Material didáctico diseñado para desarrollar aprensizajes respecto a los números enteros, originalmente fue diseñado para el primero de secundaria, pero por su simplicidad y presentación puede ser usado en el nivel primario.

1. Bienvenidos a la Unidad III de Números Enteros
Nuestro Tema transversal es Identidad Cultural
AUTOR: EUGENIO MARLON EVARISTO BORJA
Huánuco - Perú

2. DIVERSIFICACIÓN
Aprendizajes esperados
Razonamiento y Demostración
•Compara, ordena y representa números enteros
•Estima el resultado de operaciones con números enteros.
•Interpreta criterios de divisibilidad de los números enteros.
•Realiza y verifica operaciones utilizando la calculadora, para reflexionar sobre conceptos y para descubrir propiedades de las operaciones con los números enteros.
Comunicación Matemática
•Interpreta el significado de números naturales, enteros y racionales en diversas situaciones y contextos.
•Matematiza situaciones de contexto real, utilizando los números naturales, enteros o racionales y sus propiedades.
Resolución de problemas
•Resuelve problemas que implican cálculos en expresiones numéricas con números naturales, enteros o racionales y Ecuaciones lineales con una incógnita.
•Calcula el valor numérico de expresiones algebraicas.
•Resuelve problemas de traducción simple y compleja de proporcionalidad directa e inversa.
Contenidos
Sistemas numéricos
•Representación, orden y operaciones con números enteros.
Álgebra
•Ecuaciones lineales con una incógnita.
•Valor numérico de expresiones algebraicas.
Funciones
•Proporcionalidad directa e inversa.

3. NÚMEROS ENTEROS ℤ
Existen casos en los que se necesita utilizar números menores que cero.
El conjunto de los Números Enteros se representan por
ℤ = {…, -4, -3, -2, -1, 0, +1; +2; +3; +4; …}
Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
El “0” no es ni positivo ni negativo.
Los números que tienen signo negativo se denominan ℤ-.
Los números que tienen signo positivo se denominan ℤ+.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
…
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
-11
-12
-13
…
ℤ
…,-5, -4, -2, -1
ℕ
0, 1, 2, 3, …

4. >
NÚMEROS ENTEROS ℤ
1. Comparación de números Enteros.
-5
6
7
8
7
9
7
Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
+5
6
7
8
+5
6
7
-5
6
7
9
-7
9
7
Para los Z+ se respeta las mismas reglas que en los N, pero todos los negativos son menores que cero.
8 u < 9u
7 d = 7d
6 c = 6c
5 UM = 5 UM
>
4 cifras
3 cifras
<
Cuanto más alto sea el número negativo, menor será su valor por alejarse del 0
-5
6
7
8
5
6
7
<

5. NÚMEROS ENTEROS ℤ
Para ordenar ℤ los colocamos de menor a mayor (<) o de mayor a menor (>).
Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
2. Ordenar los números Enteros.
•Dado los siguientes números:
•-123; 345; -4562; 456
•De menor a mayor(Ascendente):
•-4562<-123 < 345 < 456
•456 > 345 >-123>-4562
•De mayor a menor (Descendente):
El signo > significa “mayor que”
El signo < significa “menor que”

6. NÚMEROS ENTEROS ℤ
El Valor absoluto es la medición de la distancia en la recta numérica del Z a cero.
Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
3. Valor Absoluto de un Número Entero.
•Dado los siguientes números:
•-123; 345; -4562; 456
•Cal cular el valor absoluto
•|-123|=123
• |345|=345
•|-4562|=4562
• |+456|=456
Para calcular el valor absoluto se utiliza |-a|=a y |+a|=a.
Para representar un Z+ no es necesario ponerle el signo:
+5=5

7. NÚMEROS ENTEROS ℤ
¿Cuál es el opuesto de un número entero?
Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
4. Opuesto de un Número Entero
•Dado los siguientes números:
•-12; +34; -456; +56
•Cal cular el opuesto
•Op(-12)=+12
•Op(+34)=-34
•Op(-456)=+456
•Op(+56)=-56
El opuesto de un número entero es el mismo número con signo opuesto o cambiado.
Es decir:
op(+5) = -5 y
op(-7)=+7
El 0 es el único que no tiene opuesto

8. OPERACIONES CON ℤ
Cuando se suman números de signos diferentes, se realiza una resta del mayor con el menor, ignorando el signo, y se coloca el signo del mayor
Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
1. Adición de ℤ.
•(+30) + (+56) = +86
•(-34) + (-20) = -54
Propiedades
Expresión simbólica
Ejemplo
Clausura
∀ a, b ∈ ℤ, a +b ∈ ℤ
4 + 3 = 7 ℤ
Conmutativa
∀ a, b ∈ ℤ, a + b = b + a
4 + 3 = 3 + 4
Asociativa
∀ a, b ∈ ℤ, (a +b) + c = a + (b + c)
(4 + 3) + 2 = 4 + (3 +2)
Elemento Neutro
∀ a ∈ ℤ, a + 0 = a
4 + 0 = 4
•(+30) + (-56) = -26
•(-34) + (+20) = -14
La Adición de ℤ cumple las siguientes propiedades:
Cuando se suma dos números del mismo signo, se respeta la operación.

9. OPERACIONES CON ℤ
Cuando se restan dos números de signos diferentes, se realiza la suma del primer número con el opuesto del segundo.
Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
2. Sustracción de ℤ.
•(+90) - (+56) = +46
•(-34) - (-20) = -14
•(+30) - (-56) =
(+30) + (+56) = +86
•(-34) - (+20) =
(-34) + (-20) = -54
Cuando se restan dos números del mismo signo, la operación se respeta
No se olvide que en una sustracción de números del mismo signo, si el minuendo es menor que el sustraendo entonces el resultado es del signo opuesto.
•(+20) - (+56) = -36
•(-14) - (-20) = +6

10. OPERACIONES CON ℤ
El producto de dos ℤs de diferente signo es negativo.
Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
3. Multiplicación de ℤ.
Las propiedades aplicadas en los números naturales se aplican en los ℤs .
x
+
-
+
+
-
-
-
+
•-30 x -10 = +300
•+12 x +12 = +144
•-30 x +10 = -300
•+12 x -12 = -144
Para la multiplicación de ℤs podemos usar la siguiente tabla de la ley de los signos .
La Multiplicación de ℤs del mismo signo es positiva.

11. OPERACIONES CON ℤ
El cociente de dos ℤs de diferente signo es negativo.
Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
4. División de ℤ.
Al igual que en la división de ℕs existe división Exacta e Inexacta
÷
+
-
+
+
-
-
-
+
•-30 ÷ -10 = +3
•+12 ÷ +12 = 1
•-30 ÷ +10 = -3
•+12 ÷ -12 = -1
Para la División de ℤs podemos usar la siguiente tabla de la ley de los signos .
La División de ℤs del mismo signo es positiva.

12. OPERACIONES CON ℤ
Existen algunas reglas que se pueden aplicar a los números enteros.
Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
5. Potenciación de ℤ.
43 = 64
Base
Exponente
Potencia
Regla
Ejemplo
Cuando la base es positiva no importa el exponente el resultado es positivo.
+32=+9
+33=+27
Cuando la base es negativa y el exponente es par el resultado es positivo.
-33=-27
-35=-243
Cuando la base es negativa y el exponente es impar el resultado es negativo.
-32=+9
-34=+81
La potencia de ℤ solo puede dar como resultado un ℤ si cumple con lo siguiente a Єℤ y b Єℤ+
La Potenciación de ℤ cumple las mismas propiedades que los ℕ

13. PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN
5.A. Exponente cero
5.B. Exponente uno
Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
Todo ℤ elevado a la 0 es 1.
a0=1 -40 = 1 1500 = 1
Todo ℤ elevado a la 1 es el mismo ℤ.
a1=a
41 = 4
-1501 = -150

14. PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN
5.C. Potencia de un producto
5.D. Producto de Potencias de igual base
Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
La potencia de un producto es igual al producto de sus potencias
(a x b)n=an x bn
(4 x5)2 =42 x52
(10x6)3 =103 x63
El producto de dos potencias con bases iguales es igual a la misma base elevada a la suma de sus exponentes.
am x an=am+n 4 2x43 =42+3 103x105 =103+5

15. PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN
5.E. Potencia de un cociente
5.F. Cociente de Potencias de igual base
Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
La potencia de un cociente es igual al cociente de sus potencias
(a ÷ b)n=an ÷ bn (4 ÷ 5)2 =42 ÷ 52 (10 ÷ 6)3 =103 ÷ 63
El cociente de dos potencias con bases iguales es igual a la misma base elevada a la resta de sus exponentes.
am ÷ an=am-n
4 2 ÷ 43 =42-3
105 ÷ 104 =105-4

16. PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN
5.G. Potencia de Potencia
Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
La potencia de una potencia es igual a la misma base y a la multiplicación de los exponentes
(am )n=am.n
(42)3 =42.3 = 46
(104)2 =104.2 = 108
Puedes probar estas propiedades haciendo uso de tu calculadora.

17. OPERACIONES CON ℤ
Existen algunos casos especiales al realizar el cálculo de la raíz de ℤ
Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
6. Radicación de ℤ.
La Radicación de ℤ cumple las mismas propiedades que ℕ
Índice de la raíz
Signo radical
Cantidad subradical
Radicación
Caso
Solución
Ejemplo
Raíz de un ℤ+ e índice par
Resultado Negativo y Positivo
Raíz de un ℤ+ e índice impar
Resultado Positivo
Raíz de un ℤ- e índice par
No existe
Raíz de un ℤ- e índice impar
Proceso normal
Resultado neg.

18. PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN
6.A. Producto de raíces de igual índice.
6.B. Cociente de raíces de igual índice
Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
El producto de dos raíces de igual índice es igual a la raíz del producto de los subradicales.
El cociente de dos raíces de igual índice es igual a la raíz del cociente.

19. PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN
6.C. Raíz de una potencia
6.D. Raíz de raíz
Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
La raíz de una potencia es igual a la división del exponente con el índice
La raíz de raíz es igual al producto de sus índices.

20. Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
Una ecuación es una igualdad que contiene una o más incógnitas, en este caso solo trabajaremos con ecuaciones de una incógnita.
En una ecuación encontraremos como solución un único valor.
7. Ecuaciones
OPERACIONES CON ℤ
•Si tenemos x + 5 = (-6)
•Procedemos realizar las operaciones:
•x + (+5) - (+5) = (-6) - (+5)
Se ejecuta una operación opuesta al que afecta a la incógnita
•x+5 +(+5)=(-6)-(+5)
•Operamos
•x=(-11)

21. Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
Una inecuación es una desigualdad que contiene una o más incógnitas, en este caso solo trabajaremos con inecuaciones de una incógnita.
8. Inecuaciones
OPERACIONES CON ℤ
•Si tenemos x + (-10 )> 12 + 15
•Procedemos realizar las operaciones:
•x + (-10) > 27
Se ejecuta una operación opuesta al que afecta a la incógnita
•x+(-10) –(-10) > 27-(-10)
Operamos
•x >(+37)
•x={37, 38, 39, …}
En una inecuación encontraremos como solución más de un valor.

22. No se olviden practicar lo aprendido.
Ama a tu patria, estudia para que seas un mejor peruano.
La grandeza de un país yace en cada uno de sus habitantes.
¡Viva el Perú!
¡Viva Huánuco!
Fin de los Números Enteros