3. ecuaciones basicas de flujo

Preparado por: Luis Fernando Bonilla C 1
ECUACIONES BASICAS DE FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS
POROSOS
La ecuación de difusividad para flujo radial es:
t
P
K
C
r
P
r
rr
t
∂
∂
=





∂
∂
∂
∂ φµ1
(1)
La ecuación 1 es una ecuación diferencial parcial que tiene muchas soluciones
dependiendo de las condiciones iniciales y condiciones de frontera. Para su
solución siempre se requerirán una condición inicial y dos condiciones de
frontera.
SOLUCIÓN PARA FLUJO ESTABLE (Steady state)
Esto quiere decir que no hay cambio de presión con el tiempo, por lo cual el lado
derecho de la ecuación 1 se hace nulo, pues:
0=
∂
∂
t
P
Para resolver lo que queda de la ecuación 1 colocamos las siguientes
condiciones:
Condición inicial:
La presión inicial en el yacimiento a un tiempo cero es, ( ) PetrPi == 0,
Condiciones de frontera:
La presión en el límite externo a cualquier tiempo es constante, ( ) ee PtrP =≥ 0,
El caudal en el pozo a cualquier tiempo es constante, ( ) Ctetrq w => 0,
La ecuación 1 se reduce a:
0
1
=





∂
∂
∂
∂
r
P
r
rr
(2)
La solución a la ecuación 2 es:






=−
w
wf
r
r
In
Kh
q
PP
π
µ
2
(3)
Cuando r=re entonces P=Pe y la ecuación se puede escribir como:







=−
w
e
wfe
r
r
In
Kh
q
PP
π
µ
2
(4)
En unidades de campo la ecuación 4 toma la siguiente forma:






=−
w
eoo
wfe
r
r
In
Kh
Bq
PP
µ2.141
(5)
OBSERVACIONES A LA SOLUCIÓN STEADY STATE
• El fluido fue considerado incomprensible.
• Solo se aplica cuando bRwf PPyP >
• La viscosidad y el factor volumétrico del aceite deben ser evaluados a una
presión promedio
2
Rwf PP +
• Solo aplicaría para yacimientos de agua.
ESTIMACION DE LA PRESION PROMEDIO
_
P
Por definición, la presión promedio es definida como:
__
P =
dv
Pdv
∫
∫
(6)
Pero se sabe que el volumen poroso es:
φπ hrV 2
=
La diferencial del volumen sería:
drrhdv φπ2= (7)
Substituyendo estas expresiones en la ecuación 6,
rdr
dr
drrh
drrhP
P e
w
e
w
r
r
r
r
∫
∫=
∫
∫
=
Pr
2
2__
φπ
φπ
(8)
Al remplazar la ecuación 3 en la ecuación 8 se obtiene:

( )22
__
2
1
2
we
w
wf
rr
rdr
r
r
In
kh
q
P
P
−














+
=
∫ π
µ
( )
22
222
__ 2
1
.
2 we
we
w
e
e
wf
rr
rr
r
r
Inr
kh
q
PP
−
−−





+=
π
µ
(9)
Asumiendo que 02
2
≈
e
w
r
r
entonces la ecuación 9 se reduce a:






−





+=
2
1
2
__
w
e
wf
r
r
In
Kh
q
PP
π
µ
(10)
SOLUCIÓN PARA ESTADO SEUDO – ESTABLE (SEMI STEADY STATE)
En este caso el cambio de la presión con el tiempo es constante. O sea que
tenemos las siguientes condiciones:
El cambio de la presión con respecto al tiempo es constante, Cte
t
P
=
∂
∂
Condición inicial: La presión original del yacimiento en cualquier punto de él, a
un tiempo cero, es ( ) PitrP == 0,
Condiciones de frontera:
• El gradiente de presión con respecto al radio en la frontera es nulo, o sea,
no hay flujo en la frontera, ( )0,0 >
∂
∂
==
∂
∂
tr
r
P
r
P
e
• El caudal en el pozo a cualquier tiempo es constante, o sea,
( ) Cteotrq w =>,
La solución a la ecuación de difusividad a estas condiciones es:







 −
−=−
e
w
w
wf
r
rr
r
r
In
Kh
q
PP
22
22
π
µ
(11)

Si hacemos ee PPrr =⇒= y:







 −
−=−
e
we
w
e
wfe
r
rr
r
r
In
Kh
q
PP
22
22
π
µ
(12)
La presión promedio,
__
P , para este caso sería en forma similar al caso estable
definida por:
dr
rr
P
e
w
r
r
we
Pr
2
22
__
∫−
= (13)
Integrando,







 −
−−+= 2
22__
42
1
2 e
we
w
e
wf
r
rr
r
r
In
kh
q
PP
π
µ
(14)
Los últimos dos términos en el corchete pueden ser aproximados a ¾ y la
ecuación queda como,






−+=
4
3
2
__
w
e
wf
r
r
In
kh
q
PP
π
µ
(15)
OBSERVACIONES
• En la practica Pe no se puede medir.
• Para condiciones estables, Pe debe ser muy similar a Pi.
Craft y Hawkins mostraron que RP
__
está localizada aproximadamente a un r igual
a 0.61 re para el caso estable. Por lo cual la ecuación para este caso ellos la
presentan como:
( ) 





+===
w
eooo
wfRe
r
r
In
Kh
Bq
PPrrP
61.02.141
61.0
__ µ
(16)
Lo que equivale a:







−











−
=
5.02.141
__
w
e
oo
wfR
o
r
r
InB
PPKh
q
µ
(17)
Para el caso de flujo seudo-estable, RP
−
aparece aproximadamente a un valor de
r = 0.472re.
( ) 







+===
w
eooo
wfRe
r
r
In
Kh
Bq
PPrrP
472.02.141
472.0
__ µ
(18)
Lo que equivale a:








−











−
=
−
75.0ln2.141
w
e
oo
wfR
o
r
r
B
PPKh
q
µ
(19)
En cálculos de productividad en la mayoría de los casos se prefiere usar el
modelo seudo estable.
FLUJO EN POZOS DE GAS
El gas obviamente es un fluido altamente compresible, por lo cual el caudal
volumétrico de gas es una función de la presión. La rata másica representada
por el producto de la densidad por el caudal sí seria constante. Para el cálculo
de la densidad de los gases se aplica la ecuación de estado.
ZRT
PM
=ρ (20)
scsc
sc
sc
RTZ
MP
=ρ (21)
scsc qq ρρ = (22)
La ecuación de Darcy en su forma mas sencilla es:
dr
dPrhK
q
g
g
µ
π2
= (23)
reemplazando la ecuación 22 en la 23,

dr
dPrhK
TZP
PT
q
P
P
q
g
g
sc
sc
sc
sc
µ
π2
.==
Separando variables e integrando:
r
dr
hKgT
ZTPq
PdP re
rw
sc
scgscPe
Pwf ∫=∫
π
µ
2
(24)








=−
w
e
sc
scgsc
wfe
r
r
In
hKrT
ZTPq
PP
π
µ22
(25)
Para flujo estabilizado y en unidades de campo:














−
=
w
e
g
wfRg
sc
r
r
ZTIn
PPhK
q
472.0
000703.0 22
__
µ
(26)
EL FACTOR DE DAÑO
La figura 1 muestra que la caída de presión en las cercanías del pozo no sigue
la tendencia normal sino que cambia haciendo que la presión de pozo fluyendo
no sea la esperada
´
wfP sino una menor o tal vez una mayor. Esto se debe a un
cambio de la permeabilidad en las cercanías del pozo. Cuando esto sucede se
dice que hay un daño en la formación. Un daño designado por el símbolo S que
puede ser positivo cuando la Pwf disminuye o negativo cuando la Pwf aumenta.
Figura 1. Definición del factor de daño.

Cuando se incluye el factor de daño en las ecuaciones básicas de flujo se
obtiene las siguientes relaciones.
Para el caso de flujo estable:






+





−= S
r
r
In
Kh
Bq
PP
w
oo
Rwf
µ2.141
(27)
Para el caso de flujo seudo-estable:








+
−
−







−= S
r
rr
r
r
In
Kh
Bq
PP
e
we
w
eoo
Rwf 2
22
2
2.141 µ
(28)
Donde el factor de daño, S, es definido por la siguiente relación:
S = 






 −
−





− 2
22
2
1
e
ws
w
s
s r
rr
r
r
In
K
K
(29)
Ks es la permeabilidad de la zona dañada y rs es el radio de la zona dañada. Si
se considera que el radio de la zona dañada es aproximadamente igual al radio
del pozo, o sea, que ws rr ≈ , entonces la expresión:
,0
2
2
22
≈
−
e
ws
r
rr
(30)
Y el valor del daño se reduce a:












−=
w
s
r
r
In
Ks
K
S 1 (31)
La expresión anterior del daño es conocido como el factor de daño de Hawkins.
Algunos autores definen un factor de daño compuesto donde incluyen el
coeficiente de turbulencia en las cercanías del pozo y que también afecta el
caudal de fluido. Dicho factor de daño es definido de la siguiente forma:
S’ = S + Dq (32)
donde D es el coeficiente de turbulencia.

Las ecuaciones anteriores que definen el flujo se aplican para áreas de drene
circulares. En el evento en que dichas áreas de drene no sean circulares ODEH
propuso un factor de forma cuyo valor varía de acuerdo a la forma del área de
drene y a la ubicación relativa del pozo dentro del área. Los valores de los
factores de forma aparecen en tablas de la literatura. Por consiguiente, la
ecuación de flujo incluyendo el factor de forma queda como:
( )[ ]SxInB
PPKh
q
oo
wfR
o
+






−
=
472.0
00708.0
__
µ
(33)
Donde x es el valor del factor de forma. Algunos valores de x son mostrados en
la figura 2.

Figura 2. Valores del factor de forma.

RELACION DEL COMPORTAMIENTO DE AFLUENCIA (INFLOW
PERFORMANCE RELATION I.P.R.)
La relación de comportamiento de la afluencia no es mas que una relación entre
el caudal de fluido y la presión de pozo fluyendo. La figura 3 muestra las
características de una IPR de un pozo.
CARACTERÍSTICAS DE LAS CURVAS IPR
♦ En el eje “X” de la gráfica siempre se suele colocar el caudal, q.
♦ Cuando Pwf es igual a PR entonces el caudal es nulo, q=0.
♦ El caudal se hace máximo cuando Pwf se hace nulo.
♦ La pendiente de la línea
J
m
1
= y J es el índice de productividad.
♦ El modelo de IPR recta solo es útil para pozos de flujo monofásico, o sea,
pozos de petróleo sub-saturados o pozos de agua en condiciones seudo-
estables.
♦ Si la IPR es recta, entonces J es constante y
2
2
1
1
wfRwfR PP
q
PP
q
cteJ
−
=
−
==
IPR NO LINEAL
Lo mas común en pozos de petróleo es que la IPR no sea lineal debido entre
otras a las siguientes razones:
♦ Flujo de mas de una fase cuando se fluye a P < Pb
♦ Flujo multifásico con presencia de agua.
♦ Yacimientos saturados en donde hay flujo de gas libre.
En estos casos la IPR presenta una curvatura que se hace mas pronunciada a
altas ratas de flujo asociadas a altas P∆ . Ello hace que se obtenga una
reducción de “J”.

Figura 3. Líneas de comportamiento de flujo recta y curva.
Para el caso de la IPR curvilínea, la mejor ecuación para modelarla es una
ecuación de la forma:
( )n
wfR PPCq 22
−= (34)
Los valores de los parámetros C y n tienen las siguientes características:
• el valor de n puede variar entre 0.5 y 1.0
• “n” se determina de una prueba multirata graficando ( )222
PPP wfR ∆− vs q.
• Siempre se grafica el caudal en el eje “X” y P∆ 2
en el eje “y”. La pendiente
de esa recta en log – log es “1/n”.
Esta ecuación es mas usada para pozos de gas, aunque FETKOVICH (1973)
también la usó para pozos de petróleo.
FACTORES QUE AFECTAN EL INDICE DE PRODUCTIVIDAD
Una mejor definición del índice de productividad basada en la ecuación de flujo
es mediante la siguiente ecuación:

dP
B
K
S
r
r
InPP
Kh
J
oo
roP
P
w
e
wfR
R
wf
µ
__
'
472.0
00708.0
__
∫






+











−
= . (35)
Se debe recordar que,
K
K
K o
or = (36)
El análisis de la ecuación 35 que define el valor del índice de productividad J,
permite concluir que el índice de productividad está fuertemente influenciado por
la variación de los valores de las permeabilidades relativas, de la viscosidad y
del factor volumétrico. Todos ellos a la vez son función de la variación de la
presión y de las saturaciones.
Las figuras 4, 5, 6 y 7 muestran la variación del comportamiento de fases en el
yacimiento, de las permeabilidades relativas, de la viscosidad del aceite y de su
factor volumétrico en función de la presión.
Figura 4. Variación de las fases con la presión.

Figura 5. Variación de las permeabilidades relativas con la saturación
Figura 6. Variación de la viscosidad del aceite con la presión.

Figura 7. Variación del factor volumétrico del aceite con la presión.
Como se nota en las figuras Ko, µo y Bo están fuertemente influenciadas por el
valor de la presión del yacimiento. Para aceites subsaturados la variación µo, Bo
no es grande. El efecto compuesto
oo Bµ
1
decrece linealmente con la presión.
Si queremos incluir este efecto, entonces evaluar µo y Bo a una presión
promedio
2
wfe PP
Pavg
+
= (37)
La ecuación para flujo seudo-estable usando los valores promedio resultante
sería:
( )
( ) 



−





−
=
75.02.141
w
e
avgoo
wfR
o
r
r
InB
PPKh
q
µ
(38)
FACTORES QUE AFECTAN LA IPR
La IPR para un pozo es la relación entre la rata de flujo del pozo y la presión del
pozo fluyendo Pwf. La IPR es ilustrada gráficamente haciendo una figura de Pwf

versus q. Si la IPR puede ser representada por un índice de productividad
constante J, la gráfica será una línea recta y la pendiente de la línea sera –1/J,
con intercepto de Pwf= RP
−
y q=qmax en valores de q=0 y Pwf=0 respectivamente.
En una sección previa se dio la expresión teórica para determinar J y se señaló
que algunos cambios en las propiedades del sistema roca-fluido podrían causar
un cambio de J. Si el valor de J cambia, la pendiente de la curva IPR cambiará y
no existirá una relación lineal entre Pwf y q. Para yacimientos de petróleo, los
principales factores que afectan la IPR son:
1. La disminución de Kro cuando la saturación de gas aumenta.
2. El incremento de la viscosidad del aceite al disminuir la presión y con ello
disminuir el gas en solución.
3. Disminución del factor volumétrico del aceite al reducir la presión y con
ello el gas en solución.
4. Daño o estimulación de la formación en las cercanías del pozo que se
debe reflejar en la expresión S´=S+Dqo.
5. Aumento del factor de turbulencia Dqo al aumentar qo.
Estos factores pueden cambiar ya sea como resultado de un cambio en la caída
de presión para poder mantener la rata constante o por la depleción del
yacimiento. Los cambios en el factor de daño pueden resultar de trabajos de
estimulación o de daño propiamente dicho. Los efectos sobre la IPR del
mecanismo de empuje, de la disminución de la Pwf y de la depleción se discuten
brevemente a continuación.
1. Mecanismo de empuje
La fuente de energía del yacimiento tiene gran efecto en el comportamiento de la
presión y en la rata de flujo.
a. Gas en solución (yacimiento saturado)

Un yacimiento que produce por gas en solución es cerrado a cualquier otra
fuente de energía en su límite externo tal como a empujes hidráulicos. Su
presión inicialmente está por encima del punto de burbuja y por ello no hay gas
libre en el yacimiento. La única fuente de material para remplazar los fluidos
producidos es la expansión de los fluidos remanentes en el yacimiento. Puede
haber una expansión despreciable del agua connata y de roca.
La presión del yacimiento declina rápidamente con la producción hasta que se
hace igual a la presión de burbuja debido a que el aceite se está expandiendo
para remplazar lo fluidos producidos. El GOR será constante durante este
período de flujo. También como no hay gas libre, entones la f(PR) permanecerá
mas o menos constante. (Recordar que la dP
B
K
Pf
oo
roP
PR
R
wf
µ
__
)( ∫= ).
Una vez RP
−
cae por debajo de Pb, habrá gas libre para expandirse y así RP
−
se
reducirá pero con menos rapidez. Sin embargo, cuando la saturación de gas
supere a la saturación crítica gas, el GOR aumentará rápidamente provocando
una depleción adicional de la energía del yacimiento. Cuando se llegue a
condiciones de abandono, el GOR empezará a disminuir debido a que la
mayoría del gas se ha producido, y porque a bajas presiones de yacimiento, el
volumen del gas en el yacimiento no está muy lejos del valor del volumen del
gas a condiciones estándar.
La recuperación a condiciones de abandono estará entre un 5 % y un 30%. El
comportamiento típico de un yacimiento que produce por gas en solución se
muestra en la figura 8.

Figura 8. Comportamiento de yacimiento por gas en solución
b. Capa de gas
El yacimiento de capa de gas es también un yacimiento cerrado a fuentes de
energía externa pero el petróleo está saturado de gas a su presión inicial y por
ello habrá gas libre. A medida que se produce petróleo la capa de gas se
expande y ayuda a mantener la presión del yacimiento. También, a medida que
la presión se reduce el gas se libera de la solución del petróleo saturado.
La presión declinará en forma menos intensa que los yacimientos que producen
por gas en solución, pero a medida que la capa de gas se expanda los pozos
ubicados en la parte mas alta de la estructura producirán con un GOR muy alto.
Bajo condiciones primarias, la recuperación al momento del abandono puede
estar entre un 20% y 40%. El comportamiento primario de una yacimiento por
empuje de capa de gas se muestra en la figura 9.

Figura 9. Comportamiento de yacimiento por empuje de capa de gas
c. Empuje de acuífero
Un yacimiento que produce por empuje de acuífero activo, el petróleo está en
contacto con el agua que produce la energía y ella suministra el material para
remplazar al petróleo producido. El agua que remplaza al petróleo puede
provenir de la expansión de ella misma o de un acuífero activo que puede estar
conectado. El petróleo es sub-saturado pero si la presión se reduce por debajo
del punto de burbuja, se formará gas libre y el gas remanente en solución ayuda
también a suministrar energía para la producción.
La recuperación esperada para este tipo de yacimiento está entre el 35% al
75%. Si la rata de producción es lo suficientemente baja para permitir que el
agua se mueva y remplace al petróleo producido o si se instala un sistema de
inyección de agua, la recuperación puede llegar a ser mas alta. Si el yacimiento
permanece por encima del punto de burbuja, no se formará gas libre y la función
presión RP
−
permanecerá mas o menos constante. El comportamiento de un
yacimiento que tiene empuje hidráulico se muestra en la figura 10.

Figura 10. Yacimiento por empuje hidráulico.
d. Combinado
En muchos casos un yacimiento producirá por la combinación de mas de un
mecanismo. En este caso, cada mecanismo hará sus aportes a la producción
del yacimiento.
2. Rata de producción o Drawdown
Se mencionó anteriormente que la principal razón del cambio del índice de
productividad es el cambio de la función presión dP
B
K
Pf
oo
roP
PR
R
wf
µ
__
)( ∫= . Si la presión
en algún lugar del yacimiento cae por debajo del punto de burbuja, el gas saldrá
de la solución y la permeabilidad al aceite se reducirá, causando así una
disminución de J. Aunque la presión del yacimiento puede estar bien por
encima del punto de burbuja, para obtener una rata de flujo razonable puede ser
necesario reducir la Pwf a niveles por debajo de Pb. Cuando esto sucede, se
forma una zona de permeabilidad relativa al aceite reducida en los alrededores
del pozo donde la presión esté por debajo de Pb. Los efectos de del daño del
pozo se discutirán brevemente a continuación.
♦ Skin cero

Los efectos de la caída de presión o de la rata de producción en la IPR pueden
ser ilustrados mejor gráficamente. El primer caso considerado es aquel donde la
presión del yacimiento está por encima del punto de burbuja. La ubicación de
todas las presiones se muestra en un diafragma de fases en la figura 11 y el
perfil de presión en la figura 12.
Figura 11. Diagrama de fases para el flujo de un pozo

Figura 12. Perfiles de presión en las cercanías del pozo
Si la rata de producción deseada puede ser obtenida con una presión de flujo
mayor a la presión de burbuja, entonces la función presión será más o menos
constante a cualquier distancia del pozo y el valor de J será constante.
Si se quiere una rata de flujo mayor, se debe reducir la presión de flujo. Si esta
presión de flujo es menor que la presión de burbuja, aparecerá el gas libre a una
distancia determinada, reduciendo así el valor de la permeabilidad relativa al
aceite. Como J depende de la permeabilidad relativa al aceite, entonces se
reducirá cuando la presión de flujo caiga a valores por debajo de la presión de
burbuja. Ver figura 13.
Reducciones adicionales de la presión de flujo extenderán la zona en la cual se
reduce la permeabilidad relativa al aceite.

Figura 13. Cambios del valor de J
♦ Skin positivo o negativo
La construcción de la IPR para un pozo que presente factor de daño, sea
positivo o negativo, puede ser más complejo, especialmente para el caso donde
la presión del yacimiento está por encima de la presión de burbuja. Para el caso
de un pozo dañado (factor de daño positivo), posiblemente no se tendrá una
saturación de gas en el yacimiento aunque se tenga una presión de flujo menor
a la presión de burbuja. Para el caso de un pozo estimulado, puede haber una
caída de presión despreciable a través de la zona estimulada. Esto distorsiona
el perfil de presión asumido y ofrece dificultades en la construcción de la IPR de
los datos de prueba, especialmente para los casos en que la presión del
yacimiento está por encima de la presión de burbuja.
3. La depleción del yacimiento.
En un yacimiento en que la presión no se mantenga por encima de la presión de
burbuja, la saturación de gas aumentará en el área de drenaje de los pozos.
Esto causará una disminución del valor de la función presión, por ello, para
mantener una rata de flujo constante será necesario aumentar la caída de

presión a medida que la presión del yacimiento disminuya por depleción. Estos
efectos se ilustran cualitativamente en las figuras 14 y 15.
Figura 14. Efecto de la depleción en el perfil de presión
Figura 15. Efecto de la depleción en la IPR

4. Tipo de pozo: aceite o gas
La IPR para un pozo de gas no será una recta porque la rata de flujo es una
función del cuadrado de la presión de flujo. Para yacimientos de gas seco y gas
húmedo, en la cual no hay condensación de líquidos en el yacimiento, la
saturación de gas y la permeabilidad al gas permanecerán constantes a medida
que la presión del reservorio disminuye. Si existiera flujo turbulento, la caída de
presión debido a la turbulencia aumentará con la rata de flujo, causando un
deterioro en la IPR.
En el caso de gases de condensación retrógrada, si la presión en algún punto
del yacimiento cae por debajo de la presión de rocío Pd, se formará líquido y la
permeabilidad relativa al gas disminuirá. La predicción de la IPR para gases de
condensación retrógrada y para gases con empuje hidráulico es muy compleja y
no se tratará en este trabajo.
PRUEBAS PARA DETERMINAR I.P.R.
1. PRUEBA FLOW AFTER FLOW
Una prueba de flow after flow empieza con un cierre del pozo mientras la presión
estática promedio RP
−
se estabiliza. El pozo es colocado luego en producción a
una rata constante hasta que la presión de pozo fluyendo se estabiliza y se
vuelve constante. La presión de flujo debe ser medida con un registrador de
fondo de pozo. Una vez la Pwf se estabiliza, la rata de producción se cambia y
el procedimiento se repite para varias ratas, 3 a 4. La prueba también puede
ser hecha mediante una rata decreciente.
La prueba es analizada haciendo una gráfica log-log de RP
−
2
-Pwf
2
versus q y
trazando la mejor línea recta que pase por los puntos. El exponente n es
determinado del recíproco de la pendiente de la línea. Ver figuras 16 y 17 que

muestran la forma de hacer la prueba y su procedimiento de análisis
respectivamente.
( )22
log
log
wfR
o
PP
q
n
−∆
∆
= (39)
Figura 16. Ilustración de un prueba flow after flow.
Figura 17. Método de análisis de la prueba flow after flow

2. PRUEBAS ISOCRONAS
Si el tiempo requerido para que la producción se estabilice para un tamaño de
choque determinado o si la rata de producción es excesiva, se puede hacer una
prueba isócrona o de tiempos iguales. El procedimiento para hacer una prueba
isócrona es el siguiente:
• Empiece con el pozo cerrado, abra el pozo a producir a una rata constante
y mida la Pwf a períodos específicos de tiempo. El período de producción para
cada rata puede ser menor que el requerido para la estabilización.
• Cierre el pozo y deje que la presión se recupere al valor de RP
−
.
• Abra el pozo a producción a otra rata de flujo y mida la presión a los
mismos intervalos de tiempo.
• Cierre el pozo de nuevo hasta que Pws= RP
−
.
• Repita el procedimiento para varias ratas.
Los valores de RP
−
2
-Pwf
2
determinados en los diferentes períodos son graficados
versus q y n es obtenida de la pendiente de la línea. Para determinar el valor de
C, un período de flujo debe ser estabilizado y por lo general es el último periodo
de flujo el que se deja lo suficientemente largo para lograr la estabilidad. La
figura 18 muestra un esquema de la prueba isócrona.

Figura 18. Esquema que muestra una prueba isócrona
3. PRUEBAS ISOCRONAS MODIFICADAS
Si el tiempo de cierre requerido para que la presión se restaure al valor de RP
−
entre los períodos de flujo es excesivo, la prueba isócrona puede ser modificada.
La modificación consiste en cerrar el pozo entre los períodos de flujo por un
tiempo igual al tiempo de producción.. La presión de pozo estática Pws puede no
llegar al valor de RP
−
, pero el una figura de Pwsi
2
-Pwfi
2
versus q generalmente
producirá un línea recta de la cual se puede obtener n. El objetivo es obtener los
mismos datos de la isócrona pero sin tener periodos prolongados de cierre. En
este caso los periodos de cierre tienen la misma duración de los periodos de
flujo. Una prueba estabilizada también es necesaria para hallar el valor de C. El
procedimiento de prueba es ilustrado en la figura 19. .

Figura 19. Esquema que ilustra una prueba isócrona modificada.

PREDICCION DE IPR PARA POZOS DE PETRÓLEO
TRABAJO DE VOGEL
El trabajo de Vogel se hizo para yacimientos saturados, sin incluir el factor de
daño, S. Standing mas tarde modificó el trabajo de Vogel para ser aplicado a
pozos con daño.
Vogel graficó presiones adimensionales 





R
wf
P
P
vs. ratas adimensionales






max,o
o
q
q
. El estudio incluyó una amplia gama de yacimientos, con diferentes
propiedades de fluidos, permeabilidades relativas y espaciamiento de pozos.
Algunos de las figuras preparadas por Vogel son mostradas en las figuras 20,
21, 22, 23 y 24. El encontró que para todos los casos estudiados, la forma de la
curva de IPR dimensional fue la misma. Siendo siempre la curva igual, obtuvo
una ecuación empírica para relacionar la presión adimensional con la rata
adimensional, que es la que se muestra a continuación :
2
8.02.01
max, 





−−=
R
wf
R
wf
o
o
P
P
P
P
q
q
(40)
donde qo es la rata de flujo a la correspondiente Pwf, PR e la presión en el
yacimiento existente en el momento de interés y qo(max) es la rata de flujo
correspondiente a una Pwf=0 (AOF). La forma gráfica de la ecuación de Vogel es
mostrada en la figura 24 y ella puede ser usada para remplazar la ecuación.

Figura 20. Cambio de la IPR con la depleción
Figura 21. IPR adimensional para la figura anterior

Figura 22. Cambio de la IPR con las condiciones del yacimiento
Figura 23. IPR adimensional de la figura anterior

Figura 24. IPR adimensional de Vogel
Aplicando la ecuación de Vogel, la IPR adimensional cuando J sea constante
sería:
R
wf
o
o
P
P
q
q
−= 1
,max
(41)
Vogel señaló que en la mayoría de las aplicaciones de su método el error podría
estar entre el 10% y el 20%.

MÉTODO DE VOGEL PARA YACIMIENTOS SUBSATURADOS
Una breve variación del método de Vogel puede ser echa para ser aplicada a
yacimientos subsaturados. Para derivar la variación ver la figura 25.
Figura 25. IPR para yacimiento subsaturado
La prueba para este caso puede estar en 2 puntos, por encima o por debajo de
la presión de burbuja, Pb.
Si Pwf > Pb entonces el flujo es saturado y J es constante.
Si Pwf < Pb entonces el flujo es subsaturado y se aplica la ecuación de VOGEL.
Como la curva IPR es continua, el J calculado a Pwf = Pb debe ser el mismo para
cualquiera de los dos casos. En otras palabras, la pendiente de los dos
segmentos calculada a la presión de burbuja son iguales en Pwf = Pb .
Basándonos en la figura 25, siendo qb el caudal a la presión de burbuja,
aplicando VOGEL para cualquier q>qb,
2
max,
8.02.01 







−−=
−
−
b
wf
b
wf
bo
bo
P
P
P
P
qq
qq
(42)
o

( )














−−−+=
2
max, 8.02.01
b
wf
b
wf
bobo
P
P
P
P
qqqq (43)
Derivando,
( )








−−−= 2max,
6.12.0
b
wf
b
bo
wf
o
P
P
P
qq
dP
dq
(44)
Pero
wf
o
dP
dq
es también el inverso de la pendiente.
Evaluando la derivada a bwf PP = ,
( )
( )
b
bo
b
bo
wf
o
P
qq
P
qq
dP
dq −
=+
−
=−
max,max, 8.1
6.12.0 (45)
El índice de productividad es definido con el negativo del inverso de la
pendiente, entonces,
( )8.1 max,
b
bo
wf
o
P
qq
J
dP
dq −
==− . (46)
o
1.8
JP
q-q b
bmaxo, = (47)
Cuando el yacimiento sea saturado, Rb PP ≥ , en este caso qb = 0, entonces,
qo,max =
8.1
bJP
(48)
Substituyendo la ecuación 47 en la 43,














−−+=
2
8.02.01
8.1 b
wf
b
wf
bo
P
P
P
PJPb
qq (49)
Una vez un valor de J a una Pwf > Pb se conoce la ecuación 49 puede ser usada
para generar la IPR. Si la prueba se corre a una Pwf>Pb entonces J puede ser
calculada directamente,






−=
−
= Pb
PP
q
J R
wfR
o
__
b PJqy (50)

Si la prueba se corre a una Pwf < Pb el cálculo de J es más complejo pues no se
conoce qb. Combinando las ecuaciones 49 y 50:














−−+−
= 2
__
8.02.01
8.1 b
wf
b
wfb
bR
o
P
P
P
PP
PP
q
J (51)
EJEMPLOS DE IPR
PROBLEMA 1
1. PSIG1765Pcuando
D
STB
282qy2086 wfo
__
=== PSIGPR .
A. Calcule J si lo asume constante.
B. Calcule qo cuando Pwf = 1485 PSIG
C. Calcule Pwf si se quiere que qo = 400 STB/D
D. Calcule el AOF
SOLUCIÓN
A.
PSIDay
STB
PP
q
J
wfR
o
−
=
−
=
−
= 88.0
17652085
282
__
B. ( )
D
STB
PPJq wfRo 5281485208588.0
__
=−=





−=
C. PSIG
J
q
PP o
Rwf 1630
88.0
400
2085
_
=−=−=
D.
D
STB
PJAoFq Ro 1835)2085(88.0)0(
__
max, ==−==
PROBLEMA 2
El mismo problema anterior pero sabiendo que Pb=2100 psig. Usando VOGEL
calcule:
A. AOF (qo,max)
B. qo=? Cuando Pwf = 1485 PSIG
C. Pwf = ? si se quiere qo=400 STB/D

SOLUCION
A.
D
STB
P
P
P
P
q
q
R
wf
R
wf
o
o 1097
2085
1765
8.0
2085
1765
2.01
282
8.02.01
, 22max =






−





−
=








−−
=
−−
B. [ ]
D
STB
P
P
P
P
qq
R
wf
R
wf
oo 496452.0109728.02.01, ____max ==
















−








−=
D. Resolviendo de la ecuación de Vogel,
0776125.00525.1266.1
max,
__
=−








−=
o
o
R
wf
q
q
P
P
.
PSIGPP Rwf 1618776.0*
__
==
PROBLEMA 3
Los siguientes datos pertenecen a un yacimiento subsaturado.
PSIG,2000P,4000 b
__
== PSIGP R s =0. Los datos de prueba son: Pwf = 3000 PSIG
cuando .200
D
STB
qo =
Genere la IPR.
SOLUCIÓN
1. De la prueba
PSID
STB
PP
q
JPP
wfR
o
bwf
.
2.0
30004000
200
__
=
−
=
−
=⇒≥
2.
D
STB
PPJq bRb 400)20004000(2.0
__
=−=





−=
3.














−−+=
2
8.02.01
8.1 b
wf
b
wfb
bo
P
P
P
PJP
qq
















−−+= 2
2
2000
8.0
2000
2.01
8.1
2000*2.0
400
wfwf
o
PP
q

Como a la prueba bwf PP > entonces J es constante por encima de Pwf. La
tabla a continuación muestra algunos datos de la IPR generada.
Pwf qo
4000 0
3000 200
2000 400
1500 489
1000 556
500 600
0 622
Si la prueba se hubiera hecho a una Pwf < Pb entonces J se calcula con la
ecuación 51 y qo con la ecuación 50 y la IPR se genera con la ecuación 49. El
ejemplo a continuación muestra este caso.
PROBLEMA 4
El mismo yacimiento del ejemplo anterior pero la prueba fue hecha a Pwf = 1200
PSIG y
D
STB
qo 532=
1.
PSI
DSTB
P
P
P
PP
PP
q
J
b
wf
b
wfb
bR
o /
2.0
8.02.01
8.1
2
__
=














−−+−
=
2. DSTBPPJq bRb /400
__
=





−=
De aquí en adelante se sigue el procedimiento de manera similar al anterior.

MÉTODO DE VOGEL CON SKIN
Esta modificación del método de Vogel fue propuesta por Standing.
La definición de eficiencia de flujo es (ver figura 1):
'
'
__
'
__
/
/
real
Ideal
J
J
Jq
Jq
PP
PP
P
P
FE
wfR
wfR
==
−
−
=
∆
∆
= (52)
Donde:
Pwf
’
es la ideal
Pwf es la real.
También:
'
__
__
472.0
472.0
s
r
r
In
r
r
In
PP
PsPP
FE
w
e
w
e
wfR
wfR
+















=
−
∆−−
= (53)
Usando la definición de FE, la ecuación de VOGEL es:
2
__
'
__
'
1
,
8.0021








−−==
R
wf
R
wf
FE
MaxO P
P
P
P
q
qo
(54)
donde 1
,
=FE
MaxOq es q cuando s’ = o y FE = 1
De la ecuación 52,








+−=
R
wf
R
wf
P
P
FEFE
P
P
____
'
1 (55)
La construcción de la IPR adimensional según Standing se hace siguiendo los
siguientes pasos:
1. Seleccionar un valor de FE.
2. Asumir un rango de valores de
R
wf
P
P
__
.
3. Para cada valor en el paso 2 calcular
R
wf
P
P
__
'
usando la ecuación 55.
4. para cada valor en 2 calcular 1
max,
=FE
oq
qo

5. Graficar Pwf/PR vs 1
max,
=FE
oq
qo
6. Seleccionar otro valor de FE e ir al paso 2.
La forma de IPR adimensional propuesta por Standing para pozos con daño es
mostrada en la figura 26.
Figura 26. IPR para pozos dañados o estimulados

Obviamente la ecuación 55 es inconsistente para FE>1 a valores pequeños de
Pwf pues daría valores negativos de Pwf’/ RP
__
. En tal caso se usa la gráfica pero
extrapolando a Pwf = o.
La relación de las eficiencias de flujo antes y después de una estimulación es
llamado el folds of increase:
o
f
o
f
J
J
FE
FE
FOI == (56)
La gráfica de Standing puede ser puesta en forma de ecuación, combinando las
ecuaciones 54 y 55.
2
1
max,
8.02.01 AA
q
q
fe
o
o
−−==
donde,






+−=
R
wf
P
P
FEFEA 1 (55)
que puede ser reducida a:
2
__
2
__1
max,
1)(8.018.1








−−








−=>
R
wf
R
wf
FE
o
o
P
P
FE
P
P
FE
q
q
(57)
Como sabemos que '
wfP debe ser mayor o igual a cero, entonces la ecuación 57
sólo es válida si:






−≥≤ =
FE
qq R
FE
oo
1
1PPo
__
wf
1
max, .
La relación siempre se cumple para eficiencias de flujo menores o iguales a la
unidad. Para FE >1 una relación aproximada entre las dos es:
( )FEqq FE
376.0624.01
maxmax += =
(58)
Para una FE=1 la ecuación 57 es idéntica a la de VOGEL.

El aporte de Standing es importante para predecir comportamientos cuando se
hacen trabajos de estimulación. Una vez conocido 1
max,
=FE
oq se puede usar la figura
o la ecuación 57 para calcular q a diferentes FE. El procedimiento es:
1. Usando los datos de la prueba (q vs. Pwf) y el valor de FE calcular 1
max
=FE
q
2. Asumiendo valores de Pwf calcular qo para cada valor de Pwf. Otros valores
de FE pueden ser usados para determinar el efecto de FE.
PROBLEMA 5 (EJEMPLO 2.5 A)
Construya la IPR para este pozo a las condiciones presentes y para FE =1.3
PSIGP R 2085
__
− Pb = 2100 PSIG FE = 0.7 De la prueba
qo = 202 STB/D a una Pwf = 1.765 PSIG
SOLUCIÓN
Usando la ecuación 57,
1. .153.0
2085
1765
11 =−=−
R
wf
P
P
D
STB
1100
153.0*7.0*8.0153.0*)7.0(8.1
202
q 22
1FE
maxo, =
−
==
2.














−−





−=
2
2
2085
18.0
2085
18.11100 wffw
o
P
FE
P
FEq
Luego para diferentes FE y Pwf calculamos las IPR. Los resultados se muestran
en la siguiente tabla:
wfP
R
wf
P
P
−1
1.3FE0.7 ==FE
qo
2085 0 0 0
1800 0.137 181 324
1765 0.153 202 360

1600 0.233 300 518
1300 0.376 461 758
1000 0.52 604 937
700 0.664 730 1054
300 0.856 871 ___
0 1.0 955 1224
El mínimo valor que puede ser calculado para FE = 1.3 sin que den resultados
negativos es:
Pwf = 2085 .PSIG482
3.1
1
1 =





−
Por ello los dos últimos valores del caudal no pueden ser calculados en la tabla.
Una estimación del caudal se obtiene de la ecuación 58 y es:
( ) .12243.1*376.0624.01100max
D
STB
q =+= Para finalizar el informe se debe
graficar las 2 IPR.
Para resolver el mismo problema en forma gráfica se sigue igual procedimiento
pero usando la gráfica de Standing.
.847.0
2085
1765
==
R
wf
P
P
Para lo cual de la gráfica 18.01
max,
==FE
oq
qo
para FE=0.7
Ahora
D
STB
qq o
FE
o 1122
18.0
202
18.0/1
max, ====
.
Una vez obtenido el caudal máximo a la FE=1 se procede a preparar la IPR.
MODIFICACION DE STANDING PARA YACIMIENTOS NO SATURADOS.
Cuando la FE ≠ 1 la ecuación 49 puede ser modificada a:
















−−







−+





−=
2
__
18.018.1
8.1 b
wf
b
wfb
bRo
P
P
FE
P
PJP
PPJq (59)

La IPR se genera de acuerdo a los siguientes procedimientos:
CASO 1. Cuando la prueba Pwf > Pb
1. Calcular J usando la ecuación 50.
2. Generar la IPR para Pwf < Pb usando el valor conocido de FE y la ecuación
59. Para Pwf > Pb la IPR es lineal.
3. Para valores diferentes de FE, J se debe modificar a:
( )
( )1
2
12
FE
FE
JJ = donde
J2 = nuevo valor de J para el pozo.
J1 = valor de j calculado de la prueba usando (FE)1
(FE)1 = el de la prueba
(FE)2 = otra FE
CASO 2. Cuando en la prueba Pwf < Pb
1. Calcular J con los datos de la prueba en la ecuación 59.
2. Generar la IPR para valores Pwf < Pb con la ecuación 59.
3. Para otros valores de FE proceder como en el caso 1.
PROBLEMA 6 (EJEMPLO 2.5 B)
Usando los datos de la prueba, calcule la q que resulta si Pwf = 1500 PSIG si
FE = 1.4. Otros datos son:
PR =4000 PSIG Pb = 2000 PSIG FE=0.7 qo=378 STB/D
Pwf = 1200 PSIG.
SOLUCIÓN
Como Pwf < Pb entonces seguimos los pasos del caso 2
• 4.0
2000
1200
11 =−=−
R
wf
P
P

1.
( )[ ]
14.0
4.0*7.0*8.04.08.1
8.1
2000
20004000
378
2
=
−+−
=J
La IPR es entonces:














−−





−+−=
2
17.0*8.018.1
8.1
)2000(14.0
)20004000(14.0
b
wf
b
wf
o
P
P
P
P
q
2. Como ejemplo para FE = 0.7.
si PSIGPwf 1500= entonces,
25.01 =−
R
wf
P
P
[ ] D
STB
q 345)25.0(*7.0*8.0)25.0(8.1156280 2
=−+=
Para FE = 1.4
.28.0
7.0
4.1
*14.0*
1
2
12 ===
FE
FE
JJ
La IPR será:
















−−







−+−=
2
2000
14.1*8.0
2000
18.1
8.1
2000*28.0
)20004000(28.0
wfwf
o
PP
q
Para FE = 1.4 y Pwf= 1500 psig entonces qo=678 STB/D.

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