Se presenta una ecuación diferencial que es utilizada tanto la en determinación de crecimientos poblacionales, de transferencia de calor y de cálculo de interés compuesto contínuamente con la finalidad de hacer énfasis en que no deberían existir las "Dos Culturas" que menciona de C.P. Snow en su famoso ensayo.
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Isomorfismo: tres actores para un mismo personaje
1. Tres actores para un mismo personaje Un caso de Isomorfismo (Para mis alumnos de Ingeniería)
2. Actor 1: Crecimiento Poblacional Sea α la tasa de nacimientos de una población, por lo tanto el crecimiento en un tiempo, t, se expresa: 𝑃𝑡= ∝𝑃𝑡 Por otro lado, sea β la tasa de mortalidad de una población, por lo tanto, la cantidad de disminución de la población dada por ese factor es, 𝑃𝑡= 𝛽𝑃𝑡
3. La expresión para el cambio neto de una población, en el tiempo, es, por consiguiente, ∆𝑃𝑡=𝑎𝑃𝑡2−𝛽𝑃𝑡2 –(𝑎𝑃𝑡1−𝛽𝑃𝑡1) ∆𝑃𝑡=𝑎−𝛽𝑃∆𝑡 La tasa de cambio de la población con respecto al tiempo será: Δ𝑃Δ𝑡=𝛼−𝛽𝑃
4. y cuando ∆t 0, y haciendo (α-β) = k, obtenemos, 𝑑𝑃𝑑𝑡=𝑘𝑃 que es el enunciado del Crecimiento Poblacional en donde la tasa de cambio de la población con el tiempo, t, es proporcional a la cantidad de población que hay en un momento dado.
5. Actor 2: Ley de Enfriamiento de Newton “La razón de cambio de la temperatura de un objeto es proporcional a la diferencia entre su propia temperatura y la temperatura del ambiente.” Esto quiere decir, que un objeto a temperatura T1 dentro de un ambiente con temperatura A (menor que T1), alcanzará la temperatura T2 , en un ∆t, que depende de la diferencia de temperatura (T1– A).
6. Luego, la temperatura T3 se alcanzará a un ∆t que depende de (T2 - A), y así sucesivamente. Podemos escribir, entonces: 𝑇𝑛 − 𝑇𝑛−1∆𝑡=−𝑘( 𝑇𝑛−1− 𝐴), en donde k es una constante de proporcionalidad y « – » indica enfriamiento. Cuando ∆t 0, obtenemos: 𝑑𝑇𝑑𝑡=𝑘 (𝑇−𝐴)
7. Actor 3: Expresión para el interés compuesto de una manera continua Sea i la tasa de interés que paga una institución financiera por fondos K0 depositados en durante tiempo dado. Por lo tanto, luego de transcurrido período entre t2 y t1, la cantidad adicional de dinero que se tiene es: K 1– K 0= iK0∆t, o lo que es lo mismo, Δ𝐾Δ𝑡=𝑖𝐾 Siguiendo el mismo razonamiento que con el «Personaje 2», obtenemos, 𝑑𝐾𝑑𝑡=𝑖𝐾, cuando ∆t 0.
8. Hemos visto, pues, que estas tres expresiones tienen una razón de cambio que es proporcional a una cantidad anterior de sí mismas. Hemos demostrado que las tres expresiones son Isomorfas (tienen la misma forma). ¿En qué lo son? Pues en …
9. El Personaje: El Modelo Matemático … por que es el mismo para las tres ecuaciones: la tasa de cambio de la variable pertinente de cada una de ellas (P,T,K) depende de ella misma (P,T,K) en un instante (∆t) anterior.
10. Nota Adicional Para los alumnos de Ingeniería y Ciencias: Fíjense que en los razonamientos de las láminas previas no hemos utilizado número alguno, y esa es la maravilla de la abstracción matemática que permite analizar cantidades, sus relaciones y conexiones con otras sin utilizar un sólo guarismo. ¿Nos asombra entonces que un ingeniero trabaje de la mano con un administrador , un economista, un marketero o un genio de las finanzas cuando al fin y al cabo ambos “viven” de las tasas de cambio de los flujos; distintos flujos (calor, dinero, electrones, ondas electromagnéticas… y sigo) pero flujos al fin y al cabo? No debemos hacerlo. Y la razón de esto lo expresó de forma más elegante y profunda el científico y novelista británico C.P. Snow en su famoso ensayo, “Las dos Culturas”, que si bien no está libre de críticas, nos hace pensar lo útil que es “ir a caballo” entre la ciencia y el humanismoy en esto consiste una educación «redonda».Vargas Llosa comenta el ensayo en: http://www.elpais.com/articulo/opinion/culturas/elpepiopi/19921227elpepiopi_7/Tes?print=1 19 de Octubre del 2009