CLASE MODELO DE GEOMETRIA

1. CURSO DE MATEMÁTICAS
CLASE MODELO
La siguiente clase tiene como finalidad que se puedan lograr dominios
conceptuales, principios y destrezas en la resolución de problemas sobre la
TEMA
“GEOMETRÍA ANALÍTICA”
DISEÑADO POR
PROFESOR: JOSÉ NGEL GONZÁLEZ C

2. línea recta. Pretendemos que se puedan fortalecer la capacidad de análisis y
comprensión del tema a través de una serie de ejercicios resueltos y
propuestos.
Esta clase está estructurada de la siguiente manera:
1.La línea recta
1.1 concepto analítico
 distancia entre dos puntos
 punto medio
 inclinación de la recta
 pendiente
1.2. Formas de la ecuación de la recta
1.3 Glosario
1.4 Problemas resueltos
1.5 Problemas propuestos
Objetivo:
 Calcular los elementos de la recta, geométricamente y analíticamente
PRESENTACIÓN
UNIDAD DE APRENDIZAJE 1
En esta unidad pretendemos que se puedas tener una
concepción amplia sobre el concepto de línea recta y así
desarrollar destrezas en la resolución de problemas sobre línea
recta.
Para ello, te invito a leer comprensivamente el contenido y las
indicaciones que se te presentan en cada fase dela clase.
Contenido

3. Como puedes observar ,ambas definiciones son correctas ,pero hasta hace poco solo habias
estudiado la definición geométrica, nuestra intención es analizar la línea recta desde el punto
de vista analítio.
Antes de comenzar nuestro estudio sobre la línea recta es necesario que repasemos algunos
conceptos conocidos.
COORDENADAS RECTANGULARES DE UN PUNTO :
Recordemos como se construye un sistema de coordenadas rectangulares: trazamos dos
rectas perpendiculares que se intersecan en el punto O, al cual se le llama origen
O
LA LÍNEA RECTA
Desde el punto de vista geométrico,
es el conjunto de puntos que se
extiende sin limiten en dos
sentidos. No comienza ni termina
........
Recíprocamente, la representación gráfica del lugar
geométrico cuya ecuación sea de primer grado en dos
variables, es una recta.
La recta horizontal, es el eje de las abscisas, o eje de
las X, la recta vertical es el eje de las ordenadas, o
eje de las Y.
Usando una misma medida se divide cada eje de
manera que los números positivos queden a la
derecha del origen, sobre el eje x, y arriba del origen
sobre el eje Y. Los números negativos quedan a la
izquierda del origen, sobre el eje de las X y abajo del
origen sobre el eje de las Y.
Y
X

4. Tomando los ejes como elementos de referencia, podemos localizar cualquier punto sobre el
plano. Un punto está formado por una pareja ordenada P(x, y ), donde el primer elemento
siempre es la abscisa y el segundo es la ordenada.
Ejemplo 1: Trazar un sistema coordenado rectangular y señalar los puntos siguientes: (4,3),
(-1,5); (-3,-2); (0,1);(6,-4); (-6, 4) ; Trazar además, el segmento de recta que une los puntos
(3,-1) con (5,6).
6
5
4
3
2
1
0
Estimado estudiante otro concepto que debes analizar muy bien es el siguiente:
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
B
A
A la abscisa y a la ordenada de un
punto se les llama coordenadas del
punto
Supongamos que tenemos
un punto A de
coordenadas(x1,y1) y un
punto B de coordenadas
(x2,y2) y queremos hallar la
distancia entre ellos dos.
Observa el esquema
Observa que se ha formado un
triángulo rectángulo
Observa que se ha formado un triángulo
rectángulo , y la distancia d, es la
hipotenusa del triángulo
Y
X

5. Analicemos el triángulo formado y determinemos sus catetos.:
O
¿Recuerdas el famoso teorema de Pitágoras?. Pues bien, podemos aplicarlo para hallar la
distancia d entre los puntos A y B
d2 = (x2 –x1)2 + (y2 – y1 )2
Esta es la fórmula para obtener la distancia entre
dos puntos
Otro concepto importante es el punto medio de un segmento:
El valor de x2 es desde el origen hasta x2, y
el valor de x1 desde el origen hasta x1, por
lo tanto para hallar el valor del cateto
horizontal debemos realizar la resta x2 –x1,
de igual manera el cateto vertical está dado
por y2 –y1
El teorema de Pitágoras nos dice que la
suma de los cuadrados de los catetos es
igual a la hipotenusa al cuadrado.
Busca la explicación anterior para que
recuerdes cuales son los catetos y cual la
hipotenusa.
Punto medio de un
segmento significa, el
punto que queda
exactamente en la
mitad del segmento
Supongamos que queremos hallar las
coordenadas del punto medio del
segmento AB. Sea M el punto medio
cuyas coordenadas son (x3 , y3 )

6. Si M es el punto medio del segmento AB,
entonces AM = MB(Observa el esquema)
entonces AC = MO
x3 – x1 = x2 – x3
x3 + x3 = x2 + x1 (agrupando x3 )
2x3 = x2 + x1
x3 =
2
xx 
Luego
CM = OB
y3 – y1 =y2 – y3
y3 +y3 = y2 + y1
2y3 = y1 + y2
y3 =
2
yy 
Como las coordenadas del punto medio M son (x3 , y3 ), reemplazamos M ( 
2
21
xx 
,
INCLINACIÓN DE UNA RECTA :
Este es otro de los conceptos interesantes de la geometría analítica.
Supongamos una recta “no paralela al eje X” y que corte a dicho eje así:
Al ángulo formado  se le llama “INCLINACIÓN DE LA RECTA”.
Ejemplo: Pase una recta por el punto (3 , 0) y cuya inclinación se 35°.
Fórmula para encontrar el punto
medio de un segmento
Observa que se forma un
ángulo  entre el eje X y la
recta, medido contrario al giro
de las manecillas del reloj,
desde el eje X positivo hasta la
recta, por lo tanto, este ángulo
está comprendido entre 0° y
180°
Si la recta fuera
paralela al eje X,
el ángulo de
inclinación sería
cero.

7. PENDIENTE DE UNA RECTA: Otro concepto importante y que está muy relacionado con
la inclinación de una recta es la PENDIENTE. Muchas veces hemos escuchado decir frases
como “la pendiente del camino” , tengo que subir una pendiente .........”, de esto es lo que se
trata .
Los conceptos anteriores son de suma importancia para poder resolver problemas de
línea recta. Por lo que te exhorto a que repases una y otra vez dichos conceptos, hasta
que los tengas claros.
Los problemas que vamos a resolver ,por lo general, consisten en hallar la ecuación de la línea
recta .
Podemos determinar completamente la ecuación de la línea recta si se conocen:
1. dos de sus puntos
2. un punto y su pendiente.
Esto quiere decir , que cuando se va a resolver un problema, se debe observar si por lo
menos se cumple una de estas condiciones.
Analicemos la definición analítica de la línea recta.
La pendiente de una
recta es la tangente
del ángulo de
inclinación y la
llamaremos “m”
la tan de un ángulo
es lado opuesto
sobre lado adyacente
Ax + By +C = 0

8. Pero esta no es la única forma en que se puede presentar la ecuación de la línea recta, hay
otras formas y que también cumplen las mismas condiciones. (ser de primer orden y con dos
variables).
Es la forma general , donde A, B Y C son
constantes y la pendiente m = -
B
A
Es la forma punto-pendiente, donde x1 ,y1
son las coordenadas del punto y m es la
pendiente de la recta.
Es la forma pendiente-ordenada en el
origen, se conoce la m y el punto (0,b).
Es la forma cartesiana: Se utiliza cuando se
conocen dos de sus puntos.
Es la forma abscisa y ordenada en el origen:
Se utiliza cuando los puntos cortan al eje x y
al eje y de la forma (a,0) y (0.b)
Otra forma en que se te puede presentar la ecuación de la línea recta es la forma
normal
Una forma responsable significa, tener los conceptos anteriores estudiados
claramente, de lo contrario no podrás conseguir el objetivo deseado.
Antes de entrar a los ejercicios resueltos, es necesario que se tengan al alcance el significado
de los siguientes conceptos.
VOCABULARIO :
Es una
ecuación lineal
o de primer
grado.
variables.
Observa que es de primer grado porque el
mayor de los exponentes es uno en sus dos
variables x y Y . A ;B Y C son constantes o
números.

9. Problemas resueltos
Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (2,-4) y cuya pendiente es
3
2
.
Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-1,4) y (-3, 5). Dibuja la gráfica.
Determina la ecuación de la recta con pendiente 3 y ordenada al origen –2. Bosqueja la
gráfica.
línea recta
ángulo
inclinación de una recta
pendiente
abscisa
ordenada
coordenadas de un punto
punto medio
distancia entre dos puntos
rectas paralela
rectas perpendiculares

10. Determina la ecuación de la recta cuyas intersecciones son (2,0) con el eje X y (0,5) con el eje
Y. Haz la gráfica.
Determina la ecuación de la recta en su forma general. Pasa por (-1,3) cuya abscisa al origen
es el doble de la ordenada al origen . Haz la gráfica.
Representa gráficamente la ecuación de la recta 3x +2y +4 = 0

11. ¿Cuál es la pendiente y un punto en la ecuación x +2y –6 = 0
Problemas Propuestos
Respetado(a) estudiante , esta es una evaluación formativa , cuando nos veamos podrás
comentarme las dificultades que tuviste y estas serán aclaradas, posteriormente
resolveremos la prueba sumativa correspondiente. Deberás estarpreparado(a) cuando
yo regrese.

12. ÁNIMO, TU PUEDES