1. “INTEGRAL”
Oleh :
Jahratun Nisa & Zurida
XII IPA - 1

2. MATERI
CONTOH SOAL
UJI
KOMPETENSI
DAFTAR
PUSTAKA
TUJUAN
Tujuan
Menyelesaikan integral tak
tentu dan integral tentu
fungsi aljabar dan fungsi
trigonometri. Serta mampu
mengaplikasikannya dalam
kehidupan sehari-hari.

3. MATERI
CONTOH SOAL
UJI
KOMPETENSI
DAFTAR
PUSTAKA
TUJUAN
Materi
1. Integral Tak Tentu Fungsi
Aljabar
a. Integral merupakan lawan dari turunan.
Jika F′(x) = f(x) maka :
 ∫ = lambang integral yang
menyatakanoperasIantidiferensial
 f(x) = fungsi integran, yaitu fungsi yang
dicari antiturunannya
 C = konstanta
∫f(x) d(x) = F(x) + C

4. MATERI
CONTOH SOAL
UJI
KOMPETENSI
DAFTAR
PUSTAKA
TUJUAN
Materib. Rumus integral tak tentu fungsi aljabar
∫ xn dx = xn+1 + C
c. Sifat-sifat dalam mengintegralkan fungsi
1. ∫ kf(x) dx = k ∫ f(x) dx
2. ∫ (f(x) + g(x)) dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx
3. ∫(f(x) – g(x)) dx = ∫f(x) dx - ∫ g(x) dx
4. ∫ un.u΄dx = un du = ∫ (u(x))n+1 + C
5. ∫ u dv = uv - ∫ v du

5. MATERI
CONTOH SOAL
UJI
KOMPETENSI
DAFTAR
PUSTAKA
TUJUAN
Materi
2. Integral Tak Tentu Fungsi
Trigonometri
Rumus-rumus yang digunakan sebagai berikut.
a. ∫ cos x dx = sin x + C
b. ∫ sin x dx = -cos x + C
c. ∫ cos (ax + b) dx = sin (ax + b) + C
d. ∫ sin (ax - b) dx = - cos (ax + b) + C
e. ∫ cos u .u΄ dx = ∫ cos u du = sin u + C
f. ∫ sin u . u΄ dx = ∫ sin u du = -cos u + C

6. MATERI
CONTOH SOAL
UJI
KOMPETENSI
DAFTAR
PUSTAKA
TUJUAN
Materi
3. Integral Tentu
a. Jika ∫ f(x) dx = F(x) + C maka
f(x) dx = F(b) – F(a)
b. Sifat-sifat integral tentu sebagai berikut.
1. kf(x) dx = k f(x) dx
2. (f(x) + g(x)) dx = f(x) dx + g(x) dx
3. (f(x) – g(x)) dx = f(x) dx – g(x) dx
4. f(x) dx = 0
5. f(x) dx = - f(x) dx
6. f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx

7. MATERI
CONTOH SOAL
UJI
KOMPETENSI
DAFTAR
PUSTAKA
TUJUAN
Materi
Menentukan Luas Daerah
1. Menentukan Luas Daerah di Atas
Sumbu-x
Misalkan R daerah yang dibatasi oleh kurva
y = f(x), sumbu-x, garis x = a, dan garis x =
b, dengan f(x) ≥ 0 pada [a, b], maka luas
daerah R adalah sebagai berikut.
b
a
dxxfRL

8. MATERI
CONTOH SOAL
UJI
KOMPETENSI
DAFTAR
PUSTAKA
TUJUAN
Materi
 Grafik kurva di atas sumbu -x
y = f(x)
L(R)
a
b

9. MATERI
CONTOH SOAL
UJI
KOMPETENSI
DAFTAR
PUSTAKA
TUJUAN
Materi
2. Menentukan Luas Daerah di Bawah
Sumbu-x
Misalnya S daerah yang dibatasi oleh kurva y
= f(x), sumbu-x, garis x = a, dan garis x = b,
dengan f(x) ≤ 0 pada [a, b], seperti yang telah
dibahas di subbab D.1, maka luas daerah S
adalah
b
a
dxxfSL

10. MATERI
CONTOH SOAL
UJI
KOMPETENSI
DAFTAR
PUSTAKA
TUJUAN
Materi
 Grafik kurva di bawah sumbu-x
y = f(x)
a b
Luas daerah di bawah sumbu
S

11. MATERI
CONTOH SOAL
UJI
KOMPETENSI
DAFTAR
PUSTAKA
TUJUAN
Materi
3. Menentukan Luas Daerah yang Terletak
Dibatasi Kurva y = f(x) dan sumbu-x
Misalkan T daerah yang dibatasi oleh kurva y =
f(x), sumbu-x, garis x = a, dan garis x = c,
dengan f(x) ≥ 0 pada [a, b] dan f(x) ≤ 0 pada [b,
c], maka luas daerah T adalah
b
a
b
a
dxxfdxxfTL

12. MATERI
CONTOH SOAL
UJI
KOMPETENSI
DAFTAR
PUSTAKA
TUJUAN
Materi
 Rumus ini didapat dengan
membagi daerah T menjadi T1
dan T2 masing- masing pada
interval [a, b] dan [b, c]. Kalian
dapat menentukan luas T1
sebagai luas darah yang terletak
di atas sumbu-x dan luas T2
sebagai luas daerah yang
terletak di bawah sumbu-x.

13. MATERI
CONTOH SOAL
UJI
KOMPETENSI
DAFTAR
PUSTAKA
TUJUAN
Materi
 Grafik kurva y = f(x) dan sumbu-x
y = f(x)
a cb
T1
T2
Luas daerah yang dibatasi kurva y = f(x) dan sumbu x

14. MATERI
CONTOH SOAL
UJI
KOMPETENSI
DAFTAR
PUSTAKA
TUJUAN
Materi
4. Menentukan Luas Daerah yang Terletak di
Antara Dua Kurva
 Luas daerah U pada gambar di bawah adalah
 L(U) = Luas ABEF - Luas ABCD
ba
U

15. MATERI
CONTOH SOAL
UJI
KOMPETENSI
DAFTAR
PUSTAKA
TUJUAN
Materi
 ABEF adalah daerah yang dibatasi oleh kurva
y1 = f(x), x = a, x = b, dan y = 0 sehingga
Luas ABEF
 Adapun ABCD adalah daerah yang dibatasi
oleh kurva y2 = g(x), x = a, x = b, dan y = 0
sehingga
Luas ABEF
b
a
dxxf
b
a
dxxg

16. MATERI
CONTOH SOAL
UJI
KOMPETENSI
DAFTAR
PUSTAKA
TUJUAN
Materi
Dengan demikian, luas
daerah U adalah
b
a
b
a
b
a
dxxgxfdxxgdxxfUL

17. MATERI
CONTOH SOAL
UJI
KOMPETENSI
DAFTAR
PUSTAKA
TUJUAN
Materi
Menentukan volume Benda
Putar
 1. Menentukan Volume Benda Putar yang
Diputar Mengelilingi Sumbu-x
 Secara umum, volume dinyatakan sebagai
luas alas dikali tinggi. Secara matematis,
ditulis
V = A . h

18. MATERI
CONTOH SOAL
UJI
KOMPETENSI
DAFTAR
PUSTAKA
TUJUAN
Materi
 perhatikan sebuah benda yang
bersifat bahwa penampang-
penampang tegak lurusnya pada
suatu garis tertentu memiliki luas
tertentu. Misalnya, garis tersebut
adalah sumbu-x dan andaikan
luas penampang di x adalah A(x)
dengan a ≤ x ≤ b. Bagi selang [a,
b] dengan titik-titik bagi a = x0 <
x1< x2< ... < xn = b.

19. MATERI
CONTOH SOAL
UJI
KOMPETENSI
DAFTAR
PUSTAKA
TUJUAN
Materi
 Melalui titik-titik ini, luas bidang tegak
lurus pada sumbu-x, sehingga
diperoleh pemotongan benda menjadi
lempengan yang tipis-tipis. Volume
suatu lempengan ini dapat dianggap
sebagai volume tabung, yaitu
,
dengan .
ii xxAV
iii xxx 1

20. MATERI
CONTOH SOAL
UJI
KOMPETENSI
DAFTAR
PUSTAKA
TUJUAN
Materi
Kita dapatkan
kemudian akan menjadi
n
t
ii xxAV
1
b
a
dxxAV

21. MATERI
CONTOH SOAL
UJI
KOMPETENSI
DAFTAR
PUSTAKA
TUJUAN
Materi
 A(x) adalah luas alas benda
putar, oleh karena alas benda
putar ini berupa lingkaran, maka
jari-jari yang dimaksud
merupakan sebuah fungsi dalam
xi misalnya f(x). Dengan
demikian volume benda putar
dapat dinyatakan sebagai
b
a
dxxfV
2

22. MATERI
CONTOH SOAL
UJI
KOMPETENSI
DAFTAR
PUSTAKA
TUJUAN
Materi
 Misalkan R daerah yang dibatasi oleh grafik
fungsi f(x), sumbu-x, garis x = a, garis x = b,
dengan a < b, maka volume benda putar yang
diperoleh dengan memutar daerah R
mengelilingi sumbu-x adalah
dxxfV
2

23. MATERI
CONTOH SOAL
UJI
KOMPETENSI
DAFTAR
PUSTAKA
TUJUAN
Materi
2. Menentukan Volume Benda Putar
yang Diputar Mengelilingi Sumbu-y
Misalkan S daerah yang dibatasi oleh grafik
fungsi x f(y), sumbu-y, garis x = a, garis x
= b, dengan a < b, maka volume benda putar
yang diperoleh dengan memutar daerah S
mengelilingi sumbu-y adalah V.
b
a
dyyfV

24. MATERI
CONTOH SOAL
UJI
KOMPETENSI
DAFTAR
PUSTAKA
TUJUAN
Materi
 Grafik Volume Benda Putar yang Diputar
Mengelilingi Sumbu-y
Volume benda putar mengelilingi sumbu
y

25. MATERI
CONTOH SOAL
UJI
KOMPETENSI
DAFTAR
PUSTAKA
TUJUAN
Materi
3. Menentukan Volume Benda Putar
yang Dibatasi Kurva f(x) dan g(x)
jika Diputar Mengelilingi Sumbu-x
 Daerah yang dibatasi oleh kurva f(x) dan
g(x) dengan , pada interval [a, b] diputar
mengelilingi sumbu-x seperti yang telah
dijelaskan di subbab E.1, maka volume
benda putar yang diperoleh adalah sebagai
berikut.
dxxgxfTV
22

26. MATERI
CONTOH SOAL
UJI
KOMPETENSI
DAFTAR
PUSTAKA
TUJUAN
Materi
 Grafik Volume Benda Putar yang Dibatasi
Kurva f(x) dan g(x) jika Diputar Mengelilingi
Sumbu-x
Volume benda putar yang dibatasi kueva f(x) dan g(x) jika diputar
mengelilingi sumbu x

27. MATERI
CONTOH SOAL
UJI
KOMPETENSI
DAFTAR
PUSTAKA
TUJUAN
Materi
4.Menentukan Volume Benda Putar yang
Dibatasi Kurva f(y) dan g(y) jika Diputar
Mengelilingi Sumbu-y
 Jika daerah yang dibatasi oleh kurva f(y) dan
g(y) dengan pada interval [a, b] diputar
mengelilingi sumbu-y. Seperti yang telah
 dijelaskan di subbab sebelumnya maka volume
benda putar yang diperoleh adalah sebagai
berikut.
b
a
dxxgxfUV
22

28. MATERI
CONTOH SOAL
UJI
KOMPETENSI
DAFTAR
PUSTAKA
TUJUAN
Materi
 Grafik Volume Benda Putar yang Dibatasi
Kurva f(y) dan g(y) jika Diputar Mengelilingi
Sumbu-y

29. MATERI
CONTOH SOAL
UJI
KOMPETENSI
DAFTAR
PUSTAKA
TUJUAN
Contoh Soal1. Hasil dari ∫ (2x + 3)(x2 + 3x)10 dx = . . . .
A. (x2 + 3x)11 + C
B. 2x (x2 + 3x)11 + C
C. x (x2 + 3x)11 + C
D. (x2 + 3x)11 + C
E. x (x2 + 3x)11 + C
(Ujian Nasional 2011/2012)
Jawaban : A
∫ (2x + 3)(x2 + 3x)10 dx
= ∫ (x2 + 3x)10 d(x2 + 3x)
= (x2 + 3x)11 + C

30. MATERI
CONTOH SOAL
UJI
KOMPETENSI
DAFTAR
PUSTAKA
TUJUAN
Contoh Soal2. Hasil dari ∫ cos4 2x sin 2x dx =
A. - sin5 2x + C
B. - cos5 2x + C
C. - cos5 2x + C
D. cos5 2x + C
E. sin5 2x + C
(Ujian Nasioanal 2010/2011)
Jawaban : B
∫ cos4 2x sin 2x dx
= - ∫cos4 2x d(cos 2x)
= - . cos5 2x + C
= - cos5 2x + C

31. MATERI
CONTOH SOAL
UJI
KOMPETENSI
DAFTAR
PUSTAKA
TUJUAN
Contoh Soal
 Tentukan hasil integral- integral berikut!
 Misal U = 2X -7
» du = 2 dx dx =
»
Kunci: + c

32. MATERI
CONTOH SOAL
UJI
KOMPETENSI
DAFTAR
PUSTAKA
TUJUAN
Contoh Soal
 Misal: u = cos x
 du = -sin x dx maka -du = sin x dx
Jadi
Kunci

33. MATERI
CONTOH SOAL
UJI
KOMPETENSI
DAFTAR
PUSTAKA
TUJUAN
Contoh Soal
Contoh 1: menghitung luas
Hitunglah luas daerah yang
dibatasi kurva y = 3x2 + 6x ,
sumbu X, dan garis-garis x =
0 dan x = 2

34. MATERI
CONTOH SOAL
UJI
KOMPETENSI
DAFTAR
PUSTAKA
TUJUAN
Contoh Soal
 Penyelesaian:
Sketsalah terlebih dahulu grafik
y = 3x2 + 6x
Titik potong dengan sumbu X
y = 0 → 3x2 + 6x = 0 → 3x(x + 2) = 0
x = 0 atau x = -2
sehingga titik potong dengan sumbu X
adalah di (0,0) dan (-2,0)

35. MATERI
CONTOH SOAL
UJI
KOMPETENSI
DAFTAR
PUSTAKA
TUJUAN
Contoh Soal
 Sketsa grafik y = 3x2 + 6x
X
Y
O
y = 3x2 + 6x
x =2-2

36. MATERI
CONTOH SOAL
UJI
KOMPETENSI
DAFTAR
PUSTAKA
TUJUAN
Contoh Soal
X
Y
O-2
L=?
x =2
y = 3x2 + 6x
L =
2
0
2
)63( dxxx
2
0
23
3x x
luassatuan200)2.32( 23

37. MATERI
CONTOH SOAL
UJI
KOMPETENSI
DAFTAR
PUSTAKA
TUJUAN
Contoh Soal
4
cm
6
cm
7
cm
12
cm
7
cm
5
cm
I II III IV
satu
 Ruang benda putar dapat dibedakan menjadi 4
bagian .
bagian I dan III merupakan bentuk silinder yang
tidak perlu dihitung dengan membagi-bagi
kembali ruangnya, bagian II dan IV perlu
diperhitungkan kembali.
 Bagian I:
 Bagian II:
56)7)(4(2IL
196)7)(4( 2
IV
288)12(122IIL
345612122
2
IIV

38. MATERI
CONTOH SOAL
UJI
KOMPETENSI
DAFTAR
PUSTAKA
TUJUAN
Contoh Soal
 Sedangkan untuk menghitung bagian II dan IV
diperlukan pembagian area , misalkan dengan
mengambil h=1 diperoleh:
 Pada bagian II dan IV: dan
 Dengan menggunakan integrasi trapezoida dapat
diperoleh:
1082
2
2)(
4
1
50
i
iIVII yyy
h
LL
5.11872
2
4
1
22
5
2
0
i
iIVII yyy
h
VV

39. MATERI
CONTOH SOAL
UJI
KOMPETENSI
DAFTAR
PUSTAKA
TUJUAN
Contoh Soal
 Luas permukaan dari botol adalah:
 Luas = 1758.4 cm2
 Volume botol adalah:
 Volume = 18924.78 cm3
4.1758
560
10828810856
IVIIIIII LLLLL
6024
5.118734565.1187196
IVIIIIII VVVVV

40. MATERI
CONTOH SOAL
UJI
KOMPETENSI
DAFTAR
PUSTAKA
TUJUAN
Contoh Soal
Luas daerah yang dibatas
oleh
grafik fungsi y = 2 – x2, dan
garis
y = x adalah…

41. MATERI
CONTOH SOAL
UJI
KOMPETENSI
DAFTAR
PUSTAKA
TUJUAN
Contoh Soal
Penyelesaian:
Karena kedua titik batas
Pengintegralan belum diketahui,
maka kita harus menentukannya,
dengan cara menentukan titik
potong kedua grafik
fungsi

42. MATERI
CONTOH SOAL
UJI
KOMPETENSI
DAFTAR
PUSTAKA
TUJUAN
Contoh Soal
Penyelesaian:
Titik potong grafik fungsi y = 2 – x2
dan y = x sebagai berikut;
2 – x2 = x
x2 + x – 2 = 0
(x + 2)(x – 1) = 0 x1 = -2 dan x2 = 1
Luas daerah yang dimaksud seperti
gambar berikut:

43. MATERI
CONTOH SOAL
UJI
KOMPETENSI
DAFTAR
PUSTAKA
TUJUAN
Contoh Soal
Luas daerah yang dimaksud
Seperti gambar berikut:
X
Y
y = 2 - x2
2
–2
1

44. MATERI
CONTOH SOAL
UJI
KOMPETENSI
DAFTAR
PUSTAKA
TUJUAN
Contoh Soal
L =
1
2
2
)2( dxxx
1
2
2
2
13
3
1
)(2x xx
)1.1.1.2( 2
2
13
3
1 2
2
13
3
1
)2.()2.()2.(2

45. MATERI
CONTOH SOAL
UJI
KOMPETENSI
DAFTAR
PUSTAKA
TUJUAN
Contoh Soal
L = )1.1.1.2( 2
2
13
3
1 2
2
13
3
1
)2.()2.()2.(2
)2( 2
1
3
1
2)4( 3
8
2
1
3
8
3
1
62
2
1
3
9
8
2
1
4
Jadi,
luasnya adalah 2
1
4 satuan luas

46. MATERI
CONTOH SOAL
UJI
KOMPETENSI
DAFTAR
PUSTAKA
TUJUAN
Uji Kompetensi
1. Hasil ∫ cos3x dx adalah . . . .
A. sin x - sin3 x + C
B. cos4 x + C
C. 3 cos2 x sin x + C
D. sin3 x – sin x + C
E. sin x - 3 sin3 x + C
2. Hasil dari x dx . . . .
A. (9 + 76) D. (3 - 76)
B. (9 - 76) E. ( + 76)
C. (3 + 76)

47. MATERI
CONTOH SOAL
UJI
KOMPETENSI
DAFTAR
PUSTAKA
TUJUAN
Uji Kompetensi

48. MATERI
CONTOH SOAL
UJI
KOMPETENSI
DAFTAR
PUSTAKA
TUJUAN
Uji Kompetensi
 Luas daerah yang dibatasi oleh
kurva y = x3, sumbu Y, garis
y = 8 adalah…
 Luas daerah yang dibatasi oleh
kurva y = x2, sumbu Y, dan garis
y = x + 6 adalah…
 Luas daerah yang dibatasi oleh kurva
y = x2 – 6x + 8 dan sumbu X adalah…
 Luas daerah yang dibatasi oleh
Kurva y = x3 – 1, sumbu X, garis
x = -1 dan x = 2 adalah…

49. MATERI
CONTOH SOAL
UJI
KOMPETENSI
DAFTAR
PUSTAKA
TUJUAN
Daftar Pustaka