje {a, b}
2.La ER (a|b)(a|b) denota el lenguaje {aa,ab,ba,bb}
3.La ER a* denota el lenguaje {, a, aa, aaa,...}
4.La ER (a|b)* denota el lenguaje de todos loas cadenas que
• contienen cero o mas instancias de una a o b, esto es,
• el conjunto de todas las cadenas de a’s y b’s.
9. Ejemplos de Cerradura de Kleene
• L = {0, 11}
• L0 = {}
• L1 = {0, 11}
• L2 = {00, 011, 110, 1111}
• L3 = {000, 0011, 0110, 01111, 1100, 11011, 11110, 111111}
• L4 = {0000, 00011, 00110, 001111, 01100, 011011, 011110,
0111111, 11000, 110011, 110110, 1101111, 111100,
1111011, 1111110, 11111111}
• L* son todas las que se pueden formar concatenando
cualquier número de veces (excepto ) palabras de L. Las
palabras pueden ser iguales o distintas.
• ¿Cuántos elementos tiene Ln}: 2n
• Independientemente del lenguaje, ¿Ln tiene siempre 2n
elementos?
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10. • Las expresiones regulares se utilizan para abreviar la
descripción de conjuntos regulares.
• El conjunto regular {a} es representado
por a.
• Las operaciones de unión, concatenación
y cerradura de Kleene son denotadas por
+, yuxtaposición y *, respectivamente.
11. Definición recursiva de una expresión
regular.
Sea S un alfabeto.
• Las expresiones regulares sobre S se definen recursivamente
de la siguiente manera:
• Base: , y a, para toda a S, son expresiones regulares
sobre S.
• Paso recursivo: Si u y v son expresiones regulares sobre S,
entonces las expresiones (u+v), (uv) y (u*) también lo son y
representan a los conjuntos {u} {v}, {u}{v} y {u}*,
respectivamente.
• Cerradura: u es una expresión regular sobre S sólo si puede
ser obtenido a partir de los elementos base mediante un
número finito de aplicaciones del paso recursivo.
12. Propiedades de cierre
• Los lenguajes regulares son cerrados con las siguientes
operaciones, de modo que si L y P son lenguajes regulares los
siguientes lenguajes también serán regulares:
• El complemento de L
• La clausura o estrella de Kleene L* de L
• El homomorfismo φ(L) de L
13. Propiedades de cierre
• La concatenación L'P de L y P
• La unión L ∪ P de L y P
• La intersección L ∩ P de L y P
• La diferencia L P de L y P
• El reverso LR de L
