5. Con n=k que también satisface la solución Pn(1)=1
Utilizando los resultados de la ecuación 41.16
obtenemos lo siguiente
El polinomio de legendre Pn(x) se define como la solución
polinomica de la ecuación de lengendre.
Obtención de
Polinomios
17. El coeficiente del termino general 𝑡𝑛 es la suma de los coeficientes de 𝑡𝑛 . Por lo
tanto, el coeficiente total de es
1 ∗ 3 ∗ 5 ∗∗∗ (2𝑛 − 5)(2𝑛 − 3)(2𝑛 − 1)
2𝑛−2 (2𝑛 − 3)(2𝑛 − 1)
∗
𝑛
𝑛
𝑛 − 1
𝑛 − 1 𝑛 − 2 !
∗
(𝑛 − 2)(𝑛 − 3)
2!
2𝑛−4𝑥𝑛−4
=
1 ∗ 3 ∗ 5 ∗∗∗ (2𝑛 − 1)
𝑛!
𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)(𝑛 − 3)
2 ∗ 4(2𝑛 − 1)(2𝑛 − 3)
𝑥𝑛−4
18. El ultimo termino puede ser escrito como:
(f)
1.3.5…(2𝑛−1)
𝑛!
∗ 𝑥𝑛 −
𝑛 𝑛−1
2 2𝑛−1
𝑥𝑛−2 +
𝑛 𝑛−1 𝑛−2 𝑛−3
2∗4 2𝑛−1 2𝑛−3
𝑥𝑛−4 + ⋯
Una comparación de (f), que es el coeficiente Pn(x) de 𝑡𝑛
de (41.41), con
el polinomio Pk(X) de (41.31) muestra que con k reemplazada por n, la primera
tres términos de cada uno son iguales. Si hubiéramos usado más términos de la serie del
binomio , habríamos obtenido términos adicionales en (f). Nótese también la similitud del
coeficiente en (f) con el valor de 𝑎𝑘 como se da en (41.3). De hecho, este valor se le dio a 𝑎𝑘
para mantener la identidad (41.41).
Pk(x)=
1.3.5…(2𝑘−1)
𝑘!
∗ 𝑥𝑘 −
𝑘 𝑘−1
𝑘 2𝑘−1
𝑥𝑛−2 +
𝑘 𝑘−1 𝑘−2 𝑘−3
2∗4 2𝑘−1 2𝑘−3
𝑥𝑘−4 + ⋯
19. Si x =1, el lado izquierdo de (41.41) se simplifica a, simplificando
obtenemos:
1 − 2𝑡 + 𝑡2 −1/2
= (1 − 𝑡)−1
cuya expansión en serie es
1 + 𝑡 + 𝑡2 + 𝑡3 + ⋯ + 𝑡𝑛 … , 𝑡 < 1.
Comparando coeficientes podemos observar para x=1
Po(1)=1, P1(1)=1, P2(1)=1, Pn(1)=1
25. 𝑃𝑛 𝑥 =
1
𝑛! 2𝑛
𝑑𝑛
𝑑𝑥𝑛
𝑥2
− 1 𝑛
• Prueba de la formula
La serie binomial de expansión 𝑥 − 1 𝑛 puede ser escrita como:
𝑥 − 1 𝑛
=
𝑘=0
𝑛
(−1)𝑛
𝑛!
𝑘! 𝑛 − 𝑘 !
𝑥𝑛−𝑘
𝑥2 − 1 𝑛 =
𝑘=0
𝑛
(−1)𝑛
𝑛!
𝑘! 𝑛 − 𝑘 !
(𝑥2)𝑛−𝑘
26. Tomando n sucesivas derivadas de 𝑥2𝑛−2𝑘
obtenemos para
nth derivadas
𝑑𝑛
𝑑𝑥𝑛
𝑥2𝑛−2𝑘
= 2𝑛 − 2𝑘 2𝑛 − 2𝑘 − 1 … (𝑛 − 2𝑘 + 1)𝑥𝑛−2𝑘
2𝑘 ≤ 𝑛
𝑛 < 2𝑘
Por la definición de una función factorial, podemos escribir
como:
𝑑𝑛
𝑑𝑥𝑛 𝑥2𝑛−2𝑘
=
2𝑛−2𝑘 !
𝑛−2𝑘 !
𝑥𝑛−2𝑘
, 2𝑘 ≤ 𝑛, =0,𝑛 < 2𝑘
27. 𝑑𝑛
𝑑𝑥𝑛
𝑥2
− 1 𝑛
=
𝑘=0
𝑛/2
(−1)𝑛
𝑛!
𝑘! 𝑛 − 𝑘 !
2𝑛 − 2𝑘 !
(𝑛 − 2𝑘)"
𝑥𝑛−2𝑘
𝑃𝑛 𝑥 =
𝑘=0
𝑛/2
(−1)𝑛
1
𝑛! 2𝑛
𝑛!
𝑘! 𝑛 − 𝑘 !
2𝑛 − 2𝑘 !
(𝑛 − 2𝑘)"
𝑥𝑛−2𝑘
=
𝑘=0
𝑛/2
(−1)𝑛
2𝑛 − 2𝑘 !
2𝑛𝑘! 𝑛 − 𝑘 ! 𝑛 − 2𝑘 !
𝑥𝑛−2𝑘
Una comparación de con la muestra que son similares. (intercambio n y k en
cualquiera de las ecuaciones.)
𝑃𝑘(𝑥) =
𝑛=0
𝑘/2
1
2𝑘
(−1)
𝑛
2𝑘 − 2𝑛 !
𝑛! 𝑘 − 2𝑛 ! 𝑘 − 2𝑛 !
𝑥𝑘−2𝑛
28.
29.
30.
31.
32.
33. • P0(x)=1
• P1(x)=x
• P2(x) =
1
2
(3𝑥2 − 1)
• P3(x) =
1
2
(5𝑥3 − 3x)
• P4(x) =
1
2
(35𝑥4
− 30𝑥2 + 3)
Y que queremos expresar 𝑥3como una combinacion lineal de los polinomios de
Legendre, en este caso vamos a trabajar con el P3(x)