The slides about FOL used in PUC "Lógica para Computação" course.

1. Lógica de Primeira Ordem
Alexandre Rademaker
September 28, 2010
Alexandre Rademaker () Lógica de Primeira Ordem September 28, 2010 1 / 12

2. Linguagem
Símbolos lógicos:
“(”, “)”, →, ¬, ∧, ∨.
Variáveis
Símbolo de igualdade
Parâmetros:
Símbolos quantificadores: ∀ e ∃
Símbolos predicativos de aridade n. Exemplo: pai2.
Símbolos de constantes (aridade zero). Exemplo: z0
Símbolos de funções de aridade n. Exemplo: +2.
Alexandre Rademaker () Lógica de Primeira Ordem September 28, 2010 2 / 12

3. Exemplos
Linguagem dos conjutos:
L = ∈2
, =2
, ∅
Linguagem da teoria elementar dos números:
L = 00
, <2
, S1
, +2
, ×2
, E2
Pura predicativa:
L = An
1, Am
2 , . . . , a1, a2, . . .
Alexandre Rademaker () Lógica de Primeira Ordem September 28, 2010 3 / 12

4. Formulas
Uma expressão é qualquer sequência de símbolos.
Expressões interessantes: termos e fórmulas bem formadas
(wff).
Termos são entendidos como os nomes e pronomes da
linguagem, dão nomes à objetos.
Fórmulas atômicas não têm quantificadores nem conectivos.
Fórmulas são afirmações sobre objetos.
Alexandre Rademaker () Lógica de Primeira Ordem September 28, 2010 4 / 12

5. Formulas
Uma expressão é qualquer sequência de símbolos.
Expressões interessantes: termos e fórmulas bem formadas
(wff).
Termos são entendidos como os nomes e pronomes da
linguagem, dão nomes à objetos.
Fórmulas atômicas não têm quantificadores nem conectivos.
Fórmulas são afirmações sobre objetos.
Alexandre Rademaker () Lógica de Primeira Ordem September 28, 2010 4 / 12

6. Formulas
Uma expressão é qualquer sequência de símbolos.
Expressões interessantes: termos e fórmulas bem formadas
(wff).
Termos são entendidos como os nomes e pronomes da
linguagem, dão nomes à objetos.
Fórmulas atômicas não têm quantificadores nem conectivos.
Fórmulas são afirmações sobre objetos.
Alexandre Rademaker () Lógica de Primeira Ordem September 28, 2010 4 / 12

7. Formulas
Uma expressão é qualquer sequência de símbolos.
Expressões interessantes: termos e fórmulas bem formadas
(wff).
Termos são entendidos como os nomes e pronomes da
linguagem, dão nomes à objetos.
Fórmulas atômicas não têm quantificadores nem conectivos.
Fórmulas são afirmações sobre objetos.
Alexandre Rademaker () Lógica de Primeira Ordem September 28, 2010 4 / 12

8. Formulas
Uma expressão é qualquer sequência de símbolos.
Expressões interessantes: termos e fórmulas bem formadas
(wff).
Termos são entendidos como os nomes e pronomes da
linguagem, dão nomes à objetos.
Fórmulas atômicas não têm quantificadores nem conectivos.
Fórmulas são afirmações sobre objetos.
Alexandre Rademaker () Lógica de Primeira Ordem September 28, 2010 4 / 12

9. Termos
Podem ser construídos a partir de constantes e variáveis sob os
quais são aplicados um ou mais símbolos funcionais.
+(v1, S(0))
S(S(S(0)))
+(E(v1, S(S(0))), E(v2, S(S(0))))
Alexandre Rademaker () Lógica de Primeira Ordem September 28, 2010 5 / 12

10. Fórmulas
Fórmulas atômicas tem função similar aos símbolos sentênciais na
Lógica Proposicional. Tem a forma:
P(t1, . . . , tn)
onde P é um símbolo predicativo de aridade n e t1, . . . , tn são termos.
Por exemplo, v1 = v2 (ou = (v1, v2)) são fórmulas. Ou ainda, ∈ (v5, v3)
na linguagem dos conjuntos.
Se α e β são fórmulas atômicas, então são WFF: α ∧ β, α ∨ β, ¬α,
α → β, ∀viα e ∃viα.
Não é WFF: ¬v3 ou v1 → v2
É WFF: ∀v1((¬∀v3(¬(v3 ∈ v1))) → (v1 ∈ v4))
Alexandre Rademaker () Lógica de Primeira Ordem September 28, 2010 6 / 12

11. Variáveis
∀v2(v2 ∈ v1) ∃v1∀v2v2 ∈ v1
A segunda, formaliza a frase “existe um conjunto que todo conjunto é
membro dele”. A primeira, “todo conjunto é membro de . . .”.
Seja x uma variável, dizemos que x é livre em α se:
Se α é atômica, x é livre em α se x é um símbolo em α.
x é livre em ¬α se é livre em α.
x é livre em α → β se é livre em α e livre em β.
x é livre em ∀viα se é livre em α e x = vi.
Sentenças? Fórmulas sem variáveis livres!
Alexandre Rademaker () Lógica de Primeira Ordem September 28, 2010 7 / 12

12. Estruturas
Nos dizem:
A qual coleção de coisas os quantificadores ∀ e ∃ referem-se.
O que os símbolos de predicados e funções denotam.
Formalmente, uma estrutura A para uma linguagem FOL associa:
Ao quantificador ∀ um conjunto não vazio |A| denominado
universo ou domínio.
A cada símbolo predicativo P de aridade n, uma relação de
aridade n, PA ⊆ |A|n.
A cada símbolo funcional f de aridade n, uma função
fA : |A|n → |A|.
A cada símbolo constante c, um membro cA ∈ |A|.
Alexandre Rademaker () Lógica de Primeira Ordem September 28, 2010 8 / 12

13. Estruturas
Seja a linguagem dos conjuntos L = ∈ . Podemos considerar a estru-
tura A que:
|A| = o conjunto dos números naturais.
∈A= o conjunto dos pares (m, n) tal que m < n.
Como a estrutura A nos permite interpretar (ler) a sentença:
∃x∀y¬(y ∈ x)
Alexandre Rademaker () Lógica de Primeira Ordem September 28, 2010 9 / 12

14. Estruturas
Seja a linguagem L = E2 e o parâmetro ∀. Considere a estrutura
finita B com universo |B| = {a, b, c, d}. Suponha a relação binária
EB
= {(a, b), (b, a), (b, c), (c, c)}
que pode ser desejada como um grafo
a b c d
A sentença ∃x∀y¬yEx na estrutura B pode ser interpretada como? É
verdadeira?
Alexandre Rademaker () Lógica de Primeira Ordem September 28, 2010 9 / 12

15. Semântica
Se σ é uma sentença. Como dizer que “σ é verdade em A”? Sem a
necessidade de traduzir σ para português?
|=A σ
Para uma WFF qualquer, precisamos de:
s : V → |A|
Para então, informalmente definir “A satisfaz σ com s” representado
por:
|=A σ[s]
se e somente se da tradução de σ determinada por A, onde a variável
x é traduzida por s(x) se x é livre, é verdade.
Alexandre Rademaker () Lógica de Primeira Ordem September 28, 2010 10 / 12

16. Semântica
Formalmente, precisamos definir a interpretação de termos e fórmulas
por uma estrutura...
Alexandre Rademaker () Lógica de Primeira Ordem September 28, 2010 10 / 12

17. Interpretação de termos
Definimos a função:
s : T → |A|
que mapea termos para elementos do universo de A. Como:
1 Para cada variável x, s(x) = s(x).
2 Para cada constante c, s(c) = cA.
3 Se t1, . . . , tn são termos e f é uma fução, então
s(f(t1, . . . , tn)) = fA
(s(t1), . . . , s(tn))
s depende de A e s. Notação alternativa para s(t) poderia ser tA[s].
Alexandre Rademaker () Lógica de Primeira Ordem September 28, 2010 11 / 12

18. Interpretação de fórmulas
Fórmulas atômicas. Definimos explicitamente, dois casos:
1 Igualdade onde = significa =, não é um parâmetro aberto à
interpretações.
|=A t1 = t2 [s] sse s(t1) = s(t2)
2 Para um predicado n-ário P:
|=A P(t1, . . . , tn) [s] sse s(t1), . . . , s(tn) ∈ PA
Alexandre Rademaker () Lógica de Primeira Ordem September 28, 2010 12 / 12

19. Interpretação de fórmulas
Outras WFF. Definimos recursivamente:
1 |=A ¬φ [s] sse |=A φ [s]
2 |=A φ → ψ [s] sse ou |=A φ [s] ou |=A ψ [s] ou ambos.
3 |=A φ ∧ ψ [s] sse |=A φ [s] e |=A ψ [s].
4 |=A φ ∨ ψ [s] sse |=A φ [s] ou |=A ψ [s].
5 |=A ∀xψ [s] sse para todo d ∈ |A|, temos |=A ψ [s(x|d)].
Onde s(x|d) é a função s com uma diferença, para a variável x, ela
retorna d.
s(x|d)(y) =
s(y) se y = x
d se y = x
Alexandre Rademaker () Lógica de Primeira Ordem September 28, 2010 12 / 12