1. Estimación e intervalos de
confianza
 Construir un intervalo de confianza para la media poblacional cuando se
conoce la desviación estándar poblacional.
Nombre: Azucena Agüero Torres
 Materia: Probabilidad y Estadística
 Lic.: Édgar Gerardo Mata Ortiz
 Grupo: “2”c.
 Especialidad: Procesos Industriales de Área de Manufactura
1

2. Estimaciones puntuales e
intervalos de confianza
 Estimación puntual: Estadístico
calculado a partir de la información
obtenida de la muestra y que se usa
para estimar el parámetro poblacional.
 Intervalo de confianza: Un conjunto de
valores obtenido a partir de los datos
muestrales, en el que hay una
determinada probabilidad de que se
encuentre el parámetro. A esta
probabilidad se le conoce como el nivel
de confianza.
2

3. Estimación puntual y estimación
por intervalos
 Los hechos que determinan la amplitud
de un intervalo de confianza son:
 El tamaño de la muestra, n
 La variabilidad de la población.
normalmente estimada por s.
 El nivel de confianza deseado.
3

4. Estimación puntual y estimación por
intervalos
 Si la desviación estándar de la población
es conocida o la muestra es mayor que 30
utilizamos la distribución z.
s
X ±z
n
4

5. Punto e intervalo de estimación
 Si la desviación estándar de la población
es desconocida y la muestra es menor
que 30 utilizamos la distribución t
s
X ±t
n
5

6. Intervalo de estimación
 Un intervalo de estimación establece el
rango en el cual se encuentra el
parámetro de población.
 Un intervalo en el cual se espera que
ocurra el parámetro de población se
llama intervalo de confianza.
 Los dos intervalos de confianza que son
más utilizados son de 95% y 99%.
6

7. Intervalo de estimación
 Para un 95% de intervalo de confianza,
aproximadamente 95% de los intervalos
construidos igualmente contendrán el parámetro
inicial. También el 95% de la muestra media para
un tamaño de muestra específico se encontrará
dentro del 1.96 de la desviación estándar de la
media de la población.
 Para el 99% de intervalo de confianza, 99% de la
muestra media para un tamaño de muestra
específico se encontrará dentro del 2.58 de la
desviación estándar de la media de la población.
7

8. Error estándar de la media muestral
 El error estándar de la media muestral es la
desviación estándar de la distribución de las medias
muestrales.
 Se calcula como: σ
σx =
n
σx es el símbolo para el error estándar de la media
muestral.
σ es la desviación estándar de la población.
 n es la magnitud de la muestra.
8

9. Error estándar de la media muestral
 Si σ no es conocido y n >= 30, la
desviación estándar de la muestra,
designada s, se aproxima a la desviación
estándar de la población.
 La fórmula para la desviación estándar es:
s
sx =
n
9

10. 95% y 99% intervalos de confianza
para µ
 El 95% y 99% intervalos de confianza:
 95% CI para la media de la población es dada:
s
X ± 1.96
n
99% CI para la media de la población es dada
como:
s
X ± 2.58
n
10

11. Construyendo intervalos generales
de confianza para µ
 En general, un intervalo de confianza para
la media se calcula como:
s
X ±z
n
11

12. Ejemplo 3
 El director de una escuela de negocios
quiere estimar la cantidad media de horas
que los estudiantes trabajan por semana. De
una muestra de 49 estudiantes mostró una
media de 24 horas con una desviación
estándar de 4 horas. ¿Cuál es la media de la
población?
 El valor de la media de la población no es
conocida. Nuestra mejor estimación de este
valor es la muestra media de 24.0 horas.
Este valor es llamado estimación puntual.
12

13. Ejemplo 3 (Continuación)
 Encuentre el intervalo de confianza con el
95% para la media de la población.
 El rango límite de confianza es de 22.88 a
25.12. s 4
X ± 1.96 = 24.00 ± 1.96
n 49
= 24.00 ± 1.12
 Aproximadamente el 95% de los intervalos
construidos incluyen el parámetro de población.
13

14. Intervalo de confianza para la
proporción de la población
 El intervalo de confianza para la proporción
de la población se estima como:
p (1 − p )
p±z
n
14

15. Ejemplo 4
 De una muestra de 500 ejecutivos que tienen
casa propia 175 revelaron planear vender sus
casas y cambiarse a Arizona. Desarrolle un
intervalo de confianza con el 98% para la
proporción de ejecutivos que planean vender
sus casas y cambiarse a Arizona.
(.35)(.65)
.35 ± 2.33 = .35 ± .0497
500
15

16. Factor de corrección
de la población-finita
 La población que ha sido establecida en líneas
anteriores se dice que es finita.
 Para una población finita, donde el número total
de objetos es N y la magnitud de la muestra es n,
el siguiente arreglo está hecho para los errores
estándar de la media muestral y la proporción:
 Error estándar de la media muestral:
σ N −n
σx =
n N −1
16

17. Factor de corrección
de la población-finita
 Error estándar de las proporciones de la muestra:
p(1 − p) N −n
σp =
n N −1
 Este arreglo es llamado factor de
corrección de la población-finita.
 Si n/N < .05,el factor de corrección de la
población-finita se ignora.
17

18. Ejemplo 5
 Dada la información del Ejemplo 4, construya un
intervalo de confianza del 95% para la cantidad media
de horas que los estudiantes trabajan por semana si
tan sólo son 500 estudiantes en el campus.
 Porque n/N = 49/500 = .098 el cual es mayor que 05,
utilizamos el factor de corrección de la población-finita
4 500 − 49
24 ± 1.96( )( ) = 24.00 ± 1.0648
49 500 − 1
18

19. Elección del tamaño de muestra
apropiado
 Existen 3 factores que determinan el
tamaño de la muestra, ninguno de los
cuales tiene relación con el tamaño de
la población. Éstos son:
 El nivel de confianza deseado.
 El máximo error permisible.
 La variación en la población.
19

20. Variación en la población
 Para encontrar el tamaño de la muestra para
una variable:
2
 z•s
n= 
 E 
 Donde: E es el error permisible, z es el
valor-z correspondiente al nivel de confianza
seleccionado, y s es la desviación de la
muestra del estudio piloto.
20

21. Ejemplo 6
 Un grupo de consumidores quiere estimar la
media del cargo mensual de energía de julio
de una casa común dentro de $5 utilizando
99% de nivel de confianza. Basado en
estudios similares, la desviación estándar se
estima debe ser $20.00. ¿Cuántas muestras
son requeridas?
2
 (2.58)(20) 
n=  = 107
 5 
21

22. Tamaño de la muestra
para proporciones
 La fórmula para determinar el tamaño de la
muestra en el caso de una proporción es:
2
 Z
n = p(1 − p) 
 E
Donde: p es la proporción estimada, basada en
la experiencia anterior o de un estudio piloto, z
es valor-z asociado con el grado de confianza
seleccionado; E es el máximo error permisible
que el investigador tolerará.
22

23. Ejemplo 7
 Un club quiere estimar la proporción de
niños que tiene un perro como mascota. Si
el club quisiera estimarlo dentro del 3% de
la proporción de la población, ¿cuántos
niños necesitarían contactar? Asuma 95%
de nivel de confianza y que el club estima
que un 30% de los niños tienen un perro
2
como mascota. 70) 1.96  = 897
n = (.30)(.  
 .03 
23