FUNCIONES Y GRÁFICAS CONCEPTO DE FUNCIÓN TIPOS DE FUNCIONES Y SUS GRÁFICAS Función lineal Función cuadrática Función polinomial de grado superior Función racional Función exponencial Función logarítmica PROGRESIONES PROGRESIONES ARITMÉTICAS PROGRESIONES GEOMÉTRICAS

1. MATEMATICAS
ÁNGEL ABEL ALEGRÍA LÓPEZ
UNIVERSIDAD INTERAMERICANA PARA EL DESARROLLO
CAMPUS JUCHITAN
LIC. EN INGENIERIA EN SISTEMAS DE LA INFORMACION
JUCHITAN DE ZARAGOZA OAXACA
2014

2. Índice
FUNCIONES Y GRAFICAS ......................................................................................... 3
CONCEPTO DE FUNCION...................................................................................... 3
TIPOS DE FUNCIONES Y SUS GRAFICAS ........................................................... 3
Función lineal ........................................................................................................ 3
Función cuadrática................................................................................................ 6
Función polinomial de grado superior ................................................................... 9
Función racional ................................................................................................. 13
Función exponencial ........................................................................................... 15
Función logarítmica............................................................................................. 18
PROGRESIONES ..................................................................................................... 21
PROGRESIONES ARITMETICAS ......................................................................... 21
PROGRESIONES GEOMETRICAS ....................................................................... 22
Bibliografía ................................................................................................................ 23

3. FUNCIONES Y GRAFICAS
En muchas situaciones encontramos que dos o más objetos o cantidades están relacionados por una correspondencia de dependencia, como por ejemplo: el área de un círculo depende del radio del mismo, la temperatura de ebullición del agua depende de la altura del lugar, la distancia recorrida por un objeto al caer libremente depende del tiempo que transcurre en cada instante. Esto nos conduce al concepto matemático de función.
CONCEPTO DE FUNCION
Una función es una correspondencia entre dos conjuntos numéricos, de tal forma que a cada elemento del conjunto inicial le corresponde un elemento y sólo uno del conjunto final.
Se relacionan así dos variables numéricas que suelen designarse con x e y.
F: x → y=f(x)
 x es la variable independiente
 y es la variable dependiente
Una función f de un conjunto A en un conjunto B es una regla que hace corresponder a cada elemento x perteneciente al conjunto A, uno y solo un elemento y del conjunto B, llamado imagen de x por f, que se denota y=f (x).
En símbolos, se expresa f : A→ B , siendo el conjunto A el dominio de f, y el conjunto B el condominio
TIPOS DE FUNCIONES Y SUS GRAFICAS
Función lineal
Las funciones lineales son polinomios de primer grado.
Una función lineal puede ser llevada a la forma:

4. y = f (x) = ax + b , con a ≠ 0 , a,b∈ IR
Propiedades
1. El gráfico de una función lineal es siempre una línea recta.
2. El coeficiente a es la pendiente de la recta y=ax+b.
Cuando a>0, la función lineal es creciente, y cuando a <0, la función lineal es decreciente.
También recordemos que hemos convenido que cuando no establecemos en forma explícita el dominio y el codominio de una función, supondremos que es el mayor conjunto posible en cada caso.
Por ejemplo, si hablamos de la función f, de dominio real y codominio real, tal que f(x)= 2x-6, anotaremos f: R ——-> R / f(x) = 2x-6 Siendo el dominio todos los números reales, R, y el codominio también, todos los números reales, R.
Esto se lee " f de R en R tal que f de x es igual a 2x-6"
Ejemplos:

6. Función cuadrática
Una función cuadrática es aquella que puede escribirse de la forma:
F(x) = ax2 + bx + c
Donde a, b y c son números reales cualesquiera y a distinto de cero.
Si representamos "todos" los puntos (x,f(x)) de una función cuadrática, obtenemos siempre una curva llamada parábola.
Como ejemplo, ahí tienes la representación gráfica de dos funciones cuadráticas muy sencillas:

9. Función polinomial de grado superior
Un polinomio es una suma de números finitos, la expresión de una función polinomial es: f(x)= an xn +an-1 xn-1+… +a2 x2 + a1 x+a0 donde n es un número real entero no negativo al igual que cada una de las constantes an ,an – 1, …, a2 ay a0. El grado del polinomio es n y su coeficiente de mayor grado, o sea, an, es su coeficiente principal. Si a0 es diferente de 0 y n=0, entonces f(x)=a0 es una función de grado 0 y se llama función constante. Si n=1 la función polinomial es de primer grado y se llama función lineal. La expresión de esta función es de la forma: f(x)= a1x+a0; donde a1 es diferente de cero. Los ceros de una función polinomial Definidos por la ecuación y=f(x) son aquellos valores de x que son la solución de la ecuación f(x)=0. Teorema del residuo Si un polinomio P(x) se divide entre x-a hasta obtener un residuo en el que no aparece la variable x, el residuo resultante es igual P(a). Si dividimos P(x) entre x-a y designamos por Q(x) el coeficiente y por r el residuo, entonces P(x)= Q(x)(x-a)+r. Teorema del factor Si x=a es una raíz de la ecuación P(x)=0, donde P(x) es un polinomio entonces x entre a es un factor de P(x) y recíprocamente, si x-a es un factor de P(x), entonces x=a es una raíz de la ecuación P(x)= 0. División sintética Dado que el teorema del residuo nos permite hallar el valor de un polinomio f(x) mediante la división de este entre un binomio, existe un método más sencillo para efectuar rápidamente dicha operación. Este procedimiento se conoce como división sintética y este método se justifica cuando se compara con el de la división usual. Teorema fundamental del algebra Su expresión algebraica es f(x)= an (x-r1)(x-r2)(x-r3)…(x-rn)=0 Concluimos f(x) de grado n>0 se puede expresar como el producto de factores lineales. Cabe precisar que las raíces de f(x)=0 pueden ser reales o complejas y se pueden repetir, como lo hemos señalado. Una raíz de multiplicidad k se cuenta n veces. La forma factorizada de un polinomio con coeficientes reales nos permite construir una ecuación si conocemos sus raíces.

10. Teorema del valor medio Este teorema es gran utilidad cuando requerimos hallar raíces reales de la ecuación polinimial f(x)=0. Su enunciado nos dice lo siguiente: Sea f una función polinomial; si a y b son dos números reales del dominio de f tal que a < b, y los signos de f(a) y f(b) son opuestos, entonces existe al menos una intersección con el eje x entre a y b; o sea entre a y b, la función tiene al menos un cero real. Ceros racionales de un polinomio Como cada entero tiene un número finito de divisores enteros, entonces este teorema nos permite elaborar una lista finita de posibles raíces racionales. Por ejemplo, si f(x)= 2x3+3x2-8x+3, entonces los divisores de an, o sea, de 2, son ±1 y ±2 y los de a0, es decir, de 3, son ±1 y ±3. Relación entre raíz, factor y divisor de un polinomio. Estos teoremas se relacionan porque en cada uno de ellos calculamos el resultado del residuo y también podemos sacar raíz. Ejemplos: ( )
( )

11. ( )
( )
( )

12. ( )
( )
( )

13. Función racional
Una función racional h(x) es el cociente de dos funciones f(x) y g(x) se representa con: ( ) ( ) ( )
Donde f(x) y g(x) son funciones polinomiales y g(x) es una función diferente de cero, es decir g(x) ≠ 0.
El dominio de una función racional es el conjunto de todos los números reales con excepción de los valores para los cuales: g(x) = 0.
Ejemplos:

15. Función exponencial
Se llaman así a todas aquellas funciones de la forma f(x) = bx, en donde la base b, es una constante y el exponente la variable independiente. Estas funciones tienen gran aplicación en campos muy diversos como la biología, administración, economía, química, física e ingeniería.
La definición de función exponencial exige que la base sea siempre positiva y diferente de uno (b>0 y b≠1). La condición que b sea diferente de uno se impone, debido a que al reemplazar a b por 1, la función bx se transforma en la función constante f(x) = 1. La base no puede ser negativa porque funciones de la forma f(x)=(-9)1/2 no tendrían sentido en los números reales.
El dominio de la función exponencial está formada por el conjunto de los números reales y su recorrido está representado por el conjunto de los números positivos.
1. La función exponencial de base dos: y=f(x)=2x
La tabla siguiente muestra algunos valores para la función de base dos.
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
f(x)
1/8
1/4
½
1
2
4
8
Para graficar esta función se localizan estos puntos en un plano cartesiano, uniéndolos con una curva suave, tal como se modela en la siguiente escena. Mueve el punto P y observa el comportamiento de la función a medida que:
 x crece ilimitadamente
 x decrece ilimitadamente.
2. La función exponencial de base 1/2

16. Analicemos ahora el comportamiento de la función exponencial de base 1/2. Mueve el punto P y observa el comportamiento de la función cuando x tiende a +¥ y cuando x tiene a -¥.
y=f(x)=(1/2)x
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
f(x)
8
4
2
2
1/2
1/4
1/8
3. La función exponencial para cualquier valor de b
Utiliza la siguiente escena para analizar el comportamiento de otras funciones exponenciales, para diferentes valores de b. Usa las flechas para modificar el valor de la base b. Compara el comportamiento de la función para valores de b>1 y valores de comprendidos entre 0<b<1.
 La función exponencial existe siempre para cualquier valor de la variable independiente x.
 Toma valores positivos para cualquier valor de x.
 El dominio de la función exponencial es todo el conjunto de los números reales.
 Todas las funciones pasan por el punto (0,1).
 Las gráficas de las funciones exponenciales de la forma f(x)=bx, con b>1 son crecientes. Los valores de la función crecen cuando x aumenta.
 Las gráficas de las funciones exponenciales de la forma f(x)=bx, con 0<b<1 son decrecientes. Los valores de la función decrecen cuando x aumenta.
 El eje x es una asíntota horizontal, hacía la izquierda si b>1 y hacía la derecha si b<1.
 La definición exige que la base sea positiva y diferente de uno.

17.  Si b=0 la función se transforma en la función constante 0.
Ejemplos:
( )

18. ( )
Función logarítmica
Las inversas de las funciones exponenciales se llaman funciones logarítmicas. Como la notación f-Se utiliza para denotar una función inversa, entonces se utiliza otra notación para este tipo de inversas. Si f(x)= bx, en lugar de usar la notación f-1(x), se escribe log b (x) para la inversa de la función con base b. Leemos la notación log b(x) como el ―logaritmo de x con base b‖, y llamamos a la expresión log b(x) un logaritmo.
Definición: El logaritmo de un número y es el exponente al cual hay que elevar la base b para obtener a y. Esto es, si b > 0 y b es diferente de cero, entonces

19. Log b y = x si y sólo si y = bx.
Nota: La notación log b y = x se lee ―el logaritmo de y en la base b es x‖.
Ejemplos:
1) ¿A qué exponente hay que elevar la base 5 para obtener 25? Al exponente 2, ya que 52 = 25. Decimos que ―el logaritmo de 25 en la base 5 es 2‖. Simbólicamente lo expresamos de la forma log5 25 = 2. De manera que, log5 25 = 2 es equivalente a 52 = 25. (Observa que un logaritmo es un exponente.)
2) También podemos decir que 23 = 8 es equivalente a log2 8 = 3.
Nota: El dominio de una función logaritmo es el conjunto de todos los números reales positivos y el recorrido el conjunto de todos los números reales. De manera que, log10 3 está definido, pero el log10 0 y log10 (-5) no lo están. Esto es, 3 es un valor del dominio logarítmico, pero 0 y -5 no lo son.
Ejemplos:

21. PROGRESIONES
Toda progresión matemática es una sucesión de números o términos algebraicos entre los cuales hay una ley de formación constante. Se distinguen dos tipos:
PROGRESIONES ARITMETICAS
Termino general de una progresión aritmética ( ) ( )
Interpolación de términos
Sean los extremos a y b, y el número de medios a interpolar m.
Suma de términos equidistantes
Suma de n términos consecutivos ( )

22. PROGRESIONES GEOMETRICAS
Término general de la progresión geométrica
Interpolación de términos √
Suma de n términos consecutivos
Suma de los términos de una progresión geométrica decreciente
Producto de términos equidistantes
Producto de n términos equidistantes √( )

23. Bibliografía
@vitutor. (2014). VITUTOR. Recuperado el 6 de 12 de 2014, de nexo@vitutor.com: http://www.vitutor.com/al/sucesiones/p_f.html
cica. (s.f.). thales.cica. Recuperado el 8 de 12 de 2014, de http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0416-02/indice.htm
Derive. (s.f.). Manuales Derive. Recuperado el 7 de 12 de 2014, de http://platea.pntic.mec.es/jarias/investiga/apuntes/1bcn/1bcm108.pdf
Inter. (s.f.). Inter.edu. Recuperado el 7 de 12 de 2014, de http://facultad.bayamon.inter.edu/ntoro/logaw.htm
Tenenbaum, P. S. (27 de 10 de 2010). edu.uy. Recuperado el 8 de 12 de 2014, de http://www.x.edu.uy/lineal.htm