Mercado de trabajo y discapacidad. Inclusión laboral.
52616550 fisica-iii-practicas
1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO
FACULTAD DE INGENIER´ CIVIL, ARQUITECTURA
IA
Y URBANISMO
ESCUELA PROFESIONAL CIENCIAS F´ ´
ISICO MATEMATICAS
Segunda Pr´ctica-Preprofesional
a
Informe
Responsable:
Est. Arturo Flores Condori
Asesor:
Lic. M´ximo Roberto Pari Coila
a
PUNO ´
PERU
2010
2.
3. Z
Universidad Nacional del Altiplano
Facultad de Ingeniería Civil y Arquitectura X
Y
Escuela Profesional de Ciencias Físico Matemáticas
AL : Lic. Juan Carlos Benavides Huanca
Director de Estudios de la Escuela Profesional
Cs. F´ısico Matem´ticas
a
DE : Lic. M´ximo Roberto Pari Coila
a
ASUNTO : Informe de las Pr´cticas Pre Profesionales
a
FECHA : 25 de Enero del 2010
Es grato dirigirme a Ud. a fin de informarle sobre las pr´cticas re-
a
alizadas por el Estudiante ARTURO FLORES CONDORI, el cual detallo a continuaci´n: o
1. Mediante MEMORANDO N-034-2009-DE-EPCFM–FICA-UNA. Se designa Al es-
tudiante ARTURO FLORES CONDORI, para que realice pr´cticas pre-profesionales
a
en la escuela profesional de Ingenier´ Mec´nica El´ctrica en la asignatura de FISI-
ıa a e
CA III la misma que realizo bajo mi asesor´ıa.
2. El estudiante realizo la pr´ctica a partir de la fecha 04 de Mayo del 2009 y culmi-
a
nando el 17 de Agosto del 2009, acumulando un total de 30 horas acad´micas, que
e
consiste en desarrollar la parte practica de la asignatura de FISICA III, correspon-
diente al II semestre de la E.P. de Ingenier´ Mec´nica El´ctrica.
ıa a e
3. Durante la realizaci´n de la pr´ctica pre-profesional del estudiante en menci´n de-
o a o
mostr´, responsabilidad y dominio de los temas, tanto en la preparaci´n de sus
o o
sesiones, como en su desenvolvimiento ante los estudiantes y dem´s tareas asig-
a
nadas.
4. Concluida la practica pre-profesional el estudiante alcanzo los objetivos establecidos,
siendo as´ solicito a Ud. se˜or Director ha realizar los tr´mites necesarios para la
ı; n a
expedici´n de la respectiva Resoluci´n.
o o
Es cuanto informo a Ud. para los fines que el interesado tenga por
conveniente.
Atentamente,
Lic. MAXIMO ROBERTO PARI COILA
Asesor
4. Z
Universidad Nacional del Altiplano
Facultad de Ingeniería Civil y Arquitectura X
Y
Escuela Profesional de Ciencias Físico Matemáticas
INFORME N ◦ 001 − 2010−EPFM
AL : Lic. M´ximo Roberto Pari Coila
a
Asesor de Pr´cticas
a
DE : Est. Arturo Flores Condori
ASUNTO : Informe de las Pr´cticas Pre Profesionales
a
FECHA : 25 de Enero del 2010
Es grato dirigirme a Ud. sobre las pr´cticas que realice el cual
a
detallo a continuaci´n:
o
1. Mediante el MEMORANDO N-034-2009-DE-EPCFM–FICA-UNA.de fecha, Puno
C.U, Abril 27 del 2009, se me designa a su persona como asesor, para que real-
ice las pr´cticas pre-profesionales en la Escuela Profesional de Ingenier´ Mec´nica
a ıa a
El´ctrica en la asignatura de F´
e ısica III.
2. Inicie la pr´ctica el d´ 04 de Mayo del 2009, terminando el 17 de Agosto del 2009,
a ıa
acumulando satisfactoriamente las 30 horas acad´micas pedidas.
e
3. Los detalles de la pr´ctica pre-profesional se encuentran en la documentaci´n ad-
a o
junta en este informe.
En cuanto puedo informar a Ud. para los fines consiguientes.
Atentamente,
Est. ARTURO FLORES CONDORI
UNA-Puno
5. ´
PRESENTACION
Estas notas se originan por las practicas pre-profesionales realizada del 04 de Abril del
2009, terminando el 17 de Agosto del 2009 en la asignatura de F´ ISICA III en la Escuela
Profesional de Ingenier´ Mec´nica El´ctrica de la Universidad Nacional del Altiplano-
ıa a e
Puno.
En el Primer capitulo contiene todos los datos personales, del lugar donde se realizo
las practicas pre-profesionales y los datos de la asignatura. En el Segundo capitulo justi-
fica la realizaci´n de las pr´cticas pre-profesionales. Y en el Tercer capitulo menciona los
o a
objetivos de la pr´ctica pre-profesional.
a
Como una segunda parte de estas notas menciono el contenido de la asignatura de
F´
ısica III estos lo conforman del Cuarto capitulo al D´cimo cap´
e ıtulo, donde en su primera
parte del contenido (Electrost´tica), se estudia los fen´menos relacionados con la carga
a o
en reposo (es decir; Fuerza, Campo potencial, Potencial el´ctrico y condensadores).
e
En su segunda parte del contenido de la asignatura (Magnetismo), se estudia los efec-
tos que produce la carga en movimiento (es decir, comprende los cap´ ıtulos: Corriente
el´ctrica, Campo magn´tico y Inducci´n electromagn´tica).
e e o e
Finalmente, en el Onceavo capitulo se˜alo la metodolog´ usada para el curso de F´
n ıa ısica
III, en el Doceavo capitulo presento un cronograma de actividades de acuerdo a los temas
realizados y en Treceavo capitulo presento la relaci´n de Estudiantes y sus asistencias a
o
la asignatura de F´ısica III. Al final se especifica la bibliograf´ usada para el desarrollo de
ıa
estas notas.
Espero que este informe sirva como referencia para futuras pr´cticas pre-profesionales
a
que se realicen referentes a la Asignatura.
. ARTURO FLORES CONDORI
8. Cap´
ıtulo 1
Datos Informativos
Responsable : Arturo Flores Condori
DNI : 42221680
C´digo
o : 040706
Nivel : Quinto
Semestre : D´cimo
e
Duraci´n
o : Del 04 de Mayo del 2009 al 17 de Agosto del 2009
Asesor : Lic. M´ximo Roberto Pari Coila
a
Condici´n
o : Nombrado
Categor´
ıa : Asociado a D.E.
Instituci´n
o : Universidad Nacional del Altiplano
Lugar : Puno
Facultad : Ingenier´ ..
ıa
Escuela Profesional : Ing. Mec´nica El´ctrica
a e
Asignatura : F´ısica III
Naturaleza de la Asignatura : Obligatorio
N´ mero de Horas
u : 3T.(Teor´ ıa)+2P.(Pr´cticas)=5 Hrs.
a
Cr´ditos
e : 5
Prerrequisito : F´ısica II
A˜ o Acad´mico
n e : 2008
Semestre : 2008-II
´
Area : Formaci´n General
o
Condici´n
o : Flexible
Grupo : ´
Unico
2
9. Cap´
ıtulo 2
Justificaci´n
o
Las practicas pre-profesionales en la escuela profesional de Ciencias F´
ısico Matem´ticas,
a
son de mucha importancia para poner en practica los conocimientos y experiencias adquiri-
das durante nuestra permanencia como estudiante, en la din´mica del proceso ense˜anza-
a n
aprendizaje y la experimentaci´n te´rica; as´ mismo construimos una solida base adquirien-
o o ı
do destreza y habilidad para nuestro buen desempe˜o como profesionales.
n
Por otro lado, las practicas pre-profesionales es para dar cumplimiento a uno de los req-
uisitos exigidos dentro del Programa Acad´mico de la Facultad de Ingenier´ Civil y
e ıa
Arquitectura de Nuestra Universidad Nacional del Altiplano para la obtenci´n del grado
o
acad´mico de Bachiller, el cual tiene sustento legal en:
e
1. Constituci´n Pol´
o ıtica del Per´
u
La Constituci´n Pol´
o u ´
ıtica del Per´ de 1993, es la actual constituci´n del Per´. Esta es
u o
considerada como la norma jur´ ıdica suprema y v´rtice de todo el ordenamiento jur´
e ıdico
que regula la vida dentro del pa´ ıs.
Art. 14 La educaci´n promueve el conocimiento, el aprendizaje y la pr´ctica de las hu-
o a
manidades, la ciencia, la t´cnica, las artes, la educaci´n f´
e o ısica y el deporte; prepara
para la vida, el trabajo y fomenta la solidaridad.
Art. 18 La educaci´n universitaria tiene como fines la formaci´n profesional, la difusi´n
o o o
cultural, la creaci´n intelectual y art´
o ıstica y la investigaci´n cient´
o ıfica y tecnol´gica.
o
El estado garantiza la libertad de c´tedra y rechaza la intolerancia.
a
Las universidades son promovidas por entidades privadas o p´blicas. La ley fija
u
las condiciones para autorizar su funcionamiento.
La universidad es la comunidad de profesores, alumnos y graduados. Participan en
el ella los representantes de los promotores, de acuerdo a ley.
Cada universidad es aut´noma en su r´gimen normativo, de gobierno, acad´mico,
o e e
administrativo y econ´mico. Las universidades se rigen por sus propios estatutos en
o
el marco de la Constituci´n y de las leyes.
o
3
10. 2. Justificaci´n
o 4
2. Ley Universitaria No 23733
Dado en la casa de gobierno en Lima, a los nueve d´ del mes de diciembre de mil
ıas
novecientos ochenta y tres. En el gobierno de: FERNANDO BELAUNDE TERRY, y
siendo PATRICIO REY DE CASTRO, Ministro de Educaci´n. o
Art. 9 Cada universidad organiza y establece su r´gimen acad´mico por facultades a sus
e e
necesidades y caracter´
ısticas.
Art. 18 Cada universidad se˜ala los requisitos para la obtenci´n de los grados acad´micos
n o e
y de los t´
ıtulos profesionales correspondientes y las carreras que ofrece.
Art. 23 Los t´ ıtulos profesionales de licenciado o su equivalente requieren de estudios
de una duraci´n no menor de diez semestres acad´micos o la aprobaci´n de los
o e o
a˜os o cr´ditos correspondientes, incluidos los de cultura general que los preceden.
n e
Adem´s son requisitos la obtenci´n previa del Bachillerato respectivo y, cuando sea
a o
aplicable, el haber efectuado pr´ctica profesional calificada. Para obtener el t´
a ıtulo
de licenciado o sus equivalentes, se requiere de una tesis o de un examen profesional.
La segunda especialidad requiere la licenciatura u otro t´ ıtulo profesional equiva-
lente previo. Da acceso al t´
ıtulo, o a la certificaci´n o menci´n correspondientes.
o o
3. Estatuto de la Universidad Nacional del Altiplano
Aprobado en asamblea universitaria del 06 al 19 de enero de 2005.
Art. 19 La universidad se integra por unidades acad´micas fundamentales denominadas
e
facultades estos organizan y desarrollan actividades de investigaci´n, proyecci´n
o o
social y presentaci´n de servicios.
o
Art. 122 La actividad acad´mica en una escuela profesional comprende:
e
- Formaci´n general.
o
- Formaci´n b´sica profesional.
o a
- Formaci´n profesional.
o
- Investigaci´n.
o
- Orientaci´n profesional.
o
- Proyecci´n y extensi´n universitaria.
o o
Su dise˜o involucra la programaci´n curricular te´rico-pr´ctica de cada asignatura;
n o o a
proyectos de investigaci´n sobre la realidad regional, nacional y mundial; plan de
o
actividades de proyecci´n y extensi´n universitaria; y un plan de pr´cticas pre-
o o a
profesionales.
Arturo Flores Condori
11. 2. Justificaci´n
o 5
4. Curricula de la Escuela Profesional Ciencias F´
ısico Matem´ticas
a
Art. 40 El presente reglamento se sustenta en el estatuto de la U.N.A. que contempla la
realizaci´n de pr´cticas pre profesionales en la formaci´n de todos los estudiantes
o a o
de la universidad.
Art. 41 Los estudiantes de la Carrera Profesional de Cs. F´
ısico Matem´ticas est´n obli-
a a
gados a realizar pr´cticas pre profesionales pudiendo efectuarse despu´s de haber
a e
logrado un m´ınimo de 170 cr´ditos.
e
Art. 42 Las pr´cticas pre profesionales de la Carrera Profesional de Cs. F´
a ısico Matem´ticas
a
ser´n pr´cticas productivas y pr´cticas de investigaci´n.
a a a o
Art. 43 Las pr´cticas productivas comprender´n pr´cticas pedag´gicas en centros de
a a a o
ense˜anza de nivel medio superior y universidades; pr´cticas en centros productivos,
n a
convenio, proyectos y otros que requieran la participaci´n de F´
o ısicos Matem´ticos.
a
Art. 44 Las pr´cticas de investigaci´n se realizan en la U.N.A. bajo la direcci´n de un
a o o
profesor designado espec´
ıficamente con este fin.
Art. 45 Las pr´cticas productivas de investigaci´n tendr´n una duraci´n de un semestre
a o a o
acad´mico.
e
Art. 46 Los estudiantes, despu´s de haber cumplido con sus pr´cticas productivas y/o
e a
de investigaci´n presentar´n el informe a la instituci´n donde se realiz´ y esta a
o a o o
su vez informar´ de su desarrollo a la Direcci´n de Carrera quien lo remitir´ a la
a o a
comisi´n de pr´cticas pre profesionales para su aprobaci´n o desaprobaci´n.
o a o o
Art. 47 En el caso de que la pr´ctica productiva y/o pr´cticas de investigaci´n se realice
a a o
en la Universidad Nacional del Altiplano el practicante presentar´ el informe al
a
docente a cargo, ´ste a su vez informar´ su desarrollo a la Direcci´n de la Carrera
e a o
para el visto bueno de la comisi´n de pr´cticas Pre profesionales.
o a
Art. 48 Los aspectos no contemplados en el presente reglamento ser´n absueltos por la
a
Comisi´n de pr´cticas pre profesionales.
o a
Arturo Flores Condori
12. Cap´
ıtulo 3
Objetivos
Objetivos Generales
Al concluir la pr´ctica pre profesional, el estudiante de la Escuela Profesional de Cien-
a
cias F´
ısico Matem´ticas, ser´ capaz de:
a a
• Desarrollar, aplicar y facilitar el uso de las relaciones cuantitativas y cualitativas de
las diversas disciplinas de la ciencia, la tecnolog´ la gesti´n y la producci´n.
ıa, o o
• Complementar nuestra formaci´n profesional, a trav´s del contacto con el mundo
o e
laboral, antes de terminar nuestros estudios.
Objetivos Espec´
ıficos
Los objetivos espec´
ıficos que se tiene para la pr´ctica desarrollada en la respectiva
a
asignatura designada son:
• Poner en practica los conocimientos adquiridos previamente en las aulas, en la
ense˜anza de la F´
n ısica.
• Realizar labores participativas que nos coadyuven al perfeccionamiento profesional
y a la formaci´n cient´
o ıfica y del conocimiento de la F´ısica, adecu´ndonos a los re-
a
querimientos de la regi´n y del pa´ para contribuir a su desarrollo y transformaci´n
o ıs o
socio-econ´mica.
o
• Identificar y aplicar los casos, t´cnicas y procedimientos de ense˜anza que se empleen
e n
en la asignatura de F´ ısica III.
• Promover el intercambio acad´mico con las escuelas profesionales, experimentado y
e
mostr´ndoles que la F´
a ısica es la ciencia mas b´sica para la descripci´n de fen´menos
a o o
naturales, y as´ mismo adquiriendo destreza y habilidad en la din´mica de ense˜anza-
ı a n
aprendizaje.
6
13. Cap´
ıtulo 4
Electrost´tica
a
4.1. Carga El´ctrica
e
La carga el´ctrica es una propiedad fundamental independiente propia de la materia
e
y su unidad de medida es el coulomb(C) y se denota con la letra(q, Q).
4.2. Ley de Coulomb
La ley de Coulomb a que se subordina la fuerza de interacci´n de las cargas puntuales.
o
Se llama carga puntual un cuerpo cargado cuyas dimensiones son despreciables en com-
paraci´n con la distancia de este cuerpo a otros tambi´n portadores de carga el´ctrica. La
o e e
fuerza con que interaccionan dos cargas puntuales en reposo es proporcional a la magnitud
de cada una de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de las distancias entre
ellas. la ley de Coulomb se puede expresar con la f´rmula:
o
|q1 q2 |
F =k (4.1)
r2
Donde:
k es una coeficiente de proporcionalidad (constante de Coulomb).
q1 y q2 son las magnitudes de las cargas que interaccionan.
r es la distancia entre las cargas.
k = 8,9875 × 109 N · m2 C −2 en la pr´ctica k ≈ 9 × 109 N · m2 C −2
a
Para un sistema de cargas puntuales, supongamos que hay una carga qa y, adem´s, a
N cargas q1 , q2 , ..., qw . De lo dicho anteriormente se refiere que la fuerza resultante F con
que act´an sobre qa las N cargas qi se determina por la f´rmula:
u o
N
F= Fai (4.2)
i=1
14. 4. Electrost´tica
a 8
en la que Fai es la fuerza con que act´a sobre qa la carga qi en ausencia de las dem´s
u a
N − 1 cargas.
1
Nota: El coeficiente de proporcionalidad de la ley de Coulomb se supone igual 4π 0 . En-
tonces la expresi´n de la ley para las cargas que se encuentran en el vac´ toma la forma:
o ıo
1 |q1 q2 |
F = (4.3)
4π 0 r2
donde:
k=8,9875 × 109 N m2 /C −2
0: recibe el nombre de permitividad en el vacio, 0 =8,8542 × 10−12 N −1 · m−2 C 2
Distribuci´n de Cargas Continuas
o
Ahora vamos a generalizar pasando de cargas puntuales a una distribuci´n continua de
o
carga. La distribuci´n de carga est´ caracterizada por una funci´n de la posici´n ρ(x, y, z)
o a o o
llamada densidad de carga volum´trica y tiene dimensiones de [carga/volumen]. Seg´n
e u
las dimensiones del cuerpo que se considera, la carga el´ctrica puede distribuirse,como se
e
tiene:
Q
er q
dV +
+ dF
dq r
qdq
dF = k er
r2
dq
recordando que, ρ = dV
, entonces,
qρdV
dF = k er
r2
la fuerza total es:
ρ(r)dV
F = kq er (4.4)
r2
dV
F = kρq er (4.5)
r2
Arturo Flores Condori
15. 4. Electrost´tica
a 9
las ecuaciones anteriores son para cuerpos con densidades de carga no uniformes y uni-
forme respectivamente.
4.3. Campo El´ctrico (E)
e
La intensidad de las cargas en reposo se efect´a por medio del campo el´ctrico. Todo
u e
carga hace que var´ las propiedades del espacio que la rodea: Crea en ´l un campo el´ctri-
ıen e e
co. Este campo se manifiesta en que una carga el´ctrica, situada en un punto cualquiera
e
de ´l, se encuentra bajo ´ acci´n de una fuerza. Por consiguiente, para saber si en un
e a o
lugar dado existe campo hay que colocar en el un cuerpo cargado y determinar si ´ste e
experimenta la acci´n de una fuerza el´ctrica o no.
o e
Estudiaremos con la ayuda de una carga puntual de ensayo qens el campo creado por
una carga puntual q en reposo. Situando la carga de ensayo en el punto cuya posesi´n o
respecto a la carga q est´ determinada por el radio vector r (Fig.), descubriremos que
a
sobre la carga de ensayo act´a la fuerza:
u
1 q
F = qens er (4.6)
4π 0 r2
q ens F
r
er
q
Si se toman cargas de ensayos de distintos magnitudes qens , qens y as´ sucesivamente,
ı
las fuerzas F , F , .., que ellas experimentan en el punto dado del campo ser´n distintas.
a
F
Pero en (4.6)se ve que la relaci´n qens en la misma para todas las cargas de ensayo y s´lo
o o
depende de las magnitudes q y r que definen el campo en el punto dado.
Por eso es natural tomar esta relaci´n como magnitud caracter´
o ıstica del campo el´ctrico:
e
F
E= (4.7)
qens
Esta magnitud vectorial se llama Intensidad del campo el´ctrico en el punto dado (es
e
decir, en el punto en que la carga de ensayo qens experimenta la acci´n de la fuerza F ).
o
De las f´rmulas (4.6)(4.7) se deduce que la intensidad del campo de una carga puntual es
o
proporcional a la magnitud de la carga q e inversamente proporcional al cuadrado de la
distancia r desde dicha carga hasta el punto dado del campo:
1 q
E= er (4.8)
4π 0 r2
Seg´n (4.7), la fuerza que act´a sobre la carga de ensayo es: F = qens E, y es evidente
u u
que sobre toda carga puntual q, en un punto del campo de intensidad E, actuar´ la fuerza:
a
Arturo Flores Condori
16. 4. Electrost´tica
a 10
F = qE (4.9)
El campo el´ctrico se puede describir conociendo la magnitud la magnitud y la direcci´n
e o
del vector E para cada punto. El conjunto de estos vectores forma el campo del vector
intensidad de campo el´ctrico. El campo de vector velocidad se puede representar muy
e
intuitivamente por medio de las lineas de intensidad. An´logamente, el campo el´ctrico
a e
se puede describir vali´ndose de las lineas de intensidad, que abreviadamente llamaremos
e
l´neas E(tambi´n se le denomina l´
ı e ıneas de fuerza). Las l´ıneas de intensidad se trazan de
tal modo que la tangente a ella en cada punto coincida con la direcci´n del vector E.
o
Las l´
ıneas E del campo de una carga puntual son un conjunto de rectas radiales que
parten de la carga, si ´sta es positiva, y que inciden en ella si es negativa, as´ en la figura.
e ı
+q -q
+ - + +
4.4. Problemas Resueltos
Problema 4.1
Halle el campo el´ctrico E debido a un anillo cuyo radio es a tiene una carga total Q dis-
e
tribuida uniformemente en toda su circunferencia en el punto P , (Fig.)la cual est´ situado
a
sobre el eje del anillo a una distancia R de su centro.
Soluci´n:
o
Z
Q
dEsen q i
q
dE
R q
o q p dEcos q j Y
2
2 a
R+
ds r=Ö
dq
X
Arturo Flores Condori
17. 4. Electrost´tica
a 11
las componentes en la direcci´n i y k se anulan, luego;
o
dE = dE sin θk + dE cos θj
dE = dE cos θj
dq
= k 2 cos θj
r
1
E = k 2 cos θ dq j
r
1
E = k 2 cos θQj (4.10)
r
√
pero cos θ = R , adem´s r = R2 + a2 , entonces
r
a
kR
E = Qj
r2 r
R
= kQ 3 j
r
R
⇒ E = kQ 3 j
(R2 + a2 ) 2
R
entonces el campo el´ctrico E debido a un anillo es:E = kQ
e 3 j
(R2 +a2 ) 2
Problema 4.2
El disco mostrado en la figura, est´ cargado con una densidad de carga superficial ρs el
a
cu´l est´ en funci´n de la distancia s, de acuerdo a la relaci´n ρs = As donde A es una
a a o o
constante. Determine la intensidad de campo el´ctrico en un punto M del eje del disco
e
tal como se muestra en la fig.
Z
dE
M
a
r
z
o s ds
dq Y
a q
X
Soluci´n:
o
El campo creado por el diferencial de carga dQ = ρs sdθds; es decir,
Arturo Flores Condori
18. 4. Electrost´tica
a 12
Q dQ dθ
ρs = A
= dA
= dsdθ
, entonces el E es:
dQ ρs sdθds
dE = 2
=
4π 0 r 4π 0 (Z 2 + s2 )
Por simetr´ solo la componente Z k de la intensidad del campo el´ctrico va a contribuir
ıa e
a la intensidad total del campo en M , luego,
ρs Zsdθds
dEz = dE cos α = 3 k
4π 0 (Z 2 + s2 ) 2
como, ρs = As, adem´s si cos α =
a √ Z
Z 2 +s2
As2 Zdθds
⇒ dEz = 3 k
4π 0 (Z 2 + s2 ) 2
Para hallar Ez hay que sumar todas las contribuciones diferenciales, entonces:
2π a a
AZ s2 dθds As s2 ds
Ez = 3 = 3 (4.11)
4π 0 0 0 (Z 2 + s2 ) 2 20 0 (Z 2 + s2 ) 2
integrando por partes, obtenemos:
sea, u = s; dv = 2 sds2 3 , luego:
(z +s ) 2
a
s2 ds
⇒ udv = 3 = uv − vdu
0 (Z 2 + s2 ) 2
a
s 1 a
= − 1 + ln s + (Z 2 + s2 ) 2
(Z 2 + s2 ) 2 0
0
entonces; la intensidad de campo el´ctrico en un punto M del eje del disco es:
e
1
AZ a + (Z 2 + a2 ) 2 a
Ez = ln − 1
20 Z (Z 2 + a2 ) 2
Problema 4.3
Un hemisferio hueco de radio a est´ cargado uniformemente sobre su superficie con una
a
carga total Q. Determine la intensidad del campo el´ctrico en el centro de la esfera a la
e
cual pertenece el hemisferio.
Arturo Flores Condori
19. 4. Electrost´tica
a 13
Soluci´n:
o
Q
dQ
a
asen a
da
a dE
o Z
acos a
dE
Si tomamos un anillo de carga diferencial dQ, genera un campo el´ctrico en el eje z, las
e
componentes en el eje x y y se anulan, por ´l se obtiene a partir del resultado del problema
e
anterior(prob. del anillo), tenemos:
dEz = dE cos θk
dQ(a cos α)
dEz = k
4π 0 a3
(dQ) cos α
= k (4.12)
4π 0 a2
sabiendo que;
dQ = σdS ; dl = adα;
Q
luego calculando dQ: Si la carga por unidad de superficie = 2πa2
;
Ahora;
Q
dQ = ∗ (2πa sen α)(adα) = Q sen αdα (4.13)
2πa2
luego; la ec.4.13 en la ec.4.12, se tiene:
(Q sen αdα) cos α
dEz = k
4π 0 a2
π
Q 2
= sen α (cos αdα) k
4π 0 a2 0
π
Q sen2 α 2
=
4π 0 a2 2 0
Q
= k
8π 0 a2
Q
por lo tanto, la intensidad del campo el´ctrico en el centro de la esfera es: Ez =
e 8π 0 a2
k
Problema 4.4
La carga positiva Q est´ distribuida uniformemente alrededor de un semic´
a ırculo de radio
a (Figura). Halle el campo el´ctrico (magnitud y direcci´n) en el centro de curvatura P .
e o
Arturo Flores Condori
20. 4. Electrost´tica
a 14
Soluci´n:
o
Y
dq
Q
dq
q
a X
q P
dE
las componentes en la direcci´n i se anula, luego se tiene:
o
dE = dE sen θ(−j)
dq
= k 2 sen θ(−j) (4.14)
r
Q
sabiendo que; λ = πa
y adem´s dE = k λdl =k λdθ ; ahora en la ec.4.14, tenemos:
a a2 a
dEy = dE sen θ
kλ sen θ
= dθ
a
π
2kλ 2
⇒ Ey = sen θdθ
a 0
2kλ π
= (− cos θ)|02
a
2kλ π
= − cos( ) + cos(0)
a 2
2kλ
=
a
2kQ
=
a2
por consiguiente el campo el´ctrico en el centro de curvatura P es:
e
2kQ
Ey = j
a2
Arturo Flores Condori
21. Cap´
ıtulo 5
Ley de Gauss
5.1. Flujo El´ctrico
e
Consideremos cierto campo vectorial E(r) en el espacio, y en ese espacio cierta su-
perficie cerrada S arbitraria. Podemos definir el flujo de E a trav´s de esa superficie
e
como:
ΦE = E · dS = E cos φdS (5.1)
S
Se define el flujo el´ctrico de un campo el´ctrico uniforme como el producto de la magnitud
e e
del campo E por la superficie S; es decir:
ΦE = ES (5.2)
La unidad SI de flujo el´ctrico es 1 N · m2 /C
e
Observaciones:
1. superficie de frente al campo el´ctrico E y S el ´ngulo entre E y S es φ = 0, entonces
e a
el flujo ΦE = E · S = ES.
2. superficie inclinada respecto a la orientaci´n de cara en un ´ngulo φ, el ´ngulo entre
o a a
E y S es φ,entonces ΦE = E · S = ES cos φ.
3. la superficie presenta su borde al campo el´ctrico E y S perpendiculares, el ´ngulo
e a
o o
entre E y S es φ = 90 , entonces el flujo ΦE = E · S = ES cos 90 = 0.
4. podemos representar la direcci´n de un vector ´rea S, mediante un vector unitario
o a
n perpendicular al ´rea; S perpendicular n significa normal, entonces: S = Sn.
a
Si sucede, si el E no es uniforme, sino que varia de un punto a otro en el ´rea S, o si S es
a
parte de una superficie curva; En tales casos se divide S en muchos elementos peque˜os n
dS, cada una de los cuales tiene un vector unitario n perpendicular a ´l y un vector
e
´rea dS = ndS, se calcula el flujo el´ctrico a trav´s de cada elemento y se integran los
a e e
resultados para obtener el flujo total, as´ı:
ΦE = E · dS definici´n de flujo el´ctrico
o e (5.3)
S
15
22. 5. Ley de Gauss 16
A esto se le llama la integral de superficie de E · dS.
5.2. Ley de Gauss
La ley de Gauss establece que el flujo el´ctrico total de cualquier superficie cerra-
e
da(una superficie que encierra un volumen definido) es proporcional a la carga el´ctrica
e
total(neta)dentro de la superficie.
q
ΦE = E · dS = (5.4)
o
La ecuaci´n 5.4 es v´lida para una superficie de cualquier forma o tama˜o, con la condi-
o a n
ci´n de que se trate de una superficie cerrada que encierra la carga q.
o
Sup´ngase que la superficie encierra no s´lo una carga puntual q, sino varias cargas
o o
q1 , q2 , ... El campo el´ctrico total(resultante) E en cualquier punto es la suma vectorial
e
de los campos E de las cargas individuales. Sea Qenc la carga total encerrada por la
superficie:Qenc = q1 + q2 + q3 ..., sea adem´s E el campo total en la posesi´n del elemento
a o
de ´rea superficial dS, y sea E⊥ su componente perpendicular al plano de ese elemento(es
a
decir, paralelo a dS). En estas condiciones se puede escribir una ecuaci´n como la ecuaci´n
o o
(5.4) con respecto a cada carga y su campo correspondiente y sumar los resultados. Al
hacerlo, se obtiene el enunciado general de la ley de Gauss:
Qenc
ΦE = E · dS = ley de Gauss (5.5)
o
El flujo total a trav´s de una superficie cerrada es igual a la carga el´ctrica total(neta)
e e
presente en el interior de la superficie, dividida entre o .
Observaciones: Hemos visto que hay una relaci´n entre la cantidad de carga neta en
o
el interior de una superficie cerrada y el flujo el´ctrico a trav´s de una superficie, hemos
e e
hallado que:
1. El hecho de que haya o no un flujo el´ctrico saliente o entrante neto a trav´s de una
e e
superficie cerrada depende del signo de la carga encerrada.
2. Las cargas que est´n afuera de la superficie no proporcionan un flujo el´ctrico neto
a e
a trav´s de la superficie.
e
Arturo Flores Condori
23. 5. Ley de Gauss 17
5.2.1. Aplicaciones de la ley de Gauss
Sea q una carga puntual situada en el centro de una esfera; el flujo del campo
el´ctrico a trav´s de esta superficie, es:
e e
E
ds
q r
ΦE = E · dS
= E cos θdS
= EdS = ES
sabiendo que S = 4πr2 , superficie de la esfera, adem´s E = kq/r2 , entonces se tiene:
a
q
= k 2 4πr2
r
q
= 2
4πr2
4π o r
q
⇒ ΦE = (N m2 /C)
o
Para una carga q, que est´ en superficie cerrada arbitraria, el flujo, es:
a
E ds ds’
ds
q ds q
r ds
ds¢=dsCosq
q
dW
ΦE = E · dS = E cos θdS
q
= k cos θdS
r2
cos θ
= kq dS
r2
Arturo Flores Condori
24. 5. Ley de Gauss 18
cos θ
sabiendo que: dΩ = r2
dS, entonces se tiene:
= kq dΩ
= kq (4π)
q
⇒ ΦE = (N m2 /C).
o
Para una carga q, que est´ fuera de una superficie cerrada, el flujo, es:
a
ds2
ds1 q2
E2
r1 q1 r2
q
s1 s2
ΦE = E · dS
= E1 · dS1 + E2 · dS2
S1 S2
= E1 cos αdS1 + E2 cos θ2 dS2
S1 S2
si, α = π − θ1 , entonces:
ΦE = E1 cos(π − θ1 )dS1 + E2 cos θ2 dS2
S1 S2
= − E1 cos θ1 dS1 + E2 cos θ2 dS2
S1 S2
kq kq
= − 2
cos θ1 dS1 + 2
cos θ2 dS2
S1 r1 S2 r2
cos θ1 dS1 cos θ2 dS2
= −kq 2
+ kq
S1 r1 S2 r2 2
= −kq dΩ1 + kq dΩ2
S1 S2
⇒ ΦE = 0
5.3. Problemas Resueltos
Problema 5.1
Una varilla de longitud 2L, tiene una densidad de carga uniforme λ. Determine el campo
el´ctrico(por el m´todo de Gauss) en el punto P a una distancia R a lo largo de la
e e
mediatriz.
Arturo Flores Condori
25. 5. Ley de Gauss 19
Soluci´n:
o
E2
ds 2
s2
l
R
R ds 3
z
-ds E3
ds 1 d s 1=
E1
La figura muestra las diferentes normales de la superficie de Gauss elegida.
C´lculo del campo el´ctrico:
a e
Suponemos el campo el´ctrico con la siguiente forma E(r) = E(R)R con R el radio de
e
las coordenadas cil´
ındricas. La Ley de Gauss nos dice:
ΦE = E · dS
= E1 · dS1 + E2 · dS2 + E3 · dS3
S1 S2 S3
por simetr´ la
ıa, S1
E1 · dS1 y S2
E2 · dS2 se anulan, entonces se tiene:
= E3 · dS3 = E3 dS3
S3
= E3 S3 = E3 (2πR)(2L)
Q
⇒ ΦE = 4πRLE3 =
o
Q Q 2kλ
E3 = = 2k =
4πRL o 2RL R
2λk
∴E = R
R
Problema 5.2
Determinar el campo el´ctrico de una l´mina plana infinita cargada con una densidad
e a
superficial uniforme.
Arturo Flores Condori
26. 5. Ley de Gauss 20
d
ds3
s2 s1
A
E2 ds2 ds1 E1
s3
Q
Soluci´n:
o
La figura muestra la secci´n del plano que define el cilindro al atravesarlo.
o
C´lculo del campo el´ctrico.
a e
Suponemos el campo el´ctrico con la siguiente forma:
e
E+ z ;Z > 0
E (r) = (5.6)
E− z ;Z < 0
La Ley de Gauss nos dice:
Qenc
ΦE = E · dS =
o
La carga encerrada, en este caso, corresponde a σA, luego
ΦE = E · dS
= E1 · dS1 + E2 · dS2 + E3 · dS3
S1 S2 S3
= 2 ±Ez · (±z) dS + Ez · RdS
tapas manto
Q
= 2SE =
o
Q
⇒E =
2S o
σ
∴E =
2o
Problema 5.3
Un carga de 10,0 − µC localizado en el origen de las coordenadas de un sistema cartesiano
est´ rodeado de una esfera del nicho de poco condctor de radio 10,0cm. Un taladro con
a
un radio de 1,00mm es alineado a lo largo del eje z , y un hueco es taladrado en la esfera.
Calcule el flujo el´ctrico a trav´s del hueco.
e e
Soluci´n:
o
ΦE,hueco = E · Ahueco
Arturo Flores Condori
27. 5. Ley de Gauss 21
luego se obtiene:
kQ
ΦE,hueco = πr2
R2
(8,99 × 109N · m2 /C 2 ) (10,0 × 10−6 C) 2
= π 1,00 × 10−3
(0,100m)2
= 28,2 N · m2 /C.
entonces, el flujo el´ctrico a trav´s del hueco es: ΦE,hueco = 28,2 N · m2 /C.
e e
Problema 5.4
Un carga Q est´ ubicado en el eje de un disco de radio R en una distancia b del plano del
a
disco (en la figura). Demostrar que si un cuarto del flujo el´ctrico del carga atraviesa el
√ e
disco, cuando R = 3b.
R
b
Q
Soluci´n:
o
q
R
s
ds
b
q
El flujo total a trav´s de una superficie incluyendo la carga Q es Q/ o . El flujo a trav´s
e e
del disco es:
Φdisco = E · dS
Arturo Flores Condori
28. 5. Ley de Gauss 22
Donde la integraci´n cubre el ´rea del disco. Debemos evaluar este integral y debemos
o a
1
colocar eso igual a 4 Q/ o para encontrar c´mo se relacionan la b y R. En la figura, tomar
o
dS el ´rea de un anillo anular de s del radio y los ds de ancho. El flujo a trav´s de dS es:
a e
E · dS = EdS cos θ = E (2πsds) cos θ
La magnitud del campo el´ctrico tiene el mismo valor en todos los puntos dentro del anillo
e
anular, entonces
1 Q 1 Q b b
E = = y cos θ = =
4π o r 2 4π o s 2 + b2 r (s2 + b2 )1/2
Integrando de s = 0 para s = R para hacer el que flujo pase a trav´s del disco entero.
e
Qb R sds
ΦE,disco =
2 o 0 (s2 + b2 )3/2
Qb 1/2 R
= − s2 + b2
2o 0
Qb b
= 1−
2o (R2 + b2 )1/2
b
El flujo a trav´s del disco es igual a Q/4
e o provisto que (R2 +b2 )1/2
= 1.
2
√
Esto queda satisfecho si R = 3b.
Arturo Flores Condori
29. Cap´
ıtulo 6
Potencial El´ctrico
e
Al desplazarse las cargas por un campo electrost´tico, las fuerzas aplicadas a las cargas
a
realizan un trabajo. Las fuerzas del campo electrost´tico poseen la propiedad de que
a
el trabajo realizado por ellas al trasladar una carga no depende de la trayectoria de
desplazamiento de la carga, sino que depende s´lo de la magnitud de la carga y de las
o
posesiones inicial y final de a misma. Esta propiedad del campo permite caracterizar
cualquier punto del mismo por medio de una funci´n especial denominada potencial en
o
un punto del campo.
En otras palabras, cuando una part´ ıcula con carga se desplaza en un campo el´ctrico, el
e
campo ejerce una fuerza que puede realizar trabajo sobre la part´ ıcula.
6.1. Energ´ potencial el´ctrica
ıa e
Para determinar energ´ potencial de una carga de un campo el´ctrico arbitrario,
ıa e
iniciemos con un repaso de algunos puntos fundamentales.
Primero, cuando una fuerza F act´a sobre una part´
u ıcula que se desplaza del punto a
al punto b, el trabajo Wa→b realizado por la fuerza est´ dado por una integral de linea:
a
b b
Wa→b = F · dl = F cos φdl (trabajo realizado por una fuerza) (6.1)
a a
Donde:
dl es un desplazamiento infinitesimal a lo largo de la trayectoria de la part´
ıcula y
φ es el ´ngulo entre F y dl en cada punto a lo largo de la trayectoria.
a
Segundo, si la fuerza F es conservativa, el trabajo realizado por F siempre se puede
expresar en t´rminos de una energ´ potencial U . Cuando la part´
e ıa ıcula se desplaza de
un punto donde la energ´ potencial es Ua a un punto donde es Ub , el cambio de energ´
ıa ıa
23
30. 6. Potencial El´ctrico
e 24
potencial es ∆U = Ub − Ua y el trabajo Wa→b realizado por la fuerza es:
b
Wa→b = F · dl
a
b
= qo E · d l si F = qo E
a
= Ua − Ub = − (Ub − Ua ) = −∆U (6.2)
dl
q0 b
E
E
Es decir,
b
Ub − Ua = −qo E · dl
a
b
U = −qo E · dl (6.3)
a
Energ´ potencial para dos cargas puntuales
ıa
Consideremos en primer t´rmino un desplazamiento a lo largo de la linea radial de la
e
figura, del punto a al punto b.
q q b
q + Þ 0Þ E
rq
r
rb
La fuerza sobre q0 est´ dada por la ley de Coulomb y su componente radial es:
a
1 qq0
Fr = (6.4)
4π o r2
Si q y q0 tienen el mismo signo(+ o -), la fuerza de repulsi´n y Fr es positiva; si las dos
o
cargas tienen signos opuestos, la fuerza es de atracci´n y Fr es negativa. La fuerza no es
o
constante durante el desplazamiento y es necesario integrar para calcular el trabajo Wa→b
realizado sobre q0 por esta fuerza conforme q0 se desplaza de a a b. Resulta que:
rb rb
1 qq0 qq0 1 1
Wa→b = Fr dr = 2
dr = − (6.5)
ra ra 4π o r 4π o ra rb
Arturo Flores Condori
31. 6. Potencial El´ctrico
e 25
El trabajo realizado por la fuerza el´ctrica en el caso de esta trayectoria en particular
e
depende s´lo de los puntos extremos.
o
De hecho, el trabajo es el mismo en todas las trayectorias posibles de a a b. Para probarlo,
consideremos un desplazamiento m´s general en la figura,
a
E
F
dr b
dl
{
ds q0 f
rb
i
r
+q
ra
a
en el que a y b no se encuentran sobre la misma linea radial. De la ecuaci´n (6.1), el
o
trabajo realizado sobre q0 durante este desplazamiento est´ dado por:
a
rb rb
1 qq0
Wa→b = F cos φdl = cos φdl
ra ra 4π o r2
Pero la figura muestra que cos φdl = dr. Es decir, el trabajo realizado durante un de-
splazamiento peque˜o dl depende unicamente del cambio dr de la distancia r entre las
n ´
cargas, que es la componente radial del desplazamiento.
Vemos que las ecuaciones (6.2) y (6.5) son consistentes si definimos qq0 /4π o ra como la
energ´ potencial Ua cuando q0 est´ en el punto a, a una distancia ra de q, y definimos
ıa a
qq0 /4π o rb como la energ´ potencial Ub cuando q0 est´ en el punto b, a una distancia rb
ıa a
desde q. Por tanto, la energ´ potencial U cuando la carga de prueba q0 est´ a cualquier
ıa a
distancia r de la carga q es:
1 qq0
U= (energ´ potencial el´ctrica de dos cargas q y q0 )
ıa e (6.6)
4π o r
6.2. Potencial el´ctrico y Diferencia de potenciales
e
Un potencial es energ´a potencial por unidad de carga. Se define el potencial V en
ı
cualquier punto de un campo el´ctrico como la energ´ potencial U por unidad de carga
e ıa
asociada con una carga de prueba q0 en ese punto:
U
V = o U = q0 V (6.7)
qo
La energ´ potencial y la carga son escalares; por consiguiente, el potencial es una cantidad
ıa
escalar. Sus unidades se hallan, con base en la ecuaci´n(6.7), dividiendo las unidades de
o
Arturo Flores Condori
32. 6. Potencial El´ctrico
e 26
energ´ entre las de carga. La unidad SI de potencial, llamada un volt(1V ), es igual a 1
ıa
joule por coulomb:
1V = 1volt = 1J/C = 1loule/coulomb
Expresemos la expresi´n (6.2), que iguala el trabajo realizado por la fuerza el´ctrica
o e
durante un desplazamiento de a a b con la cantidad −∆U = −(Ub − Ua ), sobre una base
de ”trabajo por unidad de carga”. Al dividir esta ecuaci´n entre q0 se obtiene:
o
Wa→b ∆U Ub Ua
=− =− − = − (Vb − Va ) = Va − Vb (6.8)
q0 q0 q0 q0
Donde:
Va = Ua /q0 es la energ´ potencial por unidad de carga en el punto a.
ıa
Va y Vb llamamos el potencial en el punto a y potencial en el punto b, respecti-
vamente.
A la diferencia Va − Vb se le llama el potencial de a con respecto a b; a veces se
abrevia esta diferencia como Vab = Va − Vb . A esto se le suele llamar la diferencia
de potencial entre a y b.
La ecuaci´n (6.8) establece, por tanto, que Vab , el potencial de a con respecto a b,
o
es igual al trabajo realizado por la fuerza el´ctrica cuando una UNIDAD de
e
carga se desplaza de a a b.
6.2.1. Potencial el´ctrico debido a una carga puntual
e
Considerando una carga puntual positiva aislada q,esta carga produce un campo
el´ctrico E que apunta radialmente hacia afuera de la carga. Para determinar el potencial
e
el´ctrico V en un punto del campo localizado a una distancia r de la carga, empezamos
e
con la expresi´n general de la diferencia de potenciales.
o
q V
dl b
r
dr
E
a
Arturo Flores Condori
33. 6. Potencial El´ctrico
e 27
b
Vb − Va = − E · dl
a
b
kq
= − E cos θdl ; E=
a r2
b
cos θdl
= −kq
a r2
b
dr
= −kq 2
; dr = cos θdl
a r
r
1 b
= −kq −
r ra
kq kq
∴ Vb − Va = −
rb ra
Si el punto a est´ en el infinito; entonces
a
q
Vb = k ;(potencial en el punto b)
rb
Si b es un punto arbitrario, en general el potencial debido a una carga puntual, a una
distancia r es:
q 1 q
V =k = (6.9)
r 4π o r
Donde:
r es la distancia desde la carga puntual q al punto en el que se eval´a el potencial.
u
6.2.2. Potencial debido a un sistema de cargas puntuales
Sup´ngase que el campo E en el que se desplaza la carga q0 se debe a varias cargas
o
puntuales q1 , q2 , q3 , ... a distancias r1 , r2 , r3 , ... de q0 , como en la figura.
q
1
q
2
r1
r2
q
n
rn
a
q
0
El campo el´ctrico total en cada punto es la suma vectorial de los campos debidos
e
a las cargas individuales, y el trabajo total que se realiza sobre q0 durante cualquier
desplazamiento es la suma de las contribuciones de las cargas individuales. De la ecuaci´n
o
(6.6) se concluye que la energ´ potencial asociada con la carga de prueba q0 en el punto
ıa
a de la figura, es la suma algebraica (no la suma vectorial)
q0 q1 q2 q0 qi
U= + + ... = (6.10)
4π 0 r1 r2 4π 0 i
ri
Arturo Flores Condori
34. 6. Potencial El´ctrico
e 28
Para hallar el potencial debido a un conjunto de cargas puntuales, se divide la ecuaci´n
o
anterior entre q0 :
U 1 qi
V = = (6.11)
q0 4π 0 i ri
En esta expresi´n. donde:
o
ri es la distancia de la i´sima carga, qi , al punto que se eval´a V .
e u
6.2.3. potencial debido a una distribuci´n continua de carga
o
Cuando se tiene una distribuci´n continua de carga a lo largo de una linea, en una
o
superficie o en todo un volumen, se divide la carga en elementos dq, y la suma de la
ecuaci´n (6.11) se transforma en una integral:
o
1 dq
V = (6.12)
4π 0 r
Donde:
r es la distancia del elemento de carga dq al punto del campo donde se eval´a V .
u
6.3. Problemas Resueltos
Problema 6.1
Una varilla delgada de longitud L, colocada en el eje x, tiene una carga Q y est´ distribuida
a
uniformemente. Calcule el potencial a una distancia R en los puntos A, B, C.
A B
R R
R
X
o C
Q
Soluci´n:
o
i) En el punto A:
A dV
r
R
o X
x Q
dx
Arturo Flores Condori
