1. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PRIMERA PARTE
FUNCIÓN CRECIENTE Y DECRECIENTE
Una función ( ) es monótona para si es creciente o decreciente en
el punto “a”, así:
( ) es creciente si al crecer (x) también crece (y).
( ) es decreciente si al crecer (x) la (y) decrece.
2. USO DE LA PRIMERA DERIVADA PARA DETERMINAR EL CRECIMIENTO
DE UNA FUNCIÓN
En general una función es creciente o decreciente en un intervalo determinado
si:
Creciente si ( )
Decreciente si ( )
Ni creciente ni decreciente si ( )
LA PRIMERA DERIVADA Y SU RELACIÓN CON LOS PUNTOS CRÍTICOS
DE UNA FUNCIÓN
Los Extremos Relativos ocurren cuando la derivada es cero o no está definida.
Tales valores de x los llamamos números críticos. Si f está definida en “a”, se
dirá que “a” es un número critico de f si ( ) o si f no está definida en “a”.
Para calcular los puntos críticos igualamos la primera derivada con cero y se
factoriza si es posible, es decir:
( )
Ejemplo 1: determinar los intervalos en que la función ( ) es:
a) Creciente b) Decreciente c) ni creciente ni decreciente
Calcular la primera derivada de la función
( )
( ) derivando
El primer paso es determinar los puntos críticos en donde la función no es ni
creciente ni decreciente.
( ) Para determinar los puntos críticos de la función.
( ) Plantear la ecuación
Organizar los términos para despejar x
Resultado
Clasificación: en x = 2 la función no es ni creciente ni decreciente.
3. Definición de los puntos críticos.
Se evalúa x=2 en la función: ( )
x=2 ( ) ( ) ( )
Único punto crítico (2,-17)
El segundo paso es plantear los intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la
derivada primera y los puntos de discontinuidad (si los hubiese).
El tercer paso es tomar un valor de cada intervalo y hallar el signo que tiene en
la derivada primera.
Si f'(x) > 0 es creciente.
Si f'(x) < 0 es decreciente.
Del intervalo ( ) tomamos
( )
( ) ( )
( )
( )
Del intervalo ( ) tomamos
( )
( ) ( )
( )
( )
4. Gráficamente sería:
Los intervalos de crecimiento y decrecimiento son:
De crecimiento: ( )
De decrecimiento: ( )
Gráfica de la función ( )
Ejemplo 2: determinar los intervalos en que la función ( ) es:
a) Creciente b) Decreciente c) ni creciente ni decreciente
Calcular la primera derivada de la función
( )
( ) derivando
El primer paso es determinar los puntos críticos en donde la función no es ni
creciente ni decreciente.
( ) Para determinar los puntos críticos de la función.
5. ( ) Plantear la ecuación
( ) Extraer las raíces
Primera raíz, no tiene sentido
Diferencia de cuadrados
( )( ) Factorizar diferencia de cuadrados
( ) ( ) Extraer las raíces
Despejar las raíces.
Clasificación: en x = 1 y x=-1, la función no es ni creciente ni decreciente.
Definición de los puntos críticos. Se evalúa la función ( )
en:
x=-1 ( ) ( ) ( )
Primer punto crítico (-1,4)
x=1 ( ) ( ) ( )
Segundo punto crítico (1,0)
El segundo paso es plantear los intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la
derivada primera y los puntos de discontinuidad (si los hubiese).
El tercer paso es tomar un valor de cada intervalo y hallar el signo que tiene en
la derivada primera.
Si f'(x) > 0 es creciente.
Si f'(x) < 0 es decreciente.
Del intervalo ( ) tomamos
( )
( ) ( )
6. ( )
( )
Del intervalo ( ) tomamos
( )
( ) ( )
( )
Del intervalo ( ) tomamos
( )
( ) ( )
( )
( )
Gráficamente sería:
Los intervalos de crecimiento y decrecimiento son:
De crecimiento: ( ) ( )
De decrecimiento: ( )
