1. Vad menas med en lösning till en ekvation?
• Ekvationen x + 2 = 5 är av första graden
med en obekant. Den har en enda lösning,
nämligen x = 3.
• Ekvationen x + y = 5 är också av första
graden men med två obekanta.
• En lösning till denna ekvation består av ett
talpar, t.ex. x = 4 och y = 1.
2. 5
4
3
2
1
7
6
0
-1
-2
-3
y
x
5 6 73 4-3-4 -2 -1 0 21
Grafisk tolkning: x + y = 5 motsvarar en linje. Varje
punkt på linjen är en lösning.
Till ekvationen
x + y = 5 <=>
y = -x + 5 kan
vi finna hur
många lösningar
som helst.
(0,5)
(2,3)
(7,-2)
Här är några
exempel:
x = 0
y = 5
x = 2
y = 3
x = 7
y = -2
3. Talpar punkter
Varje talpar (lösning) motsvaras av en punkt på
linjen som motsvaras av ekvationen.
Omvänt är koordinaterna för varje punkt på linjen
en lösning till ekvationen x + y = 5.
4. Ekvationen
x – y = 1
har också den ett
obegränsat antal
lösningar, t.ex.
5
4
3
2
1
7
6
0
-1
-2
-3
-3-4 -2 -1 0 21 3 4 5 6 7
y
x
x = 0
y = -1
x = 2
y = 1
x = 5
y = 4
(0,-1)
(2,1)
(5,4)y = x – 1
5. Ekvationssystem
• Om vi sätter ihop två ekvationer med två
obekanta får vi ett ekvationssystem.
• Vi markerar ekvationerna med en klammer.
=−
=+
1
5
yx
yx
6. Nu ritar vi de båda
linjerna
x + y = 5
och
x – y = 1
i samma koordinat
system.
5
4
3
2
1
7
6
0
-1
-2
-3
-3-4 -2 -1 0 21 3 4 5 6 7
y
x
(3,2)
y = x – 1y = - x + 5
Linjerna skär
varandra i en
punkt.
Vi läser av
koordinaterna
=
=
2
3
y
x
8. 5
4
3
2
1
7
6
0
-1
-2
-3
-3-4 -2 -1 0 21 3 4 5 6 7
y
x
y = - x + 1
y = - x + 5Linjerna är parallella.
Ingen gemensam
punkt.
Ingen lösning!
=+
=+
1
5
yx
yx
9. 5
4
3
2
1
7
6
0
-1
-2
-3
-3-4 -2 -1 0 21 3 4 5 6 7
y
x
2x + 2y = 6
y = -x +3
x + y = 3
y= - x + 3
Linjerna samman-
faller.
Obegränsat många
lösningar!
=+
=+
622
3
yx
yx
10. Ekvationssystem
Ett ekvationssystem består av två eller flera
ekvationer som tillsammans har en lösning.
Exemplet ovan består av två ekvationer med två
obekanta, x och y. Svaret består därför av ett x och ett
y-värde som uppfyller båda ekvationerna.
Systemet ovan har lösning x = 14 och y = 10
=+
=+
5832
24
yx
yx
=⋅+⋅
=+
58
58
103142
24
24
1014
Kontroll:
11. Lösningsmetoder
Additionsmetoden
Idén är att addera ihop ekvationerna för att få en enklare.
=+
=+
5842
24
yx
yx 1. Multiplicerar första ekvationen
med (-2) för att få -2x
2−⋅
=+
−=−−
5842
4822
yx
yx 2. Adderar ihop de två
ekvationerna så att x:n
försvinner, får enkel
ekvation som löses5102 =⇒= yy 3. Sätter in y = 5 i en av
ekvationerna och beräknar x.
19524
245
=−=
=+
x
x
=
=
5y
19x
:Svar
12. Lös ekvationssystemet
5x + 2y = 80 ∙ -3
11x + 3y = 155 ∙ 2
5x +2y = 80
11x + 3y =155
- 15x – 6y = -240
22x + 6y = 310
Additionsmetoden innebär att ekvationer adderas led för led. Genom
att först multiplicera en eller båda ekvationerna med lämpliga tal,
kan man åstadkomma att den ena variabeln försvinner (elimineras).
Vill vi få bort y-termerna vid addition, kan vi multiplicera den första
ekvationen med –3 och den andra med 2.
7x = 70
x =10
Insättning i den ursprungliga ekvationen
ger: 5 ∙10 + 2y = 80
2y = 30
y = 15
x = 10
y = 15
Svar: Ekvationssystemet har
lösningen
13. Substitutionsmetoden
Idén är att bryta ut x (eller y) i den ena ekvationen och
sedan sätta in det i den andra ekvationen.
=+
=+
5842
24
yx
yx yx 24−=→ 1. Väljer ”enklaste” ekvationen
och bryter ut x
584)24(2 =+−⋅ yy 2. Sätter in i den andra! Får en
ekvation med bara y:n!
5
58248
584248
=
=+
=+−
y
y
yy
3. Löser ekvationen, y = 5
1952424 =−=−= yx
4. Sätter in y = 5 i den ekvation
jag skrev om från början och
beräknar x. Har nu hela svaret!
x = 19, y =5
14. Är inte ekvationen skriven på formen y = kx + m så måste vi
börja med att skriva om innan vi kan rita upp!
Nackdel: Ger inte alltid exakta lösningar pga avläsning
Grafisk lösning
Rita upp och finn skärningspunkten som har samma x-
och y-värde för båda ekvationerna!
−=
−=
1
32
xy
xy
Här kan vi läsa av lösningen x = 2 och y = 1
15. Problemlösning med ekvationssystem
•Läs texten ordentligt.
•Inför två obekanta.
•Bilda två ekvationer, dvs ”översätt” problemet
till matematik genom att läsa texten noggrant.
•Lös ekvationssystemet.
•Skriv svar på frågan.
Kontrollera vad som frågas i texten.
16. Priset för sju semlor och åtta koppar kaffe är 20 €. För fyra semlor och sex
koppar kaffe får man betala 13 €. Anders och Ida vill ha varsin semla med
kaffe. Vad ska de betala?
1. Vad är x? Vad är y? x = priset för en semla (€)
y = priset för en kopp kaffe (€)
2. Teckna ekvationssystemet Sju semlor och åtta koppar kaffe
kostar 20 €.
Fyra semlor och sex koppar kaffe
kostar 13 €.
=+
=+
1364
2087
yx
yx
3. Lös ekvationssystemet
−⋅=+
⋅=+
81364
62087
yx
yx
Använd
Additionsmetoden.
Multiplicera ekvation A
med 6 och ekvation B
med -8 så tar y-
termerna ut varandra.
6,1
1610
=
=
x
x
Sätt in x = 1,6 i någon
av ekvationerna och lös
ut y.
−=−−
=+
1044832
1204842
x
yx
17. 4. Tolka och kontrollera svaret
Kontrollera svaret i båda ekvationerna.
=
=
1,1
6,1
y
x
Man frågar efter priset på en semla och en kopp kaffe.
En semla och en kopp kaffe kostar:
1,6 € + 1,1 € = 2,7 €
Svar : Anders och Ida ska betala 2,7 € var.
1,1y
6,66
136y4,6
1366,14
=
=
=+
=+⋅
y
y
18. Maria arbetar på en pizzeria. På lördagarna får hon 7,5 €/h och
övriga dagar 5,0 €/h. En vecka fick hon 145 € för totalt 24 h. Hur
många timmar arbetade hon på lördagen?
1. Vad är x? Vad är y? x = antal timmar på lördagen
y = antal timmar övriga dagar
2. Teckna ekvationssystemet
Hon har arbetat 24 timmar totalt.
Hon tjänar 7,5 €/h på lördagar och
5,0 €/h övriga dagar. Totalt 145 €.
=+
=+
1450,55,7
24
yx
yx
3. Lös ekvationssystemet
Sätt in y = 14 i den första ekvationerna och lös ut x.
14
2,5-
35-
y
355,2
==
−=−
y
y
=+
⋅=+
1450,55,7
-7,524
yx
yx
=+
−=−−
1450,55,7
1805,75,7
yx
yx
19. 4. Tolka och kontrollera svaret
Kontrollera svaret i båda
ekvationerna.
=
=
14
10
y
x
Man frågar efter antal
timmar på lördagen.
Hon arbetade 10 timmar på
lördagen och 14 timmar
övriga dagar.
Svar : Maria arbetade 10 timmar på lördagen .
x + 14 = 24
x = 24 – 14
x = 10
20. Exempel
Ett gäng som är på ett cafe beställer kaffe för 1,5 €/st och
Caffe Latte för 2,5 €/st. De är 10 st och får en
sammanslagen räkning på 19 €.
Hur många drack vanligt kaffe resp. Caffe Latte?
De var totalt 10 st
=+
=+
195,25,1
10
yx
yx
Vi börjar med att anta: x = antal kaffe, y = antal Caffe Latte och ställer upp:
1,5 € x antal kaffe + 2,5 € x antal Caffe Latte = 19
€
195,2)10(5,1
ger10
=+−
−=
yy
yx
4
40,1190,115
195,25,115
=
=⇔=+
=+−
y
yy
yy 64104 =−=⇒= xy
Svar: 6 st (x) drack kaffe och
4 st (y) drack Caffe Latte
Visar lösning med substitutionsmetoden
Kan också använda additionsmetoden.
