1. 1
Batlaw: BUT-iïn ärxlägq,däslägq.................... W.Bat-Ärdänä
X¶nasan: Professor .................... B.Dolgorsürän
Lekc 5
Xiqääliïn sädäw: Xawtgaï bolon ogtorguïn täg² öncögt
koordinatyn sistem, tuïlyn koordinatyn sistem,
tädgääriïn x¶lbar bodloguud
1. Xawtgaï däärx täg² öncögt koordinatyn sistem
Xawtgaï däär 0 cäg awq tüüniïg daïruulan xarilcan perpendikul¶r xoër
toon tänxläg baïguulaad nägiïg n´ absciss buµu Ox nögöög n´ ordinat
buµu Ou tänxläg gäj tus tus närläwäl ug xawtgaï täg² öncögt koordi-
natyn sistemtäï bolno. 0 cägiïg koordinatyn äx, toon tänxlägüüdiïn
nägjüüdiïg koordinatyn nägjüüd gäj tus tus närlänä. Ox-tänxlägiïg
xäwtää, Ou-tänxlägiïg bosoo tänxläg gäj närlänä. Koordinatyn tänxlägüüdäär
xuwaagdsan xawtgaïn xäsäg büriïg möq gäj närlän
Zurag1
y
M2 M(x,y)
II I
-1 1
O x
M1
-1 1 2
III IV
-2
Zurag 1 däärx baïdlaar dugaarladag. Koordinatyn sistemtäï xawt-
gaïn cäg näg bürd todorxoï ärämbätäï xos too onooj bolox ba todor-
xoï ärämbätäï xos too bürd xawtgaïn näg cäg onooj bolno. Tuxaïlbal
M cägiïg daïruulan tänxlägüüdtäï parallel´ ²uluun tataxad absciss
tänxläg däär x koordinattaï M1 cäg ordinat tänxläg däär u koordi-
nattaï M2 cäg üüsq M cägt (x,y) xos too xargalzana. x toog M cägiïn
absciss u toog M cägiïn ordinat gäx ba xamtad n´ M cägiïn koordinat
gänä. M cäg (x,y) koordinattaï gäxiïg M(x,y) gäj towqilno.

2. 2
I II III IV
x + - - + cägiïn koordinatyn tämdäg I, II, III, IV möqid baïxyg
y + + - -
üzüüläw.
Xawtgaïd koordinatyn sistem togtoosnoor xawtgaïn cäg näg büriïg bodit
xos too mät, todorxoï ärämbätäï bodit toon xos büriïg xawtgaïn cäg
mät sätgäx bolomj näägdänä. Ingäsnäär geometriïn aliw dürsiïg alge-
bryn tom³ëogoor ilärxiïläx ba x, y xuw´sagqtaï algebryn täg²itgäl
(täncätgäl bi²) büriïg xawtgaï dax´ dürs bolgon sudlax suur´ tawig-
dana.
2. Xawtgaïn geometriïn ündsän x¶lbar bodloguud
1. Xoër cägiïn xoorondox zaï: A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ) cägüüdiïn xooron-
dox zaï d-g ädgääriïn koordinataar ilärxiïl.
y B(x2 , y2 )
A(x1 , y1 ) y2 − y1
x2 − x1
O x
Zurag 2
A, B cägüüdääs Ox tänxlägt perpendikul¶ruud tataad A cägiïg daïruu-
lan abscisstäï parallel´ ²uluun tataxad ABC täg² öncögt gurwaljin
2 2 2 2
üüsäx uqir d = |AB| = |BC| + |AC| .
Gätäl |AC| = |x2 − x1 |, |BC| = |y2 − y1 | tul d2 = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2
d= (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 (1)
Zaïn utga ¶magt äeräg baïx arifmetikiïn ¶zguuryg awna. Iïnxüü xawt-
gaïn xoër cägiïn xoorondox zaï n´ tädgääriïn ijil närtäï koordinatu-
udyg ¶lgawryn kµadratuudyn niïlbärääs kwadrat ¶zguur gargasantaï
täncänä. Xäräw A cäg koordinatyn äxtäï dawxcaj baïwal d n´ W cägääs
koordinatyn äx xürtläx zaï bolno. d = x2 + y 2 .
Ji²ää n´: A(2;-6), B(-1,-2) cägüüdiïn xoorondox zaïg ol.
√
d = (−1 − 2)2 + (−2 − (−6))2 = 9 + 16 = 5.
2. Xärqmiïg ögsön xar´caagaar xuwaax. A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ) cägüüd
ba λ = −1 gäsän bodit too ögqää. AW xärqmiïg λ xar´caagaar xuwaagq
M (x, y) cägiïg ol.

3. 3
y
B
M
A
x2
x1 x
0 A1 M1 B1 x
Zurag 3
M cägiïg AW xärqim däär olson µm gäj sanaad M, A, W cägüüdiïg
daïruulan ordinat tänxlägtäï parallel´ ²uluunuud tatwaas parallel´
proekciïn qanar ësoor λ =
AM
MB
= M1 M1 gätäl A1 M1 = x − x1 , M1 B1 =
A
1 B1
x−x1
x2 − x tul λ = x2 −x üünääs x = 1+λ , x1 +λx2
y = y11+λ 2 baïna. Iïnxüü
+λy
A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ) 2 cägäär todorxoïlogdox AW xärqmiïg λ xar´caagaar
xuwaagq cägiïn koordinat n´
x1 + λx2 y1 + λy2
x= , y= (2)
1+λ 1+λ
tom³ëogoor todorxoïlogdow.
Mördlögöö: Xäräw M cäg AW xärqmiïn dundaj axul λ =
AM
MB
= 1 bolj
x1 +x2 y1 +y2
x = 2 , y = 2 . Ö.x xärqmiïn dundaj cägiïn koordinat n´
tüüniï 2 tögsgöliïn xargalzax koordinatuudyn arifmetikiïn dunda-
jtaï täncüü baïna.
Ji²ää n´: A(0,0); B(4,-3), C(12,5) cägüüdäd oroïtoï gurwaljny A
oroïn dotood öncgiïn bissektris WS taltaï ogtlolcox cägiïg ol. Olox
gäj baïgaa cägääD gäj tämdägläwäl gurwaljny dotood öncgiïn bissek-
AC
trisiïn qanar ësoor
CD
= BD = λ = 13 bolj x = 6 2 ; y = − 7 .
3. Gurwaljny talbaï olox: A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ), C(x3 , y3 ) gäsän
AB 5 9 9
näg ²uluun däär bi² gurwan cäg ögqää. AWS gurwaljny talbaï gurwan
oroïnx n´ koordinataar ilärxiïl.

4. 4
C
b B
y3 ϕ
y2 A c
Zurag 3
y1
x1
x2
x3
Gurwaljny xoër talyg |AB| = c |AC| = b gääd xoorondox öncgiïg
n´ ϕ gäj tämdägläwäl trigonometrt gurwaljny talbaï oldog tom³ëo
1
ësoor S = 2 bc sin ϕ bolox ba ϕ = β − α (üünd α, β n´ [AB), [AC) xoër tal
1 1
Ox tänxlägtäï üüsgäsän öncög) tul S = bc sin(β − α) = bc(sin β cos α −
2 2
cos β sin α). Zurag 3-aas
c · cos α = x2 − x1 · c · sin α = y2 − y1
b·cos β = x3 −x1 ·b·sin β = y3 −y1 tul S = 1 ((x2 −x1 )(y3 −y1 )−(x3 −x1 )(y2 −
2
y1 )). Gurwaljny talbaïg änä tom³ëogoor bodoxod oroïnuud n´ cagiïn
züüniï xödölgööniï daguu toïroltoor dugaarlagdsan toxioldold sörög
utgataï garax uqir uul tom³ëog golduu
1
S = ± ((x2 − x1 )(y3 − y1 ) − (x3 − x1 )(y2 − y1 )) (3)
2
gäj biqdäg bögööd bodlogo bodoxod talbaïn utga äeräg baïxaar ömnöx
tämdgiïg n´ toxiruulj xäräglänä.
Mördlög: Xäräw A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ), C(x3 , y3 ) gurwan cäg näg ²uluun
däär or²wol AWS gurwaljny talbaï S = 0 baïx tul (x2 − x1 )(y3 − y1 ) −
(x3 − x1 )(y2 − y1 ) = 0 bolj gurwan cäg näg ²uluun däär or²ix nöxcöl
todorxoïlogdono.
Ji²ää n´: A(-2,0), B(0,-1), C(2,0), D(3,2), E(-1,3) gäj ögsnöör ABCDE
tawan öncögtiïn talbaïg ol. AWSDE tawan öncögtiïg ADE, ACD, ABC
gäsän gurwan gurwaljin bolgood tus bürd talbaïgiï nt (3) tom³ëogoor
olbol

5. 5
1
S ADE = 2 [(3 + 2)(3 − 0) − (−1 + 2)(2 − 0)] = 6.5 (kw.nägj)
S ACD = 4, S ABC = 2. Iïmd SABCDE = 6.5 + 4 + 2 = 12.5 (kw.nägj).
Tuïlyn koordinat
Dekartyn koordinatyn argataï tanilclaa. Odoo tuïlyn koordinatyn
argataï tanidc³¶. Xawtgaïd näg cäg awq tuïl gäj närlääd tüünääsää
näg cacrag tataad tuïlyn tänxläg gäj närläe. Cacrag däär xämjix
nägj oruulbal xawtgaïd näg züïliïn koordinat togtox bögööd tüüniïg
tuïlyn koordinat gänä. Xawtgaïn aliwaa M cägiïg tuïltaï xolboxod
üüsäx OM xärqmiïn urtyg M cägiïn nägdügäär koordinat tuïlyn ra-
dius buµu modul´ gäj närlänä. Moduliïg ρ üsgäär tämdägläwäl änä
n´ ¶magt 0 ≤ ρ∞ baïna. Tuïlyn radius, tuïlyn tänxlägtäï üüsgäsän
∠xOM = ϕ öncgiïn xämjääg M cägiïn xoërdugaar koordinat gäj när-
länä. ϕ argumentyn utgyg Ox tänxlägääs cagiïn züüniï xödölgööniï
äsräg toolbol äeräg baïx ba daguu toolbol sörög baïna. (ρ, ϕ) gäsän xos
toog M cägiïn tuïlyn koordinatuud gänä.
Zurag 4
M
ρ
ϕ
0
M cäg (ρ, ϕ) gäsän koordinattaï gäxiïg M (ρ, ϕ) gäj towqilno. Cägiïn
täg² öncögt ba tuïlyn koordinatyn xolboo
y Zurag 5
ρ
y
ϕ
0 x x
Zurag 5 däär üzüülsän ²ig 0 cägt koordinatyn äx, tuïl 2 dawxcaad bas
absciss tänxlägtäï, tuïlyn tänxläg dawxcaj baïwaas sin ϕ = y , cos =
ρ
x
ρ
. Ändääs M cägiïfn (x,u) koordinatyg (ρ, ϕ) koordinataar ilärxiïl-
bäl
x = ρ cos ϕ
(4)
y = ρ sin ϕ

6. 6
bolox ba xäräw (ρ, ϕ) koordinatyg (x,y)-äär ilärxiïlbäl
x y
ρ= x2 + y 2 ; cos ϕ = ; sin ϕ = (5)
x2 + y 2 x2 + y 2
y
M cäg Ou däär äs or²woos tan ϕ = x
baïna.
√
Ji²ää n´: 1. M ( 2, 3π ) cägiïn dekartyn koordinatyg ol.
√ √ 4 √ √
x = 2 cos 3π = − 2 · √2 = −1; y = 2 sin 3π = 2 · √2 = 1 bolj M(-1;1)
4
1
4
1
bolno.
2. M(3,-3) cägiïn tuïlyn koordinatyg ol.
√
ρ = (3)2 + (−3)2 = 3 2; tgϕ = −3 = −1; ϕ1 = 3π ; ϕ2 = − π . M cäg
3 4 √ 4
IV möqid ögögdsön tul argument n´ ϕ2 = − π w. Iïmd M (3 2, − π ).
4 4
4. Ogtorguï dax´ täg² öncögt koordinatyn sistem
Xarilcan perpendikul¶r 3 xawtgaï (Oxy, Oxz, Oyz) awq tädgääriïn ogt-
lolclyn gurwan ²uluunyg Ox, Oy, Oz gäsän toon tänxläg bolgood ab-
sciss , ordinat, aplikat tänxläg gäj xargalzuulan närläwäl ogtorguïd
täg² öncögt koordinat togtono.
z
Mz
0 My
y
Mx
x
0 cägiïg koordinatyn äx gäx ba Ox, Ou, Oz tänxlägüüd däärx gurwan
nägjiïg koordinatyn nägjüüd gänä. Koordinattaï ogtorguïn aliwaa
cägt todorxoï ärämbätäï bodit toon gurawt xargalzana. M cäg x, u, z3
koordinattaï gäxiïg towqoor M(x,y,z) gäj biqnä. Todorxoï ärämbätäï
bodit toon gurawt büxänd näg cäg xargalzana. Koordinatyn gurwan
xawtgaï n´ ogtorguïg 8 möq bolgono. Durdsan 8 möqid aliwaa cägiïn
(x,y,z) koordinatyn tämdäg xärxän xargalzaxyg üzüülbäl
I II III IV V VI VII VIII
x + - - + + - - +
y + + - - + + - -
z + + + + - - - -

7. 7
5. Ogtorguïn geometriïn ündsän x¶lbar bodloguud
1. Xoër cägiïn xoorondox zaï olox: M1 (x1 , y1 , z1 ), M2 (x2 , y2 , z2 ) 2 cägiïn
xoorondox d zaïg ädgäär cägiïn koordinataar ilärxiïl.
z
M2
M1
B
A
0
y
x
M1 , M2 cägüüdiïg daïruulan koordinatyn xawtgaïnuudtaï parallel´
xawtgaïnuud tatwal täg² öncögt parallelopiped üüsq [M1 , M2 ] diago-
2 2 2 2
nal´ n´ |M1 M2 | = |M1 A| + |M1 B| + |M1 C| .
Gätäl |M1 M2 | = d, M1 A = x2 − x1 , M1 B = y2 − y1 , M1 C = z2 − z1 tul
d= (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 (6)
2. Xärqmiïg ögsön xar´caagaar xuwaax: M1 (x1 , y1 , z1 ), M2 (x2 , y2 , z2 ), λ =
−1 too ögögdsönöör [M1 , M2 ] xärqmiïg λ xar´caagaar xuwaagq M cägiïg
ol. M1 , M2 , M gurwan cäg näg ²uluun däär or²ix tul ädgääriïg daïru-
ulan koordinatyn xawtgaïtaï parallel´ gurwan xawtgaï tatwal paral-
lel´ proekciïn qanar ësoor
M1 M x − x1 x1 + λx2 y1 + λy2 z1 + λz2
λ= = ; x= ; y= ; z= (7)
M M2 x2 − x 1+λ 1+λ 1+λ
Täg² öncögt koordinatyn sistemiïg xuwirgax
6.
1. Koordinatyn tänxlägiïg paralleliar ²iljüüläx. Koordi-
natyn tänxlägiïn qigläliïg öörqlöxgüïgäär zöwxön äxiïg n´ ²iljüülj
xuwirgax xuwirgaltyg koordinatyn parallel´ ²iljüüläg gänä. Par-
allel´ ²iljüülgäär Oxu sistemiïn äx O cäg O(x0 , y0 ) cägt ²iljwäl
aliwaa M cägiïn xuuqin koordinat (x,y) n´ tüüniï ²inä koordinat
(x’,y’)-täï daraax tom³ëogoor xolbogdono.
x = x0 + x ; x = x − x0
(8)
y = y0 + y ; y = y − y0

8. 8
2. Koordinatyn tänxlägiïg ärgüüläx. Koordinatyn äxiïg ²iljüüläl-
güïgäär 2 tänxlägiïg n´ näg qigläld ijil öncgöör ärgüülj xuwirgax
xuwirgaltyg koordinatyn ärgält gänä.
x = x cos α − y sin α; x = x cos α + y sin α
(9)
y = x sin α + y cos α; y = −x sin α + y cos α
Sanamj: Täg² öncögt koordinatyn sistemiïg parallel´ ²iljüüläg,
ärgält xoër xuwirgaltaar zäräg xuwirgawal koordinatyn erönxiï xuwirgalt
n´ daraax tom³ëotoï baïna.
x = x0 + x cos α − y sin α; x = (x − x0 ) cos α + (y − y0 ) sin α
(10)
y = y0 + x sin α + y cos α; y = −(x − x0 ) sin α + (y − y0 ) cos α
Tölöwlögöö bolowsruulsan bag² .............................. L.Ariunaa