Derivadas por método de: cuatro pasos fórmula UV o U/V ecuaciones implícitas por fórmula. Derivadas de segundo orden de ecuaciones implícitas. derivadas de orden superior

1. Elaborado por:
Azahel Hernández Navarrete.
Ingeniería Financiera, 8vo Cuatrimestre.
Cálculo Diferencial, 5to Cuatrimestre.

2. Examen Unidad 2. Cálculo Diferencial e Integral.
Deriva las Siguientes funciones.
A. Método de los 4 pasos.
I. 𝒇(𝒙) = 𝒙 − 𝟐𝒙 𝟐
1er paso: a 𝑓(𝑥) se le suma h = 𝑓(𝑥 + ℎ)
 𝑓(𝑥) = (𝑥 + ℎ) − 2(𝑥 + ℎ)2
 𝑓(𝑥) = 𝑥 + ℎ − 2(𝑥2
+ 2𝑥ℎ + ℎ2)
 𝑓(𝑥) = 𝑥 + ℎ − (2𝑥2
+ 4𝑥ℎ + 2ℎ2)
 𝑓(𝑥) = 𝑥 + ℎ − 2𝑥2
− 4𝑥ℎ − 2ℎ2
 𝑓(𝑥) = 𝑥 + ℎ − 2𝑥2
− 4𝑥ℎ − 2ℎ2
2ndo paso: a 𝑓(𝑥 + ℎ) se le resta 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
 𝑓(𝑥) = (𝑥 + ℎ − 2𝑥2
− 4𝑥ℎ − 2ℎ2) − (𝑥 − 2𝑥2)
 𝑓(𝑥) = 𝑥 + ℎ − 2𝑥2
− 4𝑥ℎ − 2ℎ2
− 𝑥 + 2𝑥2
 𝑓(𝑥) = ℎ − 4𝑥ℎ − 2ℎ2
3er paso: a 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) se divide entre h =
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
ℎ
 Se factoriza el numerador de
ℎ−4𝑥ℎ−2ℎ2
ℎ
o
ℎ(1−4𝑥−2ℎ)
ℎ
 Se cancela h.
o
ℎ(1−4𝑥−2ℎ)
ℎ
 (1 − 4𝑥 − 2ℎ)
4to paso: a
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
ℎ
se le obtiene su límite, donde ℎ → 0: 𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎
=
𝒇(𝒙+𝒉)−𝒇(𝒙)
𝒉
 lim
ℎ→0
= 1 − 4𝑥 − 2ℎ
 lim
ℎ→0
= 1 − 4𝑥 − 2(0)
 𝑓′(𝑥) = 1 − 4𝑥
Resultado de la derivada de la ecuación 𝒇(𝒙) = 𝒙 − 𝟐𝒙 𝟐
es: 𝒇′( 𝒙) = 𝟏 − 𝟒𝒙

3. II. 𝒚 =
𝟐𝒙
𝒙 𝟑
Sub paso: a 𝑦 =
2𝑥
𝑥3, se simplifica a: 𝑦 =
2
𝑥2
1er paso: a 𝑓(𝑥) se le suma h = 𝑓(𝑥 + ℎ)
 𝑦 =
2
(𝑥+ℎ)2
2ndo paso: a 𝑓(𝑥 + ℎ) se le resta 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
 𝑦 =
2
(𝑥+ℎ)2 −
2
𝑥2
 𝑦 =
2(𝑥2)−(𝑥+ℎ)2(2)
(𝑥+ℎ)2(𝑥2)
 𝑦 =
2𝑥2−2(𝑥+ℎ)2
𝑥2(𝑥+ℎ)2
 Se resuelve el binomio de 𝑦 =
2𝑥2−2(𝑥+ℎ)2
𝑥2(𝑥+ℎ)2
o 𝑦 =
2𝑥2−2(𝑥2+2𝑥ℎ+ℎ2)
𝑥2(𝑥+ℎ)2
 𝑦 =
2𝑥2−(2𝑥2+4𝑥ℎ+2ℎ2)
𝑥2(𝑥+ℎ)2
 𝑦 =
2𝑥2−2𝑥2−4𝑥ℎ−2ℎ2
𝑥2(𝑥+ℎ)2
 𝑦 =
−4𝑥ℎ−2ℎ2
𝑥2(𝑥+ℎ)2
3er paso: a 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) se divide entre h =
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
ℎ
 𝑦 =
(
−4𝑥ℎ−2ℎ2
𝑥2(𝑥+ℎ)2 )
ℎ
 Se realiza la división por método sándwich.
o 𝑦 =
(
−4𝑥ℎ−2ℎ2
𝑥2(𝑥+ℎ)2 )
ℎ
1
 𝑦 =
1(−4𝑥ℎ−2ℎ2)
ℎ(𝑥2(𝑥+ℎ)2)
 Se factoriza el denominador
o 𝑦 =
ℎ(−4𝑥−2ℎ)
ℎ(𝑥2(𝑥+ℎ)2)
 Se cancela h de 𝑦 =
ℎ(−4𝑥−2ℎ)
ℎ(𝑥2(𝑥+ℎ)2)
o 𝑦 =
−4𝑥−2ℎ
𝑥2(𝑥+ℎ)2
4to paso: a
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
ℎ
se le obtiene su límite, donde ℎ → 0: 𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎
=
𝒇(𝒙+𝒉)−𝒇(𝒙)
𝒉
 lim
ℎ→0
=
−4𝑥−2(0)
𝑥2(𝑥+(0))2
 lim
ℎ→0
=
−4𝑥
𝑥2(𝑥)2
 lim
ℎ→0
=
−4𝑥
𝑥4
 𝑦′
=
−4
𝑥3
Resultado de la derivada de la ecuación 𝒚 =
𝟐𝒙
𝒙 𝟑 es: 𝒚′
=
−𝟒
𝒙 𝟑

4. B. Deriva por fórmula.
I. 𝒇( 𝒘) =
( √ 𝒘 𝟑𝟒
)(−𝟐𝒘 𝟐)
(−𝟐𝒘) 𝟐
 Se transforma el radical √𝑤34
a exponente 𝑤3/4
.
 Se cancela el exponente (−2𝑤)2
, para pasa a ser (−2)2
𝑤2
= 4𝑤2
 Se suman los exponentes de la variable w, de la siguiente forma:
o −2(𝑤
3
4 + 𝑤2
)
o Puesto que en el denominador, tiene una variable w, se sube al numerador
con exponente negativo: 4𝑤2
=
𝑤−2
4
o Se procede a continuar la suma de las variables w: 𝑓′(𝑤) =
−2(𝑤
3
4+𝑤2+𝑤−2)
4
o La función queda de la siguiente forma: 𝑓′(𝑤) =
−2(𝑤
3
4)
4
o Se procede a transformar el exponente 𝑤
3
4 a radical 𝑓′(𝑤) =
−2( √𝑤34
)
4
o 𝑓′(𝑤) =
−1 √𝑤34
2
o 𝒇′( 𝒘) =
− √ 𝒘 𝟑𝟒
𝟐
II. 𝒇( 𝒎) =
𝟓
𝟒
𝒆𝐥𝐧(√ 𝒎)
 Se cancela 𝑒ln
de la función 𝑓(𝑚) =
5
4
𝑒ln(√ 𝑚)
, ya que su derivada es la misma.
 Se obtiene la radical √ 𝑚 en exponente 𝑚1/2
 Se deriva el exponente 𝑚1/2
en
1
2
𝑚
(
1
2
)−1
 Se multiplica el 𝑓(𝑚) =
5
4
l por la derivada del exponente
1
2
𝑚−
1
2, quedando de la
siguiente forma: 𝑓(𝑚) =
5
4
(
1
2
𝑚−
1
2)
 𝑓′(𝑚) =
5
8
𝑚−
1
2
 Puesto que el exponente 𝑚−
1
2, está negativo, ésta hay que volverlo positivo de la
siguiente forma: 𝑚−
1
2 →
1
𝑚1/2 por lo que…
 𝑓′(𝑚) =
5
8
(
1
𝑚
1
2
)
 𝑓′(𝑚) =
5
8𝑚
1
2
 𝒇′( 𝒎) =
𝟓
𝟖√ 𝒎

5. III. 𝒚 = 𝒆−𝟓𝒙
(
𝟓
√ 𝒙 𝟐−𝟓
)
 Se transforma el radical √𝑥2 − 5 en exponente (𝑥2
− 5)
1
2.
 Para eliminar la división
5
(𝑥2−5)
1
2
, se procede a subir el denominador al numerador,
cambiando el exponente de positivo a negativo, de la siguiente forma:
5 ((𝑥2
− 5)−
1
2)
 Se procede a realizar la multiplicación de 𝑦 = (𝑒−5𝑥) (5 ((𝑥2
− 5)−
1
2)), a través de la
fórmula UV=UV’+VU’, donde 𝑈 = (𝑒−5𝑥), y 𝑉 = (5 ((𝑥2
− 5)−
1
2)).
𝑈 = (𝑒−5𝑥),
𝑉 = (5 ((𝑥2
− 5)−
1
2))
𝑈′
= 𝑒−5𝑥(−5𝑥1−1)
𝑈′
= 𝑒−5𝑥(−5𝑥0)
𝑈′
= 𝑒−5𝑥
(−5(1))
𝑈′
= 𝑒−5𝑥(−5)
𝑈′
= −5𝑒−5𝑥
Se deriva la función (5 ((𝑥2
− 5)−
1
2)) en tres
partes: la derivada de (𝑥2
− 5)
−1
2 ; de 𝑥2
y la
multiplicación por 5 ((𝑥2
− 5)−
1
2) :
o 𝑉′
= (5 (
−1
2
(𝑥2
− 5)
(−
1
2
)−1
)) (𝑥2)
o 𝑉′
= (5 (
−1
2
(𝑥2
− 5)
−3
2 )) (2𝑥2−1)
o 𝑉′
= (
−5
2
(𝑥2
− 5)
−3
2 ) (2𝑥)
o 𝑉′
= (2𝑥) (
−5
2
) (𝑥2
− 5)
−3
2
o 𝑉′
= (
−10𝑥
2
) (𝑥2
− 5)
−3
2
o 𝑉′
= −5𝑥(𝑥2
− 5)
−3
2
 Por tanto: 𝑈𝑉 = [(𝑒−5𝑥) (−5𝑥(𝑥2
− 5)
−3
2 )] + [(−5𝑒−5𝑥) (5 ((𝑥2
− 5)−
1
2))]
 𝑦′
= [(𝑒−5𝑥)(−5𝑥)(𝑥2
− 5)
−3
2 ] + [(−5𝑒−5𝑥)(5)(𝑥2
− 5)−
1
2]
 𝑦′
= [(−5𝑥𝑒−5𝑥)(𝑥2
− 5)
−3
2 ] + [(−25𝑒−5𝑥)(𝑥2
− 5)−
1
2]
 𝑦′
= −5𝑥𝑒−5𝑥(𝑥2
− 5)
−3
2 −25𝑒−5𝑥(𝑥2
− 5)−
1
2

6. IV. 𝒇( 𝒙) = 𝟑 𝐬𝐞𝐜 𝟐( 𝟏 − 𝒙) ( 𝟓𝒙 𝟐
− 𝒙) 𝟒
 Puesto que 𝟑 𝐬𝐞𝐜 𝟐(𝟏 − 𝒙) está multiplicando a (𝟓𝒙 𝟐
− 𝒙)
𝟒
, entonces se procederá a
usar la siguiente fórmula: UV=UV’+VU’, donde 𝑈 = 𝟑 𝐬𝐞𝐜 𝟐(𝟏 − 𝒙), y 𝑉 = (𝟓𝒙 𝟐
− 𝒙)
𝟒
.
𝑼 = 𝟑 𝐬𝐞𝐜 𝟐(𝟏 − 𝒙) 𝑽 = (𝟓𝒙 𝟐
− 𝒙)
𝟒
Puesto que la derivada de una secante es 𝑠𝑒𝑐(𝑈) =
sec(𝑈) tan(𝑈) (𝑈′
), entonces 𝑈 = 3 sec2(1 − 𝑥) se deriva en
2 partes, sec2
y sec en lo siguiente:
𝑈′ = 3(2 sec2−1(1 − 𝑥))(sec(1 − 𝑥) tan(1 − 𝑥))((0) − (𝑥1−1))
𝑈′ = 3(2 sec1(1 − 𝑥))(sec(1 − 𝑥) tan(1 − 𝑥))(−𝑥0
)
𝑈′ = 6 sec(1 − 𝑥) (sec(1 − 𝑥) tan(1 − 𝑥))(−1)
𝑈′ = (−1)6 sec(1 − 𝑥) (sec(1 − 𝑥) tan(1 − 𝑥))
𝑼′
= −𝟔 𝐬𝐞𝐜(𝟏 − 𝒙) (𝐬𝐞𝐜(𝟏 − 𝒙) 𝐭𝐚𝐧(𝟏 − 𝒙))
Puesto que la función 𝑉 = (5𝑥2
−
𝑥)4
está compuesto de un
binomio, entonces se procederá
a derivarlo en 2 partes: (5𝑥2
− 𝑥)4
y 5𝑥2
− 𝑥.
𝑉′ = 4(5𝑥2
− 𝑥)4−1
(2(5𝑥2−1
− 𝑥1−1
)
𝑉′ = 4(5𝑥2
− 𝑥)3
(10𝑥1
− 𝑥0
)
𝑉′
= 4(5𝑥2
− 𝑥)3
(10𝑥 − (1))
𝑉′ = (10𝑥 − 1)(4)(5𝑥2
− 𝑥)3
𝑽′ = (𝟒𝟎𝒙 − 𝟒)(𝟓𝒙 𝟐
− 𝒙)
𝟑
 [(3𝑠𝑒𝑐2(1 − 𝑥))((40𝑥 − 4)(5𝑥2
− 𝑥)3)] + [((5𝑥2
− 𝑥)4)(−6 𝑠𝑒𝑐(1 − 𝑥) (𝑠𝑒𝑐(1 − 𝑥) 𝑡𝑎𝑛(1 − 𝑥)))]
 (3)𝑠𝑒𝑐2(1 − 𝑥)(40𝑥 − 4)(5𝑥2
− 𝑥)3
+(5𝑥2
− 𝑥)4
+ (−6) + 𝑠𝑒𝑐(1 − 𝑥) + (𝑠𝑒𝑐(1 − 𝑥) + 𝑡𝑎𝑛(1 − 𝑥))
 (120𝑥 − 12)(5𝑥2
− 𝑥)3
𝑠𝑒𝑐2(1 − 𝑥) − 6(5𝑥2
− 𝑥)4
𝑠𝑒𝑐2(1 − 𝑥) 𝑡𝑎𝑛(1 − 𝑥)
 𝑓′(𝑥) = 6(5𝑥2
− 𝑥)3
sec2(1 − 𝑥)[(20𝑥 − 2) − (5𝑥2
− 𝑥) tan(1 − 𝑥)]

7. C. Obtén la derivada de segundo orden de “y” (y’’), de la siguiente ecuación
implícita.
I. 𝟐𝒙𝒚 − 𝒚 𝟐
= 𝒙 𝟐
+ 𝒙𝒚
 Derivada de primer orden (𝑦’).
o Se iguala a “0”.
 2𝑥𝑦 − 𝑦2
− 𝑥2
− 𝑥𝑦 = 0
o Se resuelven los mismos términos (suma o resta).
 2𝑥𝑦 − 𝑦2
− 𝑥2
− 𝑥𝑦 = 0
 −𝑦2
− 𝑥2
+ 2𝑥𝑦 − 𝑥𝑦 = 0
 −𝑦2
− 𝑥2
+ 𝑥𝑦 = 0
o Se deriva toda la función.
 [(2) − 𝑦2−1(𝑦′)][(2) − 𝑥2−1] + (𝑥1−1
𝑦)(+𝑥𝑦′) = 0
 [−2𝑦1
𝑦′][−2𝑥1] + (𝑥0
𝑦)(+𝑥𝑦′) = 0
 −2𝑦𝑦′
− 2𝑥 + (1𝑦)(+𝑥𝑦′) = 0
 −2𝑦𝑦′
− 2𝑥 + 𝑦 + 𝑥𝑦′
= 0
o Se agrupan los términos con y’.
 −2𝑦𝑦′
+ 𝑥𝑦′
= +2𝑥 − 𝑦
o Se factoriza la y’ de la función.
 𝑦′(−2𝑦 + 𝑥) = +2𝑥 − 𝑦
o Se despeja y’ de la función.
 𝑦′
=
+2𝑥−𝑦
−2𝑦+𝑥
 Derivada de segundo orden (𝑦’’).
o De la función de primer orden obtenido, hacer su correspondiente
derivación.
o Puesto que es una división U/V, se procede a realizar la siguiente fórmula:
𝑈
𝑉
=
𝑉𝑈′−𝑈𝑉′
𝑉2 , por lo que se realizará lo siguiente:
𝑼 = 2𝑥 − 𝑦 𝑽 = −2𝑦 + 𝑥
𝑼′
= 2𝑥1−1
− 𝑦1−1
𝑦′
𝑼′
= 2𝑥0
− 𝑦0
𝑦′
𝑼′
= 2(1) − (1)𝑦′
𝑼′
= 2 − 𝑦′
𝑽′
= −2𝑦1−1
𝑦′
+ 𝑥1−1
𝑽′
= −2𝑦0
𝑦′
+ 𝑥0
𝑽′
= −2(1)𝑦′
+ (1)
𝑽′
= −2𝑦′
+ 1
o
[(−2𝑦+𝑥)(2−𝑦′)]−[(2𝑥−𝑦)(−2𝑦′+1)]
(−2𝑦+𝑥)2
o
[((−2𝑦)(2))((−2𝑦)(𝑦′))][((𝑥)(2))((𝑥)(−𝑦′))]−[((2𝑥)(−2𝑦′))((2𝑥)(1))][((−𝑦)(−2𝑦′))((−𝑦)(1))]
(−2𝑦+𝑥)2
o
[(−4𝑦)(−2𝑦𝑦′)][(2𝑥)(−𝑥𝑦′)]−[(−4𝑥𝑦′)(2𝑥)][(+2𝑦𝑦′)(−𝑦)]
(−2𝑦+𝑥)2
o Se eliminan paréntesis.

−4𝑦−2𝑦𝑦′+2𝑥−𝑥𝑦′+4𝑥𝑦′−2𝑥+2𝑦𝑦′+𝑦
(−2𝑦+𝑥)2
o Se ordenan mediante variable x, de mayor a menor en su exponente.

+2𝑥−2𝑥+4𝑥𝑦′−𝑥𝑦′−4𝑦+𝑦−2𝑦𝑦′+2𝑦𝑦′
(−2𝑦+𝑥)2
o Se realizan las operaciones (suma o resta) de términos iguales.

+2𝑥−2𝑥+4𝑥𝑦′−𝑥𝑦′−4𝑦+𝑦−2𝑦𝑦′+2𝑦𝑦′
(−2𝑦+𝑥)2

+3𝑥𝑦′−3𝑦
(−2𝑦+𝑥)2

8. o Sustituir y’ con la función obtenida
+2𝑥−𝑦
−2𝑦+𝑥
en la función anterior.

+3𝑥(
+2𝑥−𝑦
−2𝑦+𝑥
)−3𝑦
(−2𝑦+𝑥)2
o Realizar la multiplicación correspondiente entre +3𝑥 y (
+2𝑥−𝑦
−2𝑦+𝑥
).

+3𝑥
1
(
+2𝑥−𝑦
−2𝑦+𝑥
)
 (
(3𝑥)(+2𝑥)(+3𝑥)(−𝑦)
−2𝑦+𝑥
)
 (
(6𝑥1+1)(−3𝑥𝑦)
−2𝑦+𝑥
)
 (
(6𝑥2)(−3𝑥𝑦)
−2𝑦+𝑥
)
 (
6𝑥2−3𝑥𝑦
−2𝑦+𝑥
)
o Realizar la suma de fracciones ubicadas en el numerador.

(
6𝑥2−3𝑥𝑦
−2𝑦+𝑥
)
(−3𝑦)
1
(−2𝑦+𝑥)2

(
6𝑥2−3𝑥𝑦(−3𝑦(−2𝑦+𝑥))
−2𝑦+𝑥
)
(−2𝑦+𝑥)2

(
6𝑥2−3𝑥𝑦(−3𝑦(−2𝑦)(−3𝑦)(+𝑥))
−2𝑦+𝑥
)
(−2𝑦+𝑥)2

(
6𝑥2−3𝑥𝑦((+6𝑦1+1)(−3𝑥𝑦))
−2𝑦+𝑥
)
(−2𝑦+𝑥)2

(
6𝑥2−3𝑥𝑦+6𝑦2−3𝑥𝑦
−2𝑦+𝑥
)
(−2𝑦+𝑥)2
o Sumar los términos similares.

(
6𝑥2−3𝑥𝑦+6𝑦2−3𝑥𝑦
−2𝑦+𝑥
)
(−2𝑦+𝑥)2

(
6𝑥2−6𝑥𝑦+6𝑦2
−2𝑦+𝑥
)
(−2𝑦+𝑥)2
o Aplicar el método “Sándwich”

(
6𝑥2−6𝑥𝑦+6𝑦2
−2𝑦+𝑥
)
(−2𝑦+𝑥)2
1

(6𝑥2−6𝑥𝑦+6𝑦2)(1)
(−2𝑦+𝑥)1(−2𝑦+𝑥)2

6𝑥2−6𝑥𝑦+6𝑦2
(−2𝑦+𝑥)1+2

6𝑥2−6𝑥𝑦+6𝑦2
(−2𝑦+𝑥)3
o Se factoriza el 6 en la ecuación ubicado en el numerador.

6(𝑥2−𝑥𝑦+𝑦2)
(−2𝑦+𝑥)3
o Se obtiene la derivada de segundo orden resultante:
 𝑦′′
=
6(𝑥2−𝑥𝑦+𝑦2)
(−2𝑦+𝑥)3

9. II. 𝒙 𝟑
− 𝟕 + 𝟑𝒙 𝟐
𝒚 = 𝟑𝒚 𝟐
− 𝒙 𝟐
𝒚
 Derivada de primer orden (𝑦’).
o Se iguala a “0”.
 𝑥3
− 7 + 3𝑥2
𝑦 − 3𝑦2
+ 𝑥2
𝑦 = 0
o Se resuelven los mismos términos (suma o resta).
 𝑥3
− 7 + 3𝑥2
𝑦 − 3𝑦2
+ 𝑥2
𝑦 = 0
 𝑥3
− 7 + 4𝑥2
𝑦 − 3𝑦2
= 0
o Se deriva toda la función.
 3𝑥3−1
− (0) + [((2)4𝑥2−1
𝑦)(4𝑥2
𝑦′)] − [((2)3𝑦2−1
)(𝑦′)] = 0
 3𝑥2
+ [(8𝑥1
𝑦)(4𝑥2
𝑦′)] − [(6𝑦1)(𝑦′)] = 0
 3𝑥2
+ [(8𝑥𝑦)(4𝑥2
𝑦′)] − [(6𝑦𝑦′)] = 0
 3𝑥2
+ 8𝑥𝑦 + 4𝑥2
𝑦′
− 6𝑦𝑦′ = 0
o Se agrupan los términos con y’.
 3𝑥2
+ 8𝑥𝑦 + 4𝑥2
𝑦′
− 6𝑦𝑦′ = 0
 4𝑥2
𝑦′
− 6𝑦𝑦′
= −3𝑥2
− 8𝑥𝑦
o Se factoriza la y’ de la función.
 𝑦′(4𝑥2
− 6𝑦) = −3𝑥2
− 8𝑥𝑦
o Se despeja y’, de la función.
 𝑦′
=
−3𝑥2−8𝑥𝑦
4𝑥2−6𝑦
 Derivada de segundo orden (𝑦’’).
o De la función de primer orden obtenido, hacer su correspondiente
derivación.
o Puesto que es una división U/V, se procede a realizar la siguiente fórmula:
𝑈
𝑉
=
𝑉𝑈′−𝑈𝑉′
𝑉2 , por lo que se realizará lo siguiente:
𝑼 = −3𝑥2
− 8𝑥𝑦 𝑽 = 4𝑥2
− 6𝑦
𝑼′
= (2) − 3𝑥2−1(−8𝑥𝑦′)((1) − 8𝑥1−1
𝑦)
𝑼′
= −6𝑥1
− 8𝑥𝑦′
− 8𝑥0
𝑦
𝑼′
= −6𝑥 − 8𝑥𝑦′
− 8(1)𝑦
𝑼′
= −6𝑥 − 8𝑥𝑦′
− 8𝑦
𝑽′ = (2)4𝑥2−1(−6𝑦′)
𝑽′ = 8𝑥1
− 6𝑦′
𝑽′ = 8𝑥 − 6𝑦′
o
[(4𝑥2−6𝑦)(−6𝑥−8𝑥𝑦′−8𝑦)]−[(−3𝑥2−8𝑥𝑦)(8𝑥−6𝑦′)]
(4𝑥2−6𝑦)2
o Se multiplican los binomios y trinomios.
([(4𝑥2)(−6𝑥)][(4𝑥2)(−8𝑥𝑦′)][(4𝑥2)(−8𝑦)])([(−6𝑦)(−6𝑥)][(−6𝑦)(−8𝑥𝑦′)][(−6𝑦)(−8𝑦)]) − ([(−3𝑥2)(8𝑥)][(−3𝑥2)(−6𝑦′)][(−8𝑥𝑦)(8𝑥)][(−8𝑥𝑦)(−6𝑦′)])
(4𝑥2 − 6𝑦)2
([(−24𝑥2+1)(−32𝑥2+1
𝑦′)(−32𝑥2
𝑦)][(+36𝑥𝑦)(+48𝑥𝑦𝑦′)(+48𝑦1+1)]) − ([(−24𝑥2+1)(+18𝑥2
𝑦′)][(−64𝑥1+1
𝑦)(+48𝑥𝑦𝑦′)])
(4𝑥2 − 6𝑦)2
([(−24𝑥3)(−32𝑥3
𝑦′)(−32𝑥2
𝑦)][(+36𝑥𝑦)(+48𝑥𝑦𝑦′)(+48𝑦2)])([(+24𝑥3)(−18𝑥2
𝑦′)][(+64𝑥2
𝑦)(−48𝑥𝑦𝑦′)])
(4𝑥2 − 6𝑦)2
o Se realizan las operaciones entre términos similares (suma o resta).
(−24𝑥3)(+24𝑥3)(+48𝑥𝑦𝑦′)(−48𝑥𝑦𝑦′)(−32𝑥2
𝑦)(+64𝑥2
𝑦)([(−32𝑥3
𝑦′)][(+36𝑥𝑦)(+48𝑦2)])([(−18𝑥2
𝑦′)])
(4𝑥2 − 6𝑦)2
(+32𝑥2
𝑦)([(−32𝑥3
𝑦′)][(+36𝑥𝑦)(+48𝑦2)])([(−18𝑥2
𝑦′)])
(4𝑥2 − 6𝑦)2

10. o Se eliminan paréntesis y corchetes.
(+32𝑥2
𝑦)(−32𝑥3
𝑦′)(+36𝑥𝑦)(+48𝑦2)(−18𝑥2
𝑦′)
(4𝑥2 − 6𝑦)2
+32𝑥2
𝑦 − 32𝑥3
𝑦′
+ 36𝑥𝑦 + 48𝑦2
− 18𝑥2
𝑦′
(4𝑥2 − 6𝑦)2
o Se ordenan por variable x de mayor a menor exponente.
−32𝑥3
𝑦′
− 18𝑥2
𝑦′
+ 32𝑥2
𝑦 + 36𝑥𝑦 + 48𝑦2
(4𝑥2 − 6𝑦)2
o Se factoriza y’. opción A.
𝑦′(−32𝑥3
− 18𝑥2) + 32𝑥2
𝑦 + 36𝑥𝑦 + 48𝑦2
(4𝑥2 − 6𝑦)2
o Se sustituye la y’ por el resultado obtenido al final de la derivada de primer
orden realizado (𝑦′
=
−3𝑥2−8𝑥𝑦
4𝑥2−6𝑦
):
(
−3𝑥2
− 8𝑥𝑦
4𝑥2 − 6𝑦
) (−32𝑥3
− 18𝑥2) + 32𝑥2
𝑦 + 36𝑥𝑦 + 48𝑦2
(4𝑥2 − 6𝑦)2
o Se multiplican los términos del numerador.
[((−3𝑥2)(−32𝑥3)(−3𝑥2)(−18𝑥2))((−8𝑥𝑦)(−32𝑥3)(−8𝑥𝑦)(−18𝑥2))]
4𝑥2 − 6𝑦
+
32𝑥2
𝑦 + 36𝑥𝑦 + 48𝑦2
1
(4𝑥2 − 6𝑦)2
[((−96𝑥3+2)(+54𝑥2+2))((+256𝑥3+1
𝑦)(+144𝑥2+1
𝑦))]
4𝑥2 − 6𝑦
+
32𝑥2
𝑦 + 36𝑥𝑦 + 48𝑦2
1
(4𝑥2 − 6𝑦)2
−96𝑥5
+ 54𝑥4
+ 256𝑥4
𝑦 + 144𝑥3
𝑦
4𝑥2 − 6𝑦
+
32𝑥2
𝑦 + 36𝑥𝑦 + 48𝑦2
1
(4𝑥2 − 6𝑦)2
o Se suman las fracciones ubicadas en el numerador.
−96𝑥5
+ 54𝑥4
+ 256𝑥4
𝑦 + 144𝑥3
𝑦[(32𝑥2
𝑦)(4𝑥2
− 6𝑦)][(+36𝑥𝑦)(4𝑥2
− 6𝑦)][(+48𝑦2)(4𝑥2
− 6𝑦)]
4𝑥2 − 6𝑦
(4𝑥2 − 6𝑦)2
−96𝑥5
+ 54𝑥4
+ 256𝑥4
𝑦 + 144𝑥3
𝑦[(128𝑥2+2
𝑦 − 192𝑥2
𝑦1+1)][(+144𝑥2+1
𝑦 − 216𝑥𝑦1+1)][(192𝑥2
𝑦2
− 288𝑦1+2)]
4𝑥2 − 6𝑦
(4𝑥2 − 6𝑦)2
−96𝑥5
+ 54𝑥4
+ 256𝑥4
𝑦 + 144𝑥3
𝑦 + 128𝑥4
𝑦 − 192𝑥2
𝑦2
+ 144𝑥3
𝑦 − 216𝑥𝑦2
+ 192𝑥2
𝑦2
− 288𝑦3
4𝑥2 − 6𝑦
(4𝑥2 − 6𝑦)2
o Se realizan las operaciones (suma o resta) correspondientes.

11. −96𝑥5
+ 54𝑥4
+ 256𝑥4
𝑦 + 144𝑥3
𝑦 + 128𝑥4
𝑦 − 192𝑥2
𝑦2
+ 144𝑥3
𝑦 − 216𝑥𝑦2
+ 192𝑥2
𝑦2
− 288𝑦3
4𝑥2 − 6𝑦
(4𝑥2 − 6𝑦)2
−96𝑥5
+ 54𝑥4
+ 384𝑥4
𝑦 + 288𝑥3
𝑦 − 216𝑥𝑦2
− 288𝑦3
4𝑥2 − 6𝑦
(4𝑥2 − 6𝑦)2
o Se realiza operación “Sándwich”.
−96𝑥5
+ 54𝑥4
+ 384𝑥4
𝑦 + 288𝑥3
𝑦 − 216𝑥𝑦2
− 288𝑦3
4𝑥2 − 6𝑦
(4𝑥2 − 6𝑦)2
1
−96𝑥5
+ 54𝑥4
+ 384𝑥4
𝑦 + 288𝑥3
𝑦 − 216𝑥𝑦2
− 288𝑦3
(4𝑥2 − 6𝑦)1(4𝑥2 − 6𝑦)2
−96𝑥5
+ 54𝑥4
+ 384𝑥4
𝑦 + 288𝑥3
𝑦 − 216𝑥𝑦2
− 288𝑦3
(4𝑥2 − 6𝑦)1+2
−96𝑥5
+ 54𝑥4
+ 384𝑥4
𝑦 + 288𝑥3
𝑦 − 216𝑥𝑦2
− 288𝑦3
(4𝑥2 − 6𝑦)3

12. D. Resuelve la derivada en su más alto orden posible de las siguientes funciones.
I. 𝑓( 𝑥) = −
3
720
𝑥6
+
12
360
𝑥5
−
10
120
𝑥4
+
9
18
𝑥3
− 50𝑥 + 8
o Derivada de primer orden.
 𝑓 𝐼(𝑥) = [(𝟔) (
−3
720
𝑥6−1
)] [(𝟓) (+
12
360
𝑥5−1
)] [(𝟒) (
−10
120
𝑥4−1
)] [(𝟑) (
+9
18
𝑥3−1
)] [(𝟏)(−50𝑥1−1)] + (0)
 𝑓 𝐼(𝑥) = [(
−18
720
𝑥5
)] [(
+60
360
𝑥4
)] [(
−40
120
𝑥3
)] [(
+27
18
𝑥2
)] [(−50𝑥0)]
 𝑓 𝐼(𝑥) = [(
−18
720
𝑥5
)] [(
+60
360
𝑥4
)] [(
−40
120
𝑥3
)] [(
+27
18
𝑥2
)] [(−50(1))]
 𝑓 𝐼(𝑥) = [(
−18
720
𝑥5
)] [(
+60
360
𝑥4
)] [(
−40
120
𝑥3
)] [(
+27
18
𝑥2
)] [(−50)]
o Derivada de segundo orden.
 𝑓 𝐼𝐼(𝑥) = [(𝟓) (
−18
720
𝑥5−1
)] [(𝟒) (
+60
360
𝑥4−1
)] [(𝟑) (
−40
120
𝑥3−1
)] [(𝟐) (
+27
18
𝑥2−1
)] [(−50)]
 𝑓 𝐼𝐼(𝑥) = [(
−90
720
𝑥4
)] [(
+240
360
𝑥3
)] [(
−120
120
𝑥2
)] [(
+54
18
𝑥1
)] [(0)]
 Simplificar fracciones.
 𝑓 𝐼𝐼(𝑥) = [(
−90
90
720
90
𝑥4
)] [(
+240
120
360
120
𝑥3
)] [(−1𝑥2)][(3𝑥)]
 𝑓 𝐼𝐼(𝑥) = [(
−1
8
𝑥4
)] [(
2
3
𝑥3
)] [(−1𝑥2)][(3𝑥)]
o Derivada de tercer orden.
 𝑓 𝐼𝐼𝐼(𝑥) = [(𝟒) (
−1
8
𝑥 𝟒−𝟏
)] [(𝟑) (
2
3
𝑥 𝟑−𝟏
)] [(𝟐)(−1𝑥 𝟐−𝟏
)][(3𝑥 𝟏−𝟏
)]
 𝑓 𝐼𝐼𝐼(𝑥) = [(
−4
8
𝑥3
)] [(
6
3
𝑥2
)] [(−2𝑥1)][(3𝑥0)]
 𝑓 𝐼𝐼𝐼(𝑥) = [(
−4
8
𝑥3
)] [(2𝑥2)][(−2𝑥)][(3(1))]
 𝑓 𝐼𝐼𝐼(𝑥) = [(
−4
8
𝑥3
)] [(2𝑥2)][(−2𝑥)][(3)]
o Derivada de cuarto orden.
 𝑓 𝐼𝑉(𝑥) = [(𝟑) (
−4
8
𝑥 𝟑−𝟏
)] [(𝟐)(2𝑥 𝟐−𝟏
)] [((𝟏) − 2𝑥 𝟏−𝟏
)] [(0)]
 𝑓 𝐼𝑉(𝑥) = [(
−12
8
𝑥2
)] [(4𝑥1)][(−2𝑥0)]
 𝑓 𝐼𝑉(𝑥) = [(
−12
8
𝑥2
)] [(4𝑥)][(−2(1))]
 𝑓 𝐼𝑉(𝑥) = [(
−6
4
𝑥2
)] [(4𝑥)][(−2)]
o Derivada de quinto orden.
 𝑓 𝑉(𝑥) = [(𝟐) (
−6
4
𝑥 𝟐−𝟏
)] [(𝟏)(4𝑥 𝟏−𝟏
)][(0)]
 𝑓 𝑉(𝑥) = [(
−12
4
𝑥1
)] [(4𝑥0)]
 𝑓 𝑉(𝑥) = [(
−12
4
𝑥)] [(4(1))]
 𝑓 𝑉(𝑥) = [(
−12
4
𝑥)] [(4)]
o Derivada de sexto orden.
 𝑓 𝑉𝐼(𝑥) = [(𝟏) (
−12
4
𝑥 𝟏−𝟏
)] [(0)]
 𝑓 𝑉𝐼(𝑥) = [(
−12
4
𝑥0
)]
 𝑓 𝑉𝐼(𝑥) = [(−3(1))]
 𝑓 𝑉𝐼(𝑥) = [(−3)]
o Derivada de séptimo orden.
 𝑓 𝑉𝐼𝐼(𝑥) = [(0)]
 𝑓 𝑉𝐼𝐼(𝑥) = 0

13. II. 𝒇( 𝒙) =
𝟓
𝟐𝟏𝟎
𝒙 𝟕
−
𝟖
𝟏𝟐
𝒙 𝟔
+
𝟗
𝟏𝟔
𝒙 𝟓
−
𝟑
𝟖
𝒙 𝟑
− 𝟓
o Derivada de primer orden.
 𝑓 𝐼(𝑥) = [(𝟕) (
5
210
𝑥7−1
)] [(𝟔) (
−8
12
𝑥6−1
)] [(𝟓) (
9
16
𝑥5−1
)] [(𝟑) (
−3
8
𝑥3−1
)] [−(𝟎)]
 𝑓 𝐼(𝑥) = [(
35
210
𝑥6
)] [(
−48
12
𝑥5
)] [(
45
16
𝑥4
)] [(
−9
8
𝑥2
)]
o Derivada de segundo orden.
 𝑓 𝐼𝐼(𝑥) = [(𝟔) (
35
210
𝑥6−1
)] [(𝟓)(−4𝑥5−1)] [(𝟒) (
45
16
𝑥4−1
)] [(𝟐) (
−9
8
𝑥2−1
)]
 𝑓 𝐼𝐼(𝑥) = [(
150
210
𝑥5
)] [(−20𝑥4)] [(
180
16
𝑥3
)] [(
−18
8
𝑥1
)]
 Simplificar fracciones.
 𝑓 𝐼𝐼(𝑥) = [(
150
30
210
30
𝑥5
)] [(−20𝑥4)] [(
180
4
16
4
𝑥3
)] [(
−
18
2
8
2
𝑥1
)]
 𝑓 𝐼𝐼(𝑥) = [(
5
7
𝑥5
)] [(−20𝑥4)] [(
45
4
𝑥3
)] [(
−9
4
𝑥1
)]
o Derivada de tercer orden.
 𝑓 𝐼𝐼𝐼(𝑥) = [(𝟓) (
5
7
𝑥5−1
)] [(𝟒)(−20𝑥4−1)] [(𝟐) (
45
4
𝑥3−1
)] [(𝟏) (
−9
4
𝑥1−1
)]
 𝑓 𝐼𝐼𝐼(𝑥) = [(
25
7
𝑥4
)] [(−80𝑥3)] [(
90
4
𝑥2
)] [(
−9
4
𝑥0
)]
 𝑓 𝐼𝐼𝐼(𝑥) = [(
25
7
𝑥4
)] [(−80𝑥3)] [(
90
4
𝑥2
)] [(
−9
4
(1))]
 𝑓 𝐼𝐼𝐼(𝑥) = [(
25
7
𝑥4
)] [(−80𝑥3)] [(
90
4
𝑥2
)] [(
−9
4
)]
o Derivada de cuarto orden.
 𝑓 𝐼𝑉(𝑥) = [(𝟒) (
25
7
𝑥4−1
)] [(𝟑)(−80𝑥3−1)] [(𝟐) (
90
4
𝑥2−1
)] [(0)]
 𝑓 𝐼𝑉(𝑥) = [(
100
7
𝑥3
)] [(−240𝑥2)] [(
180
4
𝑥1
)]
 𝑓 𝐼𝑉(𝑥) = [(
100
7
𝑥3
)] [(−240𝑥2)] [(
180
4
𝑥)]
o Derivada de quinto orden.
 𝑓 𝑉(𝑥) = [(𝟑) (
100
7
𝑥3−1
)] [(𝟐)(−240𝑥2−1)] [(𝟏) (
180
4
𝑥1−1
)]
 𝑓 𝑉(𝑥) = [(
300
7
𝑥2
)] [(−480𝑥1)] [(
180
4
𝑥0
)]
 𝑓 𝑉(𝑥) = [(
300
7
𝑥2
)] [(−480𝑥)][(45(1))]
 𝑓 𝑉(𝑥) = [(
300
7
𝑥2
)] [(−480𝑥)][(45)]
o Derivada de sexto orden.
 𝑓 𝑉𝐼(𝑥) = [(𝟐) (
300
7
𝑥2−1
)] [(𝟏)(−480𝑥1−1)][(0)]
 𝑓 𝑉𝐼(𝑥) = [(
600
7
𝑥1
)] [(−480𝑥0)]
 𝑓 𝑉𝐼(𝑥) = [(
600
7
𝑥)] [(−480(1))]
 𝑓 𝑉𝐼(𝑥) = [(
600
7
𝑥)] [(−480)]
o Derivada de séptimo orden.
 𝑓 𝑉𝐼𝐼(𝑥) = [(𝟏) (
600
7
𝑥1−1
)] [(0)]
 𝑓 𝑉𝐼𝐼(𝑥) = [(
600
7
𝑥0
)]
 𝑓 𝑉𝐼𝐼(𝑥) = [(
600
7
(1))]
 𝑓 𝑉𝐼𝐼(𝑥) = [(
600
7
)]
o Derivada de octavo orden.
 𝑓 𝑉𝐼𝐼(𝑥) = [(0)]
 𝑓 𝑉𝐼𝐼(𝑥) = 0