Este documento presenta los conceptos y propiedades básicas de los números reales. Introduce los números naturales, enteros, racionales e irracionales y explica cómo forman juntos el conjunto de los números reales. Luego describe propiedades clave como la transitividad, conmutatividad, asociatividad y distributividad. El objetivo es que los estudiantes identifiquen y utilicen correctamente los números reales y sus propiedades fundamentales.
3. OBJETIVO
S
Sesión 01
• Objetivo 1
Identificar el concepto y
características de los números
reales, de manera correcta
• Objetivo 2
Discriminar y utilizar de manera
correcta las propiedades de los
números reales
7. NÚMEROS
Naturales
NÚMEROS
Reales
Un conjunto o “colección de objetos”.
(personas, ciudades, lapiceros o un
conjunto de objetos que hay en un momento dado sobre
una mesa) . Se dice que estos conjuntos están bien definidos
cuando se sabe si un determinado elemento pertenece o no
a ese conjunto.
Es el conjunto de números que contiene a los
números “racionales y los irracionales”. Los
números reales son los números enteros, positivos
negativos, fracciones, decimales, π, e, etc.
8. Los números enteros están estrechamente vinculados a los objetos ya que sirven para contar cosas.
Los NN son representados por números comprendidos del 1 al 9.
Nuestro Sistema Decimal considera diez dígitos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
9. Los ℕ se forman sumándoles la unidad.
El primer ℕ es el 1 (uno), luego le sigue el dos 2 (dos, 1+1), después el 3 (tres, 2+1), 4 (cuatro, 3+1), 5
(cinco, 4+1), 6, 7...
Todo número tiene dos valores:
a) Valor por sí mismo: que es siempre el mismo valor esté donde esté colocada cada cifra. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
b) Valor de posición: Es el valor que tiene cada cifra de
acuerdo al lugar que ocupa en la cantidad:
Características de los Números naturales
10. # Tabla de Posición
Unidad de millar centena decena Unidad decimo centésimo milésimo
32
17
24
8
2386
500
841
10.9
0.08
11. # Tabla de Posición
Unidad de millar centena decena Unidad decimo centésimo milésimo
32 3 2
17 1 7
24 2 4
8 8
2386 2 3 8 6
500 5 0 0
841 8 4 1
10.9 1 0 9
0.08 0 0 8
12. # Tabla de Posición
Unidad de millar centena decena Unidad decimo centésimo milésimo
8888
777
6.6
0.5
0.04
13. Infinitos (∞)
Cardinales (contar)
Ordinales (ordenar)
Exclusión cero
Con el conjunto de ℕ se pueden formar varios
subconjuntos: pares, impares, etc.
También: múltiplos de un número n,
divisores, primos, etc.
Características de los Números naturales
14. Características de los Números naturales
1) Si sus únicos divisores son 1 y p.
2) Que contiene un número exacto de veces
a otro número o cantidad.
3) Todo número que divide exactamente a p.
Si ℕ p un número natural “p”
Número entero que solamente es divisible por él mismo (positivo y
negativo) y por la unidad (positivo y negativo).
Ejm: El ℕ 2 es un número primo porque solamente es divisible por 2, -
2, 1 y -1
Los divisores de un ℕson los ℕ que lo pueden dividir, resultando de
cociente otro ℕ y de resto 0. Ser divisor es lo recíproco a ser múltiplo.
Ejm: Si 9 es múltiplo de 3, entonces 3 es divisor de 9.
Son los ℕ que resultan de multiplicar ese número por otros ℕ. Decimos
que un NN es múltiplo de otro si le contiene un número entero de veces.
a) Múltiplo
b) Divisor
c) Primo
15. NÚMEROS
Reales
Es el conjunto de números que contiene a los números “racionales y los irracionales”. Los números reales son los
números enteros, positivos negativos, fracciones, decimales, π, e, etc.
16. Clasificación de los Números
Los conjuntos numéricos se van ampliando a medida que se necesitas resolver ciertas
problemáticas de la vida diaria.
Estos conjuntos numéricos reciben un nombre de acuerdo a los números que contienen.
17. Entero Positivo (Z+) o
Números Naturales (NN)
Cero
Entero Negativo (Z-)
Enteros (Z)
Es el conjunto de números que
utilizamos para contar.
𝑍+𝑜 ℕ = {1,2,3,4 … }
𝑍− = {… , −5, −4, −3, −2, −1}
𝑍 = {… − 5, −4, −3, −2 − 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 … }
Números Enteros
Clasificación de los Números reales
19. Cocientes No Enteros
Positivos
Cocientes No Enteros
Negativos
Cocientes
No Enteros(Z)
[División No exacta]
−3
8
= −0.375
7
3
= 2. 3
Números Cocientes
Clasificación de los Números reales
20. Racional Entero
Positivo
Racional Entero
Negativo
Racionales
(r)
−5
1
= −5
6
1
= 6
Números Racionales
Es el conjunto de números que se pueden expresar de la
forma fraccional a/b donde a y b son enteros y b ≠ 0.
Cero
0
1
= 0
División
exacta
División
No exacta
7
3
= 2. 3
0
1
= 0
−3
8
= −0.375
Clasificación de los Números reales
21. Irracional
Positivo
Irracional
Negativo
Irracionales
(i)
−𝜋 = − 3.141592 …
2 = 1.4143413…
Es el conjunto de números que no se pueden expresar de la
forma fraccional a/b donde a y b son enteros y b ≠ 0.
Números Irracionales
Clasificación de los Números reales
22. Reales
(RN)
Es el conjunto de números que contiene a los racionales y los irracionales.
𝐸𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 𝑃𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜:
6
1
= 6
𝐶𝑒𝑟𝑜:
0
1
= 0
𝐸𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 𝑁𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜: −
5
1
= −5
𝐶𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜:
7
3
= 2.33
𝐶𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜: −
3
8
= −0.375
𝐼𝑟𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜: − 2 = 1.4142413 …
𝐼𝑟𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 𝜋 = 3.141592 …
Clasificación de los Números reales
24. Los NN son representados mediante puntos sobre una recta. Para ello se debe fijar la posición del Punto 0 y la
largura del Segmento Unidad, que será el segmento que llevaremos sobre la recta sucesivas veces según el
valor del número.
Es posible establecer una correspondencia entre los números cardinales y los puntos de una recta
numérica de la siguiente manera:
Se selecciona un punto arbitrario
de la recta para representar el
cero (0).
Ubicamos otro punto a la derecha
del cero para representar el uno
(1).
El segmento formado se
denomina segmento unidad
Luego dividimos toda la recta en segmentos que tengan la misma longitud que el segmento
unidad.
Recta de los Números Reales
25. En general, cualquier número que esté a la izquierda en la recta numérica de
un número cualquiera es menor (<) a éste; y de la misma manera los que se
ubican a la derecha es el mayor. (>)
Ordenamiento de ℕ
Recta de los Números Reales
27. Propiedades de los Números Reales
• Propiedad transitiva de la igualdad
• Propiedad conmutativa de la suma
y de la multiplicación
• Propiedad asociativa de la suma y
de la multiplicación
• Propiedades del inverso
• Propiedades distributivas
28. Propiedad transitiva de la igualdad
Si a = b y b = c, entonces a = c
Por tanto, dos números que sean iguales a un
tercer número son iguales entre sí. Por ejemplo, si
x=y i y=7, entoncesx=7 (𝑋 − 3)2+9(x-
3)+14=0
𝑤2
+ 9𝑤 + 14 = 0
Propiedades de los Números Reales
29. Propiedad conmutativa de la suma y de la
multiplicación
a + b = b + a y ab = ba
• Esto significa que dos números pueden sumarse o
multiplicarse en cualquier orden. Por ejemplo, 3 + 4 = 4
+ 3 y 7(-4) = (-4)(7)
Propiedades de los Números Reales
30. Propiedad asociativa de la suma y de la
multiplicación
a + (b + c) = (a + b) + c y a(bc) = (ab)c
• Esto significa que en la suma o multiplicación, los números
pueden agruparse en cualquier orden. Por ejemplo 2 + (3 + 4) =
(2 + 3) + 4; en ambos casos la suma es 9. En forma semejante,
2x + (x + y) = (2x + x) + y ;
• 6(
1
3
. 5) = (6 .
1
3
) . 5.
Propiedades de los Números Reales
31. Propiedades del inverso
(recíproco)
• Para cada número real a, existe un
único número real denotado por –
a tal que,
a + (-a) = 0
• El número -a es llamado el inverso
aditivo o negativo de a.
Propiedades de los Números Reales
32. Propiedades del inverso aditivo
(recíproco)
a + (-a) = 0
• Por ejemplo, ya que 6 + (-6) = 0, el inverso
aditivo de 6 es -6. El inverso aditivo de un
número no necesariamente es un número
negativo.
• Por ejemplo, el inverso aditivo de -6 es 6, ya
que
(-6) + (6) = 0. Esto es, el negativo de -6 es 6,
de modo que podemos escribir -(-6) = 6.
Propiedades de los Números Reales
33. Propiedades del inverso multiplicativo
• Para cada número real a, excepto el cero,
existe un único número real denotado por a−1
tal que,
a . a−1
= 1
El número a−1
se conoce como el inverso
multiplicativo de a.
Propiedades de los Números Reales
34. Propiedades del
inverso(reciproco)
a . a−1
= 1
• Por tanto, todos los números, con
excepción del cero, tienen un inverso
multiplicativo. Como se recordará, puede
escribirse como a−1 y también
1
𝑎
se llama
el recíproco de a.
• El recíproco de 0 no está definido.
Propiedades de los Números Reales
35. Propiedades distributivas
a(b + c) = ab + ac y (b + c)a =
ba+ca
La propiedad distributiva puede
ser extendida a la forma
a (b + c + d) = ab + ac + ad
Propiedades de los Números Reales
