Fórmulas útiles en la materia de geometría analítica.

1. Formulario de matemáticas III (preparatoria)
FÓRMULAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA
Condición para que dos rectas sean 13 Forma simétrica (intersección con los
7 paralelas ejes)
CONCEPTOS BÁSICOS x y
m1 = m2 + =1
a b
1 Distancia entre dos puntos: 8 Condiciones para que dos rectas sean 14 Forma general (igualar a cero)
perpendiculares Ax + By + C = 0
d = (x 2 " x1 ) 2 + (y 2 " y1 ) 2 ! 1
m1 • m2 = "1 o m2 = " ! de la recta Ordenada de la recta
Pendiente
m1
A C
m=" b="
! B B
! 2 División de un segmento en una 9 Área de un polígono de n lados 15 Cálculo de la distancia de un punto a una
razón dada: recta
!
x1 y1
x1 + rx 2 x2 y2 ! !
P(x,y) x= , 1 1 #+ ( x1 y 2 + x 2 y 3 + K + x n y1 )& Ax + By + C
" 1+ r A= M = % ( d=
2
xn yn
2 $"( x 2 y1 + x 3 y 2 + K + x1 y n )'
% ( A2 + B2
y1 + ry 2
y= x1 y1
1+ r
! !
!
3 Punto medio de un segmento recta
!
! x1 + x 2
x=
P(x,y) " 2 ,
ECUACIONES DE LA RECTA CÓNICAS
y1 + y 2
y=
2
! !
4 Pendiente de una recta 10 Forma ordinaria (pendiente / ordenada) 16 Ecuación general de las cónicas
Dado el ángulo Dado dos puntos
!
m = tan " y 2 " y1 y = mx + b Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0
m=
x 2 " x1
5 Ángulo de inclinación de una recta 11 Forma punto / pendiente 17 Identificación de las cónicas
! !
Discriminante: I = B 2 " 4 AC
!
" = tan#1 (m) y " y1 = m(x " x1 ) B 2 " 4 AC < 0 (negativo)
Elipse:
2
Parábola: B " 4 AC = 0 (cero)
! 2
Hipérbola: B " 4 AC > 0 (positivo)
! ! !
6 Ángulo entre dos rectas dadas sus 12 Forma cuando pasa por dos puntos
pendientes !
#y " y & ! CIRCUNFERENCIA
$ m # m1 '
#1
y " y1 = % 2 1 (( x " x1 )
" = tan & 2 ) $ x 2 " x1 '
%1+ m1 • m2 (
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!

2. Formulario de matemáticas III (preparatoria)
18 Datos importantes para obtener la 22 Datos importantes para obtener la ecuación 26 Horizontal
ecuación de la circunferencia: de la parábola: (vértice fuera del origen)
V(h,k) = coordenadas del vértice. 2
C(h,k) = coordenadas del centro. Ecuación
" ( y # k) = 4 p( x # h )
p = distancia del vértice al foco.
r = radio Vértice " V(h,k)
Eje focal = horizontal / vertical " ( h + p,k )
Foco
!
Directriz " x = h # p
! Lado recto " LR = 4 p
!
focal " y = k
Eje !
19 Ecuación ordinaria con centro en 23 Horizontal 27
!
el origen (vértice en el origen) Forma general de la parábola
! (caso con eje horizontal)
Ecuación " y 2 = 4 px !
x 2 + y 2 = r2 " V(0,0)
Vértice y 2 + Dx + Ey + F = 0
" ( p,0)
Foco donde:
! Directriz " x = # p
D = "4 p
Lado recto " LR = 4 p
! !Eje focal " y = 0 ! E = "2k
!
! F = k 2 + 4 ph
20 Ecuación ordinaria con centro 24 Vertical 28
fuera del origen ! (vértice en el origen) Forma general de la parábola
! (caso con eje vertical)
Ecuación !
" x 2 = 4 py
Vértice " V(0,0) x 2 + Dx + Ey + F = 0
2 2 2
(x " h) + (y " k) = r Foco " (0, p) donde:
Directriz " y = # p
! D = "2h
Lado recto " LR = 4 p
! ! E = "4 p
" x =0
! ! focal
Eje
! F = h 2 + 4 pk
21 Ecuación general o desarrollada 25! Vertical
! (vértice fuera del origen)
x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 !
2
Ecuación
" ( x # h) = 4 p( y # k )
D E
h=" k =" " V(h,k) ELIPSE
donde: 2 , 2 , Vértice
! " ( h,k + p)
Foco
!
D2 + E 2 " 4F Directriz " y = k # p
r=
! ! 2 !Lado recto " LR = 4 p
!
focal " x = h
Eje !
PARÁBOLA !
! !
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! 2

3. Formulario de matemáticas III (preparatoria)
29 Datos importantes para obtener 32 Forma ordinaria en el origen 35 Forma general de la elipse
la ecuación de la elipse: (eje mayor - vertical) (caso horizontal)
C (h,k) = coordenadas del centro. x2 y2 Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0
Ecuación " 2 + 2 = 1
a = longitud del semieje mayor. b a
donde:
! b = longitud del semieje menor.
!Centro " C(0,0) ! A = b2
Eje mayor = Horizontal / Vertical !
Vmayor (0 ,±a) C = a2
Vértices "
! Vmenor (±b,0) D = "2b 2 h
E = "2a 2 k
Focos " F(0, ± c)
! F = b 2 h 2 + a 2 k 2 " a 2b 2
30 Ecuaciones importantes de la 33 ! Forma ordinaria fuera del origen 36 Forma general de la elipse
elipse (eje mayor - horizontal) (caso vertical)
! !
c = distancia del centro al foco.
(x " h) 2 (y " k) 2 ! Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0
Ecuación " + =1
a2 b2
c = a2 " b2 donde:
LR = Lado recto C ( h,k ) !
!Centro " A = a2
!
! 2b 2 Vmayor (h ± a,k) C = b2
LR = Vértices "
a Vmenor (h ,k ± b) D = "2a 2 h
! !
e = excentricidad ( e < 1) E = "2b 2 k
Focos " F(h ± c,k)
! F = a 2 h 2 + b 2 k 2 " a 2b 2
! c a2 " b2
e= = !
a a
! !
!
31 Forma ordinaria en el origen 34 Forma ordinaria fuera del origen
(eje mayor - horizontal) (eje mayor – vertical)
!
x2 y2 (x " h) 2 (y " k) 2
Ecuación " 2 + 2 = 1 Ecuación " + =1
a b b2 a2
HIPÉRBOLA
!Centro " C(0,0)
!Centro " C ( h,k )
! !
Vmayor (±a,0) Vmayor (h,k ± a)
Vértices " Vértices "
! Vmenor (0 ,±b) Vmenor (h ± b,k)
! !
Focos " F(±c,0) Focos " F(h,k ± c)
! !
! !
! ! ! !
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4. Formulario de matemáticas III (preparatoria)
37 Datos importantes para obtener 40 Forma ordinaria en el origen 43 Forma general de la hipérbola
la ecuación de la hipérbola: (eje focal - vertical) (caso horizontal)
C (h,k) = coordenadas del centro. y2 x2 Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0
Ecuación " " =1
a = long. del semieje transverso. a2 b2
donde:
Centro " C(0,0)
! b = long. del semieje conjugado.
! ! A = b2
Eje Focal = Horizontal / Vertical ! y x
+ =0 C = "a 2
Asíntotas "
a b
!
y x D = "2b 2 h
" =0
a b E = 2a 2 k
!Focos " F(0,±c) F = b 2 h 2 " a 2 k 2 " a 2b 2
38 Ecuaciones importantes de la 41 !
Forma ordinaria fuera del origen Forma general de la hipérbola
hipérbola (eje focal - horizontal) (caso vertical)
! ! !
c = distancia del centro al foco. 2 2
( x " h) ( y " k) Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0
Ecuación " " =1
2 2
a2 b2
c = a +b donde:
Centro " C(h,k)
LR = Lado recto ! A = "a 2
!
! x"h y"k
+ =0 C = b2
! 2b 2 a b
LR = ! Asíntotas "
a x"h y"k D = 2a 2 h
" =0
e = excentricidad ( e > 1) a b E = "2b 2 k
!Focos " F(h ± c,k) F = b 2 k 2 " a 2 h 2 " a 2b 2
2 2
! c a +b
e= =
a a !
39 Forma ordinaria en el origen 42 Forma ordinaria fuera del origen
(eje focal - horizontal) ! ! (eje focal - vertical) !
2 2
! x2 y2
Ecuación " 2 " 2 = 1 Ecuación "
( y " k) "
( x " h) =1
a b a2 b2
Centro " C(0,0) Centro " C(h,k)
! !
! x y ! y"k x"h
+ =0 + =0
a b a b
! Asíntotas " ! Asíntotas "
x y y"k x"h
" =0 " =0
a b a b
!Focos " F(±c,0) !Focos " F(h,k ± c)
! !
! ! !
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