El documento explica los conceptos de división interior, exterior y armónica de un segmento. La división interior divide un segmento AB en una razón dada m:n determinando las longitudes de PA y PB. La división exterior determina las longitudes de QA y QB. La división armónica aplica ambos conceptos para dividir el segmento en la misma razón. Se proveen ejemplos para ilustrar cómo calcular las longitudes resultantes.

1. División interior y exterior de un segmento Geometría Proporcional

2. Ejemplo:Si AB = 18cm y CD = 42cm ; la razón entre AB y CD es: Geometría proporcional: Razón entre dos segmentos:Es el cuociente indicado entre sus medidas expresadas en una misma unidad. Segmentos proporcionales: Son aquellos tales que sus medidas permiten establecer una proporcionalidad; es decir AB , CD , EF , GH serán proporcionales si:

3. Se tiene que AB = 9cm ; CD = 12cm ; EF = 6cm y GH=8cm; son proporcionales ya que: Un punto P divide interiormente un trazo AB en una razón "m" es a "n" (m : n) si: Ejemplo: (9·8 = 12·6)  División interior de un trazo:

4. Si AB = 48cm; con P punto de división interior de AB en la razón 3 : 5 ; luego : 30 18 Ejemplo: Al Componer: 3 + 5 = 8 48 : 8 = 6 

5. Un punto Q divide exteriormente un trazo ABen una razón "m" es a "n" (m : n) si: División exterior de un trazo:

6. 48cm 84cm Si AB= 36cm; con Q punto de división exterior de AB en la razón 7 : 4 ; luego QA y QB miden: Ejemplo: Al descomponer: 7 - 4 = 3 36 : 3 = 12 

7. Un trazo ABquedará dividido armónicamente cuando se le divide interior y exteriormente en una misma razón "m" es a "n" (m : n) dada. División armónica de un trazo:

8. Si AB= 56cm; con P punto de división interior y Q de división exterior de ABal dividirlo armónicamente en la razón 9 : 5 ; luego PQ mide: 36 20 70 126 PQ = PB + QB Ejemplo: Al Componer: 9 + 5 = 14 Al descomponer: 9 - 5 = 4 56 : 14 = 4 56 : 4 = 14   = 20 + 70 = 90cm

9. 1) Si AB = 63cm ; con P punto de división interior de AB en la razón 4:5 ; luego PA y PB miden: 28 35 Ejercitación: Al Componer: 4 + 5 = 9 63 : 9 = 7 

10. 2) Si AB = 45cm ; con Q punto de división exterior de en la razón 7:2 ; luego QA y QB miden: 63cm 18cm Al descomponer: 7 - 2 = 5 45 : 5 = 9 

11. 3) Si AB= 40cm; con P punto de división interior y Q de división exterior de AB; al dividirlo armónicamente en la razón 5:3 ; luego PQ mide: 15 60 25 100 PQ = PB + QB Al Componer: 5 + 3 = 8 Al descomponer: 5 - 3 = 2 40 : 8 = 5 40 : 2 = 20   = 15 + 60 = 75cm